【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（上） P31 - 31. 31-4-5結構位移計算05

我們上一節課已經把一個簡制梁在均不合載的狀態下 我們如何來求它的終點的豎向位移 給同學們解算了一下 那麼通過解這個題 同學會發現 我在求這個終點的位移的時候 由於我們要加這個單位管理 是正好加在這個梁的中間 所以引起的單位管理圖是一個折線 因爲圖層的時候 我們要求有個直線段 所以我們把它分成兩部分 那分兩部分成圖層的時候呢 圖層的時候 我們需要把兩部分分別來進行圖層 那方法呢 就是和我們前面講的方法完全一樣 因爲這個包線也是個標準包線 圖層兩邊又是一樣 相當於求一半 然後那半呢 我們給它乘二就可以了 下面我們再看另外一個問題 同樣是這一個簡直梁 那麼這個簡直梁的 現在我們不求這個簡直梁的終點 因爲這個我們做過了 分了幾個段之後 現在我們要求西截面 也就是西截面呢 是離它的右端三分之一L處 那麼這個位置 它的位移該如何來求解 那麼我們會很自然就會想到 首先我們要畫出單位 就是核載縱向下的它的彎曲圖 仍然是一條跑步線 那我要求西一點的豎向位移 我就在西一點豎直方向上加一個單位廣移力 加個單位廣移力 那這個單位廣移力 這個單位廣移力引起的彎曲圖 仍然是一條折戒 按照我們前面的計算 我們應該把它分成兩段直線 來參與它的圖程 那麼當把它分成兩段的時候 我們會發現一個問題 就是說正好是在它的西這點 所對應的跑步線 左右兩側兩個跑步線並不是一個標準的跑步線 那不是標準的跑步線 就不能用我們上次課講到那個簡直良 軍部核載縱向下終點的位移的計算 不能用這種方法 我們就想辦法 它不是標準的跑步線 我們能不能想辦法把它變成一個標準的跑步線 那怎麼把它變成標準跑步線呢 我們仍然想到 第一把它分段 把它分成兩段 一個是AC段 一個是CD段 但是AC段又不是標準的跑步線 所以我們還需要把它進行分塊 分塊處理 比如說第一種 我們看一下 把它的AC段考慮成是一個相應的簡直良段 比如說我們把這個拋物線 拋物線 對應的 這是單位立縱向下引起的彎曲圖 我們把它分成塊 分成兩塊 分成兩塊之後 這段呢 是一個拋物線 但並不是一個標準的拋物線 並不是一個標準的拋物線 那不是標準拋物線 前面我們所介紹的拋物線的面積的求解方法 以及拋物線的形形的位置 就不能用那個公式去求解了 但是我們在前面曾經講過 任意一個質感段 它的彎曲圖 你都可以把它考慮成是一個相應的簡直良 它的兩段作用機動力有 中間作用有相應的合載引起的彎曲圖的疊加 所以它的這一段呢 我們可以把它考慮成是一個相應的簡直良段 這是一個相應的簡直良 所謂相應的簡直良 就是具有同樣的跨度 授有同樣的合載 這樣一個簡直良 合載一樣 跨度一樣 那麼當然這個跨度就是我們說的2L 那麼通過它的合載作用 得到的彎曲圖要和它一樣的話 那麼首先它的右端是有一個機動力偶 機動力偶是下側手廊 下側手廊 我們通過前面的計算 我們知道這個截面的彎距已經求分了 截面的彎距正好是等於九分之QL的平方 那麼這個它所對應的彎距圖 實際是兩種合載引起的彎距圖 而兩個合載引起的彎距圖 比如說 機動力偶引起的彎距圖是下側受拉 它的左端彎距等於零是較激烈 所以它引起的彎距圖是這樣的 這個大小是九分之QL的平方 那麼在軍部合載作用下的彎距圖 是下側受拉 這是一個標準的拋物線 那麼這個高度應該等於 八分之一Q跨度是三分之二L的平方 那麼也就是說這兩個圖的疊加的結果 應該和這個彎距圖是一致的 這個高度是九QL的平方 跟它一樣 而這兩個是標準拋物線 這兩個標準拋物線分別和這個圖進行塗層 這個高度我們剛纔求出來是九分之二L 這是它的左彎部分 所以我要想求一下西點的豎向位移 可以把它寫成EI分之一 然後它和它塗層 它和它塗層 其中這個和這個塗層的結果 因爲它都在基線的同一側 所以塗層的結果爲正的 有三角形的面積 二分之一 三分之二L 再乘上這個高度是九分之QL的平方 它的形形位置在這個位置就是分成三份 