【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）下 P31 - 131. 131-教學錄像-單縫衍射公式推導

嚴格推導這個P點的光強共識 我們說剛纔把這個狹縫可以分成很多窄條 這些窄條比如說我封了N個窄條 N個窄條是等分 我把它等分了 所以窄條寬度都是一樣的 都是N分之A 這樣的話窄條之間這個光程差是這樣 所以這個光程差實際上是對應窄條和窄條 窄條發出來的相位差實際上是相位差是這個 因爲這是光程差 所以相位差就是這個 當然我前面講過了 因爲它們之間距離差不多 所以說它們振動每個振動在P點 傳到P點的時候 它的強度基本上都是一樣的 這樣的話我們說P點強度 實際上是這些窄條的不是相干疊加嗎 相干疊加實際上就是把這些振動把它加起來 這些振動是什麼呢 振動都是一樣的對不對 窄條發出來的一共有N個窄條對不對 每個窄條之間相鄰的窄條之間 相差delta phi的這個相位差 實際上變成嚴格求觀察屏上的光強的這個問題 就變成了求這個加法的問題 這個加法實際上 如果你們數學學過幅數的話 實際上非常容易你利用幅數 把這個東西cosine可以變成什麼呢 是虛數的一指數的這部分 然後你這個取實部剛好就是cosine對不對 可是這個一寫成指數的話 這個加法比較容易因爲它變成等比級數 這是你們中學就學過的東西 然後你把這個求和完了之後 可是這是虛數 然後你再把那個虛數取實部 把實部那部分拿出來 那剛好就是這個了 這部分我們上課不講 這部分你們回去有興趣的話 可以自己做一做 我們下面要講的是 我們在上學期在這個講振動波動的時候 講過的多振動的 多個簡諧振動的疊加的時候 我們用過的那個矢量方法 用矢量方法 矢量方法怎麼加這個呢 矢量方法加法是這樣 先看一個特殊情況 假如說這些Δy都是等於0的 等於0就剛纔我們說的那個中央明文 聚焦在歐點 直接聚焦在歐點的那個光強的情況 那Δy都是等於0的話 你想想這不是Δe 然後cosineωt一共要加n個對不對 所以n倍的Δe對不對 這很簡單的 矢量法實際上是因爲它是Δy等於0 我們說它們是連起來的 因爲它們之間沒有相位差 所以角度都是一樣的 同一個方向把它連起來 長度等於多少呢 長度就是n倍的這個Δe 所以n倍的Δe就是 實際上這一點的疊加以後的那個振幅 就是這個 如果Δy不等於0的話 那我們加起來就不一樣 因爲Δy不等於0的時候 矢量法是告訴你 把這些小質量按照這個粗微項 我們給它排起來 所以它們之間不是都差一個Δy嗎 所以一個一個Δy加起來 把它排起來 那這個時候呢 這些矢量疊加 實際上就是首尾連起來的這個長度的 首尾連起來的這個長度 實際上就是它們加起來的那個振幅 就是它們這個加起來以後一個振幅 這個振幅 我們現在要求的就是這個振幅 那這個連起來這個長度知道嗎 因爲一共有n個長度 所以如果我們直接求這個正多邊形的 這個外邊的長度的話 它的長度就是這樣 它的長度是這個 剛纔我們說我們把這個縫分成n個窄條 可是爲了把這個算得準一點 因爲每個窄條發出來的光應該相位都一樣 所以我們爲了達到這一點 我們的窄條應該很小 窄條很小的意思就是n區域無限大 我們把窄條分成無數個等份 n區域無限大的時候 這個變得非常非常小 於是這個正多邊形 正多邊形的這部分 就變成了圓弧了 這就變成圓弧了 然後這個圓弧的旋長就是我們要求的這個振幅 假如說這個圓弧所對應的半徑是r的話 那麼這個是圓弧在這個位置上的切線 因爲矢量是從這開始排起來的 那結束的時候這個地方的切線 那這兩個切線之間夾角是等於多少呢 因爲是每一個向位都是Δφ 走一個向位 Δφ n個Δφ 所以這個東西就等於n倍的Δφ 看到沒有 那Δφ我們是知道的 Δφ我們是知道 它是等於Δasinθλ分之2π 是不是 所以你現在乘上n的話 n乘上Δa不就是a的這長度嗎 asinθλ分之2π 所以這個角度我們知道了 如果你知道這個角度了 你又知道這個半徑的話 這個旋長很容易求出來對不對 旋長就是這樣對吧 