Satz des Pythagoras: Beweis

so wir beweisen den Satz des Pythagoras okay so ich schreibt das hier mal hin Satz Pythagoras ne wenn euch jemand fragt was ist der Satz des Pythagoras was oder wenn ihr Menschen fragt was Satz Pythagoras ist was denkt ihr was sagen die was kommt als Antwort sag mal den Satz des Pythagoras ja D einf nur a²+ b² a² + b² = c² was ist da ungünstig dran warum ist der Satz des Pythagoras nicht a² + b² = c² gibt's mehrere Kritikpunkte erstens die Voraussetzung kommt nicht vor was ist die Voraussetzung ja einerseits das sind sich um Dreieck handelt und das um was war ein Dreieck ein rechtwinkliges dreie genau es muss ein rechtwinkliges Dreieck sein aber selbst wenn die Person sagen würde in einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² hat C Quadrat was ist daran ungünstig ne sicher also man brauch zwei von den drei Längen braucht man gegeben zwei von drei Längen müssen gegeben sein nee nö ich kann dir ein Dreieck hinzeichnen rechtwinkliges in dem gilt der Satz des Pythagoras ohne dass du weißt wie lang die Längen genau sind aber wenn man wissen will wie lang die Längen sind dann ist das ungünstig wenn man wissen will wie lang sie sind dann bräuchte man vielleicht zwei um eine dritte auszurechnen genau aber weil ja ungenau ja ja du hast vollkommen recht genau aber eigentlich genau ist sozusagen der Wunsch da ein die Länge auszurechnen ist noch zusätzlich das braucht man gar nicht erstmal genau nein was ganz banales eigentlich a qu + b² += c² warum ist das nicht ausreichend was ist die Voraussetzung dass ihr das so sagen dürft ja ja besser besser durchgeben ne im Kopfrechnen verhält sich so wie mitm werfen auch kann man auch üben ja aber vielleicht nicht mit so teurem Equipment nicht unbedingt ja genau muss halt wissen was die Seite c ist halt dass es die längste Seite ist dass C die längste Seite ist genau das ist die Voraussetzung die Hypotenuse und oder es bedutet doch gar nicht dass die Seiten die mit ABC bezeichnet sein müssen ich kann auch auch ein Dreieck haben da können die Seiten bezeichnet sein mit k i und J oder X Y und Z oder so deswegen sollte man den Satz des Pythagoras nicht in variablen sprech formulieren sondern unter Verwendung der Begriffe kathet und Hypotenuse okay so also Satz ist Pythagoras ich ich skizziere mal kurz ein rechtwinkliges Dreieck hier hin so und versuche ich auch das natürlich jetzt ah ja genau habe ich natürlich hier in die ach da rein nicht nicht nicht gut genug nachgedacht hier so das soll alles Quadrate sein natürlich ne so si doch ganz hübsch aus okay so also der Satz des Pythagoras besagt in einem rechtwinkligen Dreieck was willst es mal probieren werden beide Katheten quadriert und addiert um dann das Quadrat der hypoenuse rauszufinden ja das wäre sozusagen operativ formuliert im Sinne von was muss ich tun also würdest die Katheten quadrieren und addieren um das hypotenusenquadrat rauszubekommen genau das ist eine gute Idee eine kleine Ungenauigkeit noch kann man nicht quadrieren weil die Katheten die Seiten die dreieckseiten sind die Strecken man kann keine Strecke quadrieren dann die Länge der Katheten ja die Länge der Katheten genau das kann man machen die Länge der Katheten quadrieren addieren und dann bekommt man das hypotenusenquadrat raus auch hier wieder eine kleine Ungenauigkeit weil das Quadrat ja auch eine geometrische Figur ist und keine Zahl vielleicht hilft es es noch ein bisschen präziser zu machen wenn wir über Flächeninhalte sprechen was ist gegeben im Satz was kann man im Satz des Pythagoras an einem rechtwinkeldreieck sagen was wie verhalten sich die Flächen der jeweiligen Quadrate oder die Flächen Inhalte um ganz genau zu sein mhm dann kann man sagen dass die Summen äh die Summe der Flächeninhalte über den Katheten also z.B A und B ähm dann den Flächeninhalt mähm des Quadrates über der Hyp Hypotenuse also C ergibt sehr gut ja in einem rechtwikligen Dreieck ist die Summe die Summe der Flächeninhalte du hast jetzt gesagt der Quadrate über den Katheten ne ja m ich würde sagen wir dürfen no Kathetenquadrate sagen okay also beides denkbar oder ma so wie du es gesagt hast ne ist die Summe der flächenhalte der Quadrate über den kateten kateten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten ja Kathetenquadrate deren Flächeninhalte die addiere ich ja ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrat über der Hypotenuse noch eine kleine seitenanmerkung wo sind die HS bei Kathete hinter dem ersten t und bei Hypotenuse nur vorne nicht hinter diesem t Hypotenuse wird nicht mit Th geschrieben okay ihr glaubt gar nicht wie oft ich schon Hypotenuse hier mit Th gesehen hab auch hier wieder der Hinweis ihr werdet später einmal Lehrerinnen und Lehrer ihr wollt nicht Hypotenuse mit Th an der Tafel stehen haben okay also ihr müsst auch aufmerksam sein wie werden die Dinge geschrieben und wie schreibt man es an die Tafel und so weiter weil will man natürlich nicht haben dass dann Dinge falsch an der Tafel stehen okay so jetzt beweisen wir den Satz des Pythagoras und wir bleiben