它在靠右面三分之一處 對應這點的豎標的高度 顯然你把它分成三份應該是這個高度 那這個高度正好應該是三分之二倍的 九分之二L 這是G中Lio連起來的一部分 軍部連起的也是一個標準的拋線 它在基線以下 這個圖形也在基線以下 因此它們倆塗層結果也是正的 所以加上一個三分之二 三分之二L 再乘上一個八分之一Q 三分之二L的平方 這是它的面積 它的形形位置正好在中間 因此再乘上一個二分之一的九分之二L 這是這個量西一點的左側塗層的結果 那麼它的右側呢 應該和它的一樣 也就是說你也可以把它考慮成是一個相應的減之兩段 它的左端有一個G中Lio作用 G中Lio是它的下側收拉 大小是九分之QL平方 同時上面還有一個軍部核載 軍部核載的極度是Q 那麼由它來引起的彎曲圖 顯然和這個很相像 也是這樣的 那麼這個大小也是九分之QL平方 下面呢還有一個軍部核載引起的彎曲圖 軍部核載引起的彎曲圖是個標準拋物線 這個高度是八分之一Q三分之L的平方 這高度是九分之QL平方 也就是說它倆疊加的結果應該和這個拋物線是一樣的 而這樣呢我就把它分解成兩個標準的圖形 因爲標準的圖形我們可以找到它的面積 可以找到它的形系的位置 好 那我們把它進一步的計算 我們就說二分之一三分之L再乘上九分之QL的平方 再乘上它的形系在這個分三分 它在這個位置 它對應這一點的豎標高度 仍然是三分之二九分之二L 都在基線的同一側 因此它倆乘以結果應該是等於正的 再看拋物線 拋物線也是個標準拋物線 得加上一個三分之二三分之L 再乘上一個八分之一Q三分之L的平方 再乘它的形系所對應這點的豎標高度是二分之一九分之二L 好了 經過這樣的分解 我們把圖形 首先把它分段分成A C B C兩段 然後每一段呢 我們又把它分塊分成兩塊 一個是由G動力鑰引起的一個三角形的面積 還有一個是均和載引起的一個標準拋物線 那麼每個分別於這個直線 彎圖的直線段進行圖呈 我們這樣就把這個結果可以得 好 那麼最後呢 我們把這結果算一下 整理是九百七十二EI分之十一 QL的四方 這是我們最後得到的結果 也就是G點豎向位移 G點的豎向位移 那麼我們通過分段 通過分塊的方式 能夠把這種非標準的圖形 把它分解爲幾個標準圖形的疊加 而每個標準圖形與所對應的豎標進行圖呈 就可以得到一個所要求的面積 當然我們這個圖成的結果 在這已經求出來了 那麼第一種方法呢 我們在把它分塊的時候 是把它考慮成是每一段是一個相應的減之兩段 而每個相應的減之兩段 在我們前面的分析的時候 往往都是說在迪迦法那裏頭 我們在講靜定結構計算是其中一個迪迦法的時候 就曾經說過 任意一個質感段都可以把它考慮成是一個相應減之兩段 在感端集中力偶和單元上或者感電上的外力共同作用下引起 那麼這個力偶是假設的力偶 所以我們不妨就假設它是一個單位力偶 那麼因此在單位力偶作用下引起的彎地圖 應該是兩個三角形段 那麼按照我們前面的處理方式 我們就會想到 首先呢先做一下它的附屬部分 附屬部分的彎地圖是一個標準的拋物線 那麼它的單位廣移力引起的彎地圖又是一個直線段 所以它倆圖成應該沒有什麼問題 比較簡單 因爲不管是面積也好 形形也好 這個都是標準圖形 那麼如果我們再做再往下做這個基本部分上的時候呢 就發現它的圖形 比如說B第一段 這段呢也是一個拋物線 但這個拋物線它並不是一個標準拋物線 並不是標準拋物線 那麼不是標準拋物線的話 我們就想辦法把它進行一下處理 處理成幾個標準圖形的疊加 那麼它是哪個標準圖形的疊加呢 哪個標準圖形疊加呢 我們要這樣想象一下 這段首先看一下它的附屬部分 附屬部分在均度和載作用下 引起的反力應該是兩個向上的 而且我們知道它的大小等於一二QL 我們說把附屬部分的反力反向的加在基本部分上 那麼就說這點它倆是大小相等方向相反的一個作用力和反作用力 所以這個人就相當於對外有一個機動力 大小也是一二QL 然後最上面呢 它有一個均步和載 均步和載的極度是Q 所以就從BD段來看 BD段來看 你可以把它想象成是一個懸臂樑 這懸臂樑受的和載呢 