【麻省理工】公開課《微分方程》 P30 - 30. 非線性方程組和一階常微分方程之間的關聯

今天的課程主要將用來解決一個非線性系統的實例 但這是一個 非常好的例子 因為它能說明三件事情 這些是你真正需要了解的 必須了解非線性系統 我用三個隱晦的詞語標示了它們 但你 會在課程的不同階段看到它們所指的內容 因此 這些每一項都代表了你必須了解的非線性系統的內容 才 能有效地分析它們 此外 這是 我不被允許再收集更多工作的原因 系規則從今天開始生效 當然我不會 但儘管如此 最終的考試 將包含來自閱讀作業 G7 的內容 我今天會講解所有這些內容 以及7 4節 僅僅幾頁內容 你會看到 它與我們今天要進行的相同範例之間的關聯 然後我建議這三個練習來強化講座的內容 因此 我決定先做一個說明 以免影響後續的內容介紹 這是指我所說的一階方程式轉換 那麼 我們來看看 或許我可以這裡做 因此 我們的系統看起來像這樣 dx dt 因為這次我沒有寫 xprime 而是想明確指出獨立變數是什麼 所以這是某種非線性系統 自動系統 因此右邊沒有t 但這並不簡單 線性函數 ax 加 dy 這比你昨晚研究的捕食者- 獵物- robin-earthworm 問題更複雜 而另一個方程式則是 g(x y) 因此明確地說 這個系統一般來說 是非線性的且是自治的 如右側所示 現在 請記住這個幾何圖像是一個速度場 所以你畫出的是 一個速度場 這個速度場的向量分量是f和g 所以那是fi 加上 gj 但看起來像是一架裝滿許多向量的飛機 它根據該點的速率以不同的方式在該點進行 然後並排的是解 一個典型的解是 x 等於 x 的 t y 等於 等於 t 的 y 以欄向量表示 而幾何上 這是一種參數方程式 以及它的幾何圖像 根據其軌跡來看 我們稱之為 當你畫出它時 它是一條軌跡 它不僅有正確的方向 在每個點上 換句話說 它也必須在每個點上具有適當的速度 換句話說 有時這個點移動得很快 有時則移動得較慢 沿著那條路線 它移動的方式是解決方案的重要部分 現在 我計畫做的事情是 我所談論的轉換是透過消除來實現的 為什麼會想這麼做呢 畢竟t是解決方案中至關重要的一部分 這正是這幅圖畫中不可或缺的一部分 因為沒有它 你就 無法知道箭頭應該多長 你仍然會知道它們的方向 當然 它發生在這裡 現在 讓我們先邁出第一步 將系統本身中的 t 消除 現在 正如你所看到的 這很容易做到 因為右手邊的 邊上根本沒有 t 而左邊的分母只有 t 差異 因此 消除 t 的明顯方法就是將其中一個方程式除以另一個方程式 而且通常我們想到的是d 而不是dx除以dy 而是dy除以dx 所以我將讓位於d 什麼是 dy/dx 是什麼 嗯 如果我把這個方程式除以那個方程式 也就是 dy/dt 除以 dx/dt 的話 根據鏈式法則 或者根據常理 你會消去 dt 對吧 而你得到的是 dy 對 dx 的導數 在右邊 你得到的是 g(x y) 除以 f(x y) 但那是什麼 那是這個項目第一種狀態的方程式 透過這一步 我將這個非線性系統轉換為我們幾乎從來不會找到顯式解的系統 轉換為一個一階的常微分方程 事實上 你通常也不會這樣做 找到明確的解決方案 除非我們戴上狹隘的偏見眼罩 我們只會遇到問題 18 03開始時將會有這個問題的明確解法 所以我已經轉換了 將非線性系統轉換為單一的一階方程式 我 就可以應用常規的一階方法 希望我能解出它 現在我會失去什麼 這張圖片會發生什麼變化呢 如果你沒有其中的「t」字的話 你沒有速度 就沒有帶有長度的箭矢 因為 長度告訴你該點移動的速度 沒有t 我無法知道任何一點的狀態 