mal bei ikonischen beweisen und da habe ich einen Beweis schon vorgeschlagen auf dem Aufgabenblatt und ich skizziere den hier mal hin und dann überlegen wir uns warum ist das ein Beweis des Satzes des Pythagoras ist nur eine Skizze ne von daher ist es ein bisschen ungenau aber so na gut was habe ich hier gemacht und jetzt ist es so ne klar wir haben jetzt ein Dreieck bei dem die Hypotenuse jetzt mal mit C bezeichnet ist s die beiden kateten mit A und B Logo okay m was habe ich hier gemacht wir wollen jetzt bei so einem rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras beweisen da steht jetzt im Chat vier kongruente rechtwinklige Dreiecke ja ne das sind vier rechtwinklige Dreiecke hier habe ich ein rechtwinkliges Dreieck da eins da eins und da eins die sind alle rechtwinklig und alle kongruent das heißt deckungsgleich das heißt ich habe hier vier rechtwinklige Dreiecke ja mm dieselben tree wie hier meinst du ja genau noch mal ja ja also ich habe hier sozusagen ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen ABC C ist die Hypotenuse hier ist der rechte Winkel und hier dreimal noch das gleiche Dreieck jetzt wollen wir beweisen dass A Quadrat + b²= c² ist in diesem Fall ne mit den hypotenusen und kathetenlängen so was wollen wir machen warum habe ich die so zusammengelegt mhm also ich hab der erste ah wieso die erste binomische Formel ja ich hätte jetzt gerne Argument warum du hier an diesem Bild siehst dass du die erste bomische Formel verwenden kannst ja ja genau also was ist denn das hier für ein Quadrat das sich ergibt das gesamtquadrat vielleicht A + B qu ja hier habe ich eine Seitenlänge a + b da habe ich eine Seitenlänge a + b anders zusammengelegt als bei dem Beweis der binomischen Formel da habe ich sozusagen eine Seite geswitcht okay also ich habe hier ein Quadrat mit dem flächenhalt A + B qur das gesamte Ding hat die flächenal A + B qur okay das heißt mit der erstomischen Formel a² + 2 ja wieder machen bitte dann kann sie ja wieder weitermachchen ja genau magst Du weitermachen oder wie groß also ja erstmal bevor wir weitermachen wir wollen ja wissen wie groß ist c Quadrat ne jetzt haben wir hier ein Viereck mit Kantenlängen C mit Seitenlängen C ist das denn hier in der Mitte ein Quadrat könnt ja auch ich habe jetzt extra mal so ein bisschen ungünstig gezeichnet ne ist das hier eine Raute mit Seitenlänge C oder ein Quadrat das ist ein Quadrat weil ja sind halt alle vier Seiten gleich lang und das ist ja auch auf also wir haben ja schon ein Quadrat und dort sind viermal dieselben Formen drin und deswegen sage ich das einfach auch Quadrat sind vierm dieselben Form es ist hat so eine drehsymmetrie und und deswegen könnte man argumentieren dass es ein Quadrat sein muss ja keine Raute gibt ein anderes Argument können wir über die Winkel argumentieren ja [Gelächter] nämlich ja jeweils beide jeweils 45° ne in dem gleichschenkligen Dreieck ja aber du nee die sind nicht gleich groß aber du bist auf der richtigen Spur wenn ich den Winkel Alpha und Beta nehme welche Größe haben die zusammen 90 90° und den Winkel Alpha habe ich auch hier ne deseswegen haben die zusammen den Winkel 90° was das Argument wenn dazwischen Stopp Moment erstmal warum haben die zusammen 90° dieser rechte Winkel hier sind 90° warum haben die zusammen 90° innenwinkelsumme 3 genau okay so jetzt habe ich jetzt an dieser Ecke die Situation hier stoßen auch Beta von dem einen dre und Alpha von dem anderen dre aufeinander wie groß muss denn dieser Winkel sein okay ich habe ein kleinen Tipp gegeben genau auch recht auch 90° warum nebenwinkelsatz ne wegen den nebenwinkeln an einer Geraden sozusagen sind zwei Winkel ergeben zusammen 180°. deswegen muss das hier das ist jedem jedck so das das hieren drin Quadrat das hier innen drin ist hat den flächenhal c²adrat wie komme ich jetzt von dem großen Quadrat mit dem Flächen A + b²r auf c²adr den flächenhalt des Quadrats in der Mitte was muss ich da machen rein geometrisch m ich habe jetzt gesagt ah da ich habe jetzt gesagt das rechte Quadrat ist dann c² + M 4 x 1/b a mal B genau das also das gleiche ne können du hast jetzt ein zweiten Ansatz gemacht nicht die bomische Formel sondern du hast gesagt A + b² = c² plus 1/b mal 1/b mal a mal B für so ein Dreieck und das mal 4 und das mal 4 und dann habe ich bei ich habe die Gleichung gleich gesetzt und bei beiden ähm oder ich habe es erst ausgerechnet habe ich dann c² + 2 ab ja und dann habe ich bei beiden 2ab rausgezogen und dann hat man a² + b² = c² genau ein hät nicht durchstreichen dürfen aber das ist nicht so du hast gleich gesetzt genau also auf der einen Seite ist A + b² = a² + 2ab + b² und auf der anderen Seite in dem Bild sieht man das ist c² + 2ab und jetzt kann ich auf beiden Seiten 2ab subtrahieren und dann steht da a² + b² = c² genau das man gerne hätte aber so nicht alss des Pythagoras kommuniziert ne sondern das jetzt nur diesem Bild so weil ich da die Kanten die Seitenlänge entsprech mit A B und C markiert habe okay eines der einfachsten bildhaften Beweise des Satzes des Pythagoras