【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（上） P33 - 33. 33-4-7結構位移計算07

下面同學們看一下這個題 這題看起來比較簡單 也就是一個懸臂樑 是有兩個力的作用 一個是集中力 一個是分佈力 那麼我們先看一下 在這兩個力之中下 B點引起的位移是多少呢 那麼我想求一下B點引起的位移 因此我們首先看一下 這個懸臂樑 兩個力分別作用的時候引起的彎曲圖是什麼呀 比如說這是Q 這是一個Lp 它問Lp等於什麼值的時候 B點的豎向位移等於0 那就是說這裏頭有 原來我們都是在求位移 現在反過來說 求某一個力 可以想象一下 這個圖 在軍部核彈作用下 它會產生一個變形 這個變形是這樣的 也就會引起B點的位移 是一個向下的位移 我們不妨就叫做得的1吧 那麼在一個集中力向上作用的時候 Lp在這作用的時候 它會引起這樣一個變形 等於說引起這塊的位移 等於叫得的2 那麼我們說B點的位移 實質上B點的位移就是得的1再加上得的2 注意這是代數量 也就分別求一下這兩個引起的位移多少 或者說在軍部核彈作用下引起的位移 和集中核彈作用下引起的位移 它倆大小相等 方向相反 所以加在一起 才能是一個0 那麼這時候所對應的力是多少 我們可以知道 那麼現在看 分部核彈引起的位移這是固定的 這個我們可以求 通過圖層的方法就可以求出來的 比如說軍部核彈作用下的彎地圖 是一個標準的拋物線 地點是1 2QL方 那麼要求B點的豎向位移 那麼相當於在這個位置加上一個單位管一粒引起的彎地圖 這樣就是L 所以它倆圖成的結果 也就像得的1就等於1i分之1 它的面積是1 3L再乘上1 2QL方 它的形心 注意分成四份它在這 那麼因此對應這個高度就是3 4L 整理一下 第一點的豎向位移就出來了 三約調就是8Bi分之QL的方 而這個力是在變的 我這力大一點 這得的2就大點 力小一點 得的2就小一點 那我要求這點的豎向位移 我們先看一下 在覈彈作用下引起的彎地圖是LPL 要求這點的豎向位移 那麼我們想假設這點的豎向位移向下的話 那麼它們兩個圖成因此得的2就等於負的1 1i分之1 它的面積是1 2L再乘上一個LPL 再乘上它的形心 分成三份 它在這個位置所對應這點的豎標高度是三分之二倍的L 所以等於多少呢 等於負的3Ei分之FPL的三次方 這是由核彈集中核彈引起的位移 這是由均步力引起的位移 那麼它倆合在一起 總的位移就是8EiQL的四次方 再減去一個3EiFPL的三次方 它說什麼情況下等於0呢 那麼顯然我們這塊等於0的時候 這時候對應力的大小就是我要求的一個結果 那麼顯然這個結果L三次方 L四次方交掉 剩一個L的一次方 下面Ei消掉 整理一下 那麼這個力就等於三分之三倍的QL 也就是說當這點的集中力等於1QL的時候 那麼B點的位移就等於0 所以結果就是說當集中力等於3QL的時候 B點的豎向位移等於0 那麼這題看起來簡單 但是我想說明另外一個問題 想說什麼呢 就是說那麼既然是這樣的話 我就會想象如果這道題是這樣給出的呢 說這一個玄米糧這塊並不是一個力 而是一個約束 然後在一個均步力作用下 我想繪製一下它的內力圖 同學拿了之後馬上就會想到 這個題是一個超靜定結構 因爲這塊有三個約束 這塊有一個約束 有四個約束力 而在此之前我們所講的內容完全都是靜定結構 靜定結構的問題我們可以解決 超靜的結構還沒法解決 或者說到目前爲止我還沒法解決 爲什麼沒法解決呢 因爲我們的平和方程像我們這個一個糧 它有三個自由度 而提供的平和方程只有三個 它的約束的個數卻有四個 