【北京大學】《變分學》精品課 P34 - 34. 第34講 Ekeland變分原理與山路定理（2）【變分學（北京大學）】

剛纔有了這個polysmer條件 又有了可微性這個說法 所以下面一個非常簡單的推論 這個推論呢也還是挺有意思的 就是說假如F是八大空間 加上R1的函數 而且我假定它是可微的 下方有界還滿足polysmer條件C 本來我們的問題是 函數下方有界沒有這條件 要強制的 這個空間還要有那個什麼性質 自反的什麼之類的性質 那麼這時候F要若下半連續 那麼強 那麼纔能有個技巧點 現在這個可微性是對強頭目來說 跟弱頭目沒關係了 空間也不一定是自反不自反 這我不管它了 只要下方有界 函數可微性是有的 但是加上要挺polysmer條件 這個C什麼呢 C就是下界界就是直 這事怎麼證呢 現在你有了Eckhoff變分原理這個事 大家就想用Eckhoff變分原理做 Eckhoff變分原理是下方有界 而且是下半連續 這個可微就是可微了 連續的單號問題 所以可以找到一串 按照Eckhoff變分原理選到一串序列 也不要去管那麼多 三條了 你就是關鍵一條 是吧 就是給一條條往下選 就是了 Eckhoff就選mg 然後就選擇一串xn 使得fx減掉 就是大於fxn 減掉Eckhoff Eckhoff就是mg 而且fxn 我找這麼寫 完全按照Eckhoff變分原理的寫法 就是根據Eckhoff變分原理 你去xn一串序列這麼取好了 這個是比下界界多一點 那當然給它取得到 就Eckhoff就取成mg 對吧 那麼這個東西其實 這個x是對於一切的x不等於xn就對 這是第三條 這是第一條 y一串小於xn x也一串小於 x一串小於這個 是吧 第一條第三條就夠了 這個空間的距離 就是原來的空間的範數 從這裡 現在怎麼去用Eckhoff變分原理呢 這裡要用到導數了 是吧 剛才你看那個x 我就把它取成xn 因為對所有的 所有的x 除了xn之外 就讓x加h好了 是吧 h是固定理論性的 是吧 那麼好了這個地方 我特別 假定我覺得h是模式1的話 那麼就是個th 然後t可以剋制 我想如果t限定都是正的話 就正負 那麼其他人 是不是 這個和這個跟在一起 你看出關係了吧 這就是fxh fxn正負th 減掉fxn 大於 負n分之一的 這個是th h模式1 t t把它是正的除過來 這是什麼東西啊 這個h極限 當t去0 極限什麼 dfxnh 大於等於負n分之一 對所有h 在這 所以這個東西就是 f一撇 xn 因為這個是對所有的h 這個是泛含 剛才的xi xnh 對不對 這就是泛含的模 它就是它 對吧 所以這個東西是 所以從這看出來 從剛才那算出來 就是知道f一撇 xn 是小於n分之一的 是去0的 但n去無窮 從這裡看出來 fxn c是下學界 這一頭控制住 那頭就極限差了 所以這兩條都有了 根據psc條件 有受聯子序列 xnj 去相應xnh 這xnh怎麼樣呢 xnh這個極限 取極限進來 就是f學xnh 等於0 它是連續的 再來這個 fxnh 是吧 xnh必然是連接點 是吧 而且達到值c 所以它是個極小值點 再看這個證明 比我們原來那個 要證明極小點的存在 要簡單多了 但是這個取代不了那個 那個也取代不了這個 就是不一回事了 那個裡頭需要用 弱下半連續性 需要有空間的 有好的性質 為什麼 因為psc條件不好驗證 並不是那麼容易驗證的 而求極小的時候 我們原來講的 空間只要好 函數只要強制 那麼我們 範函又是弱下半連續 那過去了 現在 條件不一樣 當然 函數要求可為 連續可為 這件事情 一般講起來 我們也不一定都有 是吧 第二件 還這點 只要有polarism條件 這兩件事情 各有各的好處 各有各的用處 但是不管怎麼說 這件事情 第一次你看到 polarism條件有用處 另外看到 今天剛才講的 有用處 好 這是我們今天講的 第一個結果 第二個結果 講山路定理 