它應該以多快的速度前進 在任何一點xy 我所知道的已不再是dx dt dy dt 我只知道 dy dx 換句話說 如果我消除 從這張圖片中 只剩下這些箭頭的方向 什麼都消失了 其長度是 事實上 我甚至無法這樣做 因為 dy dx 僅僅是斜率 我甚至無法做到 判斷它是否應該這樣進行 重點是這個點是往這個方向還是那個方向移動 現在這個點再移動已經沒有任何意義了 因為已經沒有時間了 它所能行進的路徑 也就是它行進的方向 因此這張圖片就 改變為方向場 現在 你所要做的就是 將這些箭頭一一取來 你將它剪到標準長度 注意要小心剪掉尖尖的一端 而它僅僅成為一條線元素 所有它具備的只是斜率 因此 這 張圖形所呈現的對應於此處的速率場 現在僅僅是我們的斜率場 方向場 我們所知道的只是每個點的斜率 那麼解呢 嗯 如果我消去了時間 解就不再是參數方程組 而是一 只是一個涉及 x 和 y 的方程式 我希望能得到 y 等於 y除以 x 的顯式解 但你從學期開始就已經知道有時會出現這樣的狀況 它不是 讓我們稱之為明確的解決方案 有時你不得不接受 有 時它並不是痛苦 而是更好 接受一個看起來像這樣的解決方案 像這樣 y 被隱含地定義為 x 的函數 圖片顯示的是什麼 那看起來是什麼樣子呢 這張圖片現在只是一條積分曲線 它已經不是軌跡了 而是我們所稱的積分曲線 所以我提醒您 你是在開學的第一天 或者說是第二天 而它只有 於 每個點的右側斜率 因為現在這就是場告訴我的一切 它只 有一個斜率在每個點 它沒有任何大小或方向 它有方向性 但它的方向並不像箭頭那樣明確 告訴我它是在向哪邊移動 這樣或那樣 所以 這就是帶有 t 的圖像 這些是對應的 那種退化 那是粗糙化 那是使其價值降低 那是丟棄資訊 拋棄所有與t有關的資訊 我們便回到學期開始的最初階段 僅使用一個僅涉及x和y的一階方程式 其解為 僅涉及 x 和 y 或這些解的圖形所形成的曲線 但同樣地 它們並沒有t這個符號 實際上它們只是軌跡的路徑 其中軌跡的點顯示了該點隨時間移動的快慢 在不同階段 那麼 人們為什麼會想要丟失資訊呢 因為這 樣做可能更容易解決 而這幾乎肯定無法解決 例如 讓我們 在最簡單的情況下說明它 假設系統是……我 現在很難用非線性系統來說明 因為一般來說 非線性系統是無法解出的 讓我們來看一個簡單的例子 假設系統是 一個線性的 讓我們說這個我們之前談論過的 實際上 那是一個簡單的 線性系統、2x2系統 這表示對時間的導數 嗯 你 應該知道我們之前談過的解 事實上 上次典型的解會是 就像 xy 等於某個常數乘以 例如 如果 x 是 cos t 那麼 y 就會是 就是它的導數 也就是負的正弦t 或者另一個是c2乘以正弦 的餘弦 t 當然 這些都是圓形 它們是參數化的圓形 也就是圓形 這類物體實際上是沿著這個方向運轉的 並且它們具有一定的速度 現在 如果我按照這個消除t的計畫來做 我該怎麼辦呢 如果我直接消除t的話 從系統中 我會得到什麼 我會得到 dy 對 dx 的導數 我把這個方程式除以那個方程式 等於負的 x 除以 y 哦 當然 這是可以解決的 我們能夠解出 透過變數分離的方法 在你進入這門課程之前 你應該已經學過18 01的內容 這樣我們得到 dy 等於負 x dx 其積分結果為 1/2 y 平方等於 負一又二分之一x平方加上一個常數 然後將2乘以2並移動我們的 周圍的東西會變成x平方 最優雅的說法是隱含的x平方加上y平 方等於某個常數 正的常數 所以這些就是圓 現在 我可以消去 我也可以採用其中一個解決方案並消除t 如果我將其平方 效果最好 