【北京大學】《泛函分析》（精品課） P34 - 34. FA34

有村子算子是比較簡單的一類算子。 但是它的簡算中間其實是非常重要的一類。 所以我們現在來講有村子算子應該是什麼樣子。 這叫之爲一的算子。 之一的算子。 我說x這是一個,x是信號,這個動力元,y是在y中,y不等於0,好吧。 那我們來定義一個算子,定義y和f這個章丹基,這個叫章丹基,好吧。 這個章丹基其實是從x到y有一個新的造型,那個定義是什麼呢。 你需要把這個x這個值定出來,這個值的話,這是我的定義,其實就是fx和y,好吧。 顯然這是一個有救算子的,因爲你算一下這個算子方式,這個算子方式是y, f再乘仗這個y,再乘x,對吧。 所以你把x抹掉,所以這個算子方式就小一點。 所以這是一個有戒心的算子,那我們算一下這個爲數是多少,這個之一,對吧。 這個之一,這個之一當然是有y什麼數,當然是有這個空間了,所以這是一維的。 因爲我還不等你,我這個f又不等你,例如f等於這個是零維的, 這是一個有求之算子,這個算子我們叫做之爲一的算子, 也就是說這樣子,這是我們的定義。 那有了這個實踐之後找這個定義,其實有求之算子的話是這種之一算子的一些有限書, 一個它是有戒心的算子的話,如果說它的之一,這個之一如果是n的話,那它肯定是什麼呢? n要小於無數啊,當然我寫n的都是小無數。 yi要在這個y裏頭,fi要在信號裏頭, 有求之算子其實是它這麼多的和,這些佔面積的和,這是一個初步變化。 那這個當然是對的,這樣的算子當然是有求之算子了。 它的子子一段旗幟,它的子一段旗幟是由yi數當成的這個表中間。 這一步不要做,那下一步我們來證明這個。 要證明這是一個有求之算子的話,那我們已經知道了。 所以你取一組計,這是最簡單的一個做法。 因爲它們直接全在這裏頭了,你可以算上去,這事件怎麼樣來呢? 這事件其實你可以這樣來寫,那你的y是在這裏頭,你是可以存在唯一的, 因爲它已經存在唯一的一個表冊,所以你可以把它寫成什麼呢? 這是有求空間的一個線杖,那和有求空間的一個線杖都可以把它寫成線杖一對一的線杖, 並且那個線杖前面的那個線杖的連續意大利語的話,因爲有求空間裏面那麼兩個方式都展現得不關係, 也就是說Li是連續的,Li是連續的,所以根據定義 有的時候定義每個Li是連續的,也就是我們T的話,其實就是Li,把i重新打Li,就是Yi 所以有窮之算子,其實全是這個樣子,沒有其他,所有有窮之算子,都是這樣子 這是有窮之算子,那下面我們來講一個問題,這個問題的話,從我們前頭引出來,我們前頭說過,任何有窮之算子的極限,它都是一個減算子 任何有窮之算子,而算不算數的極限,它都是減算子 那麼現在問題就是,是不是給你一個發動空間,是不是這個減算子,它都是有窮之算子的極限 這其實就是我們的問題,這其實是花剎時代,就問了一個事情 這T,我現在是一個減算子,是不是乘上Ti,它是有窮之算子的 乘上Ti,它是有窮之算子的,它是有窮之算子的,它是有窮之算子的 這個問題本身的話,其實就跟我們以前講發動空間裏面有一條線緊的關係,這所謂的效率計,我們再回顧一下 效率計是不是一樣,你要做這事情的話,我們可以假設,假設這個Y是可能的 爲什麼呢,其實過了,你又取它,你這T的話,T你又可以看成什麼,看成說X到Y就是,好吧 因爲我們已經說明了,它就是可能的,可分它的地方就是可能的,所以說這是可能的,所以其實你可以假設Y是可能的 那假設下來我們再講,這個定義我們原來是講過了 這是所謂的效率計,這是可分的發動空間 我說這個N大無窮,我說這個是什麼呢,這是Y的效率計 