或者山路引領 這個定理 是1974年 由Ambassador 跟Rabinowitz提出來的 這個結果 現在看起來很 很簡單 一個幾何事實 但是發現的 比較 很晚了 1974年 這個定理是 怎麼陳述的呢 這個定理實際上是跟 幾何之觀是非常清楚的 我先把幾何之觀說出來 然後定理怎麼說 為什麼叫山路引領呢 就是你人 如果你經常爬山的話 就會發現 有山上的一些路 如果一個人 在一個盆地底下 你要走到山外頭去 山上那種小路 是怎麼能越過一個山去的 那些小路怎麼走 一般人都不願意爬高吧 你是不得已才爬高 因為必須越過一個路去 那麼如果四周圍都是山 你就必須爬高 但是又想爬高 爬的當中最 最高的當中最矮一點 是不是 所以假定你現在是 在一個盆地當中 四周圍都是山 那你選擇怎麼走出去呢 選擇一條路 就這條路當中 過這個最高點的 如果這周圍都是最高的點 看起來 在最高點當中的最低點 是不是 你看如果你 你爬到 去爬香山 或者爬哪你去看吧 山上的走 怎麼走過 那山上小路是怎麼樣 越過那坎 是這樣的地方 是周圍都高 它在這個周圍當中 是最低的一個 所以 這個定理是這麼說 如果 幾何圖形上看是這樣 如果你在一個盆地當中 四周圍都比這高 是吧 假如有圈比這高 那麼 外頭有一點比這低 那麼 我們要想 怎麼找到這個點 怎麼找這一點 能夠找到這一點 那麼在這點附近 在所有的這些高點當中 這些地方都是比較最低 而這個最高 這個點就應該是安點 是一個臨界點 它不是一個極小 所以這個定理的意思 就是我們去找非極小的這種臨界點 怎麼能找到非極小的臨界點 就是如果有這樣一種結構 幾何結構 就像你人站在一個盆地當中 盆地外頭有低的點 那麼你怎麼去尋找這個山路 這個想法 幾何上很自然 那麼怎麼找這個值呢 那麼就考慮最簡單的想法 這是一點叫P0 這點叫P1 這裡有個區域叫 這個盆地這個區域叫Omega 周圍高 這上的函數值高 整個我們地形就用一個函數來描寫 對吧 函數地形來描寫的話 就是函數的值 在這上的值 下缺間 這兩點的值 這個幾何結構的 就是我們要求函數值的分佈 是這個樣子 在這上的值 在這下缺間 比這兩點的最大的還大 可以理解嗎 好 那麼怎麼找這個值呢 怎麼找這個值呢 也是想怎麼走路吧 你從這兩點連接之間 可以走任何的道路 對吧 在所有這些任何道路 所以叫做叫路 叫做L L是什麼呢 L是 我寫個道路 就零一區間 到空間 但是這個時候呢 當然是連續的 但是L呢 在零點是P0 L1這點呢 是P 所有可能的道路比較啊 我把這所有道路拿出來 叫做Gamma 我在所有這些道路來看 來比 比什麼呢 每條道路你達到最高點是什麼 自然嗎 我先看看每條路走的最高點是什麼 算出來 在所有可能的這些路當中 下缺間是什麼 想法就是剛才我們的幾何直觀想法 那麼我們想那個值應該是什麼值 就應該是這個值 是吧 所有你都比過了 這個高度是什麼 那個高度是什麼 在所有最高點的時候比個最低點 這個點應該是我們的臨界值 這個直觀大家能夠理解吧 想像就想到 好 這個定理陳述就這樣 是 X是八角空間 F呢 滿足這個結構 滿足這個 那這裡有個結構 就是 存在一個 Omega是P0的一個開的領域 然後有點P1 不在這個Omega上頭 是吧 就是存在 Omega X是開極 X有個P0 屬於Omega P1 不屬於Omega 好 這是一個 這個結構要講 要一塊講 就是這個 這個 然後我們定義這個 定義這個 結論呢 結論是 從幾何之觀就是這樣說 但是幾何之觀不見得全是靠得住的 如果沒有一些 附加的數學上的條件 幾何之觀也會告訴我們 給我們錯覺 如果要想它是臨界值 還要加條件 這個C不是隨便 你即使這麼定義 什麼都看得很像是圖上的東西 這都對 但是函數如果沒有一定的 這些條件是一種僅性 一定的僅性 你還是抓不住它 我們再講一講 給你一個例子 有反例 就在平面上就能做出函數來 有這些都有 