正確的做法是不要使用反餘弦和反正弦等函數 這只會導致複雜化 你完全搞錯了 把這個平方 那個平方 然後加起來 你得出的結論是： x 平方加上 y 平方等於 1 或者如果 c1 不等於 1 則等於 c1 平方 因此你可以像從一組參數方程中消去 t 一樣 從解中消去 t 方程式 你會得到同樣的結果 也就是x平方加上y平方 在這種情況下 會 平方的 我想 在某種意義上 我們所做的就是 我們在循環 到這個學期開始為止 事實上 這整個講座 正如你將會看到的 是關於週期的 無論是哪一種 但我一直記得那句詩句 在我結束之際 這是我生命的開始 或者說我的開始就是我的結局 我想這兩句話都存在 但那是 這裡發生了什麼 這是課程的開始 而這是課程的結束 它們之間幾乎毫無關聯 但請注意這完全不同的關係 用於分析這部分的方法 其中包含t 與分析沒有t的這部分 的方法不同 目標不同 你尋找的東西也不同 一切都不一樣 不同的問題 卻幾乎是同樣的困境 好吧 現在 我承諾過會用一個非線性的例子來說明 我想是時候看看那是什麼了 它就是 將是另一種捕食者與被捕食者的方程式 但這在某些方面更簡單 我給你的作業 所以捕食者會是 x 因為你已經習慣這樣了 從鷦鷯那裡來的 所以我會保持相同的變數 捕食者-獵物變數 而獵物將會 就是 y 現在 請注意與我之前給你的內容之間的小差異 首先 我不會給出具體數字 至少在開始階段 我會用字 母和參數來進行結尾開始時的分析 所以我會開始 假設a、b、c永遠是正數 我將假設 也就是 x' 等於負的 a x 這表示捕食者會滅絕 如果沒有獵物的話 但如果有所謂的食物 那個項就代表著 捕食者吃掉獵物 遇到獵物便一口吞下 而B是係數 一個係數 這樣如何 沒有捕食者時 係數 獵物會繁衍並繁盛 不幸的是 它們會被吃掉 因此會有一個看 起來像這樣的時期 現在 基本的差異在於 有兩個基本的差異 這些簡單的方程式以及你與羅賓蚯蚓所解的稍微複雜一 些的方程式 首先 我假設這些人 嗯 我們給他們…… 這些名字只是隨便說的 比如說這些是鯊魚 我希望你能記住哪一個是 x 和 y 所以我們將它們視為鯊魚 這些將是食物 魚 那我們來做點好吃的魚吧 美味的魚 好的 現在 就你那隻知更鳥來說 你這裡用了一個正向的詞 我把它放大了兩倍 現在變成負的ax了 有什麼差別呢 紅鶇還有其他食物可以吃 所以即使沒有蚯蚓 知更鳥會活下來 它可以吃其他昆蟲幼蟲 例如日本金龜子幼蟲 它甚至可以 我想它甚至可以吃種子 不管怎樣 我花園裡的知更鳥似乎在啄食著 一些看起來不像昆蟲的東西 另一個是 我假設了一種非常天真的看法 成長法則 例如 如果沒有鯊魚 食物魚如何 食物魚會繁衍並大量繁殖 呈指數增長 顯而易見 你不能有那種無限的成長 因此我們加入了 隨著螞蟻的增加 我們加入了一個「 減去一個常數乘以 y 平方」的項目 以表示連螞蟻也不可能純粹呈指數方式繁殖 永遠持續下去 但最終 由於無法找到足夠的有機物質來突破 它們的成長會趨於平緩 所以這就是兩者的差異 我並沒有假設 一種邏輯增長定律 這比我給你的作業中的那個要簡單 而且 它並不要求 這個假設是鯊魚除了……以外什麼都吃不了…… 這些魚 這還不錯 基本上是對的 好的 現在讓我們 所以我的 這個計畫現在透過這個模型 讓我們開始分析 就像你學習這樣 做一樣 我們會在各處遇到麻煩 這些麻煩隨後將闡明這些問題 我想提出的三個觀點 當你遇到困難時 可以將非線性系統 加入你的解決方案中 我們也會加深你對非線性系統的理解 系統 所以我們首先要做的就是找出關鍵點 好的 現在我要進入 認為你已經很熟悉這個過程 因此不會花太多時間詳細說明計算步驟 