【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（上） P34 - 34. 34-4-8結構位移計算08

我們上一課講到非核載因素引起的位移的計算 其中第一個講的就是由溫度作用引起結構的位移的計算 這個位移的計算是從我們最原始的公式出發 最原始的公式我說了 是等於某點的位移應該由三部分組成 第一部分是由於彎曲變形對我位移的貢獻 第二部分是由於它的軸向變形對我位移的貢獻 第三部分是由於它的剪切變形對我位移的貢獻 這是裏頭沒有包括還有製作移動的問題 如果要包括製作移動對位移的貢獻 那麼應該把製作移動引起的變形部分把它加在內 由於對杆件來說 製作位移相當於外力功 因爲我們是從虛空原理得到的 所以它本身應該是在我們的方程的左面 爲了計算這個位移 我們把它挪到這個方程的公式的右面去 所以這是最原始的公式 最原始公式對於非核載因素引起的位移 第一種情況我們討論的是由於溫度改變引起的位移 這裏頭我們忽略到製作的位移 而且又發現由於溫度作用引起的變形 只包含它的彎曲變形和軸向變形 這裏頭不包含有剪接變形 所以最後它只剩了兩項 也就是第一項是由彎曲變形引起的 第二項是由於軸向變形引起的 當然把它進一步簡化之後 我們可以把它寫成由溫差引起的變形 是α得的TH再乘上ωM 是單位力作用下引起的彎曲除的面積 再加上由於軸向變形 也就是αT0再乘上一個ωFN 這是由軸向變形對我們總的位移的貢獻 這是由於溫度作用引起的彎曲 其中它的正部號的選取我已經強調過 如果由於單位廣移力引起的彎曲 它的變形的方向與溫度變形引起的方向一致的話 那麼它倆的乘積取正號 如果相反就取負號 由於它伸長和縮短這部分 下面這部分就看一下 你中心溫度如果要是升高 而單位廣移力又引起這杆件 這杆件的內力也會使它伸長的話 那麼它倆的乘積就爲正 或者叫同性爲正 異性爲負 這是我們說的溫度作用 那麼除了溫度改變會引起靜性結構 這種一種位移之外 那麼還有一種我們叫做下料誤差 也就是在我們的實際工程當中 有意或無意的都會使得我們下料的時候 它的長短會發生一個改變 會產生一個改變 比如這一杆件 我的設計值是五米長 可是由於下料的時候 那麼多多少少總會有所改變 比如說變成了五點零零一米 多出一毫米一釐米 那麼由於多出這部分 或者是減小部分或短了一部分 由於它的改變 就會使得整個結構會產生相應的位移 都會產生相應的位移 儘管你很小 但是也會產生相應的位移 那我想知道 由於你這個杆件下料的出現的一個大小的變化 會使得整個結構會產生什麼樣的位移 那麼我們剛纔說過 我是這種下料呢 可能是有意的 也可能是無意的 那無意的可能是操作錯誤 我直接給多了點或者少了點 在件件結構上 那麼當然這多一點少一點的話 並不會引起它的內力 但是會引起它的位移 那麼另外呢 我可能是人爲的 故意的就要給它增加一點或者減小一點 增加一點減小一點 目的也就是使得我們的結構 在設計的值和實際使用過程當中 由於它倆之間是有差別的 所以爲了使用上的方便 我有說是故意給它多一點或者少一點 那麼後續我們在算完之後 我們會發現 爲什麼要會這樣 所以這節呢 我們先看一下 這個下料誤差如何來進行處理 也就是當我們把杆件加長或者是截短 我們把這個杆件的加長和縮短 就是你下料時給它加長了 還是縮短了 這個呢 我們可以把它考慮成是杆件 由於變形的原因引起的 你可以把它考慮是變形的因素引起的 那麼如果把它考慮成變形的因素的話 比如說我們看這個橫架 這橫架的上懸杆 假設在下料的時候 我就讓它伸長了多出一點 多出多少呢 