ЕГЭ 2024. Профильная математика. Лайфхаки первой части, которые реально работают

Друзья мои, возможно, кто-то из вас мечтает о волшебной таблетке. Так, чтобы задачи по математике решались легко и быстро. Ну, хотя бы в первой части. Сразу скажу, такой таблетки не существует, капитан очевидный, скажете вы, и математику учить придется, а еще лучше понимать. Ну, хотя бы для того, чтобы ЕГЭ сдать на хорошие баллы. Вот, собственно, этим, подготовкой к экзаменам и математике в целом, на данном YouTube-канале я занимаюсь уже более шести лет. А еще у меня есть Telegram-канал, где я ежедневно делюсь с ребятами полезностями. Поэтому рекомендую сразу на него подписаться, чтобы быть в курсе всей моей математической движухи. Ссылочку на Telegram оставлю в описании под данным видео. Ну, а в данном ролике я все-таки вам скажу. Лайфхаки существуют, и некоторые из них я вам покажу. Причем не просто покажу, а еще объясню, почему они работают, и где их можно применять, чтобы волшебство случилось. Поехали! Ну что же, давайте начинать. И первый, самый жирный лайфхак от создателей ЕГЭ заключается в том, что все ответы в первой части это либо целое число, либо тестичный дробь. Никакие другие ответы здесь невозможные. Давайте сразу на практике. Итак, представим себе, что команда А последовательно играет с командами Б, В и Г. Ну и нужно найти вероятность того, что наша команда будет начинать ровно одну игру из трех. Напрашивается что? Сразу ответ. И этот ответ, вероятность равна одной трети. Сможем мы одну треть записать в банк ответа? Нет, это же обыкновенный дробь. Давайте поделим один на три слога, и тогда что у нас с вами будет? 0, 3, 3, 3, ну и так далее, пока мы не устанем. Устанем мы быстро, а клеточки уже закончились. Тогда, естественно, возникает желание. Так давайте округлим. И получим 0,33. Ну что же, я сделал здесь сразу две грубых ошибки. И этим ошибкам будет посвящено отдельное видео, которое я сниму для вас. И как, соответственно, такие ошибки не запускать. Ну а теперь давайте подумаем, где же лайфхак? Лайфхак в том, что мы не вот это число не сможем писать в банк ответа. Не вот это число никто не просил нас получать. Кто просил округлять? Никто. Значит, мы с вами сделали две ошибки. Тогда анализируем. Что же делать? Давайте представим себе, что мы подбрасывали монетку. Орел, это значит, мы выиграли жребий. И начинаем игру, а Решка, соответственно, начинает игру наш соперник. Давайте выпишем все возможные варианты. И все возможные варианты будут такие. Три Орла, два Орла-Решка. Орел-Решка-Орел чередовались. Орел-две Решки. Дальше еще у нас с вами Решка-два Орла. Решка-Орел-Решка. Две Решки-Орел. Ну и, соответственно, три Решки. Вот все возможные варианты. Сколько их? Их восемь. Теперь выбираем благоприятные. Это те, где ровно один Орел. Ровно один Орел вот здесь. Ровно один Орел вот здесь и вот здесь. Получается три восьмых. Значит, вероятность три восьмых. Снова обыкновенный удар. А сможем ли мы записать ее в банк ответа? Давайте поделим слобик. Аккуратненько поделите самостоятельно. Я тоже это сделаю и напишу ответ. 0,375. Получилось? Да, получилось. Значит, лайфхак работает. Лайфхаки — это, конечно, здорово, но на них одних все задачи не вывезешь. Особенно те, которые во второй части. Там, где решение проявляют эксперты. А значит, придется серьезно готовиться, если вы рассчитываете на хорошие баллы. И здесь, как нельзя лучше подходит поговорка «Готовься не летом». Идеальное время, чтобы начать подготовку к ЕГЭ — это лето. Я вас приглашаю на летнюю школу. Здесь мы с вами в облегченном варианте познакомимся со всеми заданиями профильного ЕГЭ. Будут и прямые эфиры, и домашки, и пробники. Все это, как на годовом курсе, только в облегченном повторяемом варианте. Ну, а кто принял решение уже прямо сейчас записаться на годовой курс, для вас летняя школа пойдет в подарок. Это же здорово! Ну, а если говорить, а я хочу только потестировать. Можно только летнюю школу? Можно. И все подробности по ссылочке в описании. Следующий лайфхак относится к углам. Центральным и вписанным. Итак, показываю картинку. Есть окружность, есть какой-то центральный угол и какой-то вписанный, который опирается на ту же самую дугу. Конечно же, полезно помнить, что центральный угол равен дуге, а вписанный равен половине дуги. Это замечательно, но задача звучит