ЕГЭ 2025 Математика. Задача 14. Стереометрия: двугранный угол, расстояние и площадь поверхности

друзья мои рад всех приветствовать и сегодня мы с вами говорим о стереометрии в этот момент количество тех кто смотрит ролик резко уменьшилось Ладно ладно Шутки в сторону но я чётко знаю что есть любители геометрии которые вот просто боготворят планиметрии говорят Ну стереометрия - это немножечко не то и тем не менее на ЕГЭ из за ту и за другую задачу дают по три балла А значит разумно изучать и ту и другую и сегодня мы с вами Разбираем задачу которую прислал мне Подписчик моего Telegram канала Спасибо ему большое тот кто проявляет активность тут вы понимаете получают ответы на свои вопросы и как раз-таки в прошлом году когда я проводил опрос А по какой теме проводить интенсивы три самые популярные темы - это были параметры планиметрия и стереометрия чувствуете две задачи по геометрии в этом году я уже провёл интенсивы по теории Верности и параметрам и у вас есть возможность повлиять на выбор следующей темы держите ссылочку по которой можно записаться на все эти интенсивы повторение открыты для всех совершенно бесплатные но вот вопрос А что делать если метрии вас не интересует ответ очень прост моя рекомендация всё равно подпишитесь на этот канал потому что я провожу интенсивы по различным темам ЕГЭ Но мы с вами переходим к задаче и она по формулировке выглядит не так как обычно не так как на ЕГЭ и тем не менее задача очень хорошая Там есть чему поучиться И в чём разобраться переходим к доске Давайте начнём с того что прочитаем условие задачи Итак расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до плоскости её боковой грани равно числу D а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен Альфа Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Итак давайте сначала проанализируем условие у нас вами есть два каких-то параметра Ну считаете что это два числа расстояние и какой-то угол и наша пирамида правильная треугольная Значит она как раз ровно двумя параметрами и определяется Так что задача решаемая возможно она выглядит для вас не очень привычно скажет Ну на игре таких вроде не бывает Там сначала надо что-то доказать потом что-то посчитать так я вас хочу порадовать эта задача сложнее В том смысле что мы не знаем что придётся доказать А вот то что посчитать нам сказали да Найдите площадь боковой поверхности нашей пирамиды в этом смысле задач игэ чуточку легче вам делают подсказку вот сначала это докажите потом это Используйте и у вас всё получится в пункте б Ну хорошо тем не менее Давайте проследим за шагами которые нам нужно сделать первое конечно сделать чертёж делаем рисуем нашу треугольную пирамиду всё что мы видим показываем сплошной то что не видим показываем пунктир ком Итак пирамида пуска будет abd у нас ми есть два параметра Значит первое расстояние от центра основания до плоскости боковой грани Что такое центр основания это точка пересечения медиан Но поскольку треугольник ABC у нас ми правильный то это точка пересечения Не только медиан но ещё биссектрис высот и серединных перпендикуляров Но то что точки пересечения медиан даёт нам конкретное отношение в котором точка делит Медиа отношение 2 К О это це информаци Ну давайте вот эту точку ГТО покажем пока здесь схематично дальше вопрос дальше вопрос Ну а как я этот перпендикуляр буду показывать и вот тут в пункте а могло быть например такое утверждение Докажите что этот перпендикуляр Да перпендикуляр будет который является расстоянием от центра основания до плоскости грани abd Вот его основание будет лежать на апофеми боковой грани например так могли сформулировать пунк А ну вот мы с вами должны это состоятельно догадаться это и доказать А чтобы доказать здесь соответственно мы с вами пройдём вспомогательное сечение отметим серединку а показали что серединка и проведём Что такое - Это почему же прили СМИ медиану Но поскольку треугольник abd равнобедрен то это не только медиана это ещё и высота треугольник AB хорошо а дальше проведём разумеет чере Точку о по это Мена и Давайте проанализируем то что мы с вами сдела мы с вами построили скате сечение здесь сразу вопрос А вот если только только приступая к изучению стереометрии то есть че номера вот что я должен уметь знать всё про параллельность перпендикулярность теорема трёх перпендикулярах ТТП которым мы сейчас вами активно будем пользоваться при доказательстве это просто наше всё дальше Конечно надо уметь строить сечение Вот пример простейшего сечения и потом уже соотвественно зна что такое расстояние углы в пространстве считать что вы уже теоретически подкован все говорите ну это я даже не понимаю нам насколько это много И насколько это легко или сложно есть какие-то Теремки очень простые есть