多出0.02米 兩釐米 那麼球下 由於這兩釐米的出現 引起這個橫架C點的豎向位移 是多少 引起C點的豎向位移是多少 那我們想一下這個C點 如果上面兩杆DE和EF杆都伸長了 那麼顯然它們倆之間呢 就會翹起了一點 就會翹起點 那麼這樣一翹起點呢 就會使C點的位移也跟着上來 我想知道它上來多少 上來多少 那麼還是追溯一下 我們前面所介紹的公式 由於杆件僅僅出現了一個伸長 所以在這個公式裏頭呢 在我們這個公式裏頭 它沒有彎曲變形 因此這項你不用考慮 當然它也不會出現 它的剪切變形 所以這項也不用考慮 那麼我們這裏呢 沒有考慮支座的移動情況 所以這項也不考慮 那麼最後剩誰了呢 就剩了一個 由於變到軸向方向的變形這項 也就等於Fn再乘以dλ 當然我們對於整個杆件來說 這個是相當於軸力 這個軸力是在單位廣移力作用下 引起的杆件力 而對橫架來說 我們所有的力都是加在極點上 所以杆件上的力都是一樣的 所有杆件上所作用的力都是一樣的 所以它跟積分沒有關係 那麼既然跟積分沒有關係 那我們就把它挪出來 挪到積分號之外去 也就是把它寫成Fn 然後dλ 那麼dλ是什麼意思 我們的積分是對整個杆件進行積分 也就是在整個長度上進行積分 那麼這個積分是不是就相當於 這個杆件它最終的伸長量 總的伸長量 每小段每小段的伸長量 我把它加在一起 最終表現就是這個杆件的伸長量 所以我們把它寫成一個Fn 再乘上一個它的伸長量 就是Δm 好了這就是我們的計算公式 從這個計算公式裏頭 我們可以發現 如果你要想求某一點的位移的話 那麼首先要知道各杆的軸力是多少 另外各杆的伸長量 或者各杆的長度方向的變化值是多少 另外我們還發現 這裏頭在進行計算的時候 只有杆件的長度有變化的那個杆 那個軸力你需要求出來 其他杆的軸力你都不用求 因爲這裏的求和 僅僅是和有伸長的那些杆件有關 其他的杆件沒有關係 那麼下面我們來通過這個橫架 這個橫架的計算 來看一下這個公式怎麼應用 那麼首先我先求一下 在單位廣移力作用下引起的 已知位移或已知杆件長度有變化的那些杆件 它的內力是多少 好 首先第一步 我先把這個橫架 內力先求一下 在單位廣移力作用下引起的內力狀態 這是 這是它原結構 我要想求 西點的豎向位移 那我就在原結構西點豎直方向 加一個單位廣移力 在這個廣移力作用下 我想求一下 已知變化的和長度發生變化的杆件 它的內力 也就是這杆內力和這杆內力 那麼要想求這兩杆的內力的話 我得先知道它的兩個約束反力多少 所以第一步我先取出隔離體 所謂隔離體就是去掉一切與外界的聯繫 這就是它的隔離體 代之以相應的約束力 這塊有兩個 這塊有一個 就是按照它的約束性質 先把它的方位確定下來 然後把所有的力在水平方向投影 發現水平方向只有這一個約束力 因此這個約束力只能得一邊 而豎直方向這個力正好坐在中間 那麼我們知道就像一個單段似的 所以它向下的一 它們一人存在一半 它是二分之一 利用兩個約束力 我們可以求出每個杆的軸力 但是我剛纔說了 我只需知道 你長度有所改變的 那個改變的軸力是多少 那你說 我只需知道它們兩個軸力多少 而這兩個軸力 根據這個力 我可以知道它是負的 它是負的二分之一 這是負的二分之一 其他的 你可求可不求 求完也沒用 所以我們就不求了 這個呢 就是在單位力作用下 引起的軸力圖 只有這兩個杆件有用 好 那我們把它往公式裏帶 因此T點的豎向位移 就等於什麼呢 帶入這個公式 公式一個是力 再成爲位移 那麼先看 這杆的軸力是負的二分之一 它的改變量是多少呢 它說每個杆 它伸長了 伸長意味着 那就是它的0.02 它的伸長量 那第二杆呢 