【北京大學】《泛函分析》（精品課） P33 - 33. FA33

現在開始我們講這個新的內容 我昨天其實在微信裏已經跟大家說了啊 我們這個學期的課應該還剩六次課 剩下六次課 其實整個安排的話 基本上就是我希望把這個這個書上的話是這個第四章 但是我們先編的這個書上會安排的第三章 我們要把這本內容基本上都要講完 好吧 好 我們今天我們就來講簡算子 簡算子的話 其實是更就是在無窮爲霸佔空間中間跟有窮爲空間之間的這樣一些變化 性質比較相像的一個算子 這在無窮爲空間中 這其實是一類非常重要的算子 這個是這樣好吧 如果無窮爲空間裏頭的話 其實最最終在有窮爲空間裏經常用的一個試圖是什麼 就是說你給一個有界鏈 然後你要找個磁鏈使用它收鏈 但是在無窮爲裏頭 大家知道如果是按照放速來說 這個肯定是不對的 所以呢 我們來講 但是有的算子可以 就是說你有界的可以一個有界點鏈 你可以把它編成一個它有收鏈磁鏈這樣的算子 而且這種算子的話它的性質是比較好 這其實就是我們要加的這個簡算子 好吧 所以我們現在我們先來講這個簡算子 簡算子怎麼樣編 簡算子 然後我們再講寫意 好 那我們現在 這是我們這個B 首先這是一個方向空間 好吧 打到中間 我們這個A 我像是A還是T A X把Y 首先它要是一個有界星星算子啊 有界這個條件是一樣的 有界星星算子啊 有界星星的 我們就稱爲什麼呢 其實有界星星就夠了 因爲簡算子肯定是有界星星算子 如果是個簡算子 假如是一個點鏈 單一的點鏈 XA好吧 XA 它是加在一起的 這個是要有界的話 有界啊 你就稱一稱什麼呢 AXA 它是要在 Y中 要有收斂值 也就是它把一個有界的點鏈 變成另外一個序列 它是有收斂的值面 好吧 這個是這是我們的簡算子的這個定義 所以這意思其實就是我把X中的有界級 這是一樣的啊 變到這個Y 中的 什麼叫列簡呢 列簡就是說任何一個東西 它都要有個有個有個收斂值的 任何一個序列 它都要有個收斂值的 所以叫列簡啊 簡和列簡的話 因爲我們這個是這是這是半子框 它又來又來個度量 所以在度量空間裏的其實簡和列簡是一樣的 簡單定義 其實就是有界覆蓋 任何開覆蓋都要存在這個有界覆蓋 這個叫簡單 我們上上次應該講過那個落收斂的事情 對吧 落收斂其實我們只講了落收斂的 落收斂和落線收斂 我們只講的區別怎麼樣的收斂 其實我們沒有講 那個突破在無窮物裏頭 那個收斂其實也 落收斂和落線收斂 其實它也可以有一個突破來救的收斂 落突破落線突破 但是那個突破其實是不能有一個度量的區別 所以那個事情的話簡和列簡其實是不一樣的 所以這個大家有有一個定理定理必須必須要要搞明白 我們沒講 你要碰到這種事情 大家必須要非常小心 那個定理啊 就是阿拉伯路定理 就是說一個括X的X信號中的B的單位球 它是落線列簡落線簡的 那是指開戶蓋的那個 我們知道就是這個並不是列簡 也就是說並不是說X信號中間任何一個有一個列 它都能找一個列 它是落收斂的 這個是兩碼事 好吧 所以在一般的這個突破空間裏頭 列簡和簡 不是一樣 但是在度量空間裏頭是一樣的 所以它把這其中也就是把這個兩件也變成X和Y中的一件 所有這個 從X和Y到所有這個簡雙子的全體啊 我們再給這個這樣的一個記號啊 在其中就是所有的X 這是一件 從X到Y它是一個簡雙 都是一個記號啊 下回我們來講這個基本性 有的是顯然的啊 我說了 其實你這個這個也有些可以不要啊 就說這個這個這個簡簡雙子的話 它肯定是有一個新雙子 AV 如果說在這裏頭的話 那麼你這個 也就是說這個是它的一個線性總空間 因爲我們知道這是個線 好吧 AV它是 這個論運的因素 第三個 CXY就是這個 但是要在這裏頭 它是一個地點 地點也就是A 所以簡雙子 AA 點擊A 這個叫去年的 我們這個A的話 它也是一個簡雙子 好吧 