【北京大學】《變分學》精品課 P33 - 33. 第33講 Ekeland變分原理與山路定理（1）【變分學（北京大學）】

好,我們今天就開始了吧。 沒聽到鈴聲,就開始了。 我們今天講第十七講, 就是講艾克朗貝爾頓原理和山路定理。 我還是把它作為一個講座性的內容, 所以我不可能在很多地方很細緻地證明, 大致的思想告訴你們就差不多講到大意就完了。 關於這部分內容呢, 因為現在變分學近年來主要的進展應該算是臨界點理論, 臨界點理論又稱為大範圍變分方法, 變分學的大範圍變分學。 是一個新的分支, 而且是現在依然非常活躍的一個分支。 我今天這堂課不可能給你介紹大範圍變分理論, 因為這個理論本身要求的託補, 它是在託補學的基礎上建立起來的。 所以大範圍的東西就不是一個局部的東西, 所以光括分析是不行的。 分析只是研究局部性質的東西, 要看大範圍的事情必須有託補學。 所以我只能把它的思想告訴你們, 如果有託補學必須做的這種地方呢, 我就盡量地讓你們用直觀的辦法, 或者用分析的辦法, 所以講X量變分原理, 盡量用分析的辦法能夠繞過去繞過去, 但是也就給你一個大致的思路。 那麼臨界點理論, 或者說是大範圍變分理論, 它的基本思想是什麼呢? 跟我們原來學的變分理論不一樣, 我們原來學變分就是考慮極小, 考慮極小我們就極小化序列, 然後就看能不能極限, 然後再判斷極小是不是極小的話, 就有各種弱極小強極小, 有各種各樣的判斷, 看倒數,看二階倒數, 看歐亞蘭方程式看一階倒數, 看極小就看二階倒數, 基本上就這個辦法, 但是大範圍變分理論呢, 它是考慮一個整體的情況下, 會不會有臨界點, 或在大概什麼地方會有臨界點, 所以這個事情不能光看倒數, 所以這個事情就比較複雜, 它的基本思想是什麼呢, 是看水平體, 什麼叫水平體, 就是函數給了,函數給好了, 看這個函數集合, 叫做FC, 就是這些點在Fx小於等於C以下的集合, 這水平就好像你跑到山上, 要是看到下雨把水淹了, 那水平面下頭的那塊地方, 那個形狀, 那麼形象上來說, 我們就給大家看一個例子, 看一個簡單的例子, 假定我們這X是一個環, 直車輪帶, 函數怎麼定義呢, 就是機車輪帶擱在地下, 每點的函數的直, 在這點的直是怎麼算呢, 就算這點離地面的高度, 那可以看得出來, 所以這個機車輪帶上每一點就可以給一個函數直, 它多高就是多直, 那麼這個函數從這個圖上來看, 有幾個臨界點大家看得出來嗎, 這是個最小的點, 這是個最大點, 那麼還有兩個點, 兩個安點, 從直觀上我們看得出有這四個是特殊的點, 也就是變分, 求變分的點, 臨界點, 變臨界點就是函數導數為零的點, 那麼怎麼能夠判斷這個點, 這個點, 怎麼找它們呢, 從大範圍變分的思想來說, 我不能光局部看這個導數怎麼樣, 這個導數我看不出來, 怎麼算呢, 我看水平集合, 就假定這個輪子你放在水裡頭, 那水淹它到哪兒, 或者說你放在地上讓水漲上來, 下雨就下雨, 下雨就下到哪兒, 下到這麼高的時候, 接下來底下的那段集合, FC是這個, 雨越下越大, 下到這麼高, 接下來是這一塊, 再下高, 到這一塊, 再再下高把它沒頂了, 是吧, 我們看大概是這麼一個情況, 那麼這個情況你看, 從開始一個點, 一直下下下到, 碰到它之前, 都是這個樣子, 當然可以高一點矮一點, 是不是, 但這些東西呢, 它的水平集, 我們說它從拓撲結構來說是一樣的, 