Ein paar Fragen zu Mengenoperationen

Also, was bedeutet denn Schnittmenge? Wenn ich zwei Mengen habe, machen wir hier zwei Mengen hin. Diese Menge und diese Menge. Wie kann ich die Schnittmenge visualisieren? Wie haben wir das gemacht? Wir zeichnen zwei Kreise. Wir zeichnen zwei Kreise, die sich überschneiden. Und dann nehmen wir den linken die zwei Zahnen. Den linken den A, den rechten B. So sieht das Mengendiagramm aus. Und hier ist die Schnittmenge. In der Schnittmenge liegt in dem Fall nur die zwei, weil für die zwei was gilt? Welche Elemente liegen in der Schnittmenge, die in beiden vorkommen? Oder anders formuliert, alle Elemente, die in A vorkommen und in B vorkommen. Nehmen wir mal dieselbe Menge A. Und die Menge B ist die leere Menge. Nur die Werte von A und B stehen in der zweiten Menge. Also ist das eigentlich nur A? Das ist nur A. Also wo soll ich denn die Elemente 1, 2, 3 jetzt hier reinschreiben? Nur hier rein, genau. Die 1 kommt ja nur in der Menge A vor, aber nicht in B. Für die anderen gilt das auch. Es gibt kein Element, das in A und in B vorkommt. Okay. Das heißt, A geschnitten mit B ist was für eine Menge? Was ist das hier für eine Menge? Das hier? Was ist da drin? Ja? Genau. Die leere Menge. Da ist nichts drin. Okay. Das ist das gleiche Symbol wie man kann auch zwei Mengenklammern einfach machen und nichts drin. Auch die leere Menge. Okay. Und genauso könnt ihr die analogen Aufgaben lösen. A vereinigt der leeren Menge und so weiter. Mit diesen hier? Ah, gut. Perfekt. Dann lass uns gleich die Differenzmenge machen, um dann zur Frage 2 zu kommen, zu der Komplementärmenge. Okay? Weil das hängt nämlich eng miteinander zusammen. Was ist denn die Differenzmenge A ohne B? Ich benenne die hier mal um, damit wir da nicht durcheinander kommen. Das ist C und das ist D. Ah, das möchte ich unten auch noch umbenennen. Na gut. So. Also A und B sind diese beiden Mengen hier. Okay? Diese beiden. Was ist A ohne B? Wie sieht das aus? Erstmal, wie muss ich die Elemente hineinschreiben von A und B? Ja, ich muss erstmal das Venn-Diagramm voll ausfüllen. Ja, genau. Also wie die Zahlen hier verteilt sind, die Elemente, ist natürlich hier genau wie da. Das sind die beiden gleichen Mengen A und B. Wenn ich das Venn-Diagramm male, sieht es genauso aus. Wenn ich jetzt aber sozusagen diese Ergebnismenge, diese Operation hier veranschaulichen will, hast du genau richtig gesagt, dass A ohne B, es sind alle Elemente, die in A drin sind, aber nicht in B. Okay? So. Also A ohne B ist in dem Fall 1, also die Menge mit den Elementen 1 und 3. Man sagt auch Differenzmenge dazu. Okay. Nehmen wir mal zwei andere Mengen, E und F. E ist gleich die Menge 1, 2, 3, 4 und F ist die Menge mit den Elementen 1 und 3. Wie muss ich jetzt mein Venn-Diagramm malen? Was fällt denn hier auf in der Situation? Dass F in E enthalten ist? Versuch es doch mal mit dem entsprechenden Fachbegriff zu formulieren. Wie stehen die beiden Mengen hier zueinander in Beziehung? Alle Elemente von F. Alle Elemente, die in F enthalten sind, sind auch in E enthalten, genau. Jetzt hast du auch wieder eine Aussage gemacht über die Elemente. Wie stehen denn F und E in Beziehung zueinander? Genau. F ist eine Teilmenge von E. F ist eine Teilmenge. Weil alle Elemente, die in F enthalten sind, sind auch in E enthalten. Das bedeutet, in dem Fall kriege ich das doch noch hin. F ist enthalten in E. Teilmenge von E, Entschuldigung. F ist Teilmenge von E. Ich schreibe