軸力也是負二分之一 它的伸長量也是0.02 因此我得把它乘二 一樣的 這樣我們就算一下 這點的豎向位移 是負的 這個消掉是0.02 這個結果表明 當上旋杆下掉的時候 給多出了0.02米的時候 就會引起T點豎向位移 產生0.02米的豎向位移 這是負的 說明這點的位移方向 和我假設的方向是相反的 我假設是向下 那麼它的負 說明這點真實的位移方向是向上 也就是說 這點就相當於跑到這裏了 那麼這兩個分別伸長的話 那麼它的形狀實際是這樣的 變成這樣 從官方看 就相當於形成這樣一個拱曲拱 拱形 從官方看就相當於這個拱形 因此我們把這種形式稱它叫做提拱 提拱是我們在工程當中 經常所採用的一些施工手段 爲什麼要提拱呢 因爲我們知道 我們所使用的材料 都是彈性的 在合載作用下 它就會產生變形 比如說我們一個梁 我們梁當把它放置在兩個支座上的時候 由於它有自動 那麼這個自動當很大的時候 就會使得梁出現一個彎曲 而且這個彎曲是向下的彎曲 而對於橫架來說 它是在前面我們曾經提到過 它是一種掏空的梁 因此你可以把它想象成一個梁 那麼這個梁在自動的情況下 它就會自然而然地向下彎曲 也就是說吸一點 就會向下產生一個位移 那麼顯然我們這個結構 在使用過程當中 如果這會出現一個向下的位移 顯然不符合我們的使用標準 所以爲了消除這個向下的位移 所以一開始在設計的時候 我就先給它設計成一個起拱的狀態 先讓它拱起來 然後靠它的自動 使得又給它壓平 又壓到一個水平方向位置 這是一個面 就是一個平面 我們的結構就變成一個 非常規整的一個結構形式 所以起拱是我們在施工過程當中 經常所採用的一種方法 除了我們說的溫度改變會引起位移 下料的誤差會引起位移 還有一個 織作的移動也會引起位移 織作的移動 對於我們土木工程結構來說 就相當於我們的建築結構 由於地基處理的並不是太合適 在建築過程當中 可能就出現了一個沉降 那麼織作的沉降 就會引起結構的位移 對於靜定結構來說 那麼它就會使得結構產生位置的改變 產生一個位移 對於靜定結構 我們在分析靜定結構的特性的時候 曾經說過 有幾種情況下 就是無力狀態 沒有外合載的情況下 它的內力也得0 那麼我們剛纔說的這個 一 溫度改變 靜定結構不會產生內力 下療誤差 靜定結構不會產生內力 織作移動也不會產生內力 但是它們會產生相對位移 那麼下面我們看一下 靜定結構由於織作沉降 或由於織作移動 會引起什麼樣的位移呢 那麼還是從最原始的公式出發 由於靜定結構 織作移動過程當中 杆件沒有變形 因此也就沒有彎曲變形 因此第一項不用考慮了 在織作移動過程當中 軸向也不會發生改變 因此第二項沒有 當然剪切方向自然也沒有變形 所以這三項都沒有 剩下誰呢 剩下最後一項 因此也就是說 由於織作移動引起的位移公式 應該等於Fold這一項 就是Fold F R I C I 其中這裏頭F R I 也就是說 你織作移動那一點的約束反力 是在單位廣移力作用下 引起這一點的織作上的反力 而C I是說 以織位移 某一個織作產生的位移作 以織這一點的位移 那麼實際上 它是由於沒有變形 因此我們利用的是 剛地虛無原理 那剛地虛無原理 把它挪過去之後呢 就變成什麼呢 變成一個位移 再加上一個織反力 引起的織反力和它的相應位移作用 這樣一個作用 這是單位廣移力在它的位移上作功 這是織反力在它的位移上作功 所以等於零 我們爲了計算位移 所以把它挪到方程的右邊去 所以這就是織作移動 引起位移的計算公式 那麼下面呢 我們利用這個公式 來求一個具體的題 看看如何來描述 它的位移量 比如說我們看這個題 這是一個 主從結構 