就是沒有 C不是臨界值 所以就是因為什麼 一些條件不滿足 還要加一些條件 所以我們說這個 Ampersandi和Rabinowitz這個定理 前面看起來很直觀 但是也有一個非常不直觀的 就是Palaisme條件 但是必須加一些條件 不然是不對 這個定理 我只不想給大家詳細證明 這個詳細證明有好多種 但是也基本上是兩類 基本上是兩類證明 一類我今天想講的是 用Ecklund變化原理 給大家一個證明 這個證明事實上是史書中 他已經是 已經過去的一個數學家 是原來在南開大學 後來在北大光華管理學院 搞數理經濟學的 還有一個就是歐巴和Ecklund 數學中是1985年在數學學報 歐巴和Ecklund是在一個書上 我想說的是他們 用Ecklund變化原理給出證明 就是避開了託普學的很多必要條件 但是那個證明並不是非常難 但是有些地方非常繞 我只是把思想講給大家聽 然後詳細的證明 反正講一講我寫 你有興趣就去看 沒有興趣 反正這個證明有很多種 你願意用這個也好 用別的也好 反正這個證明是完整的 是他們給出的很好的一個證明 我把他的思想告訴大家 詳細的我不去講了 這個證明的思路是 就從他出發 就從他出發的想 這個想法就從他出發 我們現在考慮 什麼意思呢 他現在的想法是這樣 你就從這裡看 你現在 你不是選唐宗的道路嗎 你這個東西在某種意義上 就是道路的下缺件嗎 是不是啊 這想法很自然 我們給一個道路得到一個值 得到一個道路得到一個值 所以這個可以看成一個道路的函數 對吧 好 如果是這麼看的話 這是看成道路的函數的話 那麼這個道路是不是能夠達到下缺件 是不是真正能找到一條路在這走過去 這個我們並不能保證 這個定理太抽象了 太一般了 它不見得真正走得到 但是我只是說它是這個 它是臨界值 只是函數的導數在這點是零 但是呢 從那個 從道路上來 從這個道路上 並沒有說我一定存在一個L0 屬於γ 達到它 並沒有能做到這點 所以這裡頭呢 想法上是有 有可用的地方 但是也不完全是直接套這個 比如說 就能推出它了 所以這裡是很巧妙的應用 但是想法是什麼呢 我就在γ上取 在γ上 是不是一個度量空間呢 那麼看看度量空間 是不是度量 那麼就給了個L1 L2 兩條路怎麼比較 那麼可以L1T L2T 看它的長距離 在X空間的 斑斕空間的X距離 然後在所有的 比最大 我可以在這個空間上給個距離 按照這個道路給 那麼可以定個函數 我叫原來的那個 這γ上的一個函數 這函數剛才說 就是FLT 這個LT就是函數 但是我現在 我每個選個最高的嗎 所以在這選 那麼這個函數 要用X上辨別原理的話 這個函數 是不是下方有界的呢 必須要有下方有界 還要是下半連續 是不是 這兩條驗證一下 是不是下方有界 你這就看 要看你的事了 你從這點到這點的任何一條道路 任何一條道路 總要經過這個邊界 這是一個最簡單的連通性的事實 ω它這點在ω的裡頭 那一點 那麼它從這一點到外點 一定要經過一個邊界點 這是連通性 好 通過這連通性 所以至少要經過一點偏ω 偏ω它就大一點 所以下方有界 把這個叫做α好了 所以這個大一點α 是不是下半連續 有沒有下半連續性 那麼就看這IR跟另外一條線比較比較 如果能連續就好了 是吧 我現在實際上不僅連續 事實上它是Lipschitz的 然後我們用一次中之定理 這裡是兩點的估計的話 用中之定理 中之定理通過F的導數來得到 其中一個θ L1t加上1-θ L2t L1t-L2t 這是泛含在這點 這是泛含在這點值 這個θ當然依賴於t 不管它了 也依賴於L1L2 不管怎麼樣它在L1L2之間 然後利用這個導數是 在這樣的有界連續性和在這個緊性 所以就得到小於等於 這個是一個C E 你把這個放大 把這個放大放成導數的最大值好了 在這裡放個C 所以確實是下方有界的 是下半連續的 那麼根據Eckart變分原理 就存在一串Ln 是C小於等於Ln 小於C加上1 