這是第四條 A如果說是一個簡雙子的話 X0是X的一個地點 進行 那麼我說A 先是在X0上 它是在X0到Y在Y 它這個也是 我先把它寫完了 再我們再來解釋一下這個事情 哇 這個綁上不行 這個綁上完蛋了 這是第四條啊 第五條 A是簡的話 這個子義 它是可分的 也就是它承擔這個層面 可數層面子義 第六條 假如說A A是在這裏頭啊 B B比如說你從 或者C C是在這個L Y的Y 也就是有些都是一個簡雙子 這樣子的話 你可以看着啊 A和B A和B啊 然後是這個C和A 這個都是簡雙子 就是一個有簡雙子 符合上一個簡雙子 不管在左邊還是右邊 如果能符合 這符合出來的就是一個簡雙子 好吧 好 那我們來看看我們什麼東西 我們需要證明啊 這個這個不要不要再拿了 因爲簡簡肯定是肯定是個有價值 理解就肯定是個有價值 我們是我們有就算是什麼 也就是說 他把有價值變成一個有價值 簡雙子把有價值變成一個理解 所以簡雙子肯定是有價值 第二條先拿了啊 第三條我們需要說一下啊 第三條 第三條的話 也就是說你這個XM 這有價啊 這這是一個有價 然後你要你要找一個什麼呢 你要你要要在AXM中 我說要有車輛指甲 這是我們要做的啊 這這這個是我們要做的 那我現在看A對吧 A1X1對吧 A1XM這個東西對吧 這這這個這個有有車輛指甲對不對 然後你在指甲裏頭 那你就指甲王的話 你就假設這個車輛好吧 然後你第二個A2X1對吧 A2XM這個這個也可以找個車輛 找個指甲對不對 所以呢 那其實你指甲車其實你不知道 那你可以假設你不是A1X1對吧 A1XM這個車輛對不對 這些車輛 然後你可以用對角線把對角線回去嘛 其實其實這個這個是車輛 好吧 所以呢 你再用對角線 其實你可以假設A2XM 這個車輛 本來是指電你不不讓你抽下腳 因爲我這計算簡單一點 我就我就講成這樣好吧 好了你這樣子一收斂之後 那我們我說那我要來算這個AXM好吧 AXM減去AXM加幾 對吧 那再往一看會小一點 小一點是吧 AXM減去一個AA AXM對吧 加上ANXM減去一個AN加P XN加P 然後再加上一個AN加P XN加P減去AXM 對吧 現在現在現在 你來看啊 這個東西會小一點 小一點的吧 這是有界了的吧 所以這都是有界了 所以小一點 C然後AA減去A 這個是什麼 再加上我這下給他留着 減去一個 AN加P 這下也是一樣 這下 加C AN加P 減去AA 做到這就做完了 因爲這下區別 這下區別其實這下區別 這下區別的原因是什麼 原因是這個 好吧 所以也就是說 這個 這你你如果說當真 因爲我騎着指電機車了很多次了 就這個還是指電 指電 指電要搭配設備 還有指電設備 所以這個AA 好吧 對 第四條 第四條不要做了 第四條因爲 這裏面有界的話 當然X裏面有界 就是你在這個單位 要有個指電 結果A之後 第四條不要做了 第五條 第五條我們說一下 第五條你 要怎麼做 第五條的話去 第五條的話 對吧 你你你把它變起來 這個要要 老方式A 然後B N 0對吧 這個表示以6爲中心 以N爲8就是這樣的球 那麼那麼你力量要減大一點 我 反正是它 其實我加個B包就是它 反正不加B包就行 但是加個B包也不行 但是這個是簡潔 這這個是簡潔 簡潔 這是Y中簡潔 簡潔它都是可分的 任何簡潔都是可分的 因爲你用有些不幹有些 任何簡潔它都是可分的 所以可分的 可數多個可分級 它把它變起來還是可分的 可數多個可分級 它把它變起來還是可分的 所以這是可分的 那麼 這兩個什麼樣子 我們呢來看這個 這個這個第六條啊 第六條你就做一個就行了 你你假設啊 我看我鋪的對不對啊 啊 第十X把X拿了C A對了 這是真沒問題 我們就來看這個 好吧 你講的XS有間 那麼你這個BXN 你你你把這個寫的XN一撇 這個也是有間吧 所以這有間 所以也就是說AXN一撇 