так. Центральный угол ровно 47 градусов больше вписанного, причем опирается на одну и ту же дугу. Чему же равен вписанный угол? Ответ. Вот то число, которое вы в условии задачи увидели, это и есть ваш ответ. Давайте в этом убедимся. Итак, наша дуга. Ну, давайте обозначим два альфа. Зачем? Чтобы угол центральный был в точности 2 альфа, а вписанный угол альфа. Вот он ровно в 2 раза меньше. Поэтому, чтобы не было дробей, я использую такие обозначения. И нам сказали, что центральный угол больше вписанного, то есть разность, равна 47. Но 2 альфа минус альфа, это в точности альфа. И получается 47. Вот тот ответ, который я вам и предрекал. Следующий лайфхак снова про углы. Про углы прямоугольного треугольника. Вы помните, что в любом треугольнике есть медианы, бесиктрисы, высоты. Так вот, полезно знать, какие углы там появляются. Давайте поработаем. Итак, в прямоугольном треугольнике проводим медиану из вершины прямого угла. Что это значит? Это значит, что мы соединяем вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Что мы с вами должны помнить? Что медиана равна половине гипотенузы. Раз мы провели медиану, значит эти два отрезочка одинаковые. И вот этот отрезочек равен им. А значит, что перед нами? Два равнобедренных треугольничка. Показываем. Вот здесь уголки одинаковые. И вот здесь уголки одинаковые. И эта задача регулярно встречается в игре. Так что берите на вооружение. Следующий отрезочек это бесиктриса. Но здесь вообще все идеально. Бесиктриса делит угол на два равных. Поэтому если нам дали прямоугольный треугольник, и мы провели бесиктрису из вершины прямого угла, то получили два уголка, причем мы знаем точно, что они по 45 градусов. Ну это халява, мы и так это знали. Молодцы! А следующий отрезочек это высота. Проводим высоту из вершины прямого угла. И что мы получаем? Мы с вами получаем вот здесь тоже прямой угол. Так? Куча прямых углов. Это должно навести нас на мысль, что здесь что-то хорошее. Так оно и есть. Здесь сразу три подобных треугольничка. Вот этот острый угол появляется вот здесь. А вот этот острый угол появляется вот здесь. Какие же треугольники подобные? Вот этот маленький левый, вот этот маленький правый и сводный большой. Все. Вот вам все картинки про все углы прямоугольного треугольника. Следующая задача из новой геометрии, но на сей раз уже в пространстве. Цилиндр и конус. Причем конус с финусом цилиндра. Задача которой каждый год дается на ЕГЭ. Можно картинку сделать, а можно не делать. Это уже на ваше усмотрение. Но я для вас сделаю, чтобы было удобнее. Итак, есть цилиндр. Есть цилиндр. И конус вписан в цилиндр таким образом, что основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина конуса, соответственно, лежит на верхнем основании цилиндра. Так, вот мы с вами показали, что такая картинка у нас есть. И дальше что? Дальше говорят, ну просто умножь объем конуса на 3, получишь объем цилиндра. Или подели объем цилиндра на 3, получишь объем конуса. Нужно это запоминать? Не обязательно. Если знаете, хорошо. А если не знаете, то самое главное то, что знать формулы. Итак, формула объема цилиндра чему равна? Площадь основания умножить на высоту. А формула объема конуса это одна треть. Площадь основания умножить на высоту. Теперь просто сравним эти формулы. Площадь основания одна и та же. Высота одна и та же. Появился умножить одна треть. Что он нам говорит? Он говорит, что объем конуса составляет третью часть от объема цилиндра. То есть в 3 раза меньше его. Ну тогда, соответственно, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса. Вот, собственно, и все объяснение лайфхака. Теория вероятности. Давайте снова к ней вернемся. С нее мы начали. Продолжаем. Итак, представьте себе, что в чемпионате 20 гимнасток участвует. Из них 8 из России. С какой вероятностью гимнастка, которая будет выступать первой, окажется из России? И эту задачу почти все решают правильно. За исключением тех, кто дает неправильный ответ 1,20. Правильный ответ, конечно же, 8,20. Почему 8,20? Да потому, что всего 20 спортсменок и 8 из них из России. Любая из этих 8 спортсменок может выступить первой. Поэтому все эти 8 вариантов для нас благоприятны. Хорошо. А теперь, если мы хотим, чтобы спортсменка из России выступала, например, четвертой по счету, какая здесь будет вероятность? Ну, здесь уже кажется, что задача усложнилась, потому