Всё про модуль в уравнениях и неравенствах. ЕГЭ 2025 Математика. Задача 15

Друзья мои, в очередной раз вас приветствую на канале и спрашиваю вас, знаете ли вы, что такое модуль? Если да, то вы молодцы, если нет, то попробуйте вспомнить, а вообще-то когда нам про него рассказывали? Ответ в шестом классе. А вам-то задавать в ЕГЭ, и тут вопрос, а что, разве задача с модулями теперь в ЕГЭ есть? Ну формально как будто бы нет. Неформальна, конечно, задача с параметром, но регулярно эти модули встречаются. И мы ожидаем с вами, ну по крайней мере я, что и когда-то в тринадцатой и пятнадцатой позиции тоже эти модули могут появиться. Что тогда делать? Паниковать или нет? Конечно же не паниковать, конечно же просто взять и изучить эту тему, тем более, что на самом деле вот сегодняшнего ролика нам с вами хватит, чтобы освоить теорию. Освоили теорию и сразу применили ее на практике. Решили уравнение, решили какое-то простенькое неравенство и взяли сложную задачу из сборника тренировочных вариантов, решили и убедились, да, не так страшен черт как его молюет. Ну что же, поехали, посмотрим как это работает на практике. Ну что же, давайте начнем с азов, то есть с определения, что же такое модуль х. И начнем с определения алгебраического. Модуль х по определению это или само число х если оно положительное, или 0 если х равен 0, или минус х если х отрицательный. Это определение нам дают в классе так в шестом, когда знакомиться с отрицательными числами, ну давайте просто посчитаем, скажем, да, модуль пяти. Пять число положительное, значит мы по первой строчке работаем. Модуль пяти равен пяти. Модуль нуля работаем по второй строчке, это просто ноль. Ну и модуль, например, там минус трех, работаем по третьей строчке, получается, что это минус х, то есть мы перед нашим числом должны поставить знак минус, но вы помните, да, что два знака подряд идти не могут, нужно их разделить скобкой, тогда получается минус на минус, это плюс, получается, что это три. То есть, делаем вывод, модуль положительное число, само число положительное, модуль нуля это ноль, модуль отрицательное число, это число положительное. Это определение номер один. Теперь, соответственно, определение №2, геометрическое. Берем числовую прямую, отмечаем на ней 0 и, соответственно, направление положительного счета. И спрашиваем, а что же такое модуль х вот на этой прямой? Ответ очень прост. Это расстояние от нашей точки до начала координата. Ну давайте возьмем, скажем, точку вот здесь, точка 5, да? То есть мы видим, что длина вот этого отрезочка просто равна 5. Отлично. Берем точку 0, расстояние от 0 до 0, мы же никуда не подходим, никакого отрезка у нас нет, у нас точка, да, значит, расстояние 0. И точка минус 3, получается, мы берем длину вот этого отрезочка, ну длина отрезка величина у нас положительная, получается, что длина отрезка между точками концы минус 3 и 0, соответственно, длина отрезка это равно тройке. То есть все хорошо согласуется. Теперь сразу вам вопрос на понимание того, что происходит. На этот вопрос я в конце ролика обязательно отвечу, а вы, пожалуйста, подумайте над ним и в чате свои ответы напишите. Чему равен модуль числа минус x? Это хороший вопрос, качественный, не торопитесь за одну секунду давать ответ, лучше подумать 5 секунд или 15 секунд и дать ответ правильно. Ну а, собственно, что теперь мы с этим модулем можем делать? Мы с вами можем решать какие-то простые уравнения, простые неравенства, и сразу вопрос, а на ЕГЭ-то этот материал будет? Ну давайте пройдемся быстренько. Тринадцатый номер уравнения, модуль могут поставить? Ну, в принципе, могут. Пятнадцатый номер неравенства, модуль могут поставить? Ну, в принципе, могут. Восемнадцатый номер параметра, модуль могут поставить? Не просто могут, а каждый год его туда ставят. Значит, делаем вывод, если вы хотите научиться решать сложные задачи, то что такое модуль, вы знать обязаны. Попадется на ЕГЭ? Хорошо вы это знаете. Не попадется? Тоже хорошо, вам не нужно, соответственно, эти