可是我們知道這個弧長等於多少呢 弧長就是矢量頭度尾這樣連起來的 所以這個連起來的長度本身就是 我們知道的就是這個 這個弧長就是e0 就是n倍的Δe0就變成e0 弧長我們知道 可是半徑我們實際上並不清楚 但是這兩個式子裏面都有半徑 我們把它去掉 於是我們就得到這個旋長表達式 然後比如說我們用α表示這個東西的話 用α表示這個東西 你一批就變成這個 那考慮到光強式 這個政府的平方 然後很容易得出來 實際上批點的光強式等於這個 所以這就是丹鳳在一個觀察屏上 某一點產生的光強就是這個 那麼我們利用這個公式 我們可以重新再分析一下 這個衍射圖案對不對 比如說看它的亮紋啊暗紋啊什麼之類的 你比如說我們可以研究足跡大那個位置 剛纔我們說鳳上所有的窄條 產生的光的相位都是一樣的那一點 一樣的那一點不就是α等於0那一點嗎 α等於0的時候不是sinα變成α等於1 所以說那明紋的強度是I0 I0這個強度實際上是最大的 可以看得到 暗紋呢暗紋的位置就是sinα等於0的地方 不就是暗紋嗎 α等於0實際上sinα等於0 就剛纔這個α等於 sinα等於0實際上α等於kπ 因爲我們知道α等於這個 所以實際上意思是說 這個東西等於kπ 這個德是在外邊的 所以α等於這個它等於這個 你把這個式子換一換 你就會發現它就是等於這個 這個不就是剛纔我們說 sinθ等於λ整數倍的時候 我們可以把它分成偶數個半波帶的情況 對吧 所以這個不就是奇曉的位置嗎 或者呢 或者我們說 你這個東西等效於 nΔφ等於2kπ 可是這樣寫的意義是什麼呢 這樣寫的意義是 剛纔我們矢量疊加的時候 不是把這個每一個載條產生的振動 把它頭對尾這樣連起來對不對 然後按着每一個都有出相位 相位差是Δφ 這樣把角度慢慢慢慢變化起來對不對 可是nΔφ以後 它變成2π的整數倍的意思就是說 你把這些小振動頭尾這樣連起來的時候 最終結果是什麼呢 最終結果是它成爲一個閉合的圓了 這2πk的意思 k倍的意思就是說 你可能是一倍圓 或者是轉兩圈 或者是算這個k的意思 k圈以後最終尾部的位置到達了首 就是你剛纔出發點 那不是矢量疊加結果不還是等於0嗎 這個意思 那麼我們可以看一看次級大的位置 就是說這些暗紋之間 除了這個中央明紋以外 暗紋之間不還是有一些亮紋嗎 這亮紋位置怎麼算呢 亮紋位置實際上我們知道這個強度的話 亮紋位置你想想上面 極值對不對 你要算極值 所以實際上你算它的導數 算它的導數的話 這裏邊也出現其他的極值 其他的極值不是我們要算的極大值 極小值也可能對應於極值對不對 所以你挑一個不是這樣這個的 不是暗紋的那個極值 實際上就等於這個 就是這個解 這個解實際上對應次級大的位置 所以tanα等於α 這個屬於超越方程 大家知道怎麼解 做圖法 比如說畫個tan的曲線 然後畫一個直線 然後它們的交線 交點實際上就是這個方程的解 那這個方程的解你會發現 它出現在什麼位置呢 實際上它發現 α是等於 比如1.43π 2.46π 等於這些位置 這個交點不算 因爲這些交點 這個交點我們知道 α等於0 它是中央阻擊彈的位置 對不對 那次級大位置實際上是這些位置 可是這些位置你看一看 你就知道 這個1.432.46 實際上它是等於什麼呢 很接近於 3π 5π 看見沒有 就是這東西 所以實際上 它α等於這些東西 就對應於sns的 等於1.43λ 或者我可以說 這個接近於3λ 5λ 7λ 這些東西 不就是剛纔我們 用半波帶方法做出來的時候 奇數個半波帶 那個情況嗎 奇數個半波帶 不是剩下一個半波帶 那它就是量紋 對吧 剛纔我們說 那個是近視結果 因爲我們看出來 它不是嚴格的1.5 它是1.43 或者是2.46 這樣的位置 那麼光強呢 光強 除了這個光強 中央明文的光強 是I0以外 實際上 次級大的那個位置 第一個次級大位置 比如說這個位置 對應的光強 就像是這個 然後下面次級大 這個下面次級大 越來越小 那這些東西呢 你發現這些次級大 是比起這個主義大來說 要小很多的 對不對 小很多 另外 我不知道大家能不能 