【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）上 P32 - 33. 33-教學錄像-91波動7

如果Z1大於Z2的話 反射波和入射波引起介面置點的振動是同向的 如果Z1小於Z2 波速介質到波密介質 微向差個派 對於透射波沒有介面的振動 沒反向 通通是同向的 那我們看一下 如果Z1 Z2 就是第一種介質和第二種介質的阻抗 差別很大的話 Z1遠遠大於Z2 或者Z2遠遠大於Z1 從這個式子看呢 反射波的振幅跟入射波的振幅是一樣的 差個負號那微向 如果Z1 如果Z2遠遠大於Z1的話 那這個是零 就說明沒有透射波對不對 但你看這個式子 如果Z1遠遠大於Z2的話呢 A2是A1的幾倍啊 如果Z1遠遠大於Z2的話 Z2當作零的話 變成二倍了對不對 這是有問題的 因為這種情況下 A2應該是零 為什麼從這個式子出現二倍的關係呢 原因是什麼呢 我們說 透射的能量跟入射的能量的比 應該是零對吧 從那可以得到這個結果 得到它等於零 從這個式子看不出來 所以為了討論這個問題呢 我們要看一下能 反射係數和透射係數 我把反射波的強度 就那個能流密度啊 比上入射波的強度 從能量的角度來定義 這個叫反射係數 然後把透射波的強度 和入射波的強度拿來一比 由於在同一種介質中 都是在第一種介質中 頻率又一樣 所以呢 就等於透 反射波的正負 跟入射波正負比的平方 是這個字 這個時候Z1和Z2如果 差別非常懸殊的話呢 這個比呢 就是一對吧 能量的比呀 反射能量和入射能量的比 就是一 我再把透射能量 跟入射能量的比 寫在這裡 叫做透射係數 這個時候因為Z2和Z1不等 所以你的結果呢 應該是Z2比Z1 再乘了A2 A1扣平方 這個時候呢 這個透射係數應該是 Z1乘了Z2 比上Z1Z2的平方 這個時候如果 它倆差別很大的話 那這個當然就是零了 所以從能量比的角度 我們看出來 如果兩種介質 兩種介質 Z 阻抗 有顯著差別的話 一個比一個 另一個大很多的時候 這個時候呢 R等於一 T等於零 叫全反射 完全反射 這個時候呢 只有反射波 沒有透射波 我們討論注波的情況 就是完全反射情況 給大家注意 一定用這個能量的比 來討論這個問題 你用這個A2比上A1 來討論有問題 因為A2就是零了 A2就是零了 A2比A1啊 這個在 A2非常接近零的時候 那個邊界條件 就不成立了對不對 但我用能量呢 討論是可以的 這是透射 透射過去那個能流密度 或者是強度 它來的比 這個東西 我就可以討論這件事情 所以一般呢 你用能量來做討論 是比較容易得到正確結果 好 這個魚洗呢 我今天拿來了 下課你們願意玩呢 拿到地下去搓 在這搓不行 這個桌子凍 把手沾濕 你們試一下 看誰搓得好 誰搓得好 那個注波 注波的越明顯 這個地方也有 你們有空到那去看一下 這裡有好多 有趣的物理現象 你們有時間啊 這個 在你業餘時間 玩耍之餘 你到這看一看 還是挺有意思的 這是我們老師 用了兩年時間 建設這麼個大廳 你們去看一看 而且我們期末呢 希望大家通過參觀 這個演示大廳的一些實驗 找到一個你感興趣的實驗 分析它的原理 這樣的小論文 我是特別喜歡的 不要出手太高 上來做SCI 這種可能性極小 概率不等於零的極小 你還是分析個具體的實驗 立所能及 列出方程去討論 比如裡面好多 很經典的問題 比如一個磨石 一塊石頭 比如這個正負極 同性 同性雌極相繫了 你討論討論為什麼 裡面有好多 比較有意思的物理道理 下面我們就要講一個 非常重要的話題 就是簡正模式 我們先看一個 看一個錄像 現在呢 我有一個繩 一個弦 這是個弦 兩邊的固定 固定之後呢 