是吧, 就是你把這個再高一點再矮一點, 你那橡皮, 假如橡皮就給它壓下去, 可以拉伸壓下去, 拓撲上是一樣的東西, 可是過了這個之後, 變成這個樣子了, 你無論怎麼壓拓撲上, 要不把它弄破, 你怎麼壓, 壓不到這兒去, 是不是, 所以這個東西的拓撲結構, 和它的拓撲結構是不一樣的, 什麼原因呢, 你看就是因為過了這個臨界點, 你不到臨界點, 沒有, 過了臨界點, 就是這樣了, 就總有一個就在這兒, 它怎麼樣壓不到這兒去了, 看到了嗎, 再讓它下雨, 再大, 大了, 摸了它, 就變成這個樣子了, 就是一個輪胎, 削掉一個頭, 削掉一個頭之後, 這個東西和這個像褲子一樣的東西, 是不一樣的, 是不是, 你怎麼壓, 壓不到它去, 在這不到這點, 你怎麼壓來壓去都可以, 看到了嗎, 那麼最後下摸頂了, 這個樣子和這個樣子也是不一樣的, 也是變不到, 所以這裡有不同的拓撲類型, 這是一種, 這實際上和點是一樣的, 這個跟褲子一樣的東西, 這個東西像一個什麼呢, 就說不清楚了, 就削了一個頂, 是吧, 這是完全蓋了頂的, 從這裡看, 關鍵問題就是越過了這幾個點, 這幾個點就是臨界點, 說明什麼呢, 說明臨界點和水平集合的拓撲性質有關係, 所以用現代臨界點理論, 它的所有的基本出發點, 就是從水平給一個函數, 看它的水平級的變化, 通過水平級的拓撲結構的不同, 來判斷這有沒有臨界點, 所以做這個想法, 基本思路和我們做臨界, 做變分是, 其實變分前面講的東西都不一樣, 但它還是變分學, 為什麼呢, 它是研究函數臨界點, 是吧, 你原來的辦法只是智慧球極小啊, 函數有那麼多臨界點, 有臨界點就相當於歐勒勒這樣方程, 等於零, 是滿足方程, 滿足方程的東西太多了, 它不一定必須是極小啊, 所以有著必要也研究這東西, 那方法呢, 就是說原來的辦法完全行不通, 必須要用新的思路來解決, 這個是我簡單介紹一下, 臨界點理論的真實的, 這是現在我們要研究的, 要把這個變分理論往前推廣的, 這個理論的主要的核心思想是這個, 但是怎麼做, 因為我跟你說, 現在這裡涉及到, 你要判斷這個和這個拓撲羊不一樣, 你用什麼辦法去判斷呢, 你必須涉及到帶出拓撲學, 什麼帶出拓撲的不變量是什麼東西, 怎麼樣拓撲羊不一樣, 那麼這裡就涉及到摩斯理論啊, 或者什麼等等的東西, 那麼如果這樣的話呢, 這個課就超出我們課的內容了, 因為我們課的內容沒有要求大家讀過拓撲學, 所以我不能把這個作為我們課上的內容, 但是這部分內容有相當的東西是很重要, 特別是大概現在很多人都聽說過, 山路定理, 因為它現在已經變成家常便飯的用了, 一看一個方程能不能有解, 除了績效之外, 就看有沒有山路定理能用的地方, 能用就是一個解, 所以已經很普遍用了, 所以我盡量的避免用拓撲學的知識, 我們下面說用的時候呢, 就是除了你直觀上必須用到一點點拓撲的, 看待誰都能接受的東西之外, 我都不用拓撲的不變量, 都是完全用分析的辦法來給你建立山路定理, 有了這個定理之後, 你知道將來這種理由你可以用, 也知道有這個思路, 所以下面我來講這個, 待會介紹山路定理, 講山路定理之前呢, 我再介紹一個Ekran變分原理, Ekran變分原理是判斷極小的, 是求極小化的問題, 這個變分原理是1970年前後才發現的, 等會大家寫出來會感覺到那麼簡單一個東西, 但是呢, 