或者叫做基輔性結構 其中固定端產生了一個轉動 一個轉角 我要求一下 由於這個固定端產生一個 C的這麼大的轉角 引起端點K點的位移是多少 引起端點K點的豎向位移是多少 那麼顯然 我們從公式的角度來說 我得先知道 在單位廣移力作用下 引起的固定端 已知位移處的約束反力是多少 所以先看一下 這一點 我要想求這一點的豎向位移 我就在這一點豎直方向 加一個單位廣移力 那麼顯然在這廣移力作用下 我可以求一下 這個織作所對應的 與轉動所對應的約束反力 顯然就是6 那麼你要求的6 顯然我們畫出它的彎曲圖 這點上側收拉 角際點彎曲爲0 中線的彎距是一條直線 那麼這樣 我就得到這點的彎距大小 按照比例關係 那麼這一乘二們之L 就是二們之L 這兩個圖形 是相似三角形 相似三角形 那麼對應邊乘比例 那麼這個高度和最高的比 應該等於這個長度和最長的比 它是它的二倍 那麼因此 這個應該是它的二倍 因此這個認識L 也就是我們說的 frθ 對應呢是L 帶進公式裏頭 那麼因此 k點的豎向位移就等於負的 注意 這個負號是公式裏帶的 不要忘了 那麼裏頭是誰呢 裏面就應該是一個利 再乘這個位移 所以它倆是做公 那麼做公的時候呢 一個利 利是順人轉動的 而這點的轉角 也是順人轉動的 因此它們倆做的公 應該是正公 因此就應該是L 再乘上這點的θ 整理一下 就等於負的Lθ 好 這一點的豎向位移就等於Lθ 那麼前面的負號說明什麼問題呢 負號指明着是C一點 它的豎向位移 與我假設的位移方向正好相反 我假設是向下的 而這點實際的位移方向是向上的 實際向上 所以是這樣 這是我們加一個單位利 這樣算得到結果 這裏說明是假設位移方向與真實位移方向是相反的 也就是真實的位移是向上的 好我們再看一下這個題 這個呢 是一層兩層三層四層 也就是說它的組裝呢 是相當於走了四層 從層次除上來看 它走了四層 這個多層次的多跨徑的量 它說已知之作地 發生了一個沉降 然後讓我們求一下 A點的豎向位移是多少 那麼先把這個圖先看一下 這圖 我們大致先畫一下 這是三層四層 這個呢是組裝 是一個單鏈杆組裝 這是A B C D 這是D 這是C A B C D 這樣 它說B之作呢產生了一個沉降 發生一個沉降 沉降量大小 就是說這之作跑這了 那麼這之作上這了 這一點沒有上下位移 那麼這個杆呢 跟着它就走到這了 這杆跟着它就走到這了 所以這個角際點 跟到這個位置 而這個杆杆呢 這點沒有豎向位移 所以這杆呢就跑到這了 變成這個形狀 所以這幾點到這 同樣這點沒有豎向位移 所以這杆到這了 所以這是它的整個的位移圖 現在按我們的題要求 就是這一點的豎向位移 如果是德的D的話 那麼要求一下 這個德的A是多少 看一下德的A是多少 那麼顯然 這德的A 按照我們剛纔的求解方法 還是代入這個公式 這個公式是什麼呢 這個公式是復的 F R I C I 看有多少個位移 現在我們只有一個 那好 按我們這個公式說 你要想求哪一點的位移 就在那一點豎直方向 加一個單位廣移力 我要想求A點的豎向位移 我就在A點豎直方向 加一個單位廣移力 然後求一下 約束處的反力 D點約束處 它不是有沉降嗎 求出已知位移 約束處的反力是多少 那麼這個反力怎麼求呢 我們看 在這個立體動態下 引起的彎地圖 顯然是這樣的 這是引起的彎地圖 那我要想求 這個支座的反力是多少 我顯然 我想知道 這個支座 兩端的簡力應該是多少 那麼先看 它的右端的簡力 它的右端簡力 那麼從這個彎地圖來看 基線向彎地圖旋轉 是順人的 所以這點的簡力是正的 正的應該是這個方向 大小 兩端彎矩之和 重上杆長 那麼先看一下 