假設N的這個Y,Y屬於Y,對吧 那X還能寫一個什麼,這寫一個什麼,我們就這樣吧 假設任意的X在這裏頭,我都承認唯一的TX X要實在可能性,N要趨於無窮,T,K,N從1到N,T,F,B 其實你從這裏頭進來,你馬上就能推出這個,這個是息息無關的 這是效率計,這個效率計我們原來講過 比如說什麼樣的空間也有效率計,其實很多常用的空間是有的,小的要P,大的要P P要小的這種球,P要大的這種球,然後比如說聯繫上的空間C,聯繫上的C,這些事情其實我們都是講過的,它是具有效率計的 還有一個是可分的,其他的空間也是有效率計的,這些空間其實都是有效率計的 但是並不是所有的可分半大空間它都具有效率計的,並不是所有可分半大空間都具有效率計的,這個實際是不對的 好了,那麼我們剛纔在問,其實在可分具有效率計的這個半大空間裏面,這個當然是肯定有的,那其實就相當於對的 講那個經歷以前的,我們先講一個基本的理論 這是非常重要的一個學習理論,因爲在證明下的這個經歷裏面,很關鍵的一個學習理論 然後我就批評它是不是值得應該一聽起來 一聽起來,然後我們再研究這個理論 這是可分的 可分的 半大空間 實際上有效率計的空間肯定是可分的 可分是具有效率計的一些底下空間 這個是什麼呢?這個當然是新鮮的,新鮮是很可看的,新鮮的連續範圍 或者是有機範圍 這是一個新鮮、新鮮、有機範圍 在有缺陷空間裏面,其實這些事情都是顯然的,其實我們剛纔已經用了這個 但是在無缺陷空間裏面,這些事情需要正法 這個定理,其實是幫它轉了它正 這個事情,它的正法其實是非常巧妙的一個正法 這個正法是什麼? 這個是中間,我演了另外一個方式 演了另外一個方式 這個方式呢,我們就給你遞上它 這個事情呢,你就把它寫成它,是一個碼 要發一等一 然後是這個 重疊到 其實你可以驗證這是一個方式 你要證明,比如說,現在的沙交不能上車,這個是很容易的 然後你要證明,X等於X等於X等於X,你那麼騎車,騎車都要等 所有的X都要等,所以這個機器也都要等 所以你要驗證它放手機,驗證這個放手機騎車是很容易的 所以這是一個方式 然後你很容易看出來,就這兩個方式和原來那個方式,騎車是有關係的 原來那個方式可以用這個方式 因爲有這個事情,所以我們來看X這個方式 原來這個方式是這個極限 N要去無窮的彎 K要一到N,然後CK,N就是極限 所以這個其實它是比較小的 所以這是另外一個方式,也就是這個方式比這個方式還要強 那下頭我們要說,這兩個方式騎車是等價 下頭這個結論就是說,這兩個騎車是等價 那我們這個結論是什麼呢 這個是不是叫等價 你要證明這個等價,你騎車你可以怎麼樣來推呢 騎車你可以來說說這個,這是一公斤的 也就是X,關於這個放速,關於這個限制的放速 如果說它還是完備了,那騎車,這兩個騎車就是等價 這就是等價放速定理 我們講的等價放速定理 一個方向空間裏頭,有兩個方式,這兩個方式都是完備的 一個空間X,上面有兩個方式,第一個和第二個 如果說這個空間,關於這兩個方式都是完備的,這是第一條 第二條,一個比另外一個強,那麼這兩個方式騎車就是等價 也就是說,他們說右轉是收費,其實不一定是收費 這叫等價放速定理 等價放速定理其實是一般的一雙子定理的一個根 也就是說,你只需要證明這個是完備的 那下來我們怎麼樣證明完備呢 也就是說,你現在有一個基本列 也就是說,我有一個XK,點擊X鍵 這個要去連檔K,K要去無窮的時候 我要承擔着一個X,在X裏頭使到 這個XK,點擊X鍵的方式,它要去連檔K,要去無窮 你要證明這是一個完備的 