一直說是變分學研究了將近300年之後, 才發現這麼一個簡單定理, 而這個簡單定理呢, 有很多很多的應用, 除了在我說將來我用來證山路引理等等之外, 還可以有其他的方面, 在非線性分析當中有很多很多的應用, 所以變成一個非常基本的定理, 這樣我就為了想講這個, 我也要講這個, 另外作為變分學的一個進一步發展, 就是應該說近年來的一個最基本的定理, 一個發展應該是這個, 所以我就在我們這個選講當中呢, 把這部分呢也介紹一下, 這個定理的陳述非常簡單, 但是又大家有點古怪, 我把這個定理說一說, 假定XD只是表示一個度量空間, X是一個給定一個拓撲空間, 拓撲空間的度量, 拓撲是由度量給定的, XD是個度量空間, 當然是完備的, 給定函數, 這個函數呢, 十函數, 還可以允許去無中大, 去正無窮, 但是不恆等於無窮, 這個函數假定是下方有界, 下半連續, 就這麼一個簡單的幾條, 這個跟我們原來的考慮問題呢, 我們原來的函數在一個八大空間等等, 這個當然是度量空間, 當然更加這樣了, 這個都一樣, 下方有界, 下半連續, 我們當時呢, 要求, 或者若下半連續呢, 拓撲空間也只有下半連續, 那麼最要緊的是強制性, 我現在沒有強制性了, 那麼結論當然也不會那麼好, 結果是, 如果有一個, 如果有一個ipsum, 有一個xipsum, 屬於x, 使得fxipsum, 比下缺界, 那麼這個函數已經是下方有界的, 那當然有下缺, 下缺界, 所以這個是有意義的, 如果我找一個點, 給個ipsum, 給個xipsum, xipsum是在這個比例小, 總可以找到一個數, 現在存在這個, 結論是, 存在一個y, 三點, 第一點, f這個值, y的值, 小於點fx的值, 第二點, y和x的距離, 小於點1, 第三點, fx大於fyipsum, 減掉ipsum, d, yipsum, x, 對一切的x屬於大x減掉, 這三條有點寫在這, 解釋一下, 這三條其實意思也不是平等的, 核心問題是什麼我們待會再說, 這部分說其實是無所謂的, 因為你這個, 給一個ipsum就應該有一個xipsum, 所以這個不是很要緊, 因為是下階鍵, f的下階鍵, 這是下階鍵, 比下階鍵多一點的數, 當然有一個x, 這是不成問題的, 所以這個x是固定就是了, 這不是一個真的假設, 就是說這是一個xipsum的位置, 這個定理說的是什麼呢, 那麼有了這個xipsum之後, 我當然取的時候, 這個不會有問題, yipsum存在小一點xipsum, 這是沒什麼困難的地方, 這兩條其實都不是很困難的地方, 為什麼呢, yipsum跟xipsum相等就是了嘛, 所以這個不是要緊的事, 所以要緊的事是在這, 這個定理你看讀一個定理, 讀出它的要緊在什麼地方, 它想說的是這個事, 這個事是什麼意思呢, 這個事的意思大家仔細看一看, 它想說明什麼呢, 想說明假如把右邊這個東西, 看成一個函數的話, 或者說把它搬過來, 搬成看成一個函數的話, yipsum有了之後, 就是fx加上yipsum, x到yipsum的距離的話, 這個做一個函數, 就是fx加上yipsumd, yipsumx做一個函數的話, 那麼yipsum對所有這些x比的話, 它都比它們小, y等於x的時候, 那當然就是相等, 那麼這個話說的這個意思是什麼意思呢, 就是說事實上把yipsum放進去, 就是擾動一下, 