что мы же не знаем, а первые 3 они из каких стран были? Может быть, из России, может быть, не из России. И тогда, если, например, из России, то осталось уже меньше 8 спортсменок, которые могут выступить четвертой по счету. Но, на самом деле, ответ будет тем же самым. Те же самые 8,20. Которые мы потом перейдем к 10,4. Почему? И сразу вопрос. А, например, если бы мы хотели, чтобы она выступала в 18-й, а вдруг российские спортсменки выступят, скажем, 8 подряд с первого по восьмому места, и ни одной не осталось, тогда что, вероятность равна нулю? Но нет, подозрительно, потому что вдруг они выступали в 8 последних. И тогда получается, что кто-то все-таки выступил. Здесь важно запомнить следующее, что неважно, какое по счету выступает наша спортсменка, важно, сколько всего спортсменок, мы знаем это количество, важно, сколько из них представляет нужную нам страну. Их 8, а значит, ответ 8,20. Ну, теперь давайте разберемся, почему это так. Представь себе, что я здесь самый главный, и я провожу жеребьевку. Я спрашиваю, так, какую сейчас позицию жеребим? Давайте первую. Хорошо, вот передо мной 20 человек выстроилось, 8 из них представляет Россию, я понимаю, что 8 благоприятных, из 20 ответ 8,20. Спрашиваю теперь, какую по счету жеребим? Четвертую. Значит, забыли про то, что было раньше, говорим, так, сейчас я выберу из вас 20, ту, которая будет выступать четвертой по счету. Передо мной снова 20 человек, из них 8 представляет Россию, благоприятных сходов 8, всего 20, ответ 8,20. Теперь жеребим 18-го по счету. Я говорю, так, забыли про все предыдущие жеребьевки, передо мной 20 человек, из них 8 представляет Россию, вот сейчас, на кого я пальцем покажу, тот и будет выступать в 18-м по счету. Понятно, что у меня снова 8 благоприятных сходов из 20, соответственно, ответ тот же самый 8,20. Ну, давайте сократим на 2, получим 4 десятых, и значит наш правильный ответ во всех этих случаях 0,4. Просмотрим страшные для некоторых задачки, которые встречаются на седьмой позиции. Вот какое-то выражение непонятное, где дана какая-то вообще непонятная функция, как все это решать? Ну, давайте вспомним, с чего мы с вами начали. В первой части ответом является либо целое число, либо десятичный дробь. А при чем тут это спросить? А при том, что нам сказали, найдите значение вот такого выражения, или вот такого выражения, но не сказали при этом, чему равно значение переменной b или переменной x, соответственно. Что это значит? Это значит, что для всех допустимых значений переменной ответ должен быть одним и тем же. Вот здесь b можно брать любое, кроме нуля, потому что мы делим на b. А вот здесь можно брать x и b, кроме тройки, потому что мы делим на x-3. Значит, если я возьму b равное единичке, двойке, миллиону, или корню из семи, например, то ответ будет одинаковый. Так давайте возьмем то значение b, которое будет самым простым. Например, b равное единичке. Если меня спросите, почему, а потому что тогда b единичка, один делить на b это тоже единичка, и тогда наше значение превращается в такое. p от одного поделить на p от одного. То есть число поделить само на себя. Только ответ сразу готов. Единичка. И даже ничего не надо считать. Понятно, что это не совсем математика. Это понимание того, как устроен экзамен. Но раз мы это поняли, почему бы не воспользоваться? В этой задаче. Но здесь как будто никакого деления нет. Кроме тройки можно брать любой x. Так давайте возьмем x, например, равно нулю. Тогда получим, что значение нашего выражения превращается в такое. p от нуля плюс p от шести. Ну здесь придется немножко поработать. Вот здесь я 0 поставил, здесь тоже 0 поставил. То есть теперь я должен сначала 0 поставить сюда. Но если у меня в числителе 0, то произведение равно нулю. На что бы я не поделил? Понятно, не на нулевое число. И тогда получается, что это 0. Если я подставлю шестерку, то 6 минус 6 это 0. В числителе 0. В знаменателе не 0. 