знания свои показывать. Но, когда вы школу закончите, пойдете учиться на первый курс, там-то с вас это, конечно же, спросят. Ну и, собственно, почему мы с вами эту тему поделим? Потому что запрос был в Телеграм-канале. А расскажите нам, пожалуйста, про то-то, про то-то, про то-то, про задачи с модулем. Собственно, сейчас мы к этому с вами и перейдем. И посмотрим с вами сложные неравенства, то есть я сразу предупреждаю, что это будет пятнадцатый номер. Ну и забегая вперед, опять же, может такое на ЕГЭ попасть? Ну, конечно, может. И если вы к этому готовы, вы подкованы на все сто. Прежде чем браться за сложные задачи, давайте начнем с чего-нибудь попроще. Давайте какое-нибудь простое уравнение и парочку простых неравенств решений. Простое уравнение вот такое, скажем, модуль X равен девяти. Чему же равен сам X? И какие у нас методы решения есть? С модулем, когда мы решаем задачи, у нас два замечательных пути есть чисто алгебраические, то есть раскрыть модуль по определению. И второй геометрический. Вот все, что связано с модулем, очень красиво рисуется. И даже если модуль внутри модуля, и там еще какой-нибудь модуль, тоже красиво рисуется. Если нужно сделать соответствующий ролик на эту тему, да, скажем, задачи с двумя модулями, с параметром, дайте знать в комментариях. Я, соответственно, учту ваши пожелания и сделаю такой выпуск. Итак, давайте алгебраически рассмотрим три ситуации. Может ли X быть больше нуля? В принципе, может. И если X больше нуля, мы помним в таком случае, что модуль X это X. Значит, наше уравнение превращается в какое? X равен 9. О, так мы сразу уже ответ получили. Замечательно. Проверяем. Модуль девятки это 9. Верно. Второй случай. А бывает ли X равен 0? Бывает. Но в таком случае модуль X равен 0. Опять же, по определению, да? Ну, тогда наше уравнение превращается в какое? 0 равно 9. И это верно? Нет, это неверно. Ну, раз это неверно, то получается, что в этом случае решения нет. Ну, нет и нет. Ничего страшного. Третий случай. Бывает ли такое, что X отрицательный? Бывает. И в этом случае модуль X это просто число минус X. А значит, наше уравнение превращается в такое? Минус X равен 9. Домножаем на минус одиночку, получаем, что X это минус 9. Ну и, конечно же, модуль минус девятки это число 9. Все, пишем ответ. Очень важно в любой задаче подводить итоги и фиксировать, что мы с вами нашли. В первом случае есть ответ. В втором нет. В третьем есть. Получается, что у нас... Ну, можно писать плюс-минус 9. Да, это, конечно, экономит нам бумагу, чернила, мел, но я вам так не криминалю. Лучше написать, скажем, X первое это 9, X второй это минус 9. То есть, мы нашли два решения. Ну, вроде и хорошо, да? Ну, давайте для закрепления еще одно уравнение. Модуль X равен минус 9. Опять же, не торопитесь писать ответ, хотя я уверен, что, скорее всего, вы напишете правильно, но иногда я получаю такое решение. Так, ну, смотрите, там у нас было 9, и мы нашли плюс-минус 9. А здесь у нас в правой части минус 9, значит, теперь мы найдем минус плюс 9. То есть, минус 9 и плюс 9. Ну, давайте подумаем, а модуль, модуль, может ли быть отрицательным числом? Бывает ли расстояние между точками отрицательным числом? Нет, конечно. Значит, ответ здесь можно сразу писать, нет решений. Вы скажете, это, конечно, ерунда, такого на EG нам никто не даст. Конечно, никто не даст, но если такое попадется, вы сразу напишите здесь ответ. Ну что же, от уравнений переходим к неравенствам. Снова решим несколько простых вспомогательных неравенств, ну, начнем с такого. Модуль х меньше 9. Давайте то же самое число 9 использовать. Так, ну, как решать? Ну, опять же, вариантов как минимум два есть, алгебраические, геометрические. Давайте попробуем по-прежнему пойти путем вот этого алгебраического решения. И первый случай, когда х на самом положительный, мы получаем, что модуль х это в точности х. Значит, наше неравенство проявляется в таком, х меньше 9. Вопрос, все или х, которые меньше 9, мы можем включить