AXN一撇是要的 ABXN一撇 這個有的時候是有間的 好 這這是這是這個第六條 好吧 那講完了 這是基本線 下回我們來來講一個 另外一個的線條 在有的書上這個 其實是把這兩條書說成是一樣 並不是說人家書上是錯的啊 比如說比較老的法案分析的書上啊 比較老的法案分析書上 比如說你這個 上個世紀的這個八十年代初 不當大學畢業的那個 孫建華這個法案分析比較好 他那裏頭我們這裏就有一個簡算子 他那裏頭其實叫全連續算子 但是全連連續算子 一般來說全連續算子是像是這樣的 用這個方式來定義 這兩個不全一樣的概念 首先這是一個有界線的算子啊 X到Y的有界線的算子 它們會是什麼呢 它們會是這個全連續 假如 再來說XA 如果說XA是落差的 這是落差鏈啊 落差鏈它就把落差鏈的序列 它把它變成強差鏈 這個單位在X中間了 也就是它把XM中的落差鏈序列 它變到YM中的一個強差鏈 落差鏈就把它變成強差鏈 好吧 這個這樣子的算子 我們叫全連續 那麼這兩個有什麼樣的關係 就是像是 如果是A 所以這個對 它是緊雙子的話 我說A其實是全連續的 反過來 假如說 自反的話 這個全連續和緊雙子是一樣的 A 全連續 你就能對着A A是一個緊雙子 所以在自反空間裏頭 這兩個是一回事 緊雙子的全連續是一回事 那你這世界怎麼做呢 你要這麼緊雙子 你要證明這是個緊雙子 你要證明了全連續 也就是現在我們講的XM 它是落差鏈的X 這是X中間 那麼其實你從這個定義起 你再讓你解釋一點 在這個空間裏你配一下 這個東西 然後你可以把這玩意給它放過去 對不對 這是惡夢雙子的這個定義 那麼這是一個遠近星盤 所以在這裏頭 在這個落差鏈 它要設定到A星盤 FX 對吧 A星盤的所謂自然其實就是F AX就是定義 那這個設置什麼意思 這個設置的意思 其實就是說A的話 XM它是要落差鏈到A這個星盤的玩意 也就是說這是一個什麼樣的數學呢 一個有間星星雙子 我們知道它是把強差鏈的序列 把它併到強差鏈 這是連續的這個定義 但是它其實還把落差鏈 其實還併到落差鏈 這就是我們剛纔證明這個事情 那現在我們要證明的是什麼樣的事情 我們要證明 它是全連續的吧 全連續說明要證明的是 不但是落差鏈 而且它應該是強差鏈 我們要證明到全連續其實 我們現在這是落差鏈 那是全連續 我們要求它是強差鏈 那你怎麼樣證明它是強差鏈 這個要用s減算 這一步沒有用 不需要用s s是一個減算 所以現在我們用s是一個減算 那麼我們的y 它應該有直列收鏈對吧 它是有直列 它是要強差鏈對吧 它有直列強差鏈 但是我們已經知道這個序列本身 它是落差鏈要打a 所以它強收鏈的話 它只能是收鏈 你知道是吧 落差鏈即使落差鏈又是強收鏈 所以這兩個東西是一樣的 那所以說也就是說有直列 ynk 它其實它是要強收鏈的 其實做了它就做完了 爲什麼 我們要證的是 不是直列收鏈 而是在這個序列本身收鏈 你剛纔做了這個辦法 其實證明了一個什麼樣的事情 就是說任何的一個 任何 這個yn 因爲s簡單說明 其實yn的任何直列 它還有個直列 直列的直列 它要收另一個東西 這其實就是我們剛纔證明的 就是說任何一個序列 它的直列還能抽個直列 這個直列的直列收鏈 收鏈出來的東西 那麼你再給這段序列肯定收鏈到 這就是說明它裏頭一個事情對吧 這一模一樣 不讓你用反正法對吧 不讓你用反正法就馬上就能做完 所以做到這樣其實已經做完了 它落差鏈了 因爲你有個直列它是強收鏈的 這就完了 因爲你不拿個直列還可以抽個直列 下面我們來講這第二條 這是這個第一條 讓我們來看這第二條 你看字法對吧 X字法 字法上還有XX是有間 所以它有直列 字法上空間 它有間往上是有的直列可以落收鏈 它是要落收鏈 這是字法空間的性質 所以你看AXANK 它其實就會收鏈 你看這個AXL 這就是我們做的這個事情 