【陳曉平教授】通俗易懂的《邏輯學》（全38講）讓你有獨立思考不被忽悠被騙，變聰明有智慧 P16 - 16.16 命題邏輯：符號化和真值表（6）

真知寒鄉的示意是很重要的 我們要符號化它 首先要有這樣的能力 對它能夠進行正確的真知寒鄉的示意 如果這一點錯了 那麼你的符號化就會出錯 那麼接下來我們就要討論 這個第三小節 命題的真知表及其邏輯性質 真知表的構造 通過對命題符號化 我們可以看到 我們符號化的結果呢 有時候還是挺複雜的 包含不止一個連接詞 但是不論一個命題多麼複雜 它不過就是對五個真知連接詞的 重複的疊加的使用的結果 所以我們應用 五個真知連接詞的真知表 可以構造出任何一個符合命題的真知表 當然這個真知表就不是那麼簡單了 就要長一些 我們就討論如何構造 任何一個符合命題的真知表 我們討論的符合命題 是真知寒鄉符合命題 所謂真知寒鄉 就是這個符合命題的真知 唯一的決定於它的知命題 而知命題呢 可以本身又是一個符合命題 它一個符合命題套一個符合命題 我們再繼續的追下去 那麼最基本的符合命題 就是命題長項 這就是不能再分解了 最基本的符合命題 也最基本的命題 最基本的知命題 就是命題長項 那麼一個符合命題 它有多少種真值負值 取決於它包含多少命題長項 如果有一個命題 它只包含一個命題長項 大家說比如說只包含一個A 當然它可以很複雜 A或者A 並且非A等等 它可以很長 但它只含有一個命題長項 我們說只有一個命題長項 這個命題長項只有兩個真值 這兩個真值就是真和假 如果它又包含了兩個 如果一個A一個B 它有多少真值的可能性 四種 這四種我們用1代表真 0代表假 那就是真真真假假真假假 如果它要有三個 有多少個呢 八個 這個規律就是 我們把一個符合命題 所包含的命題長項的真值負值 叫真值指派 對一個符合命題 所包含的命題長項的真值負值 就是給予它真和假 這樣兩個值 所有的都叫真值負值 但是有一種真值負值比較特別 它只給命題長項真值負值 那麼給命題長項的真值負值 我們給它一個專門的名字 叫真值指派 真值指派也是真值負值 不過它限於給命題長項 那麼列真值表 其實就是把它所有的真值指派列出來 然後看在每一個真值指派下 這個符合命題的真值是什麼 這就是真值含象 所以一個符合命題的真值表 到底有多少行 也就是它有多麼長 取決於它的真值指派有多少種 它的真值指派有多少種 又取決於它包含的命題長項有多少個 真值指派的個數可以這樣來計算 等於2的n次方 這個n就代表命題長項的數目 這個k是真值指派的數目 如果只有一個命題長項 那就是2的一次方 就是2 真假 如果有兩個命題長項 那就是2的二次方 4 如果有三個命題長項 那2的三次方 8 如果有四個 就是2的四次方 多少 2的四次方是多少 16 總之每增加一個長項 三倍 這樣呢 當我們看到一個符合命題 我們數一數它的命題長項 就知道這個真值表有多少行 就知道這個了 那麼接下來呢 就是我們要把這它的所有的真值負值 無遺漏 無重複的列出來 怎麼能做到無遺漏 無重複呢 就是採取對半分的方法 我們看一個具體的例子 我們考慮這個命題 我們現在要列它的真值表 然後計算它的真值 把它的函數 真值函數的關係顯示出來 它包含了三個立體長項 可想而知 這個真值表要有多少種真值負值呢 多少真值指派呢 八個 也就是它要寫八行 好 那麼現在我們就要列它了 我們應該往這寫一寫 好 我們列它的真值表 有三個 那麼呢 我們要把三個命題長項 寫上來 然後計算它的 有八行 那麼我們就分成八格了 1 2 3 4 5 6 7 8 現在有八種真值指派 我們要無遺漏 