我直接在黑板上寫下來 所以我接下來要寫下的第一個方程式是 x 乘以減去 a 加上等於零 我想你應該知道我為何要寫下這個 另一個方程式將是 y 乘以 c 減去 dx 等於零 這些就是聯立方程式 我必須找出關鍵點 好的 第一個是 如果x是 如果 這些的結果是零 要麼x是零 要麼另一個因數是零 所以如果x是零 如果 如果 x 為零 那麼根據第二個方程式 y 也必須為零 所以這樣就是 一個關鍵點 現在如果 x 不等於零 那麼這個因子必須為零 這就是原因 說 y 必須等於 a 除以 b 而如果 y 等於 a 除以 b 這裡就不等於零 因此這個因素必須為零 這表示x等於c除以d 你立刻 可以看出這是一個較簡單的系統 因為它只產生兩個臨界點 而你做功課時用的系統有四個 那麼 這裡有一個 好吧 我們就這樣 再寫一次 所以關鍵點是零 零 這看起來一點也不有趣 但另一個看起來更有趣 它是 c 對 d a 對 b 好吧 我們來看一下 首先看看零點 也就是原點 那是什麼意思呢 看起來如何呢 其實一開始進行線性化非常簡單 因為我只需要 忽略二次項 也就是兩個小數的乘積 而這些項只佔很小的一部分 其中只有一個小數字 所以是減去 a x c y 換句話說 線性化 矩陣是負的a 零 而c y給了我那裡的係數c 現在我從來不會 我認為在任何時候我都沒有明確告訴過你 我希望你從作業中學到了東西 或者也許是你的背誦老師 但天啊 如果你有 就把這個放下 在你的小書裡 如果你有一個對角矩陣 天啊 別計算它的 特徵值 它們就在你眼前 它們永遠是對角線上的元素 所以 特徵值 如果你堅持要寫出這個方程式 你可以自己驗證 但請相信我 我認為 這也很明顯 哦 這是很明顯的 例如 如果我從主體中減去 c 就會得到…… 對角線 我將計算行列式 使行列式為零 因為最後一 行將全部為零 因此特徵值為負a和c 換句話說 它們 正負符號相反 這是一個負數 這是正數 因為a、 b和c始終為正數 因此這自動成為馬鞍點 你不會有 要計算任何東西 它就在你眼前 這一定是一隻馬鞍 不穩定 因為所有鞍點都是如此 事實上 你甚至可以畫出靠近原點 時這類物體的簡單圖形 而無需進行計算 也無需麻煩地計算特徵向量 雖然這件事做起來非常容易 只要憑藉常識就能做到 這些是鯊魚 這些是 是美味的魚 好吧 如果沒有任何美味的魚 換句話說 如果我在鯊魚身上 軸 鯊魚的軸 我會滅絕 好吧 別考慮這方面了 這只會帶來正面影響 一邊 這是有道理的 但我會滅絕 因為鯊魚沒有食物可吃 而如果 我在鯊魚軸線上 我走這條路 我因為沒有鯊魚吃牠們而成長 美味的魚類增加 所以它必須看起來像這樣 因此馬鞍必須看起 來像這樣 馬鞍的曲線緊貼著它們並靠近 現在 另一個關鍵點是 有趣的是 為了避免你浪費餘下的時間 分析如下： 在這個時期寫A、B、C、D的內容 我將做出簡化的假設 但這並不會改變任何質的方面 也不會改變任何數學內容 它只是讓事情稍微變得簡單一些 更容易把其他事情寫出來 我會假設所有事情都是一體的 對不起 那麼 事實上 即使這樣也已經足夠了 但讓我們把一切都合而為一 所以我會這樣做 請假設這樣 這只是為了讓文字更簡單 這並不會真正改變數學內容 當然 那麼 如果所有東西都是一樣的 為了計算線性化系統 我最好使用雅可比矩陣 但或許應該明確地寫出系統的內容 因此 系統現在為 x' 等於負 x 加上 xy 所有的係數都是 1 y 的導數等於 y 減去 xy 那麼雅可比矩陣是什麼呢 雅可比矩陣是偏導數 對於 x 的偏導數 即負一加 y 對於 y 的偏導數 也就是 x 這個對 x 的偏導數 也就是 -y 以及這個對的偏導數 