我用手呢 撥這個弦 讓它振動起來 那當然要形成柱波了 對不對 並且這兩點是固定的 必須是波及 所以這個弦的振動 可能是這個樣子 這就是什麼呢 這個柱波的半波長 等於這個繩的長度 比如繩的長度叫L 這是一種振動情況 另一種情況呢 是兩倍的半波長 就是一倍的波長 等於這個L 等於這個繩的長度 還有可能是呢 三倍的二分之一波長 等於L 對吧 等等等等 還有五倍的 等等等等 除了這些振動模式之外 能不能有這種情況 這是0.5倍的波長 能不能有0.6倍的波長 等於L 能不能有啊 這是0.5倍的波長 等於L 等於繩長 這是一倍 一倍的波長等於L 有沒有可能 0.6 0.65 0.7倍的波長 等於L 不可能對不對 你如果要求這兩端 必須是波及的話 必須從這種模式 就到這種模式 中間的模式不會存在 也就是說在這個振動過程中 只有這種柱波的模式 才能顯著地形成柱波 別的那種模式呢 是不可能存在的 所以這件事情上呢 這是邊界條件 要求你這個柱波 取這種模式 不是說這個弦的振動本身 它的波長就是量子化的 你有邊界條件 這種邊界條件 兩端是波及這種邊界條件 就要求這個柱波的形式 必須是這種模式 或者這種模式 這種模式我可以寫成 L等於二分之一λ 這個1代表這種模式 對模式的編號 這個代表L等於二分之二λ 那λ2就代表這種模式 等等等等 這件事情在物理上 是非常深刻的 對於柱波來說 在適當的邊界條件下 這種柱波只有確定的模式 只有確定的 特定的一系列的模式 而不是其他的模式 這種模式的表現 就是波長的取值 是取分粒的值 或者說波長這個物理量 它是量子化的 由於波長是量子化的 所以它的頻率也是量子化的 這件事情請大家認可 實驗表明是這樣 物理上也是這樣的 就是說假如 我存在一個波長的0.6倍 等於L這種振動 這個振動很快就會衰竭 對吧 因為它不滿足這個邊界條件 很快就會衰竭 就是這個道理 所以在適當的邊界條件下 柱波有確定的振動模式 或者柱波具有確定的 一系列振動模式 這是邊界條件要求的 這件事情 就使物理學家想到這麼個問題 那我就把它 說一下這個意思 比如說 我有一塊金屬 大家一邊看那個 一邊聽我說這件事 有一塊金屬 金屬裡面有自由電子 這個金屬的長度 比如說A 我們知道這個自由電子 從這個端部跳出來 變成真空中的電子 跳到真空 它要經過一個位壘 對不對 叫溢出宮 叫脫出宮 或者宮寒術 為什麼會這樣呢 因為裡面有好的晶格 這是自由電子帶負電 這是邊界 在裡面 這些自由電子 受到的平均場 平均的庫倫力 平均地看 到處都差不多 所以它覺得挺自由 就像我被兩個很有力的人 用相等的力 拽我兩個哥 被綁架 從物理上說 我受力是零 我沒有加速度 但實際上我挺難受的 但是這個電子 在這個邊界上 這一面對它是沒有作用力的 所以電子呢 就好像受到那個 金屬裡面的一個吸引力 有個引力的作用 對吧 所以跳出來得克服一個勢壘 那纔有個勢壘 有個勢壘的作用 我為了做建設 我把這個勢壘 當做無窮大的勢壘 也就是說這個 這個電子啊 它跑不出來 電子爬高了 我爬到無窮遠那麼高 那現在我把這個電子呢 跟它聯繫的得不得一波呢 我認為得不得一波代表電子 就說明瞭 這個電子在裡面 說震動 得不得一波是單受平面波 是個自由震動 自由震動傳播 是個平面波 得不得一波的波函數 我都寫出來 知道了嗎 我寫過對吧 得不得一波波函數 什麼樣子啊 就這樣子 xt等於aeh8ipx-et e等於rmp平方 好了 我們知道 由於這塊勢能是無窮大 對吧 所以電子不能出現在這個位置 電子出在這兒的概率是零 對吧 那電子出在這兒的概率是零 就說明瞭 對於得不得一波來說 在這個無線聲示警 