所以全連續 全連續 這樣定義的全連續雙子和減雙子 其實不是一個字 不是一個字 我們繼續來研究減雙子的性質 A11-減雙子的話 就充分比較強硬了 A11 看郭沫 郭沫的其他 是從這個Y型上 這是我們這樣定義的 那這時間怎麼證 這時間呢 這要證法的話 證法也不難 因爲 A11-減雙子 所以我們來看一看 來這個A B 這不就表示A的時鐘的單位球 單位球 B的 你再給它去個地方 這是什麼呢 這是Y中的點 間接按 其實這是可讀量的 可讀量的 這是第一個 然後我說我考慮一下這個Y Y 我們現在來做這個 也就是A 點的話 我要確認A星號 就這是充分比較條件了 你要證明這個時間 也就是你要對任意的這個Y YX要在這裏條件 YA比如說方式 它是要是有界的吧 有界的要不換個小一點也好了 那你要這個A星號 YA它是這個 要在這個X星號中 有 是列這裏 這就是我們要做的這個事情 爲了做這個事情 那我們 我說我就來考慮這個時間 好吧 YAY YAY其實我就是這個YA Y好吧 我現在這個Y呢 我要在這裏頭 這這是一個簡記 所以這個YAY 它其實是這個引擎上的一串函數 我說這第一個 YAY 這個是YX 在這個一直有界 我因爲這個函數的辦法 所以你來算一下 這個是YAY星號 然後這個Y 對吧 這這個簡記 所以它會小一點 小一點的某個函數 用YA開它小一點 然後YA開它簡記點 簡記點 你的函它總是有界的 這第一個也就是說這個東西 它是其實是一直有界 那我們這樣的算一下 它發NY Y1減去發N Y2 YAY它就說這個時間是 其實是小一點的這個YA星號 哇 一起玩 但是這個東西它其實是什麼 它是要小一點一點的 哇 一起玩啊 所以說這一串函數 我把這個N好吧 N我就把它記成它對吧 啊這個東西 那麼我這次它發N 它是它是在 在F上的 連續函數 它在連續函數空間 並且 這樣兩條 這兩條其實就告訴你什麼 它一直有界的 掌控人群 一直有界就是它掌控人群 什麼叫掌控人群啊 就說F F它是 是這裏頭的 一種函數 我說它是掌控人群對吧 就是在前面那你也不許帶人 我都要存在一個這樣函 帶人的函 這個別人函這個英雄也不許帶人 是的 是的它 它這個Y1 Y2屬於這N 並且這個這兩個距離 要小一點它的時候 我們要在F 搞好Y1變去F Y2 它要小一點 英雄這個是要對那一種F在 在這裏頭對 如果這樣子 有這樣的現象 那麼我說就這種函數是掌控人群的 掌控人群 在我們這裏這是掌控人群 一直有界叫掌控人群 所以這裏其實有二十顆的 二千 這個二千二個裏 其實就告訴你什麼 你可以找一個直接 就是F1 它是有直接 它會一致設定 設定 某個F 在這裏頭 一致設定 一致設定從這個 F出來說 那其實就是F1 點 16NK F1 NNK 一致設定 有了這個時間車 對 這是SQR差的地理 你把這個地理用在這上 這三個你可以來看 你可以來看什麼 比如說F1 F1 NY對吧 F1 Y F1 NY對吧 F1 NY它應該 F1 A加B Y對吧 這個其實它要小於 一個小 這個其實就是 這個事情的話 所以你就得 那你一群大人 我都要存在這個大N 是它的N 要大於等於大N P 要大於等於 這個要小它對吧 這個小它 然後你把它代進去 代進去的話其實就是這個 YN信號 Y 對吧 減去 YN加P 信號 Y 這個東西這個要小於 你不行 這是要對什麼 要對任意這個Y 要在這裏頭 任意的Y在這裏頭 好了那有了這個事情之後 你把Y用AX來代對吧 因爲A是在這裏頭的 所以也就是什麼 也就是說 也就是說這個YN信號 我如果用AX 你從這裏頭馬上就要減去一個 YN加P信號 AX好吧 這個東西 它是要小於 一倍數 對這層在A 所以這是什麼 這是A 要大於等於A 要大於 這個是跟X沒關係 所以這個是對任意的 