這個函數經過這麼一個擾動之後, yipsum是這一點的最小點, 是吧, 是它最小點, 就是整個這個函數, 我拿它找到這個最小點, 擾動一下, 這個函數, 這個點確實是它整個最小點, 而且是沒有相等的, 嚴格的相等, 除了這一點自己之外, 別人都覺得大, 但是這個不是一個真的函數, 這個函數還依賴於你的最小點, 是吧, 那就是說它這個函式, 這個樣子你可以看成是依賴於它的, 是吧, 把它固定下來之後, 那它纔是最小, 所以核心的是在這兒, 當然有這個事情之後, 這一點的選擇必須是離x不遠的, 在一個距離, 這個函數值的選取要比原來的值不大的, 是吧, 就這個意思, 所以這個大家看到, 這個定理的要點是在這兒, 下面幾個地方當然要求不是亂取, 不要取很遠的地方, 比x大很多的, 是吧, 也不要取這個離x很遠的, 就這個意思, 這個定理的證明呢, 也是邏輯上很簡單, 我幾行, 待會我們就幾步就可以證出來, 但這個的用處, 待會我們會說它很大, 下面我來給它的證明, 這個證明呢, 就從這點想法出發, 我這個yf總怎麼找呢, 實際上是把自己放進去, yf函數放進去之後, 是這個的績效點, 是吧, 是這個的績效點, 那麼, 所以這個做法呢, 實際上我要去找一串特殊的績效化序列, 找一串績效化序列, 讓它收斂, 收斂到它, 現在我靠什麼來收斂呢, 我沒有警信了, 要想找到一串序列來收斂的話呢, 只有靠這個函數值, 這函數值它下降, 函數下降, 看它, 還有函數值和這個, 這裡有個距離, 所以就得看這個關係, 所以證明的時候, 我們是靠一串特殊的辦法, 來選擇一串特殊的計劃序列, 然後在績效化序列當中, 來看它收斂, 所以現在我用, 就是遞歸的辦法, 就是迭代的辦法, 是吧, 第一個呢, 我取個U0, 就是取成X一雙, 頭一個點, 然後一次次迭代, 加定UN, 選, 我們來選UN加1, UN加1怎麼選呢, 那我想當首先選的時候, 要單調下降, 是吧, 要比這個小, 否則你將來, 怎麼能取得這個值才小呢, 我做不到, 是吧, 另外下降要有一個幅度, 要有下降的一個, 有一定的, 如果每次小一點, 每次小一點, 那可能不說, 不會說那真的極小, 所以基本上想法是這樣, 所以我現在考一個集合, SN, 這些點, 這是, 我叫W, 這是FW, 小於等於FUN, 減掉Y, DUNW, 你UN選了, 我就選, 剛才那個還說UN, 依賴UN的這麼一個函數, 放進去, 比它還小的, 這個集合, 有沒有呢, 空不空呢, 我說這個集合不空, 因為你, 大家看我, 我非把W取成UN就行了, 是吧, 取UN這個相等於這個就零了, 所以就不空, 這個是不空的集合, 所以我下面就想要來從這找一個, 在這裡取一個, 這裡取一個, 就UN加1的話, 隨便取個UN加1的話, 那麼UN加1總比它小, 是吧, 所以我按說隨便取個UN加1, 是屬於這個的話, 那就還, 就會有這個, FUN加1, 小於等於FUN, 減掉Y, DUN, UN加1, 對吧, 那麼當然它就比它小, 這點我做到了, 但是光有這個, 每次小一點點怎麼辦, 每次小的很小很小, 它最後下不到下缺界去, 所以每次下呢, 要有個下到一個幅度去, 所以我現在選取的時候, 還要選這個UN加1, 不是光在這裡頭, 在這裡頭不夠, 還要使得, 還要使得這個, 這個叫做FUN加1, 減掉下缺界的F, 在SN上, 小於等於這個, 