我這個叫無線聲示警 在這個示警裡運動的時候呢 形成的助波 在這兩點一定是波解 對吧 這是金屬 所以呢 有哪些震動模式 你看看那個 第一種震動模式是這樣的 這個波是這樣的 對吧 這個ae 波長呢 波長多少 這是a 波長2a對不對 看黑板 波長是2a 第二種模式呢 是這個樣子 n等於2 波長等於多少 等於2分之2a 就等於a 等等等對吧 所以這個電子在這個 無線聲示警中的震動 或者在這個金屬中的運動 如果用得不得一波來描述的話 它只能取這些模式 波長等於2a 波長等於a 這種模式 好了我再算它的能量 我們知道 這類種能量寫成這個樣子 P的平方比上2m P呢是代表這個粒子的動量 動量跟波長的關係是這個關係 P等於λ分之2π對吧 我這個 這個λ 這個λ等於 我可以寫成這個樣子 我把這個λ 這個寫成λ1 這個寫成λ2 我再寫個λn 寫成這個樣子對不對 這個λn是什麼東西呢 是n分之 n分之2a n等於1 2等等等對吧 是不是這個道理啊 n等於1的時候呢 λ就是2a n等於2的時候 λ就是a 所以這時候的能量 能量當然也是量子化的 跟這個n有關了 能量等於2m分之 Pn的平方 我把它代進去 把它代進去 把它代在這 它在取平衡代在這 所以這個 對於n這個軌道來說 那它的能量就8ma的平方 h的平方 然後呢 這塊是乘上n的平方 乘上n的平方 n等於1 2 寫錯了對不起 這是h 寫錯了就不是2π 這個nw的關係呢 動量等於波長分之h 不是2π 我寫錯了對不起 我就得出這個結果 你看 當n取1234的時候 這個能量 在金屬中的自由電子能量 就量子化了 分別是這個常數 乘上n的平方對不對 所以這個時候呢 這個能量就是1 這個能量就是1 2 而這個結果 正是量子力學的計算結果 我用量子力學啊 薛定光方程式求解 結果就是它 嚴格地就是它 所以我們從助波的這個 這個固有頻率 或者助波的減震模式出發 我們就可以得到呢 EV無限深示警 這叫無限深示警 無限深示警 無限深示警中粒子的能積 它的能量的分佈 所以我說這個 這個助波的減震模式啊 它有深刻的物理道理 雖然我們討論是個弦 是一個機械振動 是個位移對吧 但是作為助波 這種波的一個通性共性 在各個地方都是實用的 在外觀世界它也是對的 所以波動這塊呢 是非常重要的一個課題 波在一定的邊界條件下 會形成各種助波 比如我剛才舉的 兩端固定的弦 它形成助波滿足這個條件 λn等於n分之2L 這時候L等於那個弦的長度 n取1234等等 頻率當然可以寫成這個樣子吧 這是波的速度 比上波長就是頻率 頻率也是量子化的 是這個2L分之U 這個值得n倍 一倍兩倍三倍四倍 這個成為系統的固有頻率 就一個體系 一個助波體系 兩端固定的弦的一個體系 有很多固有頻率 按照一個固有頻率 振動這種模式 叫減震模式 或叫固有模式 這是波速的頻率 下面 每一種可能的穩定振動方式 成為系統的一個減震模式 所以兩端固定弦是這個樣子 我剛才講過了 我把它舉出來 我們剛才根據這個減震模式 我們舉一下 無限深視影中 粒子的能量是量子化的 而這個結果就是量子力學的結果 所以請大家 把這個減震模式 這個物理原理上把它搞清楚 它確實呢 是物質世界的一種基本特徵 邊界情況不同 減震模式也不同 比如一端自由 一端固定 比如鋼板尺 是一個鋼板尺 是一個鋼板 有彈性的鋼板 這個時候我用手一撥它 它會震動對不對 這時候呢 哪些震動是穩定的 哪些震動模式是穩定的 或者哪些助撥的模式是穩定的呢 你可以想像 首先這一端一定是節點 一定是不動的對不對 這一端是自由端 所以它呢 震動可以達到最大 它震動可以達到最大 所以呢 這個震動體系將有下面的模式 