ответ? Нет, ни в коем случае. Почему? Потому что, чтобы мы смогли раскрыть модуль, мы предположили, что х положительный. А значит, вот эти два условия должны выполняться одновременно. Ну, одновременно, как вы помните, это значок системы. х положительный и х меньше 9 дает нам двойное неравенство вот такое, что х между 0 и 9. Хорошо. Второй случай, когда х равен 0. Ну, в этом случае модуль х это в точности 0, и наше неравенство проявляется в такое, 0 меньше 9. Так это же верно? Ну, раз это верно, значит, х равно 0 является решением. Третий случай, когда х отрицательный. Если х отрицательный, то модуль х это получается минус х, и наше неравенство превращается в такое, минус х меньше 9. Это умножаем на минус 1, не забываем поменять знак неравенства с меньше на больше. Получается, что х больше, чем минус 9. Вопрос, можно ли любые х такие брать? Ответ нет, потому что у нас они должны выполняться два условия одновременно. Как и в первом случае система, х меньше 0 и больше, чем минус 9, дает нам промежуток от минус 9 до 0. Вопрос, есть ли еще какие-нибудь х, которые мы не рассмотрели? Нет, таких х нет. Значит, можно писать ответ. Первый кусок ответа, второй кусок ответа, третий кусок ответа. Теперь, если мы все это вместе соберем, то увидим, что х от минус 9 до 9. Ну вот, несложное алгебраическое решение. А теперь давайте все-таки красоту наведем и один раз нарисуем график модуля. Это так называемая галочка, да, точнее кусочная линейная функция, которая сетит из двух частей двух прямых, то есть часть прямой у равно х и часть прямой у равно минус х. И теперь давайте подумаем, мы что хотим? Мы хотим, чтобы значения на этом графике были меньше 9. Давайте вот здесь отсечку 9 сделаем. Провели и сказали, вот все, что ниже этой прямой, это наш, да? Значит, эти точки выкалываем. Вот сюда опустились, вот сюда опустились, увидели, что здесь минус 9, а вот здесь 9, и сказали, значит, вот это, исключая концы точки, наше решение, скажите. Так это получается, грубо говоря, там три секунды и ответ готов? Ну, получается так. Поэтому, если вы помимо алгебраического решения освоите геометрическое, это будет вам жирнющий плюс. Давайте рассмотрим еще парочку вспомогательных неравенств, и после этого уже точно беремся за настоящую хорошую задачу. Итак, неравенство вида модуль х больше, чем минус 9, и модуль х меньше, чем минус 9. Вопрос, каким путем пойдем? Алгебраическим, геометрическим, ответ. Ни тем, ни другим идти не надо, потому что можно сразу написать ответ. Ответ на вопрос, что мы можем написать сразу ответ, ничего не делая. Но, когда я говорю, ничего не делая, на самом деле, мы используем наше знание о том, что модуль, он же расстояние, величина не отрицательная, любое неотрицательное число больше любого отрицательного, поэтому вот это неравенство верно для любого х, для любого х. Поэтому здесь как раз ответ х-любой, все очень быстро. Здесь, а здесь наш модуль величина не отрицательная. Почему-то меньше какого-то отрицательного числа. Бывает ли такое? Конечно же нет. Поэтому это неверно. А раз это неверно, то ответ здесь очень простой. Здесь нет решений. И вот теперь, когда мы с вами проделали эту вспомогательную работу, рассмотрели уравнение, рассмотрели несколько неравенств с модулем, мы смело перемещаемся к сложной задаче. Ну что же, переходим к настоящему хорошему неравенству. Пришли вы на ЕГЭ в 1925 году, где-то в конце мая, в начале вене, увидали вот такое неравенство и немножечко огорчились. Но с одной стороны можно порадоваться, здесь показать неравенство, как и в 1924 году, а с другой стороны какие-то модули появились, да еще и основания разные. Ну печально, да? И сразу возникает вопрос, а сколько же занятий нам нужно, чтобы эту тему изучить? Я вам рекомендую занятий там хотя бы 10. Скажите, нет, что-то 10 это слишком много, долго. Мне бы побыстрее, там 2-3 занятий и все. И тогда я вас отошлю немножечко в прошлое, в 1923 год, и приду в статистику. Неравенство решали в 2 раза хуже, чем обычно, экономическое