es mal unten drunter ein bisschen größer hin. Wie malen wir denn das Diagramm jetzt am besten? Willst du gerade weitermachen? Du siehst schon, worauf es hinausläuft. Wie muss ich die Kreise malen? Also einen großen für E, einen kleinen für F, der komplett in E drin ist, weil wir ja die Teilmengenbeziehung haben. F ist Teilmenge von E. Jetzt wissen wir, in F ist drin die 1 und die 3 und in E ist drin die 2 und die 4 zusätzlich. Okay. Also in E sind alle Elemente, die in diesem Kreis enthalten sind, also 1, 3, 2, 4 und in F zusätzlich noch diese beiden. Was ist denn jetzt E ohne F? Die Differenzmenge. 2 und 4, genau. Das ist die Differenzmenge von E und F. Und da wir jetzt einen Spezialfall haben bei der Differenzmenge, also wir bilden jetzt die Differenzmenge in einer Situation, in der die Menge, die wir abziehen, komplett enthalten ist in der anderen Menge. Und da sagen wir, das ist die Komplementärmenge, die Komplementärmenge von F in C, äh in E, Entschuldigung, in der Menge E. Komplementärmenge von F in E. Dieses hohe C bedeutet komplementär. Also es hat keine Bedeutung, es ist nicht irgendwie Menge C oder sowas, sondern das ist immer klein c. Das bedeutet, die Komplementärmenge von F in E ist die Differenzmenge von E und F. Aber nur in der Situation, wenn F komplett Teilmenge von E ist. Anders formuliert, die Komplementärmenge ist nichts anderes als die Differenzmenge unter der Voraussetzung, dass die Menge, die wir abziehen, komplett enthalten ist in der Gesamtmenge. Und bei dieser Schreibweise hier sieht man jetzt gar kein E. Das ist ein bisschen ungünstig an der Schreibweise. Also man muss sozusagen aus dem Kontext schließen, was ist die Gesamtmenge. Und dann kann man auch F hoch C deuten, die Komplementärmenge von F. Das ist nämlich gerade die Gesamtmenge ohne F. Gibt es dazu noch Fragen? Ja. Ah ja, auch eine schöne Frage. Warum ist F jetzt eine Teilmenge und keine echte Teilmenge? Ist F denn keine echte Teilmenge? Ja, genau. Also F ist eine echte Teilmenge von E. Aber jede Menge, die eine echte Teilmenge ist, ist auch eine Teilmenge. Ich will nochmal kurz andersrum. Das klären wir gleich. Jede Menge, die eine echte Teilmenge ist, ist auch eine Teilmenge. Warum ist das so? Kann man sich allein schon sprachlich erklären. Jedes Kleidungsstück, das ein blauer Pulli ist, ist auch ein Pulli. Eine echte Teilmenge ist auch eine Teilmenge, aber sogar eine echte Teilmenge. Der Begriff Teilmenge bedeutet, die Menge ist entweder echte Teilmenge oder gleich. Andersrum gilt es natürlich nicht. Also, ok, skizzieren wir mal diese ganzen Fälle. Nehmen wir hier mal die Mengen E und F. Also gilt diese Aussage hier, E ist Teilmenge von F. Ja, haben wir schon gesagt, weil E Teilmenge von F ist. Ist E echte Teilmenge von F? Ja, weil in E noch ein Element drin ist, das nicht in F ist. Ok, also das gilt beides. Ist E echte Teilmenge von E? Entschuldigung, Teilmenge. Ist E Teilmenge von E? Genau, also E ist Teilmenge von E. In dem Symbol steckt ja auch schon drin, es kann auch gleich sein. Ähnlich wie bei kleiner gleich. Das heißt, E ist eine Teilmenge von E, aber E ist keine echte Teilmenge von E, weil für eine echte Teilmenge muss gelten, dass die umfassende Menge noch mehr Elemente haben muss als die Teilmenge. Wenn ihr euch das mal mit dem kleiner gleich Vergleich mal überlegt, das ist praktisch analog. 3 ist kleiner gleich 4. Aber auch 3 ist kleiner 4. Echt kleiner. 