какие-то Ну достаточно сложно доказанные Хотя они очень просто применяются на практике и вот если вы не знаете с чего начать я вас приглашаю на свой авторский годовой курс по подготовке к ЕГ по профильной математике подробности по ссылочки в описании Ну а присоединиться к курсу Можно в любой момент и здесь рекомендация не откладывайте дело в долгий ящик Поэтому чем позже присоединяйтесь тем меньше у вас времени на подготовку Итак что я вижу я вижу что у меня это медиана и Высота треугольника какого Давайте сначала напишем равнобед треугольник AB Так это значит что у меня перпендикуляр прекрасно Это у меня тоже медиана и тоже высота только уже неравно аронго то есть прави треуго AB есть получается что перпендикулярно асть мы увидели с ми что две прямые Прим пересекающиеся в точке перпендикулярно одно и тоже Ну значит вся плоскость дела Вывод что вся плоскость ляр п Ну прекрасно дальше Что Дальше мы Свами говорим что как раз точка О - это центр нашего основания Давайте фиксируем медианой точки пересечения дест отношение 2К о то отношение к Om это 2К о прекрасно а ТП так здесь Но Давайте покажем высоту высоту нашей пирамиды это высота до Разумеется и что мы видим Ну как раз вот мы видим то что нужно да то есть можно было как рассуждать DM - это у нас получается проекция ой DM Да DM - это как раз проекция на плоскость боковой грани cm - это получается наклонная к этой грани и мы хотим опустить перпендикуляр Из точки О куда же он попадёт Ну естественно он останется в этой самой плоскости поскольку мы с вами доказали что у нас плоскость CD перпендикулярна ребру AB или что то же самое прямая AB перпендикулярна всей плоскости cdm значит если мы будем опускать с вами перпендикуляр Из точки О которая лежит плоскости CD на плоскость а основа плоскость боковой грани abd которая содержит нашу прямой AB то мы увидим что этот перпендикуляр будет в точности лежать в плоскости cdm Ну я Давайте его как-то покажу Пускай это будет о Итак о у нас вами перпендикулярно abd и при этом точка H принадлежит D хорошо увидели да Ну ещё раз если хотите Можно узреть эту теорема трёх перпендикулярах Значит у нас с вами наклоны cm к плоскости abd перпендикуляр о и Вот соответственно проекция наклона - это прямая D замечательно да так Ну хорошо Поехали дальше а дальше-то что А дальше Всё ну почти всё да остался ещё двугранный угол точнее мы с вами знаем величину его линейного угла Да двугранного угла Ну прекрасно где этот угол так вот же он вот же он наш уголок Альфа почему это именно он Давайте разберёмся потому что мы с вами взяли ребро а которые является общим ребром плоскость основания и плоскости боковой грани прекрасно взяли точку какую-то Ну в частности точку М И из этой точки восстановили два перпендикуляра лежащие в разных плоскостях в плоскости основания и в плоскости боковый грани и эти пендикулярно есть как раз cm и DM значит Угол cmd - это и есть угол Альфа Угол cmd это есть Альфа а соответственно Oh - это есть D прекрасно Итак мы с вами на пространственно чертеже всё выяснили и объяснили то есть мы разобрались с условием задачи где угол Альфа где расстояние D И теперь мы можем смело переходить к вычислениям то есть пункт Б - это как раз задача на вычисление Всё мы с вами доказали что нужно поехали считать и что я вижу я вижу замечательную плоскую задачу В чём она замечательна если я возьму треугольник Mod рассмотрю D Om то он прямоугольный потому что до - это высота моей пирамиды а угол при вершине M - это в точности угол Альфа я его знаю и дальше мы с вами опустили перпендикуляр Из точки О на прямую MD то есть мы провели высоту треугольника омд и я знаю вот это расстояние то есть в прямоугольном треугольнике У меня есть два элемента Ну а есть ещё третий элемент Да это прямой угол значит я про этот треугольник знаю всё А что мне нужно-то Давайте ещё раз прочитаем вопрос задачи Найдите площадь боковой поверхности нашей пирамиды значит мне нужно найти площадь одной грани любой боковой и умножить потом получившийся результат на три Так давайте я посмотрю например Площадь треугольника Площадь треугольника abd что это такое Это половина основания AB умножить на высоту DM прекрасно кстати вот DM отрезчик здесь у нас присутствует это высота получается ой гипотенуза нашего прямоугольного треугольника прекрасно А дальше А дальше как я например найду AB Ну мне AB в общем-то искать Не обязательно я могу найти cm Почему я могу найти cm потому что у меня есть Мо в этом же са прямоуголь треугольник а находится в известном отношении с А И - это части высоты cm правильно треугольника так я же знаю как высота выражается через сторону треугольника или что то же самое сторона треугольника через высоту правильного треугольник Ну и прекрасно Значит у меня