簡單的估算出來 這種東西 因爲這個強度 實際上我們是 你這個係數 等於什麼呀 實際上是 α分之sinα的平方 對不對 比如說 這個 這個值 實際上是對應於 這個情況 對不對 可是你算這個1.43 這種情況 比如說 α等於1.43π 這算起來比較麻煩 是不 可是我們知道 它很接近於1.5π 對不對 2分之3π 所以它 如果是α等於 2分之3π的時候 那sinα是等於1的 所以那sinα 你不用計算 所以 這個實際上是 α平方分之1 α等於多少呢 馬馬虎虎 2分之3π平方分之1 你簡單就可以估算出這個 不準 不是嚴格的 0.047多少 可是差一點 對不對 很接近 因爲這個 這個也是一樣 就是這樣 這樣的話 我們衍射這公式 就完完整整給大家給出來了 然後我們可以把這光牆畫出來 畫出來就發現 真的是中央明文這個地方 光牆主要集中在 中央這個明文附近 其他地方都是很窄 很小的 另外這個中央明文的寬度 你看這個中央明文 什麼時候結束呢 因爲它第一個暗文的時候結束 對不對 第一個暗文是什麼呢 a3θ等於λ那個地方 所以呢 這是3θ對吧 a分之λ等於 a分之λ的地方是暗文 可是下一個暗文是多少呢 下一個暗文是 a3θ等於2λ的地方 所以下一個暗文就在這 你可以看出來 中央明文的寬度 是這個次量文的寬度的兩倍 看見沒有 是這樣 你看圖案你也能看出來 你一看 中央明文真的是 其他次量文的兩倍 所以我們看看條文寬度 中央明文 我們一算 剛纔我們算出來了 角寬度 角寬度因爲這個角度 大概都是在0度左右 所以30的和40的是通用的 所以角寬度呢 角寬度就是角度的寬度 所以你這個a3θ等於 a3θ等於λ 比如說 那你這個可以進式成 θ等於a分之λ 所以中央明文的寬度呢 是兩倍的a分之λ 這樣角寬度 線寬度呢 因爲它不是在這個交冰面上嘛 所以你乘上一個交句就好了 所以我們看到 這個衍射圖案的 這個量文的寬度啊 實際上是跟λ成正比的 所以這時候如果你用 白光做這個衍射圖案的話 衍射的話 你就會發現彩條 因爲什麼呢 因爲這個量文的位置 暗文的位置 它不重合 它跟λ有關係 對不對 紅光的比如說遠一點 紫光的再近一點 那就不把白光 不是給分開了嗎 所以衍射圖案呢 就可以出現彩條 就這樣 好 其他明文 剛纔我們說了 其他明文 比起中央明文來說 它是一半 對不對 然後波長對條紋寬度的影響 波長對這個條紋寬度 它不是成正比嗎 所以 你這個波長越長 它這條紋寬度就越寬 對不對 還是這樣 所以 另外呢 我們可以看到 你這個 條紋寬度 還跟縫寬有關係 因爲縫寬 就是除了波長有關 還有縫的寬度 縫的寬度要是寬的話 縫的寬度要寬的話 這個就變窄了 條紋就變窄了 就這樣 這種東西 你當然很容易看見 在這裏面 比較有意思的分析是什麼呢 就是當你這個縫寬 比較寬的時候 縫寬比較寬的時候 縫寬比如說到了 這又搞錯了 下面我拿另一個版本看看 下堂課 這個我用的是 新的一個PPT版本 所以它在這裏面 可能不太容易 A比如說 你達到一個毫米的時候 這就是無限大了 爲什麼A等於一毫米 就無限大呢 因爲可見光的波長是 0.5個微米左右 0.5個微米 比起這個一毫米來說 才一千多倍呢 是不是 一千倍 你想想這很大了 是不是 所以這時候比較大 如果你這個縫寬 達到一毫米的時候 你照出來 你就觀察不到 這樣的 映射 你只能 你照光照過去 就通過一個縫 那就看到一個縫的 那個一個 就是一個縫寬的 那麼一個光 是不是就這樣 那這個時候呢 你看到一個明文 實際上這時候 就變成幾何光學了 就這樣 所以實際上 我們說 幾何光學 波動光學 你怎麼分開呢 你遇到一個障礙物 裏面有縫啊 或者孔啊 這個時候 假如說縫啊 孔啊 這些限度 比起波長來說 大很多的時候 大一千倍以上 那那個時候呢 波動光學就已經 不算重要了 幾何光學就非常好了 幾何光學的這個體現已經 它的結論已經非常正確了 那時候你不用考慮 波動光 波動特性 所以這個實際上是 幾何光學和波動光學的一個 一個判點 就這樣