0 делю на какое-то другое число. Отлично, нуля. Получается снова 0. Поэтому 0 плюс 0 это 0. Вот такой. Это действительно хороший лайфхак. Но если вы всё-таки научитесь решать задачи по-настоящему, вы большие молодцы. Если вдруг не получилось, ничего страшного, вот вам решение, которое буквально за считанные секунды принесут вам желанный балл. Ну что же, с этими страшными формулами разобрались. Но рекомендую вам проверить при других значениях переменной. Кстати, в комментариях можно перечислять, что у вас получилось. А мы переходим к тексту и задаче движения. Вот здесь кажется, что никаких лайфхаков нет. И тем не менее, есть. Если кое-что хорошее, в условии задачи можно найти. Итак, представьте себе, что два велосипедиста. У них дистанция 180 км. У одного из них скорость на 80 км в час больше, чем у другого. И тратит он на путь, соответственно, времени меньше на 8 часов. Услышали? 8 там, 8 здесь. Теперь давайте вспомним формулу движения. Путь равен скорость умножить на время. Ну давайте скорость медленного, медленного там второй, обозначим за х, тогда скорость быстрого х плюс 8. Время у быстрого, понятно, меньше. У медленного, соответственно, на 8 часов больше. Смотрите, х плюс 8, х, у, у плюс 8. А теперь просто напишем, путь первый, это х плюс 8 умножить на у. Путь второго, это х умножить на у плюс 8. И у обоих одинаковое, одинаковое расстояние 180. То есть что получается? Мы как будто бы местами поменяли множители. Ну понятно, что произведение от этого никак не меняется. Значит, наши с вами задачи, можно обойтись без составления таблички, можно обойтись без решения уравнений. Просто подобрать два положительных числа, которые произведения дают 180. А почему положительные? Ну потому что вообще-то скорость и время величины, понятно, положительные. Но это делается совсем просто, то есть можно перебирать все делители числа 180, это кажется не совсем рационально. Ну можно начать так. Возьмем умножить на один, меньше уж понятно не бывает, да? И, соответственно, умножить на второй, который на 8 больше 9. Ну это 9, не 180. Да, можно потом 2 умножить на 10, 20, ну тоже не 180. Ну и так далее, и так далее, до тех пор, пока не придем к нужному результату. А можно попытаться все-таки угадать, да? Число оканчивается нулем, значит один из умножителей какой-то хороший, там кругленький, да? 10, 20, может быть, да? А может быть все-таки оканчивается пятеркой, тогда второй кажется, что должен быть четным. Ну он четным быть не может, потому что если мы 8 прибавим к нечетному числу, получим слово нечетное, значит все-таки, видимо, 10. 10 умножить на 18, 180, ура, о чудо, сразу все получилось. Теперь внимательно читаем вопрос задачи, надо найти скорость первого велосипедиста. Его скорость больше скорости второго, значит из этих двух умножителей выбираем тот, который побольше. Ответ 18. Все получилось. Важный лайфхак про задание номер 11. Помните это. Функции и графики. Кому-то задание кажется очень сложным, и одно из заданий, которое часто встречается, связано с параболой. Парабола получается, когда мы с вами берем квадратичную функцию и рисуем ее графику. Вот здесь лайфхак заключается в следующем. Вот в таком виде нам чаще всего функции дают, но есть более удобная форма записи. Та, которая использует координаты вершинки. Это форма записи а умножить на х минус х вершины все это в квадрате, плюс у вершины. Давайте убедимся, что действительно мы получим нужную точку. Если вместо х мы возьмем абсциссу вершины вот сюда подставить, то в скобочках будет ноль, а значит это с логами пропадет. И получится у вершины. Так и должно быть. Теперь на нашем конкретном примере мы видим, что на графике всего две точки, а параметров, которые влияют на квадратичную функцию, целых три. А, Б, С. Что делать? Ну не хватает точек, если мы хотим использовать стандартный подход с решением системы уравнений. Тогда давайте посмотрим вот эту запись. И здесь мы что видим? Мы видим конкретные координаты нашей вершины. Давайте ее назовем точкой М. Координаты минус 4 и 3. Значит мы уже вот сюда подставляем, получаем два коэффициента из трех. Как взять третий? Где его получить? Такие же еще одна точка замечает. Давайте ее назовем, скажем, точкой Н. С координатами 0,5. Ну и все. Функцию мы с вами легко теперь восстановим. Почему легко ее восстановим? Потому что наш у будет чему равен? А умножить на х минус вот это число. Минус. Важный момент, да? То есть минус, минус 4. Все это в квадрате. Плюс 3. Ну можно чуточку упростить, получится А умножить на х плюс 4 в квадрате. Плюс 3. Замечательно. А теперь координаты точки Н удовлетворяют вот этому уравнению. Почему? Потому что точка лежит на графике. А значит вместо у я беру 5, вместо х я подставляю 0. А умножить на 0 плюс 4 в квадрате. Плюс 3. Сколько это будет? Здесь будет 4 в квадрате. Это 16. Получается, что 5 равняется 16А плюс 3. Троечку перекинул. Значит 2 равняется 16А. Ну и соответственно поделил на 16. Получил 1 восьмую. Это А. Значит наша функция имеет такой вид. 1 восьмая. Х плюс 4 в квадрате. Плюс 3. И мы хотим найти значение функции в точке 6. То есть берем х равное 6. И хотим узнать чему же равен у. Ну давайте посчитаем. у от 6 равен 1 восьмая. Умножить на 6 плюс 4 в квадрате. И плюс 3. 