уже задача решена То есть я проанализировал мне надо найти длину отрезка мо потом утроить его получить отрезок C и потом соответственно через эту высоту написать Чему равна сторона треугольника лежащего основания А дальше А дальше нужно найти каким-то образом МТ и вот здесь как раз Ключевая информация - это вот эта расстояние D которое является высотой нашего треугольника если вы знаете формулу которая связывает высоту треугольника с отрезками на которые точка H поделила гипотенуз вы молодцы если нет Напишите об этом в комментариях а ещё лучше смотрите дальше и вы увидите Ну а если Вам нужно будет доказательства этого факта то конечно же доказательство не сложно привести Итак значи я вижу треугольник прямоугольный маленький я вижу в НМ острый угол и противолежащий катет Мне нужна гипотенуза значит синус получаем что Синус альфа Синус альфа это есть отношение к Откуда это есть по сину Аль так то есть получается что это значит cm будет в три раза больше чем мо это будет 3D поде сину афа так дальше вспоминаем наша сторона Ну например BC или AB Да AB - это есть 2 / √3 Умно cm если вы не знаете вот этого соотношения срочно вспоминайте Что такое теорема Пифагора и в правильном треугольнике Найдите высоту зная например сторону треугольника а потом выразите сторону треугольника через зна на высоту увидите что как раз вот это соотношение получится то есть получается 2 / √3 у 3D / си А ну на √3 можно сократить да что мы тогда получим мы с вами получим А 23d Де на sin Итак я нашёл сторону основания и мне осталось что найти получается гипотенуза треугольника MD или что то же самое апофему моей пирамиды или что то же самое высоту треугольник abd давайте я чуть-чуть освобожу себе пространство и проведу эти вычисления Итак показываю важную формулу которую желательно знать а именно то что высота прямоугольного треугольника прон из вершины прямоуг о точ квадрат равен произведению отрезков на которое основание высоты делит гипотенуз То есть если вы знаете эту форму поддержите трансляцию лаком это же простой ролик если не знаете Напишите хотим узнать доказательства в комментариях и я вам соответственно доказательство приведу Ну что ж поехали значит что я знаю я знаю о По условию я могу легко найти M Почему в прямоугольном треугольнике omh это у меня прилежащий катет У меня есть противолежащий кат У меня есть острый угол да Значит получается что отношение Oh к M это есть танге А мне нужно выть отсюда M Я получаю что это есть Oh танге Альфа или что тоже самое о конге Аль Ну а поскольку О это у нас число D то получаем мы уже окончательно что это есть D конге Альфа подставляем сюда получаем D ква равняется D у конге Альфа у DH сократили на D и поделили на котангенс получили что DH это есть D ког А ну и тоже самое D Да умножать как-то попроще чем делить таким образом наша гипотенуза MD - это есть MH плю DH То есть это получается D у котангенс альфа п D X тангес Альфа то есть очень симпатичная формула получилась D X котангенс альфа п тангенс альфа если вы её знали вы молодцы Я лично вижу первый раз её в жизни Ну и считайте что как раз нас попросили например в пункте а Докажите что вот такая есть формула Ну правда пламет ся задача тем не менее и теперь мне осталось написать Чему равна площади треугольника abd Это половина произведения основания AB на высоту DM AB у меня уже найдено да то есть получается 1/2 у 23 D / на синус альфа и умножить на DM DM Вот соответственно D ум конге Альфа п танге Аль так на здесь на двоечку можно сократить разумно Да D к и тогда мы с вами получаем что это есть √3 D к у конге аа п танге А и по сину А ну возможно здесь можно какую-нибудь красоту навести с тригонометрии я правда это делать не очень сильно хочу И дальше мы с вами должны сделать что площадь боковой поверхности в три раза больше чем площадь треугольника адено и ло боковой поверхности равняется 33 к коге Альфа п танге Альфа поделить всё это на синус альфа тем самым Наша задача полностью решена по сложившейся традиции в конце каждого учебного ролика мы подводим итог нашей работы ещё раз говорю Большое СБО подс за активно при зада вот Пожалуйста смотрите учитесь Если что-то осталось непонятного задавайте вопросы если какие-то факты например вы не знали вот такой да простейший факт но это значит что вы себе немножечко усложняется жизнь потому что есть более простые решения и вы можете их находить если теоретически Подкова здесь вот что называется с наскока стереометрию не ворваться поэтому надо базу повторяю себе хорошую обеспечить тогда всё будет хорошо Ну а если у вас есть задачи которые вы хотите вместе со мной обсудить то Я рекомендую подписаться на Мона ссылать условия туда Ну а с вами был Андрей Павликов и обязательно увидимся на канале [музыка]