彎矩是多少 那麼這個力作用引起的 這塊是a 1乘a 那麼這塊是a 這也是a 好 那就是a 加零 再重上a 所以這塊應該是大小 1 a 重上a 這一段呢 由基線向彎地圖旋轉 是逆時針 負的 負的對這點來說 產生逆時針轉動 所以這點 是1 a 加零 重上a 所以這樣呢 我們就求 這一點的約束反力 frd 約束反力 就等於2 是吧 那麼下面我們帶入公式裏頭 帶到這個公式 帶這個公式呢 就等於 負的 這個負號 你要帶着 然後看裏頭 誰做公了呢 是吧 力 我們現在看 力的方向向上 而這點位移呢 向下 所以它倆做負 做負公 所以是 負的 2 再乘上 則是d 那麼整理一下 這點呢就等於 2 則是d 所以這點的豎向 位移 應該是 這是這點的位移 帶入公式 如果對於彈性製作怎麼辦 彈性製作處理的辦法呢 有兩種 一種 你把彈簧 把它考慮成是結構當中的 一個可以變形的構件 也就是把它考慮是一個鏈杆也可以 保留成彈簧也可以 那你就看看 這個彈簧的加速量是多少呢 那按照我們公式 就應該是它的軸力 單位力作用下 引起軸力 再乘這塊的位移 而這塊的位移量 和誰有關呢 和這個力引起這塊的 約束反力有關 因此這塊的軸力 再除上它的剛性係數 這是一種方法 另外一種方法呢 你可以把 這個彈簧 考慮成是一個 主體結構的一個支座移動 前面支座移動成果 我不是已經求過嗎 你只要把這個支座移動量大小 求出來就可以了 而這個支座移動量大小 就可以用那個支座位移 引起的某個點的 位移計算公式來求解 用它來求解 只是說這裏的位移呢 又和這個外力有關 外力有關 所以對於彈性支座 你可以這樣處理 那麼這幾種情況 現在我們都已經介紹過了 包括溫度變形 包括下料誤差 包括支座沉降 包括彈性支撐 這幾種情況 我都可以通過 位移的計算公式 得到解答 那麼回想一下 這公式的解答 從哪兒得到的呢 是最初 由我們的虛空原理得到的 虛空原理的推導 也就是說 最後虛空方程 它的適合範圍非常廣 是彎曲變形的可以用 剪接變形可以用 軸向變形的也可以用 靜性結構可以用 超性的結構也可以用 彈性結構可以用 非彈性結構也可以用 它都適合 所以它的適用面非常廣 當我把它 在線彈性範圍內應用的時候 那麼它還有一個非常好的特性 就是它對應的有幾個定理 我們可以應用一下 這樣便於我們計算 所以這一節我們介紹一下 線彈性體系 它有幾個互等定理 那麼這幾個互等定理 第一個 我們首先介紹一下 虛空互等定理 我們首先介紹一下 虛空互等定理 那麼前面說 外力虛空等於內力虛空 這個虛空方程 它的適用範圍比較廣 但是我們在某一個範圍內 比如在彈性範圍內 我們看看還有什麼特性呢 比如我們假設 我們的結構所對應的材料 是滿足線彈性小變形假設的 這是第一 那麼這時候 空就具有虛空 就有一個互等定理 怎麼來證明這個互等定理 我們考察 同一個結構的兩個狀態 一個是受力狀態 一個是變形狀態 注意我這裏強調是 同一個結構兩個狀態 那麼這兩個狀態所對應的力和位移 其中力狀態 它滿足平衡條件 而位移狀態呢 滿足位移協調狀態 就是滿足邊界條件 同時也滿足連續性條件 比如說這是同一個結構 同一個結構 我給它上面加了一組核載 那麼假設這紅的就是它的變形狀態 那麼下面同樣還是這個減質量 我用另外一組核載加在結構上 那麼它顯然也得到一組一個變形 我們利用虛空原理 那麼這是兩個狀態 我想說明什麼呢 我想說第一種狀態上面是力 在第二個狀態的位移上所做的虛空 等於第二個狀態上的外力 在第一個狀態的位移上所做的虛空 這就是我們說的虛空互等定律 那麼到底等不等呢 我們來看一下 