二分之一的FUN, 減掉下缺界, SN上, 這個話能做到不能做到, 你別看這個, 你把它搬過來, 我現在寫是為了這麼寫, 其實你寫的意思是這樣, 你把它搬過來, 這個是UN在筆記上的下缺界, 兩個相加一點, 如果UN不是它自己下缺界, 如果已經是UN下缺界, 那UN加1就是UN, 如果UN加1不是下缺界, 那我這個總可以找得到, 因為它是在這個下缺界, 和它比較大一點, 就在這上面, 總能找到UN加1, 所以存在這個, 兩條, 既要這個又要那個, 從這個條, 每次下降有個速度, 那麼把它寫過來, 就是EPSILON的DUNUN加1, 就小於等於FUN, 現在FUN加1, 是吧, 就搬個加, 搬個加之後相加, 所以我立刻就知道, DUNUM, 對於任何一個M大於N, 就小於等於FUN減掉FUM, 三角形不等式, 相加, 是吧, 因為這個東西, 中間一大堆, 插一大堆相, 插一大堆相之後, 就都一個一個這樣不等式, 消消消, 消到就這個, 好, 那從現在我這個, UN和UN加1的這個距離, 是被這個函數值控制的, 現在函數值是怎麼樣呢, 函數值是下方有界的, 是吧, 下方有界的單調項序列, 那總是有極限的, 所以當M都很大的時候, 都去無窮的時候, 這應該去零的, 對吧, 是因為F是下方有界, 而且是單調, 所以就從這就得到UN, UN是一個勾稀序列, 勾稀序列當然就應該有極限, 完備的, 所以存在U心心, 屬於X, 是UN, 這部分就沒問題了, 是吧, 就收斂到一個東西去, 收斂到一個東西去, 我當然想把這個取成YX, 我的選法就是要想, 就選YX怎麼做嘛, 本來就想從這裡選去小嘛, 那怎麼做呢, 我就實際上令它等於, 好, 令它等於之後, 我當然令是可以令, 目的是你令了之後, 你要讓它滿足哪一條性質, 檢查這條性質, 第一條顯然了, 是吧, 因為UN和UM來說, 隨便兩個單調的了, 是吧, 這個N取成零的時候, 就是F, Epsilon, 是吧, Epsilon, 這M虛無窮的時候, 就是Ypsilon, 那當然單調的, 所以第一條是由單調選出來的, 第一條就是單調選出來的, 是吧, 所以沒說的, 第二條也不難選, 第二條也是很平庸的, 因為什麼呢, 因為我剛纔有這個關係, 這個關係我把它N取成零, 就寫成零吧, 零的話就是X, 是不是, 讓Y, 這個M讓它虛無窮好了, 一虛無窮就是, 那有這個東西, 小不小, 是不是小於一呢, 那這個東西是小於, 就是FX, Epsilon, 跟下缺鍵, 相加小於這個, 是吧, 那麼好了, 你這個總比下缺鍵不會大, 所以這個是FX, 減掉下缺鍵, 所以第二條沒問題, 所以第二條也沒問題, 所以這兩條都不重要, 還是核心在這兒, 大家看這部分, 到現在為止我用什麼, 我只用了這個YN加一比YN小啊, 是吧, YN加一比YN小啊, 只用這點, 只用了這點事情, 沒有用更多的事, 這點是不夠的, 剛才我還寫了那兒, 因為必須要下降一個幅度, 下降一個幅度才能真正達到技巧, 那怎麼能夠下降一個幅度呢, 所以我現在關鍵還是要來證明, 三, 假定三不對, 看會怎麼樣, 假定我們三不對的話, 就是存在一個W, 這個東西是不等於Y送的, 是的, 這個FW小於等於FU猩猩, 這個U猩猩, U猩猩就是Y送啊, 就是一回事, 我就寫成猩猩容易寫, 就不對的話, 就是存在在這裡找到, 它不等於Y送, 