這是我們要做的,其實你只需要證明這是完備的 那我們來看,這是一個基本列 這是一個基本列 基本列叫什麼意思啊 這個事情啊 我們用這個區叉 也就是什麼呢 這個區叉啊 這個事件呢 你來看這個事件 我看一下,這個事件我要壓 N,N從N到這個N 我這裏面寫N 這有N 這個要從CN XK K 點擊 C個碼 N 從N到N 好吧,老闆是N XK N 是N 這個東西 它是要小於等值的 XK 點擊X鍵 對吧 這要去連啊,這是我們的一個假設 好了,現在就這個完了,我把這個擦了啊 你有了這個事件之後 有了這個事件之後,我再來一個N 再來一個好不好 N,你來說說看這個事件好不好 CN CN,X CN,XK 可以對吧 CN,點擊CN XK CN,對吧 但是這個東西其實是要等於什麼 要等於這個 CN XK 點擊CN XK,對吧 然後這個EN的方式 這玩意是 這個東西會等於什麼 這個東西你不是從這個 到N-1,對吧 C CN 然後是這個 CN,對吧 減去一個 N-1,對吧 然後是這個是 這要從N,對吧 到N 減去這個 這個到二減去 減去N-1,N-1,對吧 是這樣的吧 但是這每一個 每一個你看 這兩個看見全是小 所以這個是 要小一倍的 兩倍的 NK 減N 所以說你從這個方面 所以估計N 要用N 這個你現在很賴 K 要去無窮 CN XK 這個存在 我就把它記在C 好吧 好,下面我們就用 用音訊錄這種事情來說了 你現在來看 這是 這個D 那你不行拿一年,對吧 我說要存在這個 N的 它是D的 你不行了,對吧 使得K 要大於等於N的時 這一個要小一趟 對不對 這一個小一趟 上面就是Sigma 然後N 從N到N DN XK DN 減去Sigma N從N到N 然後C N 這個是減 N 這個是要小於什麼 小於這個音訊 這個是要在那一年 因爲這是 N也要去上 這個小站 這個N區要去上去 好吧 那 在這個裏頭 比如說 我讓這個J 我讓這個J要去無窮 好吧 J去無窮 因爲現在N是固定 然後這個是它 對吧 所以 我就 我們來 讓這個J要去無窮 我在這個地方 比如說 我讓J或者K去無窮 你就讓J 要J去無窮 J去無窮了 所以我們其實 你就 就有這個 N 從N到N C N XK DN 減去一個什麼 Sigma N 從N到N CN DN 這個東西 要什麼 要小於等於 但是這個地方 是要在K 要帶一層藍的 這個東西 K帶一層藍的 這個東西 對 這個東西 對着R 然後 然後我們 再來說R Sigma 是N 從N到N N加P 然後我們來說 說一下CN XK DN 好吧 DN 這個東西 這個 說這個 這個是它 要小於這個 N N加P 好吧 我再來一遍 CN XK DK 減去 減去是一個什麼 從N到N加P 然後這個 DN X藍的 對吧 然後DN 然後再加上 N加P 然後這個 DN 然後是X藍的 DN 對吧 這個 這個沒問題了 然後再下 再下是小於這兩個的 所以這個是 這其實是小於這兩個的 XK 減X藍的 然後再加上 再 再加上N N加P 好吧 然後是N X藍的 DN 哦我注意 我現在 現在這個藍的是固定的 你有了這個實驗之後 這個 這一下它可以 可以什麼 當K K要大於等於 藍的時候 我們知道 這像是小於這兩個 兩個英雄 所以 一下是它 它是要小於這兩個英雄 兩個英雄 然後 我 再來說 說這一下 這一下的話 現在我藍的 藍的固定 固定之後 我再去M這麼大 對吧 所以呢你到M 比如說大於等於某個 藍的英雄的時候 這其實也是 一個英雄的話 這一下也可以 因爲 因爲什麼 因爲這是一種G 是一個 這個東西 對 