四個約束你只有三個方程 因此得到的是一個不定方程 所以沒法確定 所以我們通過這種方式就發現 如果利用這一點的位移要等於零 這是一個位移條件 如果利用這點的位移等於零的話 我就可以把其中某一個約束力首先先確定下來 也就是說通過補充一個位移方程 我就可以先確定一下它其中的某一個內力 某一個反力 一旦這個反力確定下來了 比如說這個力就等於8分之3qL8 那麼剩餘的問題就變成什麼了 就變成我一個旋臂梁在一個軍部核載和一個集中力 集中力量是8分之3qL 在這兩個例子之中下 我來繪製這個旋臂梁的內力圖我就會做了 求任意一點的位移我也可以做了 因爲剩餘的工作全是靜力結構問題了 剩餘的工作全是靜力結構問題 而這個東西是什麼呢 這個力是什麼呢 這個力實質就是我們這個超靜的結構這個製作的約束反力 同學會發現我們在不知不覺的過程當中 已經由靜的結構進入到了超靜的結構 或者說我們通過位移的求解方法裏頭髮現 我目前對於超靜的結構也是有辦法來解決了 通過這簡單的例題我們可以發現這麼一個特徵 我們再看一下這個 這是一個旋臂梁 其中一部分有一個軍部核彈 它的端點它有一個集中力偶 它說這個旋臂梁在這兩個例子之中下 d那個距離就是bc的長度 bc的長度等於多少的時候會使得k點的豎向位移等於0呢 我們先看一下它爲什麼會等於0 我們把這圖先畫一下 這是一個旋臂梁 如果其中一部分又有一個軍部核彈的話 顯然我們這梁就會產生一個變形 這個變形簡直部分就會塌腰 外面這塊沒有核彈作用是一個直線 是一個直線 剛地的位移 那麼它中間那點的k點就從這移動到這 這個位移 那麼不妨我們管叫做k由於分部核彈引起的位移 那麼如果是在一個集中力作用下 我們再看一下它的位移狀態是什麼樣呢 也就是說我這塊給它加一個力 加的力大小多少呢 是1 2ql 在這個力的作用下它就會產生一個變形 這個變形顯然這塊就到這了 就是塌腰下來 那麼這塊要鼓勢在 變成這樣一個變形 因此k點這塊就會也產生一個位移 這個位移是由於集中力引起的 那麼按照我們這個要求 k點的位移是不是應該等於 k點由於軍部力引起的位移 再加上k點由於集中力引起的位移 而它又要求這點的位移等於0 剛纔我是通過這點位移等於0 先求這個力是多少 而現在它要求一下 這時候所對應的那個深臂部分的伸出量應該多少 就是d的值應該多少 就是我們把d做一個變量 把d做一個變量來進行分析 我們看一下 整個的分析思路通過這樣一分解之後 同學們就可以發現 第一 我可以求一下在軍部核彈作用下 在局部軍部核彈作用下 這點的數項位移是多少 所以我們首先畫上一下它的彎進圖 比如說它的彎進圖怎麼樣呢 在軍部力作用下 那麼這點的數項位移 這點有數項位移 按照大小來說它是qL 合力qL 作用在左端的1⁴處 因此這塊的約束反力是1⁴qL 3⁴qL 這點是1⁴qL 所以由它引起的彎進圖 我們可以知道在這點取締的話 那就1⁴qL再乘以L 下側受拉 這塊是一個直線 這塊先把這兩點連成一條虛線 在虛線的基礎上再疊加上一個軍部核彈引起的彎進圖 這是1⁴qL光 這塊是1⁸再加上1⁸ 所以這高度也是1⁴ 是吧 也是1⁴ qL光 那你要想求一下在軍部核彈作用下引起k點的豎強位移 所以我就需要在k點中間加一個單位廣義力引起的彎進圖 這樣 中間那塊那就是1⁴L 那就2⁴L 這是核彈q引起的彎進圖 這是單位廣義力引起的彎進圖 它們兩個圖成就得到我們的得的k由於q引起的 1⁴ 先看一下 這個三角形注意因爲是兩段所以我們把它分成兩段 三角形它的面積和這個豎標圖成 它的面積多少呢 是1⁴L再乘以一個1⁴qL光 這個的面積形積對應這點的豎標高度是2⁴L 