第一個是這個模式 如果這個鋼板尺長度為大L的話呢 這個模式就表明 四分之一λ等於L 對吧 還有一種模式 就是四分之三λ等於L 等等等等 這個時候呢 我就要求呢 第N個模式 λN這個波長 應該是N分之4L N可以等於13579 等等等等 對啊 這個我建議這樣 不要這樣理解 比如在這種情況下 有個助撥 這邊是自由端 往那反射 這個理解不是不可以 你不要繞那麼大圈子 就是這種震動體系 要震動起來的話 它應該有哪些模式 那當然自由端呢 肯定是波幅對不對 這一端肯定是波解 這個波幅和波解定好了之後 它只有這種模式 你要反射那個討論的話 比較煩 我們就看它有哪種模式就可以 這是一種模式 一種情況 我把鋼板尺中間固定 打叉是固定 把它固定 兩端自由 中間固定 大家想想 最低的一種模式 應該是什麼樣子啊 兩邊是波幅對不對 中間是波解 這邊是四分之一 對不對 看那個震動啊 這是最低的一種模式 中間是一個不動的波解 兩邊是波幅 第二個模式是什麼樣子啊 反正就保證 這兩邊是波幅 中間是波解就可以了 所以這個就寫成了 lambda n等於n分之2L n等於1357就等等 你去討論它的模式 下面這個例子呢 是一個笛子 吹的笛子 這是用嘴吹的地方 這一端是封閉的 這一端是開口的 反正這有點近視 不要緊 我們就取這個近視 如果能吹響的話 就非常響的那幾個 相應的那個頻率 或者是減量模式 應該是這個樣子 一種情況呢 這是波幅 這肯定是波幅 上面是波解 另一種情況呢 波解波幅 是四分之一Lambda 第二種情況是四分之三Lambda 等等等等 注意 它這個n等於123 跟我們的定義是不一樣的 我們這個n等於1 這個n等於3 這個n等於5 不一樣沒關係 它是用節點數來定義的 這只有一個節點 它一個波幅叫一個 一個波解叫一個節點 就兩個節點n等於2 就三個節點 它用節點來定義 沒關係 物理圖像是一樣的 這個是呢 這一端也開口 這個也open 這邊開口的 兩邊都是開口的 這是一種模式 第二個模式 跟我們剛才講的是不一樣的 對不對 不過我們剛才講的 中間這塊是波解 對不對 這個沒那個要求 這是兩端開口 中間沒有約束的 這麼一個桿 或者一個笛子 我們剛才講的中間是波解 大家注意 等等等等 你根據不同的邊際條件 你會判斷 它能有哪些振動模式 這樣把它的波長的取值就得到 如果知道波速的話呢 它的頻率的取值就知道 這個圓形的這個柱波 我們以前 上一期我們就做過這個實驗 我想在這裡再做一下 因為這個實驗在物理上 曾經起到了很重要的作用 我先看錄像 全頻在哪呢 在這在這 一會兒再看一下 如果將弦線彎曲成張緊的圓環 能量只有在圓環周長 等於二分之一波長的整數倍時 才能形成柱波 如果將弦線彎曲成張緊的圓環 能量只有在圓環周長 等於二分之一波長的才能形成柱波 當圓等於三四五十的柱波形狀 如果將弦線彎曲成 現在是n等於幾呢 不是太清楚是吧 它n等於幾現在是 n等於四是吧 張紙 能看見嗎 現在是幾三吧 這三看的比較清楚是吧 我不用墊紙了是吧 墊上我就看見了 我是黑色的不行 看三還是比較明顯的是吧 看這柱波嗎 三是三倍的半波長等於二πr 等於周長 二就調不出來 一就調不出來了 我們再調大一點的 現在這個幅度一大它就掉 總之我們看到了 對一個圓來說 上面產生的柱波呢 它的邊際條應該怎麼理解 這個圓環 它產生柱波的邊際條應該怎麼理解 當然我們這個問題呢 下邊固定點 這點肯定是節點對吧 如果這個圓環懸空的 沒有一個固定點的話 要求柱波應該平滑的連接對吧 手尾應該平滑的連接 這是幾啊 初步能看到這個 一二三四 這應該是五吧 這個確實 你們下課自己來再看一看 