同時Ln大於Ln 減掉1-Ln L不等於Ln 是吧 利用Eckart變分原理 我們在這個 在γ上取道路 在這道路當中 它可以取得這麼好 千萬不要以為這樣 加普萊西米條件等等 就能夠把這個最小下缺界找到 一般是做不到的 但是呢 通過它可以轉換 這轉換的辦法呢 就是在這個裡頭 我大致講個思想了 下面證明就不能那麼嚴格證明瞭 下面證明講一場大家看好了 我要寫 因為下面的話 囉囉嗦嗦相當多 一個辦法呢 一個件事情就是 考慮它的一個子集合 就是考慮γ0 是把這兩端點都換成0的 因為將來我們要 要選擇道路的時候 就跟這個要去跟Ln去比較的時候 兩端點都得取成是固定的 取成固定的話 都是剛才P0 P1選好 所以要相差的那部分 就必須是兩端點是0 所以我把它L 寫成一個Ln 加上一個λ接h 所以給一個Ln一個h 現在只能說邊界上是0的 邊界上兩頭不是0的話 這個L就不能在這裡頭了 是吧 所以我就取個γ0 是兩頭端點是0的 這邊隨便放一個λ 做參數放在這 然後放進去 那我們就得到了λ 跟剛才一樣 γ0 J F Ln 加上λ接h 減掉F Ln 這點是T 這個是T要使得它 這是使得它達到極大 達到極大的那個點 這個讓它達到極大的點有點不好說 因爲這個東西它達到極大它不見得達到極大 它兩個錯開了 所以不好說 那麼這裏把它畫成函數值的話 因爲你最終要去畫到函數值才能用PS條件 所以關鍵在這一點上頭要有點花樣 這個時候要考慮一個集合 給它道路的話我考慮一個集合 這個集合是這些點使得達到它 flt等於il 達到極大值的點 那麼從兩個端點來說 這個函數值兩個端點來說函數值都比較小 因爲這時候我們已經選擇好端點是固定的 P0 P1 所以這時候取的值都是很小的 最小的值是這兩個點 而中間的極大值肯定是比這個數要大 所以這個一定是在端點不包含的 下面的話就是取 這個裏頭取的時候h 我取的模式固定是1 任意一個h 然後在這就取達到極大的值點 Cj 它是Cj屬於mln加上λjh 那麼這個點如果不是隨便點 值點隨便點 雖然不是極大 但它減之後 它不是減最多 所以這還是大於等於它 所以我們就得到了一個這個事情 所以這串點都是在0,1區間裏頭 Cj都在0,1區間裏頭 它當然是有極限的 當λ去無窮的時候 我讓λj去0 那麼這個Cj就去極限 有個子序列 反正子序列叫做ηn 那麼就得到了DFLnηn 減掉這個是hηn 大於n跟d 到這一步還是都比較自然的 就像我跟剛纔一樣的 只求那個極小的問題 這個h跟極小的問題一樣 想辦法用Eckhard Bernoulli 像Eckhard Bernoulli得到這串東西 但這串東西下頭 這裏是h是在γ0裏頭的 不是任何一個h的 所以這裏不好得到直接的事情 所以關鍵的問題是下面一個一段 這一段證明我不在這寫了 就是如果是不是存在一個ηn星星 它是屬於mln的 使得這個ηn星星屬於mln 使得這個時候有DFLnηn星星 φ大於等於-n 對一切的φ屬於x 就從剛纔這一步到這一步 差別是比較大的 這裏是h是在γ裏頭是道路 這個h是φ是一個點 是空間的向量 單位向量 是不是能夠從那個η跟這個 道路對道路的這麼對着 對着這樣之比 和變成這樣一個是一個過渡 這個過渡不是 沒有一些特別的技巧是過不去的 有了這個之後下面就可以用了 有了這個事情就把這個叫做xn 那麼就有fxn大於等於c 小於c加n分之一 因爲這個xn放進去 這達到極大值點還是在這 所以是小於n分之一 還有D這個就是f'xn區別 這跟上次一樣了 到了這一步就是它區別 那麼就得到xn用ps條件 xn就區於極限點 根據ps條件 有個極限點 這個xn就是臨界點 我把他們證明的思路 把石油鍾跟歐巴艾克朗證明的思路 這個證明的思想就是完全仿造求極小的辦法 但是現在的道路選取就在這裏選 選到後來你真想找到道路來實現 這件事情做不到 這串ln並不見得能夠有極限 有極限點 