注意你可以用它的面積去乘還豎標高度 那麼這個實際我這樣畫條虛線也從這邊給看出來 實際一個三角形再加一個跑步鍵 其中三角形的面積和它一樣 行星的位置和這塊行星的位置一樣 所以這塊我直接乘2就可以了 再加上一個均步核彈引起的彎進圖再乘它行星 均步核彈自動架引起的應該是2⁴L再乘以一個1⁸qL光 行星正好在中間 所以對應的是1⁴2⁴L 整理一下 2和2消掉了 前面是1⁴ 後面多少呢 後面2和2消掉了 這是1⁴⁵⁵ 這塊乘個4 所以就變成了5⁴ 所以四十八分之五EIQL的四十八 注意 這是由於均步合載引起的k點的豎向位移 那麼在這個集中力引起的位移 我們看一下 那麼在集中力作用下引起的彎地圖是什麼樣的 這個力之間的取據是上側受拉 中間沒有其他合載作用 這大小就是一二分之一QL 再乘上距離是d 這中間也沒有合載作用 這塊位置又是零 所以一條直線連過來 這是在集中力作用下引起的彎地圖 我想求一下 這時候引起k點的豎向位移是多少 那麼顯然我仍然用這個彎地圖 或者說它們兩個出現 對吧 因此k點由於集中力引起的彎地圖是1i分之1 它的基線以上它的基線以下 因此它倆圖成的結果應該是負的 由於下面那塊就是一條直線 所以你就把上面這個作爲它的面積 然後它的形心對應豎標高度的相乘就可以了 上面的面積是2分之1 2L 再乘一個2分之L 形心正好是在這個位置 所以對應的下面高度也是2分之1 2分之qLd 應該是這樣的 好 我再整理一下 負的2和2小調 2的4 24的8 那麼8eI 上面是qL的三次方 再乘上了d 兩個和載分別引起的位移值的了 根據題目的要求 它倆加在一起應該得贏 也就是說4是5eIqL的四次方 再減去一個8eIqL的三次方d等於0 從而我們就求出d就等於其他的我們都消掉 qL四次方qL三次方去掉 剩一個L 下面eIqL 6×8 48 這下面是個6 所以等於6分之5L 也就是說d等於6分之5L的時候 就會使得k點的豎向位移等於0 這是求位移的祕方法 我們已經知道在和載作用下如何來求結構的位移 以及利用它的位移條件來求一些位積量 比如剛纔我們求一個要想使得某一點的位移等於0 那麼加那個機動力應該多大 比如我要想使得某點的位移等於0 我需要加長的力臂應該有多大 那杆長的伸長量應該有多大 都是求位移的問題 而且都是在和載作用下求位移的問題 那麼回顧一下當初我們在介紹位移公式的時候 我們有一個最原始的公式 是利用虛空原理得到的 也就是說某點的位移應該由幾個部分組成 一個是由於彎曲變形引起的 一個又是由於剪切變形引起的 還有一個是由於軸向變形引起的 最後還有一個由於支作移動引起的 那麼下面我們看這些非和載因素引起的位移如何來進行計算 所以先看一下這個 首先我們看一下由於溫度作用 杆件就會產生熱脹冷縮 由於熱脹冷縮就會使得杆件產生變形 那麼由於變形就會使得杆件軸線位置產生位置的移動 那麼這樣就產生了位移 所以我們先看一下溫度改變引起的位移如何來進行計算 目前我們研究的都是靜定結構 那靜定結構在溫度改變的情況下它是不會產生內力的 但會產生變形 會產生線路的位移 比如說我們這是一個懸壁的鋼架 這懸壁鋼架如果鋼架的內部和外部的溫度發生了改變 假設外面的溫度升高了T1度 裏面的溫度升高了T2度 那麼這時候我們就會發現 假設內部的溫度比較高的話 那麼這個懸壁鋼架就會產生一個變形 然後我們用虛線來表述它的變形 那麼這個變形就會使得我們的梁的端點產生了線杆的位移 這個位移包括水平方向的位移 包括豎直方向的位移 包括兩個方向的位移 那麼我要求這個位移 又回到我們前面所講過的位移的計算問題 那麼回顧一下當初我們所見到的位移的公式 