這個是對任意的 A是在這裏頭 跟X沒關係 然後我們 你把這個 然後你再在 這個AX 取上去 對吧 把你的AX 小於等於這個 這個把它代回去 其實是A信號 這是YN減去A信號 YN加P AX 這個東西 你取上去 其實就小到一倍數 但是這個取一個上去 這個定義其實就是什麼 有這個也就是什麼 就是說這個A信號 YN減去A信號 YN加P 這個 這個要小於等於P 好吧 所以呢那你把這個事給它拿出來 那其實我們做了一個什麼樣的事情 對那個一倍數 我都要乘這個值得在A大於等於A 這是 所以說這是一個基本列了 也就是說這個AYA信號 YN這個是什麼呢 這是 X信號中的扣系列 扣系列所以它扣系列用完備 這是完備了 所以它它肯定要收斂 啊這我這這這這這也也也要用NK好吧 因爲NK你也假定反正指定吧 指定你也假定原來的 好吧 這這是這是第一個啊 就說這個是減創值的話 那這個肯定是減創值 那下頭我們我們很厲害 這是雙方必要條件 順便還要證明反過來的嘛 還要證明反過來是怎麼樣 這樣它就說 這A信號都是減創值 所以你現在 要要要證明這是減創值 A信號減創值 你要證明A是減創值 那麼有第一步 其實我們知道A信號減創值的話 A信號 A信號是減創值 Y信號 那麼我們第一步證明一下就是 摘取的信號其實是什麼 其實它是從這個X信號到Y信號 但是我們知道是什麼 我們原來講過這個多個算子這個D 其實它是兩心的話 其實是一心的引導 兩心是X本身的引導 A本身就是這個引導 但是我們知道A的話 其實是A兩心 性質的A就是它 因爲爲什麼 因爲你的X的話 其實是有個質量 有個包含性質的這個A 所以這個是減的 這個減的 所以它性質下 並且都是D的 這裏還要用X本身的幫助空間 都是在D的 所以我們剛纔講的一條性質 如果我說一個減創值 性質在一個D的性質空間上 它其實還是有幫助的 所以這反過來其實就這樣就完了 好吧 所以你的A減創值 接下來我們來講一個減創值中非常重要的一類算子 上次的黑方好像比今天好查 下來我們來講另外有一類非常重要的減創值 這是個有界線上的 這一條線有界是要的 並且是什麼呢 我猜直約是一個有線紋 這個有線紋 有線紋也就是說有這些空間呢 A可能是一個減創值 這樣子的算子 我們就猜A的話 A常規是什麼呢 常規是有中之算子 有胸之算子 直約是有線紋的有界線上的 直約是有線紋 其實並不能保證這個算子是有界線 在無窮空間裏 直約是有線紋的 它其實並不能保證這個算子是有界線 如果今天是有窮紋 肯定是有一個算子 直約是有窮紋 並且是一個有界線的算子 這樣的算子肯定是叫有窮之算子 有窮之算子肯定是有的 這都不要證嗎 你的AXN是什麼 你小一點的1號呢 那麼你的AXN 它是什麼 它是包含在這裏頭嗎 但這次是有窮紋 是這中間的有界線 有窮紋中的有界線 總能找個直約它說的 好吧 這個叫有窮之算子 那有窮之算子的話 我們前段前段講過一個事情啊 前段講過 就說 AN如果減算子 然後AN的這個算子 按算子方式來說 它的極限是A 那麼A也是一個減算子 對吧 所以這裏頭一個推論是什麼 就如果說AN是一個 是一個有窮之算子啊 AN是有窮之算子 有先知算子 並且 AN它是要按算子方式 它要趨於零到A 要趨於無窮的話 這樣子的話你的A也是一個減算子 那我們前段講過 減算的這個按算子方式這個極限 它還是一個減算子 有所謂這個有窮之算子 按算子方式這個極限 它還是一個減算子 有了這個事件之後 下來我們來講兩個例子 好吧 講兩個例子 其實這是證明一個算子是 是減算子一種非常 有用的 並且是常用的方法 當然這個事件並不是所有的算子 都可以這樣子做 但是這是一個非常 重要的方法 證明一個算子減算子 是一個非常重要的方法 下來我們來講例子 我們這個例子分兩步走 我說奧米加斯IIN中間的 