一個是機動力二分之一QL方 一個是分佈力 分佈力的極度是Q 而這兩個圖 而這兩個力引起的彎弧圖都是標準的圖形 比如說分佈力引起的彎弧圖是一個向下拋的拋物線 這個高度我們通過它的尺寸也可以知道是二分之一Q二分之L的平方 而機動力引起的彎弧圖呢 是上側受拉一個標準的三角形 那就等於二分之一QL再乘上一個二分之L 也就是它們倆的迭加結果應該和我們這個彎弧圖BD這段引起的彎弧圖是一樣 那BD段它的彎弧圖是非標準的拋物線 但是我們把它進行分解之後就得到兩個標準的這個彎弧圖 可以利用它迭加得到我們最終的這個彎弧圖 這是一個問題 第二個問題 我們製作了它的兩個彎弧圖 我們要和它的單位彎弧圖圖成 看一下 就是它倆迭加之後和誰圖成呢 和它圖成 它圖成是這樣一個圖 這塊是二分之三 這塊是一 也就是說標準拋物線它的面積 我們知道應該是三分之一底乘高 行星位置我也知道是在靠它的左側四分之一處 四分之一處對應的這一點的高度應該是多少呢 這一點高多少呢 這又是一個非標準的彎弧圖 也就是說求了一點的豎標高度 又遇到一個非標準的圖形 下面我們想把它變成標準的拋物線 我們就可以來求了 比如說我把它進行一下分解 我在這來畫一條虛線 顯然它所對應的豎標高度應該是這個高度和這個高度相乘 這高度這高度相乘 相加相加 而其中上面這個高度呢 應該是在這個三角形裏頭 它站靠對側四分之一處 靠它的左側四分之一處 所以這個高度也就等於四分之三倍的 它的高度是二分之三 而下面這個高度應該在下面這個三角形裏靠它的左側四分之一處 那麼因此這個高度應該是四分之一倍的一 所以這一點的高度就應該是它們兩個疊加 那就是四分之三再乘二分之三再加是一個四分之一倍的一 就是對這種非標準圖形我們可以通過疊加的方式把它分段疊加 然後呢這個三角形這個標準了 那麼三角形的面積我們知道是二分之一底層高 它的形形位置是把它分成三份 它應該在靠左側三分之一處 那麼顯然對應的這塊的豎標的高度 它的形形對應這塊的豎標的高度 仍然和剛纔的方法一樣 把它分成兩段 其中這一段的長度 上面那段長度應該是三分之一倍的二分之三 而下面這段呢應該是三分之一倍的一 也就對應第二個三角形圖形的形形 它的施亞雖然所對應的數據、豎標高度應該是它倆之和 就叫y2吧 y2就等於三分之一倍的二分之三 再加上一個三分 這是三分之二倍的 這是三分之一倍的一 這樣加在一起 所以面積我們求出來的 形形的高度 形形所對應的另外一個圖形的豎標的高度我們也可以求出來 從而我們就可以把這一段的圖成結果就可以處理了 而它的左半部分呢 這塊的彎曲圖注意這塊還有一個機動力偶 機動力偶大小是二分之一ql雙 顯然AB這一段它的彎曲圖還不是一個標準的泡沫圖形 並不是一個標準的泡沫線 所以這種非標準的泡沫線我們說了 要想辦法知道它是由哪些核載作用在減之兩段引起來的 然後按照每個核載分別作用的時候引起的彎曲圖 把它疊加在一起 而每一個單獨核載作用在減之兩上引起的彎曲圖 都是我們前面所見到的那個標準的泡沫線 標準的圖形 好 就我們這個彎曲圖來看 那麼從AB這段可以把它想象成它是有一個質感段 把它想象成是一個減之兩段 減之兩的左端有一個下側受拉的激動力偶 激動力偶大小是1 2QL框 右端就是我們那個枝座B枝座的位置 它是上側受拉 就等於這樣轉的 大小是3 3QL框 這個感覺的中間又是一個泡沫線 所以中間還有一個均衡核載 好 AC段就相當於 它的彎曲圖和這個減之兩的彎曲圖應該是完全一致的 而減之兩受到三個力的作用 它所對應的彎曲圖分別來畫的話 就是激動力偶引起的彎曲圖應該下側受拉 這點是1 2QL框 它的右端是上側受拉的一個彎曲圖 大小是3 3QL框 中間還有一個均衡核載 因此我們得到的彎曲圖中間這塊應該是1 8Q 跨度是L L的平方 也就是說把這三段加在一起 就是我們所說的AB這段的彎曲圖 這相當於我們把這彎曲圖把它分解成三個小的標準的圖形 那麼這個標準的圖形與我們單位廣義力偶引起的彎曲圖這段直線圖成 由於它的行星位置 這三個圖的行星位置都可以求出來 都比較好求 