無重複的列它 要採取對半分 有八行 第一個對半 四個真四假 第二個再對半 就是兩真兩假 第三個再對半 一真一假 好 就採取這樣的辦法 無論多少個 就對半分 對半分 最後一個總是一真一假 這樣呢 這個真值負值就無遺漏 無重複的被你列出來了 接下來呢 就是看一下 在每一種真值指派下 這個符合命題的真值 我們先計算括號裏頭的 再計算括號外頭的 計算括號裏頭的 c等於h 就是這兩個等值了 是吧 計算它 兩面都真 它是真的假的 真的 寫在這個連接詞的下頭 一真一假 假的 一假一真 假的 兩個都假 真的 兩個都真 真的 一真一假 一假一真 兩個都假 真的 好 列出這個了 現在再列這個 這個呢 要看f和z f和z 而連接詞是c取 現在是兩個都真 c取是真假 真 現在是這樣吧 c取有一個真就真 對不對 這沒問題了 現在我們看這兒 一二三四 看這兒了 這兒假 這兒真 還是真 對吧 兩個都假 假 兩個都假 假 這兒有一個真 它真 好 這個是它的主連接詞 我們主連接詞下邊的這個真值 就是這個符合命題的真值 這樣呢 我們就把真值含鄉的關係列出來了 就是對於這個真值指派呢 它是真的 對於這個真值指派呢 它就是假的 你的命題長項的真值一旦確定 這個符合命題的真值就確定下來了 這就是這個真值含鄉關係 無論多麼複雜 我們都可以按照這樣的方法 把它的真值列出來 我們下面再看一個吧 我們看一個略微複雜一點的 我們還是先計算括號裏頭的 這個最裏頭的就是這個 是吧 只不過這個括號省掉了 它是最裏邊的 我們看P合取Q 就看這個咯 它是合取 真真 真 真真 真假 假真 都是假的 現在我們再看這個了 這個呢 是由它和它擊中 它是前鍵 它是後鍵 不能反了 前鍵真後鍵真 前鍵真後鍵假 前鍵假 全是真的 下面我們再看這個 這是括號裏頭的 Q和R蘊含關係 就是它蘊含它 真真 真假 假 假真 真 假假 真 假假真 真真 真假 假真 假假 真 好 那麼現在再看這個 P P蘊含這個 P是前鍵 前鍵真後鍵真 真 前鍵真 假 前鍵 我們看有沒有前鍵真後鍵假吧 這個 沒有了 對不對 沒有前鍵真後鍵假了 對不對 那就都是真的了 我們找那個最少的 因爲它只有一個是假的 前鍵真後鍵假 找這個 這個沒有 其他都是真的 也不需要一個一個看了 那麼現在呢 要確定主連接詞了 那麼我們看的是這個 和這個 別看着我眼了 看這兩個 這邊的真值一樣不一樣 一樣 那就是這是等值 就說明 真的 全是真的 好 這個真值表就列出來了 列出來以後呢 我們發現 這個命題函項不得了 它全是真的 這意味着什麼呢 它是邏輯真理 你們剛纔發現了一個邏輯真理 你們趕快體會體會 它這個邏輯真理是個什麼意思 從此你們心中又多了一條真理 這個真理說的是什麼呢 P並且Q用函 這句話 等值於 P用函 Q用函 天氣預報告訴你 如果明天颳風 並且下雨 那麼明天降溫 告訴你這句話 這句話等於什麼呢 等於說 如果明天颳風 那麼如果明天下雨 那麼明天降溫 這兩句話呢 邏輯上是等值的 當然我們日常語言只說前面一種 不說後面一種 如果天氣預報說後面這種話 大家覺得這個預報員怎麼這麼滑稽 但是從邏輯上是等值的 沒有錯 如果你們發現一個 它總是真的命題 這個是邏輯真理 這個對於我們非常重要 我們學習邏輯學 就是要掌握邏輯真理 邏輯真理在你心中越多 你呢 講話出錯的可能性就越少 對吧 你經常講出真理來 所以呢 我們特別看重這種 爭執表上 每一行都是真的 這樣的命題 因爲我們嚮往真理 下面呢 我們就看看這個邏輯真理 我們專門討論這個問題 因爲邏輯真理和一般的真理 還是不太相同的 下面呢 我們就討論 