至於 y 它等於 1 減去 x 但我想要在 -1 到 1 之間進行評估 在第一點 也就是關鍵點 這是關鍵點 因為我已經 假設所有這些參數都等於一 當我這樣做時 我得到的結果是計算出的值 我一、一 我懂什麼矩陣 嗯 我得到零、一、負一、零 在其他方面 「文字」所描述的線性化系統是什麼 它就是 x' 等於 y 而 y' 等於 負的x 嗯 那只是我們之前分析過的那個 在哪裡 這裡 在 也就是解是圓形的那個 換句話說 我們找到的東西是 輸出的是線性化系統屬於哪種幾何類型 馬鞍點、節點、螺旋點、以上皆非 這些點是中心點 因此線性化系統也是一個中心點 它由其他因素組成 曲線一圈圈地緊密相鄰 形成同心圓 事實上 那麼 那有什麼問題呢 好 現在我們陷入麻煩了 我們現在有麻煩了 因為那是邊際案例 讓我想起來邊際案例是什麼 我們畫那張圖時 這不是來自這份 而是來自上周的習題 那麼 你有完美的藉口完全忘記它 但讓我 但我正在努力做到 提醒你這件事 這也是我這麼做的另一個原因 記得我請你幫忙拍的那張照片 你剛才在電腦畫面上看到的那個 記住當時是 我們讓它稍微…… 讓我扁平化 這樣我就能再寫了 所以這是一個拋物線 某個拋物線 你一定很想告訴我的方程式 但我並沒有問 所以這裡就是痕跡 這個 是行列式 特徵方程式與這些的值有關 數字如正t等於零 然後 這些是螺旋狀的沉降區 這是螺 旋狀源頭的區域 這是源頭的縮寫 這些是節點源頭 節點的 水槽 這些是節點來源 而這裡是鞍部 而哪裡是 這些中心 這些中心都沿著這條線 這些中心數量不多 而且它們是這兩個地區的分界線 現在 之前 所以我會記下來 但這些是中心 這些其他邊界對應其他事物 這些是有缺陷的 特徵值、零特徵值等等 但讓我們只專注其中一個 你會在註釋G第7點中找到其他人的討論 但如果你領會了這個概念 那麼 剩下的只是細節 我想會很完美 中心有什麼問題 答案是 如果我們處於某個中心點 例如 這個系統對應於跡 為零且行列式為正一的情況 也就是t等於零且d等於 一 這個觀點 換句話說 現在 如果我稍微改變矩陣的係數 juste 一點點 只是稍微改變它們一點 我要做的是離開這個粉紅色的東西 我可能會搬到這裡 或者搬到那邊一點 但如果這麼做 我改變了幾何類型 換句話說 這是一種邊界類型 參數的微小變動可能會導致結果的改變 事實上 這在幾何上是如此 清楚 中心看起來是什麼樣子 中心看起來是這樣 一組曲線朝 同一方向彎曲 像是同心圓 或者可能是橢圓 或者類似的东西 那樣 如果我扭曲那樣 稍微扭曲圖片 那麼 我 可能會把它變成這樣 當它們繞過後 就不完全吻合 他們一開始就處於這個位置 我要去買一個水槽 一個螺旋水槽 或者 我可能通過繞一圈來進行變形 而我發現自己稍微偏離了原來的位置 這種情況下就會形成螺旋狀的來源 因此 僅僅改變這些 曲線稍微改變一點就能讓圖片變成這樣或那樣 對應到 這個事實是 如果你在這裡使用這個t和d的值 0和1 只需改變 你稍微調整一下 就會進入這些區域 當然 你可能會 留在粉紅線上 這不太可能 那麼我們現在處於什麼情況呢 好吧 如果 線性系統在這個意義上並不穩定 如果你稍微改變參數 它不會改變類型 畢竟這只是一種非線性系統的近似 系統 如果這個近似值無法準確預測參數改變時的行為 那麼你就無法從中改變 也無法得知原來的系統 看起來像是 換句話說 非線性系統 非線性系統可能在某個點上 一個可能是一切可能性中的某一個 仍然是一個中心 或者它可能是一個螺旋狀的凹陷 或者它可能是一個螺旋來源 這三種可能性中的一種 它不可能是 它不可能是節點 因為那太遠了 