因爲X藍的 X藍的其實是 是一樣 要等於M 要去 無窮 D個碼 C CN 到M D CN X藍的 N 對吧 這是G啊 所以說呢 那麼 這一下 這一下也可以 小英雄 這個地方的話 這一下也可以 小英雄 就是他會 小於13個英雄 M 大於等於他的 M 大於等於他的 在這裏 然後呢 所以你 再來M 在這裏 再來K區無窮 好吧 K區無窮 K區無窮的話 那也就是 你這個C個碼 M 到M大於 CN 那個 CN啊 CN這個 CN 這個 其實它是 要小於上輩 所以那 那其實也 也小於上輩 對 那英雄大於 對 那英雄大於 M大於等於 藍的E的時候 這個 要 要想它 所以說這個極限存在 所以說 所以說你 這個極限存在 CN 所以說這個極限存在 M要去 無窮 M從C到N C N CN 這是 這樣的X 存在 這是 真實存在 然後 在 在的 也就是這個極限的X 然後在的這裏頭 你得 N 去上去 你得N去上去 這 這沒事 這其實就是說 XK 減去 那個 這個極限 這個東西存在 小於等於 英雄大於K 要大於我們 前面那個 所以說 也就是什麼 也就是說這個XK 減去X 這幾個東西 要去 K 要去 所以說 X就是完備 所以 這個結論就是完備 有了這個事件之後 這 完備了 有了這個完備了 那你 其實人家很容易證CN是連續 我們證明是完備 但是我們還沒有證明CN是連續 CN是連續 那你怎麼做 你看CN CNXEN 怎麼辦 這個 這個其實就是 打N K 從N到C K AXEK 減去C A K 從N到N 然後怎麼 C K N-1 CKXEK 對吧 但是這 小於等於兩倍呢 兩倍的這個呢 沒 沒這東西想到它了 所以 但是這個 這個其實就是CNX CN 用N 它肯定不等於嘛 小於等於兩倍的 你就說CNX 小於等於兩倍的這個 對 CN 啊 但是這個 原來方式感覺 雖然小一點 當然跟N有關 但這沒有關係 這是連續的啊 這寫的N 好吧 所以這是連續的 好 這個定律就做完了啊 就是說 肖的基的凡 其實它這個性 形成對應的那個性 跟有求於一樣 它其實 它是關於X的一個 有限性的凡啊 也就是它的性 每個一頁權利上 性之一頁 它是關於X的 它是有限性的凡啊 那有了這個實踐之後 下回我們可以再回答 剛纔說的這個 這個事情 就是假如說 Y本身它有肖的基的凡 那麼這個 從X到Y 它的一個緊算子 它是可以用扭圈子算子 按算子放熟悉下來的 這就是下面這個定律啊 假設啊 假設 在我面前的時候 我用真的怎麼可以假設呢 這是可分的 可分的 它具有肖的基 離空間 具有肖的基的 這個離空間啊 從X到Y的這個緊算子 一定存在扭圈子算子 扭圈子算子啊 子彈 其實要去 這是肖的那邊的一個定律 那這是 這是斑斕上面的一個定律啊 斑斕肖的其實是同一代的人 都是波蘭人 那這是Y Y它有肖的基對吧 肖的基你就要假設一 那肖的基啊 肖的基的話 也就是什麼意思呢 也就是那你的Y Y的 你可以寫成 寫成這個體系的話 A下去 無窮 A 空間 A C Y 一樣 好吧 那我們 我們知道是什麼 Y 這全都 講的都沒關係 你做什麼 這是連續的 進行啊 A進行啊 那麼我就定義 定義一個 我的SM SM這個Y SMY 我就是 就是取的部分和 A 從A到M SM 這是 這個道理有解嗎 就是這個SM SM其實它是從Y 到Y 它性性有解 然後其實你可以 算算這個SM的方式 SM的方式其實是 其實 就這個 其實是 其實是一樣 要想一想 想一想 我來看一下 是這樣的 這個事情的話 我這個方式要根據哪個來算 性性有解 我是 我要按原來的方式 也就是說 