說某一點的位移的公式 等於由彎曲變形引起的 就是彎曲變形 而彎曲變形我們是用它的單位力引起的 因爲它實際上前面有一個單位廣移力 對單位廣移力引起的內部的彎矩所對應的彎曲變形 而彎曲變形你可以用比如說dθ來描述 這是一部分 再一部分是由於剪切變形引起的 那麼剪切變形就是減力再乘上dθ 這是相當於剪切角 然後還有一項是由於它的軸向變形引起的 如果說我們溫度作用的情況下 會引起什麼樣的變形呢 這個我們有一個常識知道 它不會引起剪切方面的變形 所以這一項就不考慮了 剩的是這兩項 一個是彎曲 一個是由於軸向變形引起的 其中彎曲裏頭就是單位廣移力引起的內力分佈 那麼我想知道這個dθ和C有關 和溫度之間有什麼樣的關係 所以我在這個量上我截取一個小的微段 叫做dS微段 那麼看看它會產生什麼樣的變形 由於內部溫度和外部溫度有個溫差 所以它就會產生一個變形 這個變形實際就根據物理裏頭的溫度升高 它的長度就會發生變化 跟誰有關呢 跟材料有關 那麼其中有一個叫做α 這α就是我們說的熱脹氣水 那麼假設它的變形是這樣 也就是說它的上半部分 就是外面部分的伸長量 伸長量和誰有關 和它的熱膨脹氣水有關 和溫度的升高有關 還和你選取的杆件的長度有關 它和Δ和它們散落成正比 所以成在一起了 而下面纖維所受到伸長量是αp2dS 由於下面的溫度比上面的溫度高 因此它的伸長量也是比較多 我們假設在整個杆件上 它的溫度的變化是按照一個線性變化的 因此我們截面的變形也是按照一個平面變形 仍然滿足平截面的假設 就是原來是一個平面的 變形之後仍然是平面的 而且仍然是一個直線的 那麼這樣我就想知道 這個梁的這一小段梁 它的中間溫度或者說它的形心軸 它的伸長量是多少 這是第一 第二我想知道這兩個相對的截面之間的相對轉角是多少 那也就是對應的轉角是多少 對應的伸長量是多少 首先看一下它伸長量 也就是dm等 在dx這麼大這一段杆上 它的伸長量是多少呢 那麼顯然它和dx是有關的 另外它和溫度又有關 哪兒的溫度呢 是它的軸心的溫度 假設軸心溫度用T0來描述 它和這個結構物理材料的性質有關 等於說它的熱膨脹係數有關 所以它的伸長量是d0 那這個裏頭T0是什麼呢 T0是它的軸心伸長量 我們假設是我們的矩形截面 那麼它的軸心正好是在它的中間 我們又假設溫度的變化是一個線性的變化 因此它的中心的距離 中心的長度 也就是說這個梁的中心的長度 就相當於這個T型的中間的腰長 而腰長正好等於它加它除二 也就是說T0應該是T1加上T2 然後再除二 可均勻正好是在中間 那麼再看一下轉角是多少呢 轉角顯然就是我們這個直線 和原來這條直線之間的夾角 也就是這個夾角 這就是它的中心軸 中間部分它的伸長量就等於它了 溫度伸長量R2把T0就它了 那麼轉角 轉角顯然是下面這個伸長量減去上面伸長量 再除上它的梁的高度 就是它的轉角 就是它轉角 也就是我們這裏頭的dπ 那就是說 考慮一下它的上面的溫度 下面的溫度R把T2再減去dX 再減去R把T1dX 再除上它的梁的高度 所以就可以把它寫成R把T2減T1 下面是H再乘dX 而T1dX是兩個面上的溫差 我們可以把溫差用一個德的T來寫一下 dX變成它了 好了 你現在把dλ的dπ帶到我們的位移計算公式裏頭 那麼因此由溫度引起的位移計算公式 就可以把它寫成這樣 一個單位廣義力引起的彎劑圖 再乘上dπ dπ我用它來替代 R把德的T再除上H再乘上dX 減去的量沒有 那麼後面再加上 由於軸向變形 軸向變形就等於 單位力引起的軸力圖 再乘上dλ dλ等於什麼呢 等於αT0dX 其中T0是它的內外溫差 平均溫差 等於是αT0dX 