現在看第一種狀態在第二個狀態的位移上做空 這是我們說的第一個狀態 第一個狀態上面作用力 由此它得到了一個位移 然後同一個結構 我們給它加另外一組力 假如是核彈 用另外一組核彈 任意的 那麼顯然它也得到了一個變形 這個變形是什麼樣 我們把這個呢 稱爲第一狀態 這個呢 稱爲第二狀態 那麼下面 我們把第一狀態上的外力 在第二狀態的位移上做空 那麼這個做空顯然是虛空 我們假設叫Δw1,2 那麼這個力在這個位移上做空 根據弓的方程 那麼顯然應該等於 這個的內力在這個的變形上做空 而這個的內力呢 包括彎矩 軸力 簡力 那麼這個對應的變形呢 就包括轉角變形 伸長變形 長度方向變形 和剪切角 那麼顯然 它在這個做空 這是第一狀態 那我們把這個呢 叫做1 這個對應是第二狀態的變形 我們叫2 那麼按照前面的定理 就應該 比如說彎矩變形 那就叫m1 再乘上θ2 定θ2 批分 再加上 fn1 再乘上dm2 再加上 fq1 再乘上dθ2 由於我們說 考慮的是線彈性小變形假設 因此 我們還可以把公式重新寫一下 那就是m1 注意 dc2 dc2是它的變形 而這個變形是在第二阻力作用下引起的 那麼它所對應的呢 顯然應該是m2eibx 那這個對應的呢 是fn1 再乘上 fn2eabx 再加上 第三項 是fq1 再乘上一個 kfq2 dabx 那麼下面 我們把m1和m2調個 那麼顯然這也是合適的 m2 再乘上m1eibx 再加上 fn2 fneabx 再加上 k放前面 那就是fq2 fq1 dabx 那麼這樣一變就變成什麼了呢 就變成 m2再乘上d 極的1 再加上 fn2 乘上dm的1 再加上 fq2 dat1 那麼按這個公式算一下就變成什麼了 變成wΔ2e了 所以 它們兩個就相等 所以它倆相等 所以你看 我們往裏之帶 就得到這樣一個關係 用語言敘述一下它們關係 也就是說 處於平衡 而且滿足協調的兩個狀態 1,2 那麼狀態1的外力 在狀態2的位移上 所做的總的虛公 等於第二狀態的外力 在狀態1的位移上 所做的總虛公 這就是我們說的公的共等定理 那麼由公的互等定理 我們還可以進一步 導的另外幾個定理 比如第一個 位移互等定理 位移互等定理說 根據公的互等定理 你上面加任意核載的時候 它都有這麼一個相等關係 那麼當加一個特殊核載的時候 自然它也滿足這樣一個關係 比如說 我在這個減之量上 這個位置給它加上一個力 這個力大小叫Fp1 我也分兩個位置 這個位置可以叫1 這個位置叫2 當第一個位置加上Fp1的時候 引起第二個位置的位移 下面我們在第二個位置 我再加上一個力叫Fp2 那麼同樣引起Fp1這塊 也有一個位移 根據虛公原理 那麼第一狀態的力 就是Fp1在第二狀態的位移上 Δ12上所做的公 應該等於第二狀態的Fp2 在第一個狀態的位置上 Δ21所做的公 也就是它們兩個相等 這兩個相等 我把這個公式兩項 同時除上Fp1和Fp2 我們在這寫一下 因爲知道根據公的互能力 Fp1再乘上Δ12 等於Fp2再乘上Δ21 我兩邊同時除上一個Fp1和Fp2 這頭也除上一個Fp1和Fp2 那麼這兩個Fp1消掉了 這兩個Fp2消掉了 那麼這頭剩什麼呢 剩了一個Δ12Δp2 這頭是Δ21 是Fp1 所以它的角標有它的物理意義 比如說Δ12什麼意思呢 就相當於第二個位置上 加上力的時候 引起第一個位置上的位移 這是一點的位移 那麼一點的位移 再被這個二點的 就是由第二點作用力 引起一點的位移 再被第二點的力除一下 那麼相當於平均 或者說被它除一下 就相當於Fp2等於1的時候 引起一點的位移 我用一個小的Δ12來表示 