但牠可能進入這兩個區域中的任何一個 因此 僅從 這種臨界點分析 你無法判斷這三種情況中的哪一種 好吧 這就是沃爾泰拉的問題 順便一提 這些方程式 是由沃爾泰拉引進並以我們現在這樣系統性地研究的人 事實上 他對鯊魚和食用魚感興趣 它們當時被這麼稱呼 我們該怎麼辦 好吧 你必須夠聰明 沃爾特拉所做的就是採用了第一種方法 讓我們 做吧 伏爾泰拉說 好的 我有我的方程式 x 的導數等於 那是什麼 因此是負x加上xy y的導數等於 這些是食物魚 所以有 y 減去 xy 讓我們消去 t 當然 我的問題是 我試圖確定什麼 臨界點類型一 其中一種 而我們迄今為止使用的方法已經失敗了 因為它給了我們一個邊界案例 從中我們無法推斷出 好的 所以他 說 我們消去 t 得到 dy dx 等於 y 我要提出公因式 y 乘以一 負x在分子 分母則是x負一加y 好了 你可以解出 在你進入18 03之前 對吧 這個 你可以分離變數 我們來分離吧 變數 好的 所以所有的 y 都放在一邊 所以 y 會出現在這裡 所以是 y 減去 一除以 y dy 等於 另一方面 它的是 dx 被移到上面 一減 x 除以 x dx 當然 你絕對不會想到對這個使用部分分式 這 將是非法的 因為儘管它是一個有理函數 即兩個多項式的商 分子的次數不低於分母的次數 換句話說 這個次數 分式是假分式 這個次數必須比那個次數大 而這一點 不是 所以你必須先進行除法運算 如果進行了那樣的除法運算 那麼就沒有意義了 在使用部分分數時 當然 你會這樣做 透過將 帳戶 那麼解決方法是什麼 它是 y 減去 log y 等於 log x 減去 x 加上某個常數 那不是我想要的最終常數 所以我會給它加上下標一來表示 我想要更多 現在 很難看出那條曲線長什麼樣子 我們可以讓它變得更清楚 讓它看起來更好 透過指數運算 如果我進行指數運算 回到高中數學 但根據經驗 我知道你們很多人在這一步都不太擅長 那是另一個 我這樣做的原因是因為這部分很簡單 是 e 的 y 次方 乘以 因為有加號和 負數會隨著時間改變 即 e 的負次方乘以 e 的負對數 y 嗯 e 的 對數 y 就是 y 如果我在前面加上負號 它就會被放到分母裡 因此 不是 y 而是 1 除以 y 等於 x e 的自然對數 x 等於 x e 的負 x 次方是 因此乘以1除以e的x次方 而這部分是方程式中的x部分 所以 指數是 c1 我會稱之為 c2 現在如果我把它們全部開啟 將它們全部結合起來 用 我會把他們都放在一邊 這是 x 除以 e 的 x 次方乘以 y 除以 e 的 y 次方 這個等於另一個常數 即1除以c2 讓我們稱這個為我的最終常數 因此 我們稱之為 c 換句話說 這些曲線 積分曲線就是這些圖形 這個方程式在不同常數 c 的值下的情況 當然 你已經知道 你 我經常要畫這樣的方程式 我拿它有什麼用處 真是個笨東西 首先 我故意選了一個包含你所學內容的東西 一直到現在 那麼 我們現在進入 18.02 對吧 如果你在 18.02 中看到它 你會說這是等高線 這些是這個函數的等高線 我們換一種方式寫出來吧 這沒有什麼差別 但你更有可能理解 見過這種形式的函數 然後 x 除以 e 的 x 次方 你不會認出它 但 這一點你會認出的 事實上 這個詞我們在這學期已經見過了 它只是其中一個 二次方程式可以有哪些解法 y 乘以 e 的負次方 y 等於 c 這就是這個函數的等高線曲線 我們稱這個函數為 假設是 xy 的 h 當然 你可以像在 18.02 課程中那樣把它輸入 MATLAB 中 並請 MATLAB 繪製函數圖形 但伏爾泰拉沒有這樣的便利 