但是可以過渡到點上去 過渡到點上去 這個當然也變成f' 這個時候能夠用ps條件 這一部分的證明呢 寫在講義上大家看好了 這就是 這個 Ambassador Robinowitz的山路英靈 這個現在因爲太 大概搞偏方程的 現在很多都知道這個事 而且又經常在用這個事情 所以跟大家把這個介紹一下 不過我簡單再講一點這個 應用我想我不在這黑板上算了 不再講了 因爲我在講義上寫了一個 大家可以看看 如果有興趣可以看一看 就用這個東西可以做很多很多事情 證明不是 不是極小的原點 這個理解點 特別是因爲一些方程來說 他 比如說已經知道一個平凡的解 這個解是個極小 大家都知道 是居不極小 但是我往往要找着非理解 非平凡解 那麼這是很自然的 就用這種辦法去做 另外呢 這種像山路這麼一個簡單的模型 只是給你看一個很容易想到的 幾何上容易看到的模型 其實這裏比這個複雜 還可以有更多的透過的結構 那麼另外一種比較複雜的形式 比這個更加推廣一點的呢 叫做linking 什麼叫做linking linking的意思 這個原意就是挽着的 倆人手勾手挽着的 這兩個圈都套住了 所以在如果幾何形式 不是這樣的簡單的形式 是比較稍微複雜一點 那也可以考慮 那麼假定是 假定這是個Q 它的邊界 Q是一個第一維的 Q是一個 一個 一個維分流行 它有邊界 那麼另外考慮呢 空間有個幾何叫S 是個B級 這個B級如果 本身和這個橡膠是空的 但是S跟這個Q的橡膠呢 一定是非空的 比如說我這個Q 就是一個圓圈 在三維空間中一個二維的圓圈 這個S呢 是這麼一個大圓圈 那麼這個 偏Q是剛纔 這是圓 但是Q是圓 偏Q是圓周 那你S呢 當然跟圓周是不碰的 但是怎麼調下去 你都得給Q橡膠 這樣叫做Linking 那麼剛纔我把這個 特殊情況就是 Omega就是Q 邊界就是偏Q 這S呢就是 這兩點的連線 我說錯了 連線這個是 這兩點連線是Q 兩點邊界是P0P1 這個邊界是S 這樣的話就是怎麼樣的橡膠 那麼這是一種推廣 這樣也有很多的應用 是吧 都可以在各種形式 當然相比這種還可以變化 各種的形式 這是一個很新的很大的領域 如果追根結底 現在我們當時就把這個山洛引領 稱爲Ambassador和Rabinowitz 他們貢獻了 是他們的定理 事實上把這個定理追溯到 更早 一九二十幾年 Morse就有一個 實際上是這個定理的原型 Morse定理叫做強定理 強定理 他什麼意思 就是說如果一個函數 剛纔那個F在一般空間上 一個函數 如果有兩個極小點 那麼他兩個嚴格的極小點 那麼一定有一個第三個點 這是第三個理解點 這個意思實際上跟我們現在說 一個嚴格極小 我們就有個牆 就是有個山 是盆地在周圍的 另外還有極小點 甭管在哪 那如果比他高 高的我就取另外一個 反正取一個高的一個低的 那不就是這個山洛引領 所以最早他就有了 而且他是在做極小曲面問題 所以在這條曲面當中 如果有一個肥皂泡 怎麼泡 或者肥皂泡膜連起來 如果有兩個極小點 一定還有個第三個 這是一個 在當時能夠做到這點 是非常深刻的結果 他完全從託普學角度來看 那麼應該說是 Ambassador Rabinowitz的定理 他們並不知道早年有這個事情 而且也不知道人家是怎麼證的 他們就自己用這種辦法證出來 證出來當然也是很好的 非常應用 現在變成廣泛應用那個定理 但推根結底思想最早的 還是在摩爾斯這個裏頭 因爲摩爾斯還是真的從託普學 託普角度來看這個事情 所以很多事情 數學是很奇妙的 有的時候很多人 發明很早就發現了 但是後來的人不知道 所以老半天一看 前頭還有 其實都有 或者原始思想有 所以我們大家做數學 不要光趕前頭 當然人家趕前頭前沿在什麼地方 跟着前沿也好 如果你跟着前沿也好 就不會給人牽着鼻子走 其實很多人 在很多 前人在做很多事情的時候 有很多寶貴的東西 寶貴的思想 如果你去發掘 也可能會走得世界上更前頭 今天就到這