задачево в 4 раза хуже, чем обычно. Но когда я говорю решали, имеется в виду, что полностью решили. С чем это было связано? С тем, что как раз расслабились, сказали, что вот 2-3 занятий, мне все понятно, дальше я уже на экзамене разберусь. И не разобрались. Поэтому, несмотря на то, что модули формально еще не встречались ни в 13, ни в 15 номере, мы на этом курсе эти темы рассматриваем. Для чего? Чтобы создать запас прочности, чтобы расширить наше математическое знание, то есть повысить нашу математическую культуру. Ну и быть готовым к решению более сложной задачи. Если вы умеете решать более сложные задачи, то с простой этой вы наверняка справитесь. И я вас приглашаю на свой авторский годовой курс. Присоединиться к нему вы можете в любом мгновении. Но чем раньше вы это сделаете, тем лучше. С октября мы как раз приступаем к изучению неравенства. Присоединиться к курсу вы можете по ссылочке в описании. И вот вы пришли на экзамен, довольны тем, что вы умеете решать и показательные неравенства, и логарифмические неравенства, и какие-то смешанные неравенства, как здесь, да? Но при этом показательные еще и модули. Говорите, ну вроде бы мне все понятно, тогда что я буду делать? Судезе. Судезе у меня здесь вообще все идеально. Я положительное число могу изобретать в любую степень. Хорошо. Правда есть модуль, хочу ли я его раскрывать? Наверное пока нет. Почему? Ну потому что я пока не знаю, а что будет дальше? В каком смысле я этого не знаю? Ну у меня проблема, у меня два основания разных. Мне нужно с ними что-то сделать. И если бы было 4.8, то я бы легко справился. 4 это 2 в квадрате, 8 это 2 в кубе, все бы к основанию 2 привел, и там бы дальше у меня что-то получилось хорошее. Но здесь ситуация не такая. 4 и 9. 4 это квадрат двойки, 9 это квадрат тройки, но 2 и 3 пока никак не связаны между собой хорошим способом. Поэтому что тогда делать? И тогда вспоминаем, что есть такой замечательный метод, называется логарифмирование обеих частей неравенства. Почему этот метод работает? Потому что обе части неравенства положительные. Единичкое число положительное, 4 степени положительные, 4 степени положительные, их произведение положительное. Вопрос. По какому основанию логарифмировать? Ответ. По любому. Вот чем логарифмировать прекрасно, тем что вы можете логарифмировать по любому основанию. Тогда следующий вопрос. А, если вы не знаете, что такое логарифмирование? Тогда рановато браться за 15 номера, да? Нужно сначала первую часть закрыть, а потом, соответственно, уже переходить ко второй. А, если я знаю, то откуда здесь логарифмы возьмутся? Ну так как раз мы же с вами сказали, что мы можем прорегулимировать обе части неравенства. И здесь очень важно помнить, что если основание логарифма у нас большой, то есть больше единички, то знак неравенства останется на месте. Если маленькое основание, то есть между нулем и единичкой, тогда знак неравенства развернется. Что мы с вами используем? Свойство логарифмической функции, ее монотонность. Поэтому я, конечно же, прологарифмирую по основанию либо 4, либо 9, просто потому что они уже есть в условии сдачи. Я выберу четверку, потому что она просто поменьше. И это объяснение мне достаточно. Если сказать, «Нет, хотим по основанию 9? Логарифмируйте по основанию 9». Это, как говорится, не возбраняется. Итак, прологарифмирую левую часть, прологарифмирую правую часть. Здесь, естественно, может возникнуть вопрос, естественно, почему здесь логарифм единички по основанию 4, а не логарифм 4 по основанию 4. Еще раз. Мы что с вами делали? Мы не представляли единичку в виде логарифма, а мы логарифмировали обе части неравенства одновременно. Эту аналогию можно привести к новому знаменателю, мы же и числитель, и знаменатель одновременно домножаем на какую-то величину. И здесь мы тоже логарифмируем обе части, не представляем число 1 в виде логарифма. Ну а дальше пользуемся свойством логарифмов. Вот здесь произведение по знаку логарифма можно представить как сумму логарифмов, а