4 ist kleiner gleich 4. Gilt auch, weil 4 gleich 4 ist. Das ist der Sonderfall, der hier in dem Symbol mit drin steckt. Aber 4 kleiner 4 gilt nicht. Ja. Ach, scheiße. Ja, irgendwelche anderen Mengen E und F. Sorry, ich habe gerade die Mengen vertauscht. Also hier, tauscht mal E und F um. Oh Mann. Ja, genau. Also gut, dann können wir das schnell machen. Hier habe ich mich verschrieben, sorry. Gut, dass dir das aufgefallen ist. Ja, genau. Der F ist ja Teilmenge von E. Kann man das Zeichen umdrehen, würde es dann stimmen, wenn es E und F sind? Also du meinst, kann man das Zeichen umdrehen, dass es so aussieht? Das findet man manchmal, ja, kann man machen. Eher unüblich. Aber manchmal, wenn man irgendwie in einer Zeile die Beziehung von mehreren Mengen zueinander darstellen will, macht man das manchmal so rum, ja. Aber, also ich würde verstehen, was du meinst, wenn du es so rum hinschreibst, ja. Ja, bei der Komplementärmenge haben wir jetzt einfach zwei Kreise genommen zur, das sind ja eigentlich keine Kreise, das sind ja, weiß ich nicht, Kringel. Ja, streng genommen Kreis, genau. Also hier haben wir zwei Kringel genommen, die die Mengen visualisieren. Im Fall der Komplementärmenge, wenn eine Menge komplett in der anderen enthalten ist und um zu visualisieren, dass die äußere Menge die Gesamtmenge ist, zeichnet man manchmal die Gesamtmenge als Rechteck. Okay. Ich gucke mal, ob es online noch Fragen gibt, die wir noch nicht beantwortet haben. Ja, also online wird nochmal gefragt, das ist tatsächlich kleiner gleich hier, und nicht das Teilmengensymbol, also das muss schon spitz sein. Das habe ich nicht richtig, nicht klar genug hingeschrieben. So, dann gibt es noch eine Frage online, kann man eine leere Menge überhaupt visualisieren? Das ist auch eine gute Frage. Ja, naja gut, das ist die leere Menge. Also streng genommen wäre dann die leere Menge nicht die Teilmenge, ja genau. Okay, das ist eine gute Frage. Also die Frage zieht in die Richtung, wir haben hier ja F als Teilmenge von E direkt hingezeichnet, also den Kringel von F direkt in den Kringel von E, weil wir gesehen haben, dass F eine Teilmenge von E ist und wir es direkt reinzeichnen können. Hier haben wir bei der leeren Menge dieses Diagramm gemalt, um deutlich zu machen, wir zeichnen das klassische Wenn-Diagramm für zwei Mengen und schauen, was ist hier im Schnittbereich drin. Streng genommen, wenn wir das hätten so zeichnen wollen wie hier, hätten wir ja die leere Menge komplett hier rein skizzieren müssen als Teilmenge von C. Es gibt zwei Typen von Mengendiagrammen, könnte man sagen. Einmal das Mengendiagramm, bei dem man jede Menge hinmalt mit allen Schnittbereichen, die es gibt und dann schaut man, in welchen Schnittbereichen ist wo was drin. Und dann gibt es den anderen Typ von Mengendiagrammen, bei dem man die Schnittbereiche und Teilbereiche von Mengen, in denen nichts drin ist, auch nicht zeichnet. Diese beiden Typen gibt es. Das hier, das Diagramm hier, verwendet man ganz gern für beispielsweise Beweise. Also ihr habt ein paar Beweise gemacht. Ist die eine Menge gleich der anderen Menge, dann nimmt man diese Diagramme hier, wo man alle Schnittbereiche und Teilbereiche der Mengen zeigt und dann durch Veränderung zeigt, am Ende kommt das Gleiche raus oder nicht. Während man diese Mengendiagramme, bei denen man die Bereiche weglässt, in denen keine Elemente drin sind, verwendet beispielsweise, um den Zusammenhang zwischen zwei Mengen zu visualisieren und alles Überflüssige wegzulassen.