我把這個公式稍微變變形 因爲一般情況下 我們感見整個感見的內部的溫度 和整個感見外部的溫度 一般是沒有什麼變化的 就是說它不會按照感的軸線 會發生溫度的改變 因此也就是說它跟積分沒有關係 這是第一 第二 我們使用的是同一種材料 都是鋼筋混凝土的 或者都是鋼的 或者都是木頭的 你不管怎麼樣 它都是和 都是這整個感見上都是一樣的材料 這是第二 第三 一般來說我們的梁也好柱也好 它的粗細 它的形狀是不變的 是等級面的 那麼等級面的話 那麼梁的高度在整個樑上也是一個常數 也就是說在這幾個情況它都是和 都是和積分沒有關係的量 既然沒有關係的量 我們就可以把它提到積分號之外去 因此α得的T和H 內部就剩一個彎矩對彎矩的積分 那麼同樣道理 我們把後面這部分呢 αT0也和積分沒有關係 剩餘的就是軸力的積分 再看一下 這像什麼呢 這像是單位廣義力引起的彎矩圖 再乘dx 再進行積分 正好就是單位合載作用下引起的彎矩圖的面積 就是這個感電在單位合載作用下引起彎矩圖的面積 我們把它寫成一個面積的表達式 假設叫ωm一槓 我們加一槓就表明在區單位力作用下引起彎矩圖 後面這項呢也可以這樣寫αT0 然後這是單位廣義力引起的軸力圖的面積 我們寫成ωFn 這個呢就是溫度作用下引起的感電某點位移的計算公式 它也是從最原始的公式推導來的 我們把這個公式看一下 這個是單位彎矩圖的面積 是單位軸力圖的面積 那麼從這個公式我們可以看 在計算過程當中 h是量的高度是正的 α是物理常數 也就是材料的熱膨脹係數 它也是正的 這裏的溫差 那麼說什麼叫溫差 溫差是感電在兩個面上的溫度的差 假設我們取它的絕對值的話 那麼假設也是正值 那麼彎矩圖的面積呢 彎矩圖的面積那麼也可正也不 你是在上面還是在下面 關鍵我想知道兩個數相乘之後的結果應該是什麼樣 就是溫差在乘它的面積應該是取正取負呢 或者那個軸力也是一樣 那溫度的升高和降低 以及這個在單位力作用下引起的感電軸線 到時是伸長還是縮短 我們這樣規定 說當溫度變形與它的虛內力變形方向一致的時候 我們取它的乘積 爲正 反之爲負 那麼我們由溫度變化引起的位於 從剛纔推導出的公式裏頭會發現 這裏頭根本不含有我們所說的剛度 不管是Ea還是Ei 不含有這個剛度係數 因此溫度作用的時候跟剛度係數沒有關係 所以也就不用再奢望 也可以通過增加剛度的方法來減小或者增加位移 不要通過想象增加剛度來減小它的位移 這是第一個問題 第二個問題 通過這兩個表達式我們會發現 原來我們在計算核載縱的時候 對於以彎曲變形爲主的感變來說 我們忽略掉它的軸向變形和剪切變形 對我們整個位移的影響 因爲它所佔的份額非常非常小 我在前面推導的時候同學也看到 如果是以彎曲變形作爲一的話 或者說以彎曲變形貢獻爲一的話 那麼它的軸向變形對它的貢獻僅佔它的七百五十分之一 而剪切變形只佔它的一百五十分之一 都非常小 所以我們把剪切變形和軸向變形對整個位移的貢獻把它忽略掉了 而溫度作用引起變形 那麼這兩項它的值應該是在同一個量級的 所以往往這個時候我們不能忽略掉它的軸向變形 就是溫度作用引起的軸向變形對位移的貢獻 下面我們來看一個例題 這例題就是剛纔我們說的懸臂型的鋼架 那麼兩個杆件都是矩形鐵面的梁和柱 尺寸是高度是六十釐米 由於跟寬度沒有關係 所以沒有給它寬度的尺寸 假設這個鋼架內部的溫度升高了十度 而鋼架的外部的溫度沒有改變 沒有改變就是零度 我想求一下這時候引起的錫點的豎向位移應該是多少 首先我們先分析一下如何來求解這題 要想求錫點的豎向位移 我們首先從它的公式入手 公式這裏看杆件有兩個杆件 所以這個和號sigma應該是等於1到2 