那麼反過來, 是吧, 但是從這個, 從這個有什麼矛盾, 現在我利用的是它了, 不用它我推不出矛盾, 從這塊我能推出什麼矛盾呢, 我把它還是寫過去, 寫到這兒, 就是FUN加一, 小於等於二分之一的FUN, 加上下節節的FSNF, 這個東西取極限, 取極限的話是FU猩猩, 那麼這邊取下極限, 但是這個下極限, 它極限就是有的, 所以就是下極限, 這就是FU猩猩, 所以搬過去, 就是FU猩猩, 小於等於這個極限, 下極限, 下節節, SN, 這是我們剛才利用那個, 這一段, 我們每次有一個下降的速度, 有一個下降的速度, 是體現在什麼地方, 就每次選取有這麼一個下降速度, 選取下降速度, 最後結果是這個極限, 這個極限的值, 應該比所有這些下節節的值的下極限, 不大, 好, 那麼我們看在這會發生什麼, 會有什麼矛盾, 這個矛盾我還是從這個出發, 還是從這出發, 剛才這個從這出發的話, 我現在UN在這, UN讓它取極限, 所以我就從那邊就推出來, EPSILON, D, U新星, UN, 小於等於, F, UN, 減掉F, U新星, 半於半加, 就是FU新星, 小於等於FUN, 減掉EPSILON, D, UN, U新星, 這半個, 好, 把這個, 跟這個合在一起, 所以我們就得到了, FW, 小於等於, 就搬過去, FUN, 減掉這個再減這個, 三角形不等式, D, UN, W, 這個和這個連起來, 帶進去, 減一個這個再減一個這個, 這兩個一來, 三角形不等式, 放成這樣, 那就是說, 假定, 反正把假定存在的W, 使得這個成立的話, 它W不是YEPSILON, 那麼什麼意思呢, 就是它, 結論就是它, 結論它什麼意思, 再去看看定義, 這個W是什麼呢, W在每一個SN裡頭, 它在每一個SN裡頭, 所以這個東西就小於等於FW, W, 它在每個SN裡頭, 是帶著每個這個, 所以完了之後, 你的FU欣欣, 小於等於FW, 那麼剛才我們前面, 前面我們說出來的, 這個地方呢, 是這個, FU欣欣, 小於等於, 剛才寫的矛盾是在, 這就出了矛盾在哪裡, 這裡頭帶進去之後, 就是FU欣欣, 對, 就這矛盾, 它要小一點它, 但現在FW小一點它, 才減這個, 而Y欣欣, 這個東西呢, 又不是U欣欣, 所以它要嚴格小於它了, 而這時候是反過來, 這個小一點它, 這矛盾, 跟這個矛盾, 這個證明, 應該說沒有什麼, 沒有什麼特別困難的地方, 是吧, 這都是很簡單的, 就是你把邏輯清楚, 關係找到就清楚了, 思路也是這樣, 你造一個這個集合之後, 你每一個在這裡選, 就能保證單調下降, 這張序單調下降, 單調下降, 就能保證這個序列是勾稀序列, 因為它是靠, 距離是靠函數值控制的, 它是控制序零的話, 它就勾稀序列, 勾稀序列就找到一個點, 這個是保證一個下降速度的, 保證這個下降速度之後, 我們就能夠使得, 極限值是實際上, 它的極限值是不會超過下階階的, 就這意思, 就下階階控制在這, 所以矛盾最後是從, 假定的不乘以三的話, 就找到一個W來, 這個W屬於一切所有的SN的話, 就它小一點的W, 但是那個W又是假定是, 比它小的, 所以得到矛盾, 這個證明是完全邏輯的, 沒有, 你現在也說不出它, 為什麼要這麼做, 但這個定理呢, 它是看了很多很多不同的, 這個非線分析, 有很多很多這種定理的證明, 給它找到這麼一個關係, 