我來算SM這個Y 好吧 這個方式 這個方式的話 其實 其實其實 這個是要等它的這個 A從A到M SM Y 對吧 然後是 這個其實是 要要要小一點 我們這個Y的方 對吧 Y這個方 但是這個方式它其實是 要要要小一點M 對吧 小一點M 小一點Y 因爲這個 所以也就是說 你按這個方式來算 也就是說你的SM 按這個算的方式來算 它其實是 要要要小一點 小一點M 按M其實還是同一個SM 那麼你可以算出來 M的話它其實是 要要要小一點 我這個方式 這個S 我都是按照原來的方式來算 不是按照新的方式來算 好你寫 現在T是 T是一個簡雙 啊 所以我這邊 TN TN其實 其實我 我就拿它 SM 你把這個符合一下 把這個符合一下 這個這個當然是什麼 這個也有同一個算法 有同一個算法 因爲爲什麼 你應該算一下這個TN TN的這個方式 其實其實它是 總是在在這裏 Y1到YN 這個直徑總到這裏 你不管T是什麼 因爲這個直徑 其實它是包含了SM在這裏 所以它總是在這裏 所以這是一個也就是算 那下頭我們 我們就就就要來證明 下頭我說 再一個東西 就是我們要 對下下頭我們也要來 要證明 要算個T A減去 T 這這 這邊要去 A要去 好吧 這這這時候 這個我們要做了啊 那你現在呢 現在還沒有 現在就關鍵 你這T是一個簡雙 這個地方要怎麼樣啊 那那我們也要 要用雙手關注時間 因爲這個T B 啊 這這是一個簡單 這是簡潔了 這個是一個簡潔 對不對 做點力 其實有一個人就在那裏 這其實有些模塊 那一定是偏大的 我都要談談 有些都是 有些都是Y1 YN好吧 使用什麼呢 使用的是什麼 對那一個X X在這裏頭的話 我都要乘在這個YI 啊 然後是這個Y I減去TX 它是讓它小於 對不對 啊 這這這其實就有些覆蓋了 有了這個時間之後 那我們可以呢 來來做做事 好吧 我們要估的是什麼 我們要估的是TN減T的 這個算法 對我們去 我們需要做的是 其實就是TX TX減去S STX 你是一 要來估 然後再來取SX 小於等於一 你要取一個三缺陷 對不對 好了 那那這個東西 它會小一點的吧 小一點的就是TX 對吧 減去YI 你的你的TX 你的那個S 那麼我有個YI對不對 然後再加上 一個是什麼 YI減去一個SX T SX 對我再來一個這個YI好吧 然後再加上一個 是這個 啊 S X 然後還是這個 Y I減去S SX我把它提了 SX Y I減去TX 對吧 所以說 這這這像什麼 這像小小小英雄嗎 這像小英雄 然後 特別這像SX SX常在本 所以它會小一點 對吧 第一像英雄 對那個X 小於Y 小於I 在對上對吧 然後再再加上一個什麼 再加上 SX的方式 這是S 這是第三個 然後再加上 YI減去SX YI 啊 你現在現在這個世界怎麼 現在這個世界 這YI它它總共是有有千多個了對不對 但是我們知道N區不同的話 那A 這些YI其實它是跟A沒關係的啊 跟A沒關係 所以你到N區無窮的時候 N區無窮我們知道SX YI它是 要去 這是效率級 因爲它它是 它 啊 這是效率級啊 效率級的級就是SX SXY它的極限是Y 啊 所以說你你 你可以讓它 那你的 你的英雄 我到A A比如說 比如說要大一點 要大一點 你可以使得這下 這下也小 YI區是吧 所以它其實你就可以拿 拿到小云 啊 加上 啊 所以這這這就做完了 那什麼意思啊 其實我們把我們要的事情把它拿出來啊 我我經常喜歡這樣子啊 對那一個英雄對不對 其實我這個中間都只是一個橋橋樑了 我我我我承諾着一個橋樑 是在M大於等於康的時候 這一個要要小 