6 плюс 4 это 10. 10 в квадрате это 100. 100 поделить на 8. Это сколько? 12,5. 12,5, да еще троечка. Получается 15,5. Все. Ответ получен. Но самое главное запомните, что если дали вам квадратичную функцию в таком виде, не стесняйтесь переходить к тому виду, где участвуют координаты вершины. И тогда будет вам все хорошо. Важная оговорочка. Если координаты вершины целые, этот метод работает блестяще. Если не целые, то ищите три точки на графике. Рассмотрим еще один лайфхак в двенадцатой задаче. Здесь у нас с вами дана функция, у которой мы ищем наибольшее значение на отрезке. Ну и первый вопрос, который мы задаем себе. А где вообще в принципе это наибольшее значение может быть? Ответ. Либо в концевых точках. Ну в одной из концевых точек. Либо в точке экстрема. Но мы же не знаем, есть ли у этой функции точка экстрема или нет. Попадает ли на этот отрезок или нет. Тем более, что функция какая-то странная, смешанная. Здесь и у нас многочлен есть. 49х плюс 2 и тригонометрия. Ну так давайте стандартным путем пойдем. Вычислим производную. Итак, производная равна 49 минус 46 косинус фикс. Ну здесь плюс 0. Это не пишем. Дальше. Следующий шаг очевидный. Приравнять производную к нулю. Это значит, что у нас уравнение 49 минус 46 косинус фикс равняется нулю. Отсюда выражаем косинус фикс. 49 делим на 46. Ну и задаем себе вопрос. Мы такие числа вообще когда-нибудь в тригонометрии видели? Ответа нет, конечно. Что же здесь? r косинус появляется. Странно для первой части, да? Минимальный анализ. Дробь неправильная. Значит она больше единички. Но a косинус. Значение больше единички принимать не может. А значит у этого уравнения нет решения. Ну нет решения. Сразу некоторые впадают в ступор. А получается нет точек экстрема. Что теперь делать? Вспоминаем, что наибольшее или наименьшее значение функции может быть в одной из концевых точек или в точке экстрема, если эта точка попала на наш промежуток. Но она же не попала вообще ни одной точки экстрема. Ну и хорошо. Значит осталось вот две подозрительные точки. Посчитаем значение в каждой из этих точек. В точке минус π. И в точке, соответственно, 0. Ну давайте посмотрим, что получится. Подставляем минус π. 49 умножить на минус π это минус 49π. Дальше синус минус π это 0. И еще плюс 2. Подставляем 0. Здесь будет 0, здесь будет 0, а здесь будет просто 2. Ну и теперь вопрос. А вот это значение мы сможем записать в бланк ответа? Нет, не сможем. Поэтому я даже так и напишу. Не сможем записать в бланк ответов. Ну а раз не сможем, то это означает что? Это означает что у нас единственный кандидат в ответы только число 2. И других быть не может. Все, мы с этой задачей с вами справились. И снова вспоминаем. С чего мы с вами начали? С того, что если полученное число в бланк ответа записать нельзя, это точно ответ не наш. Ну а если вдруг у вас осталось только одно число такого вида, значит делайте вывод. У вас где-то ошибка в арифметике, либо в логике решения. Ну что же, мы с вами рассмотрели примерно с десяток лайфхаков в первой части. И не просто их рассмотрели, я объяснил, когда и почему каждый из них работает. Ну вот возвращаясь к этой задаче, если бы вы эту задачу решали на каком-нибудь контроле на работе, который проверяет ваш учитель, то, конечно, нужно было бы сравнить вот эти два числа в явном виде. Но все-таки у вас же есть бонус в виде проверяющего первого участника. Это железяка, которая распространяет только циферки, знак минус и запятую. Поэтому в клеточку вот это число записать смогли? Это ваш ответ. Не смогли вот это число записать? Это не ваш ответ. На всякий случай напоминаю, что у меня есть телеграм-канал, в котором я даю кучу полезностей, как по теме игры, так и по математике в целом. Ссылочку оставлю в описании, так что присоединяйтесь, чтобы не потеряться в пространстве интернета. Ну а с вами был Андрей Павликов. Увидимся на канале.