有間閉節好嗎 有間閉節開始 兩個邊緣壓着零開口 我現在X的話就要在一塊 這個方式的話 U要在這裏頭的話 因爲這已經是有間閉節了 我說的這個U的這個算數 其實就非常 那我說我來定義一個T 我把UX啊 把一個零開口 把它變到什麼 變到這裏 K 跟Y 這個U Y UY 好吧 這個 這是第一個啊 這時候我說這個K的話 騎着騎着是一個減算 K是 T啊 T是一個減算 一樣 這個還是一樣 我現在你簡單一點 奧米加斯 奧米加斯這個 有間虛好了 我現在是K的話 K我說是在 在兩個閉節上 那我 我現在X和Y 我X其實要等於Y 我解決就是用L L 我現在我同樣定義一個T 我把這個U U呢 把它 這是一樣 這樣子的話 我說這個T T其實它也是從X到X 但是我現在是XL到L 這時間怎麼做 這時間的話 你就可以用我們剛剛剛纔這個XL的 這是在奧米加斯上一個 奧米加斯上的這個連續函數對吧 連續函數 在兩個分量 所以你用Y是它是這個定義 Y是它是這個 其實你可以有一套多項 它是在兩個分量 使用到什麼 使用到這個 一直閉着對吧 我說的定義 連續函數 你總是可以用這個多項的定義 用多項的定義 所以你把它當一個函數好吧 那其實我說 我這是TXU好吧 TX我就把U TX我就把它定到什麼 定到這個PX XY 然後這個UY PX是多項的 多項的其實它的有限項 有限項的時候 這個是什麼呢 這個其實 這個是一個有窮的算法 這是個有窮的算法 你再去算一下 你自己拿出來 你算一下兩個分量 好吧 兩個分量 這個其實就是一個有窮的算法 定義是有限的 所以那你現在 你這樣算的話 TN-T TN-T其實很容易 可以算 很容易 你可以來算做什麼樣的事情 所以這個事情 其實你可以來算了 其實就是 TNXY-TXY Y 你把U U直接把它最大的 給它挪斷 挪斷起來 所以這個是要去0的 打N N要去59 所以說這個T是什麼 這個T是有窮的算法體現 所以T是可以解斷的 第二個也是一樣 第二個力氣現在可及了 可及的說 力氣你可以找一邊減大 可以乘斷 這是積分的 逼你乘斷一個減大 減大好處 你減大好處 看我們用個什麼記號 減大好處 我還是記得TN吧 TNXY TN也減大好處 其實它是EIJ的吧 CHI EIX 然後CHI FJY 這是減大好處的 使得什麼 使得這個 使得這個TN TN-CHI的它的L2法數 要區別 要區分同格 可見說你總可以用減大好處來逼減 那你有了這個實踐之後的話 那麼同樣的體驗 體驗也是同樣的體驗 體驗同樣的體驗 所以體驗的話 這個也是一個有窮的算法 減大好處 這是有窮的算法 有窮的算法 那麼然後我們再來複古這個算法的方式 這時候這個算法的方式你不能這樣 要把這玩意改了 TN-T 這個還是一樣啊 這個是實踐是什麼呢 體驗的其次 因爲這是切割空間啊 切割空間你就用雙叉平方 雙叉平方 所以你就這樣子算啊 TN還是叉啊 你用雙叉TN U減去DU 你算L2 放出這個平方 L2放出這個平方 其實都是Omega 對吧 Omega 然後TN Y減去一個KXY 然後是這個UY 本來是叉 UY DY 然後這個平方DX 你說有點過了不了試 這個平方所以叫TNN減去K 這個平方DY 然後這個是U 平方這個Y DY Omega 然後這個DX 然後再往中間進 所以這樣講其實是 11等於8 TN減去K 這個平方DXDY 再乘上這個U的 U的這個L2的平方 所以有了這個實踐之後 那其實就告訴你什麼 就TN減去的這個雙子方式 TN減去這個雙子方式的平方 其實它是 一樣 但N區無窮 對吧 所以說這個T的話 其實這個也是一個有窮值的雙子 而雙子方式 所以這個 這是一個簡雙子 好吧 我再跟大家說一遍 用有窮值雙子的低階 證明一個算子是簡雙子的一種非常重要的方法 好吧 我們先休息 休息我們待會兒