他也很聰明 那麼讓我們聰明一點 函數 x 有什麼作用呢 我們可以使用像 u 這樣的中性變數 繪製 u 的負數圖形 好的 18.01 在零時 其值為零 當 u 很小時 這個值大約等於一 因此它就像函數從函數u開始一樣 當u趨近無限大時 根據洛必達法則 這個值也會如此 到零 結果就變成這樣 好吧 它除了上升還能做什麼呢 到最大值 但那個最大值在哪裡呢 很容易看出存在一個唯一的最大值 juste 在18 01時 求導數 找出最大值點 你會發現 或許 你已經這麼做了 這就是一個 最大值出現在一處 其值為 那裡的導數為零 那裡的值是1乘以e的負一次方 也就是 1 除以 e 這就是曲線的樣子 其中一條等高線曲線 這看起來像什麼 啊 那麼 如果我們觀察這個函數的等高線 所以這裡是x 這裡是y 我們想要函數h(x y)的等高線 我怎麼知道呢 它的最大值在哪裡 函數 h(x y) 的最大值點在哪裡 嗯 是 x 乘以 e 的負 x 次方再乘以 y 乘以 e 的負 y 次方 這在處達到最大值 一 這在一時達到最大值 那麼 x y 的 h 在哪裡也增加呢 你不能這樣做 任何情況下 你都有兩個因素 其中一個使每個因素都能達到最大值 最大值是： 必須正好在那個關鍵點上 一次 好吧 那就是我們的最高點 讓我們 給它一個重點 使其顯眼 所以這是重點所在 重點就是重點 一個 這是讓一切變得完美 讓功能達到最大的關鍵 現在怎麼樣 這條等高線是什麼 嗯 這是山頂 沿著座標軸是什麼 沿著座標軸 當x或y為零時 函數的值為零 因此它最大的值是在這裡 在這裡 它的值是零 所以是零值 等高線是什麼呢 嗯 我們必須在此處有一座山峰 這是獨特的最高點 事實上 它就是 很容易看到這些輪廓線就像這樣環繞著 現在他們無法螺旋的原因是 因為第一名永遠不會出現螺旋狀的等高線 這是一個很好的理由 這是一座山 你懂的 山的等高線就是這個樣子 但所有 好的 這不是一個好的論點 但請注意 在這裡每條水平線中 我想知道它能與等高線相交多少次 這等同於沿著 提出的問題 這些線與水平線相交的次數是多少 看 這是函數的圖形與水 平線的關係 因此 這些等高線與其中一條線相交的次數是多少 曲線 它與水平線相交的次數與此曲線相交的次數相同 最多可以相交兩次 如果你正好在那個高度 只會相交一次 之後就再也不會相交了 好的 但在這裡 它只能與每條等高線相交兩次 這意味著這些物體無 法螺旋形狀延伸 否則它們將會與這些水平線和垂直線多次相交 而不是僅僅兩次 所以看起來就是這樣 事實上 我們甚至可以加入方向 不費吹灰之力 我們知道沒有食物魚類 鯊魚就會滅絕 魚類在生長 嗯 我想這一定是順時針方向的 你知道 因為附近的那些人一定會是 沿著相同的路線前進 因此他們附近的人也必須沿著相同的路線前進 而 因此 那個傢伙 你知道 有點像多米諾效應 它會擴散 方向是…… 這些必須全部順時針旋轉 這是唯一兼容的方式 那麼實際發生了什麼 食用魚開始出現 此時有很多鯊魚 但不是那麼多的食用魚 鯊魚吃掉了僅存的少數食用魚 現在 鯊魚開始滅絕 因為牠們沒有東西可以吃 當牠們幾乎消失時 魚類 嘿 我們可以重新開始成長了 它們不斷地成長 同時 對於 一會兒 牠們快樂地成長 但接著鯊魚突然又能找到牠們了 剩下的少數鯊魚開始吃牠們 鯊魚的數量開始增加 食物魚又開始死亡 循環又重新開始了 現在 我想談談質的行為 從某種意義上說 這是最重要的一點 講座中非常重要的一部分 我想再次討論 就像學期開始時那樣 漁撈的影響 以固定速率使用漁網進行漁撈 K 就像學期開始時 我們談論過對單一族群的漁撈 唯一的不同之處是現在 