一個問題 叫做重言式矛盾式和偶然式 我們先討論一下這個命題吧 這個命題的邏輯性質 取決於它的爭執表 我們先列出它的爭執表 然後探討它的邏輯性質 列爭執表嗎 就是先把它的爭執指派 所有的爭執指派列出來 由於它有兩個 那就是真真真假假真假假這四種 我們先列最裏面的A定切D 這是一個和曲 只有這兒是真的 其他都是假的 這是C曲 C曲呢 只有這兒是假的 其他都是真的 我們再看韻涵 韻涵呢 有沒有前件真後件假呀 沒有 那它都是真的 好 我們又發現一個邏輯真理 這個邏輯真理告訴你是什麼呢 如果天氣預報說 明天颳風並且下雨 韻涵着明天颳風或者下雨 它說如果明天颳風 如果明天颳風並且下雨 那麼明天颳風或者下雨 這句話在邏輯上千真萬確 這是邏輯真理 邏輯真理告訴你們 放之四海而皆準 不是說馬克思主義 放之四海而皆準嗎 其實說馬克思主義 放之四海而皆準 實際上是貶低了馬克思主義了 因爲沒有內容的東西 才能夠放之四海而皆準 如果說哪一個理論 是放之四海而皆準 就說他什麼話都沒說 我們說邏輯真理 是放之四海而皆準 爲什麼呢 因爲他什麼話都沒說 是空的 告訴你明天颳風並且下雨 你說由此我得出 明天颳風或者下雨 你很自豪嗎 其實你什麼都沒得出來 因爲他說的是廢話 這就是邏輯真理的真理所在 在哪裏呢 因爲他說的都是廢話 所以叫重言式 英文叫total logic 就翻譯過來重言式 重言式就是同餘反覆 我們通常說的真理是什麼呢 和客觀事物符合的觀念理論 我們叫真理 但是這個真理 用在邏輯真理上就不妥了 因爲邏輯真理 不需要去和外面的世界去對照去 天氣預報告訴 明天或者颳風或者下雨 你們非要等到明天 才知道這句話的真理性嗎 明天或者下雨或者不下雨 這句話需要不需要等到明天 明天下雨或者明天不下雨 這句話現在能不能確定它是真的 能吧 不需要等到明天十點了以後 才確定它吧 所以十點是檢驗真理的標準 對邏輯並不太實用 它不需要十點 它現在就可以確定 不需要等十點了 它爲什麼呢 因爲它是重言式 它是同語反覆 就因爲這個 這個重言式是威斯康斯坦 首先提出來的 他就琢磨 這個邏輯真理千真萬確 它真在什麼地方 顯然不是和外界符合 他後來研究出來 是因爲他同語反覆 研究出來 它的真就在於 他說廢話空話 他什麼都不告訴你 那當然說了一句真理了 好我們再看一個命題 我們列它的真值表 它也是含着兩個命題長項 那也就是四行 這個是真真真假假真假假 我們先計算非P最裏邊的 P是真假真假 非P就是假真假真 好我們再看M和這個的等值 一真一假 它肯定假的了 兩個都真 它真 兩個都假 它真 一假一真 它假 我們再看這個 這就是和曲了 只有這個是真的 其他都是假的 我們再看這個和曲 我們現在要看這個 看這個和這個的關係 和曲必須兩邊都真它才真 但這沒有一個是兩邊都真的 那麼就是它是假的 這個和那個正好相反 那個在所有的情況下都是真的 這個在所有的情況下都是假的 這個在任何情況下都是假的命題 就叫邏輯謬誤 剛纔那個是邏輯真理 前面我們說的那個是邏輯真理 邏輯真理就是重演式 這個是邏輯謬誤 邏輯謬誤說什麼呢 你一方面斷定了M和P都是真的 斷定這個M和P都是真的 這又斷定M等於非P 這個命題能不能判定裏面含有一種自相矛盾 有沒有 有的 所以它就是邏輯謬誤 無論世界發生了什麼 這句話都是假的 它假的實質是什麼呢 和世界無關 它假的實質就是它自相矛盾 所以邏輯謬誤就叫矛盾式 邏輯真理真在什麼地方呢 真在同語反覆 所以叫重演式 邏輯謬誤謬在什麼地方呢 謬在自相矛盾 所以叫矛盾式 都無需和外部世界對照 這就是邏輯真理和邏輯謬誤 它的一種特徵