這個確實呢 具有這種柱波特徵 好了這件事情呢 也啟發我們 就是對一個圓形來說 假如上面跑的柱波 有柱波在裡面分佈 在這個環上分佈 那我要求這個柱波的 手尾應該光滑銜接 柱波應該這樣子的 手尾這邊光滑銜接 對機械振動來說呢 我要求半波長的整數倍 應該等於二排二對吧 現在我把它推廣 我認為呢 氫原子動的電子啊 它是做圓形軌道運動的 電子我可以把它想像成 是德布洛伊波對吧 因為它是沿著 圓形軌道運動的 所以與這個電子相聯繫 這個德布洛伊波 形成的那個柱波 應該手尾光滑連接 而且一個波長代表一個電子 所以這個時候 我就不應該說 半波長的整數倍 等於二排二對吧 我應該理解成 波長的整數倍等於二排二 對於電子做 圓形軌道運動的話呢 我認為與電子相聯繫的 德布洛伊那個柱波 波長的整數倍 應該等於二排二 二排二等於N乘上來的 N可以取一二等等等等 這個時候二分之一波長呢 代表半個電子 這個沒有定義 電子一出現就是整個的 因為它有粒子性 然後考慮一下 我可以定義呢 這個電子相對歐點的 這個角動量 角動量我知道 角動量就是R乘上P 對不對 R乘上P P呢又可以寫成呢 λ分之H 對吧 你這個λ λ分之一就是呢 二排二分之N 對吧 然後把它帶到這裡面 我就得到 這個L等於多少呢 就等於L等於 N乘上二排分之H 那我把它寫成 N乘上H8 H8就是二排分之N 其中的N呢 等於一二三等等等等 我通過這個簡單的模型 我得到這麼一個式子 就是說電子啊 在做圓形軌道運動的時候 它的軌道角動量是量子化的 軌道角動量等於H8 二排分之一 這麼一個值的N倍 N等於一二三四 它只能取一倍的H8 二倍的H8 三倍的H8 也就是軌道角動量是量子化的 這就波爾 波爾當年給出的 軌道量子化條件 當然現在看呢 這個條件是錯誤的 對吧 實際呢 用量子力學計算結果呢 軌道量子化應該是這個樣子 L L加1 H8 其中的L等於零 一二等等等等 這是呢量子力學的結果 就是說呢 這個 首先L是量子化的 沒錯 跟波爾得到的量子化條件一樣的 但是具體如何量子化就不同了 L代表假量子數 L可以等於零一二三四 當L等於零的時候 L等於零 波爾的條件呢 沒給出L等於零的情況 對不對 一個角動量等於零 代表什麼意思啊 沒有角動量 什麼意思啊 代表球對稱分佈 對不對 一個球對稱分佈的體系 角動量可以當作零來處理 那角動量不是RXP嗎 球對稱體系 RXP是什麼東西啊 你不知道對不對 是零啊 應該是零的 對應的是角動量是零 這個以後咱們講量子學再說 然後呢L分別取一二三四等等 那L大寫的L 這個角動量的值呢 分別取分粒的值 就是說我們從這個 圓形這個柱波的這個 這個基本的理念出發呢 就可以得到 微觀世界一個重要的一個結論 就是粒子的微觀體系啊 粒子的角動量是 取分粒的特定的值 就是量子化 儘管得到的結果不是那麼完美 但是這個物理本質呢 這個還是解釋出來 所以你看由這個柱波的這個 由邊界條件決定柱波的這個 本能頻率或者本能特徵 我們就可以得到 微觀世界中一些非常重要的結果 也就是說泛式波 都有這些性質 不管它是機械波 還是電磁波 還是呢得不樂意波 所以作為波量相性的一個方面 波動性是世界的 很重要的一個基本特徵 一般來說對於一個柱波體系 存在無限多個 本能頻率和減震模式 在這一體系中形成的 任何實際的震動 都可以看成是 各種減震模式的限應疊加 其中每一種減震模式的位相 和所佔比例的大小 都有初始擾動的性質決定 我剛纔看了無限深視景那個粒子 各種可能N等於一二三四 各個可能都有 但實際的震動只有一種 或者是極總的疊加 這個怎麼形成呢 就是開始你 把那粒子望著視景扔的時候 那個初始條件決定的 