找到這個關係之後, 好多定理就從它的迎刃而解, 所以這個定理變成非常非常基本, 可以說是, 我們原來說的那個極小值定理, 這個極小存在什麼呢, 下半連續, 下方有一些下半連續, 又是強制, 這些東西, 這個就算一個基本定理之外, 這個就是個基本定理, 它的用處很大, 那麼現在我就說一個, 說一個應用, 先說它一個應用, 對求極小值有什麼好處, 說一個求極小值有什麼好處呢, 我們回憶一下這個, 在變分當中我們講過, 給定一個函數, 它的一個泛函的導數的問題, 現在X假定是一個巴拿的空間, F是X上定義的一個函數, 所以在我們以前變分問題當中碰到的, 這就是什麼H10啊, 或者什麼一個W1Q啊, 等等, 是吧, 這個就是R呀, 那時候我們講先講變分, 後來又說除了講變分之外, 還可以講, 還說什麼叫做角度導數, 在那個變分的時候, 我們對這個變分是用這個, 角度導數是用這個, 是吧, 角度導數就是給方向的導數, 是吧, 就是對應認給一個H, 屬於X, 我們考慮這個, 第一, F, X, H, 這等於什麼呢, 等於F, X加上TH, 減掉F, X, 這個除T, 然後, 如果一個Xi, H, 小H, 當T去0, 那麼把這個Xi, 這個Xi屬於X進行, Xi就記作DF, X, 這個H呢, 對著, 是吧, 或者我們有時候, 把這個H固定, 模式固定成為1, 因為這個是, 成個T倍在這, 無所謂, 所以把它取成1, 那麼這就是小V, 這個跟我們原來做這個, 做這個變分, 是實質上是一樣的, 是吧, 那麼, 角度導數呢, 所以這裡頭是H, 是屬於全空間, 原來我們取這個變分的時候呢, 那個, 這個H就是我們原來那個變分的, 叫Phi, 就是IU加Phi, U加TPhi, 減掉IU, 是吧, 那麼, 原來那個Phi, 我們取的是, 一般在這個C10, 或者是C無窮零, 這個取得少一點, 而這個H的話呢, 如果取H呢, 就是在H10, 或者是WEQ裡頭, 差別就在這, 就是, 如果是H10的時候, 這個取C10, 這個本質上沒有差別, 因為它是一個稠密的, 是吧, 它是稠密的, 因為C10在這裡是稠密的, 但是如果, 其他的邊界條件, 或者這個, 我就不顯示別的, 或者不是H10, 是H1, 或者是其他的, 沒有像諾曼條件, 或者是這個週期條件的話呢, 那麼這樣取就不是真正的, 這個變分和這個就有一定差別, 一定差別, 現在我們取的就是, 說的是伽圖導數, 對這個伽圖導數, 一般講起來, 我們說, 它這個C呢, 當然它依賴於X的, 所以我們寫成C, 叫做CX, 跟X有關係, 它本身呢, X在變化, 固定於X, 是一個線性連續泛含, 那麼如果, X對CX還是連續的話, 我們就說這時候這函數, 不僅是有伽圖導數, 而且是有弗雷謝導數, 那麼我們把它記成FX, 那麼這時候弗雷謝導數呢, 也是連續可為, 也是連續的, 所以這時候就稱F呢, 屬於CEX, 這就跟普通的導數的概念, 推廣到這個無窮為趣, 原來我們講導數的話, 對向量值的函數, 一樣可以推廣, 不過這時候不需要區別, 什麼弗雷謝導數, 伽圖導數, 所以伽圖導數, 本質上就是方向導數, 但如果每一點都存在, 那方向導數呢, 就和普通圈導, 圈位分是一樣的, 所以這個話呢, 都是一些語言, 一些這個需要用到的語言, 那麼下面我就, 就這個函數, 給一個函數, 在八大空間上, 