вот здесь просто аккуратненько считается. Тогда мы получаем следующее, логарифм 4 в степени 9 модуль х минус 4 х квадрат по славе 4 плюс логарифм 9 в степени 4 модуль х по славе 4, и это все не меньше нуля. Ну замечательно. Теперь смотрите, мы можем вынести показатель за знак логарифма, почему? Потому что 4 и 9 числа положительные, то есть получается 9 модуль х минус 4 х квадрат, умножается все это на логарифм четверки по славе 4, добавляется 4 модуль х минус логарифм девятки по славе 4, и все это не меньше нуля. Ну и здесь первый раз порадуемся вот этим логарифмом по славе яички. Вот этот логарифм, кстати, можно упростить, потому что здесь 3 в квадрате, 2 в квадрате, давайте это отдельно распишем, что такое логарифм 9 по славе 4. Это логарифм 3 в квадрате по славе 2 в квадрате, вот эти двойки вносим за знак логарифма, одну в числитель, другую в знаменатель, и поскольку 2 вторых — это единичка, то мы наш логарифм упростили. Ну, невелика важность, но, тем не менее, чуточку поменьше числа всегда приятнее работать. Теперь вот это, что такое х квадрат? Х квадрат — величина неотрицательная, модуль — тоже величина неотрицательная, потом х квадрат и модуль х в квадрате — это ровно одно и то же. Если вы это знали, кивните головой в чате, так как я на занятиях призываю своих, если не знали, ну давайте вместе разберемся, почему это так, еще один ролик по теме модулей сделаем. Кстати, по теме модулей, эту задачку я взял из сборника 24-го года по профильной математике, сборника Ященко, и там есть еще два неравенства, вот такое и вот такое. Посмотрите, сравните с тем, что я вам здесь написал, если мы с вами показать неравенства с модулями, а там два логарифмических неравенства, да еще и с двумя модулями. Как вы думаете, сколько времени займет решение какой-то из этих двух задач, и какую из них вы хотели бы разобрать? Давайте я повернусь к вам спиной, левую или правую? Вот пишите в комментариях, я сделаю ролик и уверяю вас, что там будет времени затрачено немало, там большущая проблема есть, попробуйте ее найти, ну помимо того, что два модуля, помимо того, что основания логарифмов разные, еще одну большую проблему найдите, и вот эта проблема, к сожалению, говорит, что ребята на экзамене там минут 30-40 выделяйте, чтобы решить эту задачу, не 15, там не 10-15, как обычно, а минут 30-40. Но мы с вами возвращаемся и переписываем наши неравенства в таком виде 9 модуль х минус 4 модуль х в квадрате, все это умножается на единичку, поэтому я единичку не пишу, скобки не пишу, плюс 4 модуль х, логарифм заменяю на более простой логарифм, который по основанию 2, и это все, не меньше 2. Ну и замечаю модуль х, модуль х, модуль х, общие множители вношу за скобку. Скобка остается 9, минус 4 модуль х, плюс 4 логарифма 3 по основанию 2, все это не меньше 2. И дальше возникает вопрос, как такое смешанное неравенство решать, метод интервалов уже не работает, формально не работает, обобщенный метод интервалов может сработать, если есть желание его применить, но можно же использовать свойства, вот как мы здесь используем свойства логарифмической функции, так же здесь мы будем использовать свойства функции модуль. Что мы знаем про модуль? Модуль х больше, чем район нуля для любого х, а у нас с ним произведение двухножителей не отрицательное, значит возможно две принципиально разные ситуации. Ситуация номер один, модуль х район нулю, когда? При х район нулю. И тогда что мы получим? Мы получим 0 умножить на что-то больше нуля, это верно? Верно, да? Значит мы тогда получаем 0 умножить на, ну давайте я пока вот так скобочки напишу, да, больше нуля, это верно. Так конечно писать на экзамене не нужно, ну то, что я проговорил словами, я вам объяснил, можно писать просто словами, если х район нулю, то произведение слева обнуляется, и неравенство 0 больше нуля, конечно же верно, значит х район нулю это уже часть ответа. Второй случай, если модуль х больше нуля, тогда задумаемся, если первый множитель положителен, то какой множитель