所以那什麼意思啊 那 注意這這些玩意全跟X沒關係的啊 因爲X的話 X有關係的是 X不變的時候 這是Y是YI的 但是這個總共對固定英雄 這是有限動作 所以有限動作的話 你你總總可以這個沒沒關係 所以你可以看出來 這個 你再改 再去再去三個鍵 會留意這個 再一個 X要小於等於1 X減去這個 SN DX要小於等於1 A加R 注意 所以這個這個其實就算了 他說 也就是這個好吧 好這是 這是這個幫他證明了一定 講完這個事情 現在我們講的解算 我們還有幾分鐘 還有幾分鐘的話 我要來跟大家 解釋一下事情 好吧 解釋一下事情 因爲我們現在講的解算 解算值的話 解算值這個 根據定義是什麼 他把一個有階級 變到X中的有階級 他要把它變到Y中的一階級 所以那這其實 這個 這個你怎麼樣來判斷 這個算子是不是減的 所以其實你是要判斷 它這個Y中的 什麼樣的集合 它是一階級 這是一個判斷 所以我們給大家講一講一些事實 具體證明我不會詳細詳細給證明 但是這個事實 大家需要知道 這個我們乾脆利用 我們再重複一下 假設N D 這是減之的數量空間 那麼我們知道 這個是一樣的 就是說N它除了零以外 取它的最大值 作爲一個算子 U的這個 U取的最大值 F的U XR 這八個空間 八個空間 那麼 這裏面是什麼樣的一個階段 A 是在這裏面的話 這是一個減的話 這是我們比較瞭解 20克的R差到這裏了 20克的R差了 這是什麼 它是要一直有減 再加上一個等動力序 這我們乾脆用 一直一直有減的話 也就是這個時間的話 就是說它就要 U 要想到某個團隊 讓你的U 壓在這個A裏頭 等動力序 對 A的力氣必須大一點 我要存在這個 要大一點 要大 X1和X2這個距離 要小一點的時候 我說這個UX UX1減去UX2 這個要小一步 這是要在那一的U 在這A裏頭 也就是在A裏頭 所有的U 我這個一步系統是同一個 一路過A A路過的時候 取着一個元素 A取着一個元素 那其實就是一直連續 但是一直連續到 在減制中間空間上的函數 它總是一直連續 所以這是這樣的一個事件 下一個例子 我估計 講完這個 然後再講一個吧 LK中什麼樣的part 一個減還是一個減 因爲這是 因爲LP可以讀常用空間了 LP 奧米加總和定 對對對 這些叫release 這是F2 這是弗洛西 還有科莫布洛 他們所證明的 我 過了 這個定理怎麼說 這個定理說是 我把這個講完吧 P U 奧米加函數 我把U把它延拓 延拓到Ux Ax 奧米加Ax 你這樣延拓 那麼 還有H U 我定義一個函數 再講 U 再講H 說的便宜 好吧 有了這個概念之後 如果LP奧米加它是一個減的話 關於LP函數 這也要關於LP函數了 LP函數 這是一個減到它其實充分的必要條件 充分的必要條件是指 我都要承擔這個 這個要承擔 這個當然 這個是 H要小一點好時候的話 你這個概念 HU減去U 它的這個 LP函數要小一點 這個其實類似於前面那個整個連續性 然後第二個是什麼 第二個要求這個 要求這個U的 LP函數 要小一點 那應該是給U壓在這裏 好吧 這是 這個 這是一個緊急的一個判斷 好吧 其他的留 我們留到下次再講吧 好吧 今天這個作業的話 我們就在這 我這個書上是這個 第四章 大家電子書上應該是第三章 但是我還是根據我這個 這個書上的這個東西來 好吧 這個作業的話是這樣 我這個書上是3.1 你們可能是3 我這裏頭是4 這是我就寫4吧 4.1.1 然後呢 4.1.4 1.4 4.1.4 好吧 就這麼多 你們 我不知道你們那個編號可能是3 好吧 我們今天我們就講這麼多 這個