同時這裏頭也是一樣 Δ21 也就是說Δ12等於Δ21 那麼這就是我們說的 位移互等定理 這種位移互等定理可以敘述一下 就是在同一個結構 在第一個位置上作用單位力 引起第二個位置處的位移 等於在第二個位置處 作用單位力 引起第一個位置處的位移 注意這Δ12 Δ21是說在單位力作用下 引起的位移 那麼實質上我們從這裏看 它是位移再除上一個力 所以嚴格來說它並不是位移 它只是位移影響係數 所以更確切一點說 是位移係數互等定理 這裏的互等 這裏互等有這個意思 就是它不僅大小相等 而且量綱相同 不僅大小相等 而且量綱相同 這個定理呢 我們在後續的立法當中會用到 下一個叫做反力互等定理 反力互等定理說 在一個結構的諸多個約束當中 我選取兩個約束 然後讓其中第一個約束 使它產生一個單位位移 我們把這個狀態叫做第一狀態 然後呢 我們再用第二個約束 讓它產生單位位移 我們管它叫第二狀態 好 就這兩個狀態 這第一狀態 這第二狀態 反力互等定理是什麼意思呢 就是說 當第一個約束 讓它產生單位位移的時候 引起第二個約束上的反力 等於第二個約束 讓它產生單位位移的時候 引起第一個約束上的反力 這樣的意思 那麼具體推導呢 還是根據公的互等定理 我們得到 那麼由公的互等定理 我們知道 還是剛纔這個式子 那麼我要這個方程的上下兩面呢 同時除上一個得的1 得的2 同時除上它之後 那麼它的左側 就相當於它的約束反力 在除上位移 那麼相當於這個得的2等於1的時候 引起第一個約束上的反力 那麼同理 那頭 是當得的1等於1的時候 引起第二個約束上的反力 正好兩頭相等 那麼這個和我們剛纔說的是一樣的 表明說 同一個結構 在之作一處 發生單位位移時候 引起第二個約束上的反力 等於第二個約束 使它產生單位位移的時候 引起第一個約束上的反力 那麼同樣還是這個問題 它是約束力在除上位移 所以它本身並不是約束力 它只能稱爲約束反力的影響係數 另外還有一個 Kij等於Kji 表示的不僅大小相等 而且量綱是相同的 這是我們說的第三個互等定理 叫做反力互等定理 那麼除了這兩個呢 還有一個定理 我們稱爲叫位移反力互等定理 位移反力互等定理 那麼這定理也是由 公的互等定理得到的 我們看一下 它是說 一個結構在某一點一點加一個力 引起某一個之作上的反力 這是我們稱爲第一狀態 然後第二狀態呢 是說你引起這個之作的反力這個位置 讓它產生一個轉動 產生一個位移 那麼這個位移引起的力作用那一點的位移 我們是說這個位移和這個反力 它倆大小相等 就是當單位力作用在一點的時候 引起第二點處的約束反力 等於第二點產生單位位移的時候 引起的合載作用 單位力合載作用那一點的位移 但是符號相反 爲什麼相反呢 我們可以看 根據公的互等定理 那麼顯然 第一狀態的力在第二狀態的位移上作功 那麼這個約束力在這個位移上作功 那個力在位移上作功 等於第二狀態的力在第一狀態位移上作功 第二狀態的力這塊有一個轉動反力 那麼那塊的位移得0 所以最終等於0 所以經過整理之後 就會得到得的一二等於負k二一 這就是我們說的反力互等定理 那麼這裏有一個符號 注意一下 我把這定理再敘述一下 就是位移反力互等定理說 同一個結構在第一個位置處作用單位合載 引起的第二個製作上的反力 等於第二個製作產生單位位移時候 引起第一個合載位置處 引起第一個合載處的位移 但是符號相反 這裏仍然是表示 它們兩個絕對值大小是相等 而且量綱也是相同 這是我們通過虛工方程 在它的線彈性範圍內 得到的四個互等定理 這四個互等定理 將在我們後續的超進的結構計算過程當中 找到應用 好 這期課就到這 開課