【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P32 - 34. 5.1.2 歐拉法與全導數

採用歐拉方法對流暢進行描述 那麼歐拉方法的要點如下 那麼第一個是歐拉方法 它是分析的是流動空間某個固定位置 XYZ 那麼在這一點出流體的運動參數 隨時間的變化規律 那麼這個運動參數呢 包括速度 壓強 密度 溫度等等 那麼這是第一點 第二點要分析由空間的某一個位置轉移到另外一個位置 比如說從XYZ1轉到XYZ2 那麼空間點有了變化以後 那麼它的相應的那個運動參數隨空間的變化規律 那麼因此呢 在這兒大家看到歐拉方法 研究流動參數的變化 那麼第一個是隨時間的變化 第二個是隨空間的變化 對吧 那麼下邊我們來看歐拉方法 既然它是着眼於整個流暢的流動狀態 注意啊 它不是看個別質點的運動 而是研究整個流暢內部的運動 那麼這樣呢 它就把物理量的表示成爲空間座標XYZ和時間T的函數 那麼這樣我們看 比如說UVW 那麼就可以表示成XYZT的函數 表示成這個樣子 那麼這裏邊呢 我們把XYZT稱爲歐拉變量 稱爲歐拉變量 那麼這裏邊呢 大家還要注意 比如說密度啊 壓強啊 等等也是有類似的表達方式 也就是說密度和壓強也都可以 也都要表示成爲XYZT的函數 那麼這是歐拉方法的表示表達方式 那麼鑑於歐拉方法的表達方式 它把那個所有的物理量都表示成爲XYZT的函數 那麼這個時候我們來看一下加速 那麼比如說U等於UXYZT 這是流體質點 就是流體質點在空間XYZ這一點上的 它的速度的表達方式 那麼在這一點上加速度怎麼樣呢 那麼加速度呢 就是速度對時間的導數 那麼速度對時間的導數 在這裏邊我們來看 XYZT 那麼XYZT都是變量 那麼因此它的導數應該是 偏U偏T加上偏U偏X 抵X抵T 加上偏U偏Y抵Y抵T 加上偏U偏Z抵Z抵T 那麼這裏邊呢 抵X抵T 抵Y抵T 抵Z抵T呢 又是速度的定義 對吧 那麼U等於抵X抵T V等於抵Y抵T W等於抵Z抵T 然後我們把這個關係式 把這個給它帶到這個裏邊來 那麼這樣呢 我們就得到加速度在X軸上的分量AX 那麼它的表達方式就是偏U偏T 加上這是U U偏U偏X 加上這是V偏V V偏U偏Y 再加上這是W偏U偏Z 我們得到加速度的表達方式是這個樣子 對吧 那麼這個顯然它既有對時間的改變 就是速度對時間的改變 那麼還有呢 在這呢 大家看這一部分呢 是速度對空間的改變率 對吧 那麼這樣的我們這個導數呢 我們就提出來一個全導數的概念 那麼全導數的概念就是這樣子 就是對於質點的加速度 對於質點的加速度 那麼我們可以給它寫成這個樣子 剛纔我們得到了 對吧 那麼這裏邊呢 可以寫成矢量的形式 就是偏U偏T 加上這邊呢 可以寫成V矢量 點擊一個漢米爾徵算子 然後作用給U 那麼變成這個樣子 那麼這裏邊呢 我們看這加速度呢 就有了兩部分內容 對吧 兩部分內容 那麼第一部分內容呢 我們來看 這部分內容就是偏U偏T 那麼我們把偏U偏T呢 稱作是當地加速度 它是什麼呢 它是在固定點處的速度變化率 也就是說位置不變 就在這一點上 那麼速度對時間的改變率 對吧 那麼這是一個 那麼後頭這一下呢 我們把它叫做千億加速度 那叫做千億加速度 那麼它呢 是由於空間位置發生了變化 而引起速度的改變率 對吧 那麼是這樣子 因此呢 我們看這加速度分爲當地加速度和千億加速度 那麼這個是全導數的兩個 兩個 兩部分內容 對吧 那麼這樣的就引出我們另外一個問題 大家思考一下 在定常流動中 質點的加速度一定等於零嗎 那麼在這兒 我們看定常流動 定常流動就是所有的流動參數與時間無關 或者說對時間的導數等於零 那麼就拿速度來說 也就是說速度的變化與時間無關 對吧 那麼這樣呢 我們思考在定常流動中質點加速度一定是零嗎 那麼我們還是看這兩部分 還是看這兩部分 那麼定常流動只能說偏U偏T等於零 但是這一部分呢 是否也等於零呢 對吧 那麼正好呢 我們來看這樣一個 所謂定常流動與非定常流動 那麼就是這樣來說的 就是說在流暢中 如果所有流體質點的各個物理量都不隨時間而變化 那麼這種流動呢 我們把它稱爲是定常流動 對吧 定常流動 那麼這裏邊呢 當然有一個問題就是定常流動中加速度一定爲零嗎 定常流動加速度一定爲零嗎 對吧 那麼在這兒呢 我們來看在定常流動中 偏U偏T等於零 但是底U底T不一定等於零 也就是說底U底T呢 它等於偏U偏T 也就是說底U底T呢 等於當地加速度還要加上一個千億加速度 對吧 那麼我們來看這樣一個問題 這是一個減縮的管道 那麼水呢 在這個管道里邊流動 對吧 那麼假設它流動不隨時間改變 也就是說每一點處它的速度都不變了 那每一點處速度隨時間都不改變 那麼定常流動每一點處每一個截面處 它的速度與時間無關 那與時間無關 它始終是這樣子 那麼這樣呢 與時間無關 我們把它叫做是當地加速度等於零 定常流動 對吧 但是我們來看 隨着空間位移的改變 那麼這一點的速度顯然比這一點的速度要大 對吧 這個截面的速度比這個截面的速度要大 那麼也就是說隨着空間位置的遷移 這個速度減去這個速度 這就速度差 那麼除以X再乘以U 那麼顯然不等於零 對吧 顯然不等於零 那麼這個由於空間位置的改變 引起它速度的變化率 那麼我們把這個呢叫做遷移加速 對吧 那麼這個遷移加速度呢 這一個截面的速度減去這個截面的速度 除以X這一項是不等於零的 那麼因此遷移加速度不等於零 因此即使這樣的流動是一個定常流動 但是它的加速度不等於零 對吧 那麼這一點呢 大家一定要仔細琢磨琢磨 要理解