определяет знак произведения? Ну конечно же второй. И мы знаем, что произведение не отрицательное, значит отсюда делаем вывод, что 9 минус 4 модуль х плюс 4 логарифма тройки по сантиметру 2 не меньше нуля. И следующий вопрос, а будем ли мы теперь это неравенство решать алгебраически или геометрически? Ответ, пока не так, не так. Давайте для начала выразим модуль. Значит, если я модуль перекину в правую часть и поделил 4, то у меня получится 9 четвертых плюс логарифм тройки по сантиметру 2, больше равно модуль х. Ну а теперь давайте вернемся мысленно в то неравенство, которое мы решали. Решаем, я помню вот такое неравенство, модуль х меньше 9, да, это такое напоминание. И получили ответ такой, от минус 9 до 9. Ну так здесь же у нас неравенство точно такого же типа, только знак неравенства нестрогий, да? Ну раз нестрогий, значит и ответ будет нестрогий. Значит, я могу уже сразу написать, что мой х нестрого. Больше чего-то, нестрого меньше чего-то. Чего? Вот это число положительное. Откуда я знаю? Ну здесь сумма двух положительных чисел. Раз так, значит вот как раз оно и будет у меня написано в правой части. Так. А слева что будет написано? Внимательно осмотрим. Здесь плюс 9, а здесь минус 9. Ну раз так, значит здесь будет минус 9 четвертый. Минус логарифм. И, собственно, все. А ноль-то куда делся, вопрос? А ноль попал сюда же, да, потому что мы видим, что ноль сюда попадает. Ноль зажат между двумя противоположными числами. Ну и хорошо, то есть получается, что ноль мы нашли дважды. И даже если вот здесь мы пропустили этот случай, что, конечно же, будет караться одним баллом, да, то есть нерассмотренный случай никогда не дает полную оценку на экзамен. Поэтому, пожалуйста, рассмотрите случай, когда у вас модуль равен нулю, когда он положительный, и все у вас будет хорошо. Фиксирую ответ. Формально ответ уже вот здесь написан, но давайте я подведу итоги работы, потому что у меня на экзамене в первую очередь появляется ответ. Я напишу, что х, например, принадлежит множеству. Скобочки квадратные, потому что у нас с вами неравенственные строгие. От минус девяти четвертых, минус логарифм, до плюс девяти четвертых, плюс логарифм. Все, тем самым задача полностью решена. Мы с вами заработали два балла на полную задачку и разобрались с тем, что такое модуль. Ну что ж, как обычно, подводим итоги в конце ролика. Мы с вами посмотрели, что такое модуль, и я с вами показал, по сути, как изучать любую тему. Берете сначала определение, потом простейшие свойства, потом решаете самые простые задачки, ну мы посмотрели с вами уравнение там несколько не раз, и все. Дальше можете переходить смело к сложным задачам и осваивать методы решения. Я вам показал алгебрический метод, я вам показал геометрический метод, применяйте тот, какой хотите. Ответ на вопрос, чему же равен модуль минус х, часто, к сожалению, дают неправильно, пишут, что это минус х. Это, конечно, не так. Модуль минус х равен модулю х, то есть х у нас с вами может принимать любые значения, поэтому говорить, что всегда получится минус х, неверно. Почему это так? Пожалуйста, попробуйте разобраться на примере конкретных чисел. Если не получится, дайте мне знать, я сниму еще отдельный выпуск. Ну и на самом деле, откуда родился этот выпуск? Из опроса, который я устраивал в своем телеграм-канале. Я писал, задал вопрос, ребят, по каким темам хотите увидеть ролики? И там были перечислены разные темы, в том числе и тема модулей. Вот, пожалуйста, тот, кто провел активность, вы получили ответ на наш вопрос, что такое модуль, как решаются задачи с этим самым модулем. И рекомендую вам подписаться на Телегу прямо сейчас. Почему? Потому что там я публикую кучу материалов по теме ЕГЭ, а также рассказываю о своих активностях, об интенсивных, которые провожу, о поездках своих и так далее, и так далее. В общем, вся математическая движуха, чтобы быть в курсе и не терять меня, сделать это прямо сейчас. Ну а с вами был Андрей Павликов, и обязательно увидимся на канале.