鯊魚和食物魚是兩個種群 現在 這個方程式會發生什麼變化呢 X 的導數等於 這些方程式與原來的一樣 我現在回復到 A 而且 B 因為我們會看到原因 因為我們需要一般的係數 再加上 BXY 但如果 我們用網子捕魚 然後海裡一定比例的鯊魚會被拉上來 網路 以及漁獲率 假設漁獲率為 K 意思是我們移除 有漁獲 項目 我們會移除減去 K 倍的某個比例的海洋中的鯊魚數量 那食物魚呢 我們也將牠們移除 並不區分鯊魚與其他魚類 而且還有食物魚 所以這是 CY 減去 DXY 但我們也會去除其中的一部分 它們減去 K 倍的 Y 那麼新的系統是什麼 新的系統就是 X 質數等於負A加K 我將這兩個X項合併 加上X乘X 加上BX Y 而 Y' 則為 C 減去 K 乘以 Y 再加上負 BXY 換句話說 現在要解這個方程式 這些 我不需要進行分析 我只需要更換數字即可 這些係數從 A 到 A 加 K 和 C 減 K 現在 新的、舊的臨界值是 重點是C在D之上 A在B之上 新的關鍵點是什麼 嗯 參數因加入 K 而改變 因此新的臨界點為 C 減去 K 除以 D 以及 A 加上 K 除以 D 那麼釣魚的影響是什麼呢 嗯 如果舊的 如果…… 這裡有鯊魚 如果舊的關鍵點在這裡 我們假設這是點 C D 是點 A 對 B 的關係 那是舊的臨界點 位於這裡 結果是 釣魚的目的是降低X的價值 提高這裡的價值 因此新的關鍵是 重點是這會降低到 C 減 K 除以 D 而這會提高到 A 加 K 除以 D 換句話說 重點就在於這個新重點 因此效果就是釣魚的效果 其做法並不會平等對待鯊魚和美味的魚類 捕 魚行為會降低鯊魚的數量 關鍵在於這平均值 鯊魚種群數量 平均鯊魚 當然 它會在這些數字周圍波動 但平均來說 這能顯示平均有多少鯊魚和多少食用魚 所以新的關鍵點顯示捕魚會降低鯊魚的數量 並增加食用魚的數量 魚類的數量並不是直覺上的 事實上 那是觀察到的結果 在稍 微不同的情境下進行了實驗觀察 這就是為什麼維爾特拉會這樣說 開始解決這個問題 如果你能再給我三分鐘 我想 最有趣的應用並不是鯊魚和食用魚 我不能假設那樣 你對海洋中有多少這種東西感到極度興趣 但你可能更感興 趣的是這個 因為這個同樣被稱為Vol 關於降低的問題 這被稱為伏爾泰拉原理 記在你的書裡 伏爾泰拉原理 這就是伏爾泰拉 那裡的鱈魚有更現代的應用 好吧 沃爾特拉 牠們的應用範圍比鯊魚還要廣 假設你認為池塘裡的魚 你有在池塘中繁殖的蚊子幼蟲 好吧 這情況你懂的 這事就這樣發生了 然後突然間就出現了一大群蚊子 以及許多關心公共事務的公民 這就是50年代發生的事情 那是在你出生之前 出生 但不是在我出生之前 你懂的 會有很多蚊子 所以大家都說 嗯 蚊子在小的靜止水窪中繁殖 噴灑滴滴涕在 他們 滴滴涕他們 倒進池塘裡 這樣就能殺死所有幼蟲 我們就不會受到感染 被咬的問題已經解決了 現在 當你噴灑藥劑 當人們把DDT倒入池塘時 情況已經不同了 當時並沒有意識到 因為這些事情當時還是新事物 當然你會殺掉它 但你也會殺死魚類 因為DDT對魚類是有毒的 那麼該怎麼辦 你所做的一種效果 從數學上來說 與捕撈魚群的數量是完全相同的 與鯊魚和食物魚一起 結果是 這就是魚 這些魚是捕食者 因為它們吃蚊子 它們吃蚊子幼蟲 大型食品 根據維爾特拉原理 如果存在某種平衡 使用滴滴涕時 這種平衡會移動到這裡 換句話說 隨意將滴滴涕噴灑在池塘中 會增加蚊子數量並殺死魚類 事實上 情況就是如此 觀察到的情況也同樣適用於鳥類和昆蟲 噴灑殺蟲 劑來消除一些害蟲 對樹木噴灑殺蟲劑來消除昆蟲 這反而導致更多鳥類死亡 而昆蟲數量卻增加了 謝謝