假定是CE的函數, 就是它有弗雷謝導數, 就是每點有導數, 導數是線性凝結反函, 是吧, 而且這線性凝結反函呢, 是對於空間每個點的話, 它是連續的, 那麼我們可以定義什麼叫做凝結點, 就是那些X, 使得F是X.0, 就是使得那些X, 使得它導數點零的點, 叫做凝結點, 這就跟函數的意思是一樣的, 也是變分當中的, 歐勒拉格尼方程, 就是滿足歐勒拉格尼方程的點, 叫做X, 叫做凝結點, 那麼相應的值, 叫做凝結值, 叫這個點是X0, 就使得凝結點達到的那個值, 叫做凝結值, 這些概念我們簡單的說一說, 因為凝結點理論嘛, 是說什麼呢, 就研究這種導數等於零的點, 導數的話, 多一點概念就是說, 有伽多導數, 有弗雷歇導數這個意思, 那麼我們現在說的, 就是弗雷歇導數的意思, 原來你們在變分當中碰到的伽多導數, 伽多導數和弗雷歇導數之間, 有一個很簡單的關係, 就是方向導數和權威分的關係, 那麼特別的, 如果X0是極小, 假定一個函數Fx, 有極小點X0, 或者是局部極小點X0, 那麼, 當然極小點就是, 凝結點, 也就是說滿足歐勒勒兩方程, 這個我就不再敘述了, 那麼, 有了這個事情, 這些話跟我們剛才說, Eckhart Tolle的原理沒關係, 有關係的下面一件事情, 這件事情呢, 我們為了講這個, 講下面的, 下面就是他跟凝結點, 凝結點, 怎麼得到凝結點, 這件事情要連起來呢, 我們引進一個條件, 是一個非常重要的條件, 叫帕雷斯梅爾條件, 一個函數, 它滿足帕雷斯梅爾條件, 我們寫成PSC, 如果沿著任何一個序列, SN這個序列, 滿足這兩點, F沿著序列是收斂到C, F沿著這個導數, 在共和空間, 在共和空間的模來說, 去零, 這是現在做變分, 凝結點理論的時候, 幾乎是不可避免的條件, 就是說, 原來我們全靠弱下半連續性, 靠空間的自反性, 我們有弱裂緊性, 那樣的話得到解的存在, 從這個凝結點理論來說, 想取代那個緊性的條件, 或者弱裂緊性條件的, 是帕雷斯梅爾條件, 就是沿著一串序列, 如果沿著一串序列, 函數值是有極限的, 沿著一串序列, 導數極限是零, 那麼就是說, 這個序列一定含有一個收斂次序列, 這是個條件, 這件事情使得我們能夠研究, 從變分問題只研究極小, 跨越到不是極小, 這是個很關鍵的條件, 因為從極小的那個問題, 涉及到的是什麼, 強制性, 為什麼涉及強制性, 就是涉及到弱下半, 弱緊性, 而弱緊性這件事情, 當然不是很難, 不很難驗證, 而問題是強制性太難了, 強制性這方法, 就是限制人物只能調求極小, 你要考慮別的辦法, 別的形式的臨界點, 你沒辦法用, 而這個條件的好處是什麼呢, 這個好處是說, 你本來只是對, 還是強制的這一點, 那麼強制之後, 非常強制之後, 你剩下就是空間的性質了, 現在不是, 現在是靠函數值的性質, 函數值有什麼性質, 函數值有導數有什麼性質, 這樣能判斷這個極限, 有沒有收斂, 自取斂, 也就是說把問題, 在全空間的問題, 或者函數只是強制性, 就是這種很嚴格的性質, 變成函數只有極限, 導數趨於零, 是函數自身比較弱的性質, 所以這個條件, 現在在變分當中, 幾乎是不可避免, 當然現在, 沒有這些條件之後, 有各種各樣, 由它產生的新的條件, 不過這是一個, 進入臨界點旅人的一個關鍵條件, 現在我們就講到這兒休息會兒, 下面我們再來講上路引力。