那麼這裏需要涉及到它的溫差 溫差是內側和外側之間的溫度的差 那麼顯然溫度差 一個是內部升高了十度 一個外面沒有升高 所以它的溫差就等於十度 內部升高外部沒有升高 那麼中間應該線性的溫度的變化 因此它的軸線的中心溫度 也就是我們說的T0 就應該是二分之十加上零也就等於五 也就是五度 也就是說它的中心的溫度應該是五度 那麼要想求錫點的豎向位移 那我們就應該在錫點的豎直方向 在錫點的豎直方向 加上一個單位廣義力 因此我們先把這兩個內力圖先準備出來 我要求錫點的豎向位移 我就在錫點豎直方向加一個單位廣義力 由這廣義力引起的內力圖 包括它的彎矩圖 就是六米 一乘六 就是在單位彎矩圖 那麼在單位廣義力作用下引起的軸力圖 僅僅在柱上有 是負的受壓的大小是一 這是它的軸力圖 兩段它的面積 那麼這段面積 ω1就等於二分之一底層高 二分之一六乘上六 等於三六十八 第二段的面積 是彎矩圖的面積 那麼應該是六乘上六 六六三十六 軸向方向引起的這個面積 是一乘上六 好 這些準備工作都做完之後 我們就往公式裏代 那麼代到公式裏的時候 仍然有個問題 一會我們再看 有什麼問題呢 看第一 溫度正時候 第一個我們先看一下 αΔT ΔT等於十 那麼αΔT是十 量的高度是h 那量的面積呢 這個彎矩圖面積是十八 那麼前面都是正的是負的呢 正的是負的呢 我們按照剛纔給同學們規定的方法 就是說 溫度作用引起的變形 與單位廣義力引起的變形 如果是一致的話 那麼它們倆的乘積就取正 先看一下這個 由彎矩作用引起的變形 那麼量上 它是上側受拉 因此它的變形應該是這樣的 向上凸 而溫度呢我們說是內部溫度升高 內部是T2 外部是T1 由於內部溫度升高 所以對量來說 下面的溫度比上面的溫度高 所以它的變形應該是向下凸 應該向下凸 那麼顯然從這裏來看 它倆的方向正是相反 剛纔說如果它兩個的變形相反的話 我們這裏取直就取爲負直 再看柱 柱呢 它是外側受拉 因此對這塊來說 柱它的變形應該是向左凸 而溫度作用的時候是內部 就是它在右邊的溫度升高 所以它的變形是向右凸 所以它倆又是相反 所以這個呢應該是負的 α乘上10 H再乘上36 前兩項是由彎曲變形 對C點的豎向位移的貢獻 再看一下軸力 那麼軸向方向這個面積我已經知道是6 溫度 它的平均溫度是5度 帶到這個公式裏頭 那就是α乘上5 然後再乘上這個面積 面積是6 前面正的負的呢 正的負呢 那麼先看一下 對這個柱來說 由於在單位的作用下引起的軸力是負的 那負的意味着什麼 意味着這一杆要受到壓縮 要受到壓縮 而溫度呢 看看 內部溫度和外部溫度 它的平均溫度是5度 5度也就是軸心的溫度是升高 升高意味什麼 升高意味着這一段柱它要伸長 這一段要伸長 何在作用呢 又是壓縮 所以它倆方向相反 所以這位置呢 仍然起負的 那麼這樣 你把它整理一下 整理一下 這是36 18 這是4 54 負的 540 H α 再減去5 6 30 α 當量的高度給定了 量的高度給的是60 60釐米 你可以把它換一下 60再把它換成米時的負二次方 然後呢 你最後可以把它算數接過來 那不管怎麼樣 可以看到最後是一個負的 負的意味什麼 負的意味着 我們要求的這個C點的位移 應該是向上的 而不是像我剛纔這樣假設 它是向下的 所以最後算出的結果是負0.09米 也就是9釐米 是向上的9釐米 向上的9釐米 所以這個負號說明我們的假設方向和真實方向是相反的 這裏物理參數 也就是它的熱膨脹係數也給定了 是0.00001 往裏帶之後 最後得C點的數量位移 由於溫度作用引起C點的數量位移 是0.09米 方向是向上的 好 我們這節課就到這