如果彈吉他的時候 吉他的兩邊都是波節 所以他的震動也滿足減震模式 但是吉他手彈的時候 出那個聲音 不是單一的減震模式 那太單調了 有好多減震模式疊加 疊加的那些減震模式的位相 和所佔的比例大小 跟他用手彈和用手指按的 那個初始條件決定 人家彈得好聽 我不會我彈得就不好聽 所以拉小提琴也好 彈吉他也好 為什麼好聽呢 他掌握了恰當的初始條件 他使你那個 在那個線性疊加中 每一種減震模式的位相 和所佔的比例 恰好滿足人家耳朵的需求 這個沒法從物理來解釋 全靠他的手法 和他對音樂的理解 你看那個 我前兩天看一個 維也納人會有一個 拉中提琴的一個 一個藝人或者藝術家 他特別投入 閉著眼睛在那 我想都是要找到一個 最好的位相和所佔的比例 當週期性驅動力的頻率 與助播體系的 某一個減震頻率相同的時候 就會使該頻率 助播的震幅變得最大 這種現象也叫共震 這也叫共震 以前我們講過共震 這也是共震 對受迴力的頻率 某個頻率 跟助播的某一個減震頻率相同了 那麼這個減震頻率 就會震幅達到最大 這也叫共震 利用共震方法 可以測量好多現象 比如測量空氣中的聲速 可以做好多事情 我們舉的例子就是 看一下怎麼測這個聲速 我現在有個水槽 這是裝滿水 裡面插一個兩端開口的玻璃管 所以這個玻璃管插了之後 水槽水面位置在這 玻璃管的這塊 下面全是水了對不對 上面留的那個空氣的間隙 有一定的間隙 然後上面有個音叉 給一定頻率 用一定頻率震動個音叉 音叉放在管子上端 音叉的頻率微妙 有時已知的 管中空氣柱的長度L 那個是L 可以通過水面的高低來調節 水面由管頂端下降到L等於A的時候 我的水往下下降 下降到上面的L等於A的時候 我出現了 第一次達到了聲音最大 聲強最大 因為有音叉之後 上面的空氣柱要共震 那空氣柱的長度 跟你那個頻率 那個音叉頻率是測通力頻率 我這個頻率 恰好等於 你那個頻率的某個倍數的時候 或者對應那個柱波 那個波長 四分之一四分之L 恰好等於A的時候 這時候發生第一次共震 第一次聲音最大 然後接著下降 又下降到D 使四分之三L的這個長度 等於A加上D的時候 發生第二次共震等等 也就是說 在玻璃管上的空氣管子中 出現了下端為波解 上端為波幅的一種振動模式 或柱波模式 下端為什麼是波解 因為那個聲音 聲波是從空氣射向水面 然後反射回去對不對 從那個波束介質 向波密介質 所以反射波跟入射波 在那點是反向的 所以那是波解 上面是自由端 自由端當然是波幅了 只要是下端為波解 上面是波幅 所以可能的柱波形式 只有這種形式 四分之一L 四分之三L 四分之五L 等於相應的管上的空氣柱的長度 只能有這種模式 而這個四分之一L的這個L 要跟你音叉的頻率有關的 這都是有關的 當然我的A和L我都可以測定 產生柱波的那個長度 我當然可以測定了 那我就可以算了 長度A的時候第一次震動 第一次達到共震 有這個式子 A等於四分之一L 實際我由它就可以算出L 對不對 算出L之後就可以算出波速 但是這個不太準 這個不太準確 然後咱們再下降一塊 下降到L 下降到D這麼遠 出現第二種模式 那就是A加D等於四分之三 相當於這個 四分之三L 等等等 最後我通過A D等等這些值 我就把L算出來了 我就算出來了 L就是二分之L就是D 然後呢 L和那個頻率 注意啊 你這個頻率完全是音叉的頻率 收回力的頻率 這個頻率是等於L分之U U就是波速 注意我聽到鈴聲 一會兒下課 注意我把這講完 那我由這個L和μ呢 我就把波速算出來 L是測出來的 μ是給定的 算出來 比如μ是1080赫茲 D我測是15.3CM 升速就算出來 330每秒米 通過這種方法 可以測好多的物理量 好了下課