面積好求 行星位置好求 因此對應的豎標高度仍然可以求出來 也很好求 也非常標準 那麼把它乘在一起之後 我們就會得到最終的位移 那麼這個思路我給同學們已經都詳細地進行了分析 具體的圖程我們就不做了 希望同學們把這個部分能夠詳細地自己做一遍 那麼通過這個題我想說另外一個問題 什麼問題呢 就是通過剛纔的分析我們發現我是把梁分成了三段 其中最右面這一段是一個標準的拋物線 是一個簡直梁的標準拋物圖形 而中間這一段和靠左側這一段是兩個非標準的圖形 因此我們把它進行了分解 把它分解成幾個簡單的圖形的比較 然後幾個簡單的圖形分別和單位廣義力引起的彎曲圖的直線段進行圖成 這個可不可以 可以 這是一個標準的做法 但是對於具體的問題 我們可能要考慮到它的計算過程的話 可能會把這個問題還能進一步地簡化 我們在做的過程當中會發現 我們把每一個質感段 最後都把它考慮成是一個相應的簡直梁 這實際是做了一個簡化計算 或者做了一個對照的計算 最後得到的彎曲圖 你說這個彎曲圖到底是什麼結構約束 什麼樣的和載引起的 我們在講靜定結構分析的時候 曾經給同學們做過提示 說當有一個彎曲圖給你一個彎曲圖的時候 讓你確認一下這個結構上作用了什麼樣的和載 這個結構受到什麼樣的約束 我們發現它是多種多樣的 也就是說並不一定是固定的 既然不是固定的 包括約束不是固定的 包括和載不是固定的 那麼得到的內力圖它卻是一個固定的圖形 這樣我們在最後進行圖程的時候 實際是把它的內力圖 用它的內力圖進行圖程 而不再關心這個結構是什麼樣的一個結構了 只是兩個圖形相成 兩個圖形進行圖程 那麼就我們這題來看 我們可以避免什麼呢 可以拋開這個彎曲圖是什麼結構引起的 我們想象的BC這一段 BC這一段實際從結構上來說它是兩段 但是從彎曲圖來看 在它的地點角地點位置 地點彎曲等於零 這一點的左右兩側簡歷等於零 所以從B到C這一段 它是一個非常標準 非常一個光滑的一個拋物線 儘管現在還不是個標準的拋物線 它是一個光滑的拋物線 那麼能不能把想象 BD這一段就是一個質感段 而不考慮中間還有個角 只是說我這個段 這個質感段 它的彎距等於零的位置 正好是通過我的角的位置 正好通過角的位置 那麼這樣的 你就可以把我們這個題分成兩段來考慮了 一個是AB段 一個是BC段 其中BC這一段呢 你還可以把它考慮成是一個相應的簡直兩段 就是BC 引起彎逆圖的形狀 是相當於在B點有一個上側受拉 大小是3%ql方 這麼大一個6 這是作爲一個技能6 然後呢 上面作用均不合載 這個圖形的實質 你就可以把它寫成一個 1是三角形的 這塊是3%ql方 再加上一個標準的拋物線 其中標準拋物線的終點的高度 就等於1%q 它的跨度是2分之3l 平方 爲什麼這樣考慮呢 因爲從B到C 從下面單位廣於6來看 引起的也是一條直線 對 仍然是一條直線 那麼由於那是直線 所以我們相當於它倆疊加的結果 就和這個彎逆圖是完全一樣的 也就是相當於把它倆疊加之後 然後再和下面這個彎逆圖 這個彎逆圖是這樣的 彎逆圖圖形也在下側 因此它倆的成績結果是爲正的 好了 那麼下面呢 我們整理一下 2和8 閱一下 那就是3 4 12 12EIql的三方h 這就是我們求得它的相對位移 它倆相對位移 也就相當於從我們同學得的結果是正的 說明我們假設的方向和它真實的位移方向是一致的 也就是它們兩個都向內產生了一個位移 那麼這個向內產生的位移 向內產生的位移和我們假設的位移方向是一致的 當然我們在假設這個單位移的時候 有時候可能是比如說 我在不知道它到底是向內還是向外產生一個向內位移的時候 我們可以把它加上一個 向外的也可以 向內的都可以 這個呢無定論 現在我們加的是一對向內的 如果你要加向外的話也可以 但是那時候圖成的結果可能就是負的 負的說明什麼呢 它也僅僅說明我們假設的方向和它真實的方向是相反的 那麼最後的結果你標註一下就可以了 標註一下這個 並不是錯 因爲在一開始的時候 我們可能未必能直觀地判斷出它的方向的時候 我們可以任意假設一個方向 好 這一課我們就到這裏