【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P35 - 37. 5.3 連續性方程

前面呢 我們討論了流體流動的一些基本概念 那麼現在呢 我們來討論一元流動的連續性方程 那麼什麼叫連續性方程呢 實際上連續性方程或者叫連續性原理 就是質量守恆定律在流體力學中的表現 那麼質量守恆定律就是物質不滅定律 也就是說物質不能無緣無故的產生 也不能無緣無故的消失 只能從一種形式轉變爲另外一種形式 那麼這裏的問題呢 很多 我們也很好理解 你比如說就拿我們這個教室來說 這個教室裏邊呢 比如說現在有三十個人 有前門有後門 那麼前門呢 出去了五個 後門呢 進來了十個 那麼教室裏邊呢 一定多了五個同學 對吧 那麼這個就是那個質量守恆 也就是說流體力學裏邊 我們把它叫做連續性原理 這是一個 另外還有很多例子了 對吧 還有很多例子 那麼前面我講的那個油在直的管道里邊流動 那麼避免摩擦是否會使得油越流越慢 對吧 那麼當時也是利用連續性原理 質量守恆定律來討論那個問題 對吧 那麼類似的例子很多 那麼下邊呢 我們來看這個例子 這個呢 是一個圓筒 圓筒裏邊呢 裝滿了那個液體 然後在這個圓筒的下邊有一根軸 那麼我們在這個圓筒的側壁上 封閉的 這是一個封閉的 在它的側壁上開了一個洞 開了一個洞 那麼這時候呢 我讓這個圓筒繞着這個軸旋轉起來 那麼它旋轉起來了以後 我問 我問這個裏邊的液體會不會從這個小孔裏邊流出去 我問容器內的液體能否從小孔流出去呢 那麼我們知道 如果要是敞開的 沒有這個蓋 那麼你正好一轉呢 那個水液麪呢 就會成這個形狀 一條泡沫線 對吧 然後呢 一部分液體呢 就會順着這個流出去了 現在如果要是密封的 如果是密封的 那麼在這兒有一個洞 它會不會還要往外跑呢 會不會還要往外跑呢 那麼這裏邊呢 我們假設這個容器的固壁是鋼體不變形的 那麼大家想一想 大家想一想 實際上它是跑不出去的 那麼爲什麼 爲什麼 好 我們下邊的來看 質量守恆定律在流體力學裏邊具體是怎麼表示的 那麼我們現在呢 在流暢裏邊 我們隨便的找一塊區域 找那麼一塊區域 是一個封閉的區域 我們把這塊區域呢 叫做控制體 那麼在區域的外表面 我們把它叫做控制面 那麼就這部分區域而言 大家明顯的看到它應該分成兩部分 一部分是有流入 一部分的是有流出 對吧 那麼這時候我們來看就這個有流入有流出 那麼我們從連續性原理 或者說從質量守恆定律 我們來說 那麼它必須該怎麼樣呢 那麼必須的就是說流入的質量減去流出的質量 一定等於內部的增加量 對吧 那麼這個呢 就是質量守恆定律 那麼下邊的我們來看一下 在單位時間內 那在單位時間內 那麼假如A1呢 是流入的面 控制面 A1呢 是流入的面 A2呢 是流出的面 那麼在單位時間內 從A1流入的流去質量有多少 那麼這個流去質量的應該是什麼呢 應該是速度 質量與面積 質量點擊 然後再沿着面積分 對吧 那麼這個點擊呢 我們來看流入的嘛 對吧 我們要讓它爲正值 而這兒呢 這個面積的外面積的方向呢 是以外發現爲正 因此這個點擊呢 就是負的 因此要保證流入爲正的話 那麼我們的定義該怎麼樣 就是說密度乘以速度 質量點擊面積A 那麼這個點擊爲負 這個點擊爲負 所以我們在這加一個負號 那麼在A1上提分 那麼這個呢 M1就是流入控制體的流體質量 那麼第二個呢 我們再看流出 通過A2面呢 它流出的 流出的質量應該是密度乘以速度與面積質量點擊 面積質量點擊 然後再在A2上進行提分 那麼因此呢 單位時間內 流出控制體的質量流量 那麼應該是等於M2 那麼就是如果V質量點擊A質量 在A2上計分 那麼就得到這個 那麼第三個呢 我們來看就是在這個控制體內 控制體內 它單位時間內 它增加了多少 單位時間內增加了多少 那麼大家就想哈 這是一個教室 那麼流進來了十個人 出去了五個人 這裏邊一定增加了五個人 對吧 一定是這樣子的 單位時間內 那麼現在我們看它原來的裏邊的流體質量 我們怎麼說呢 那麼控制體內原有的流體質量應該是密度乘以小微元體積 然後再對整個體積計分 對吧 那麼這是它的質量 那麼它的質量在單位時間內增加了多少 那麼就應該是質量對時間求偏倒數 對吧 那麼這樣呢 我們就得到單位時間內流體質量的增量是這麼大 那麼這個裏面讓大家看到這個Vc就是控制體 那麼密度乘以小微元體積 然後給它積分 那麼這個就得到是控制體內的流體質量 那麼這個質量的對時間求偏倒數就得到單位時間內控制體內流體質量的增量 好了 那麼物質不滅定律或者質量守恆定律 它告訴我們什麼呢 它告訴我們流入的減去流出的一定等於內部的增量 那麼也就是說 Δm應該等於m1-m2 對吧 那麼因此呢 根據質量守恆定律 流入的質量減去流出的質量等於內部的增量 那麼也就是說m1-m2等於Δm 那麼我們把剛纔那個式子拿進來 把剛纔那些式子拿進來 m1就是負的 若V點擊DA 對吧 m2是若V點擊DA 在A2上積分 這是減號 那麼應該等於這邊的增量 對吧 那麼這裏邊的我們看負號負號 那麼把這個呢 給它合在一塊就是加 倍積函數是相同的 那麼就是A1加A2 那麼A1加A2是什麼呢 就是控制面 因此這個方程又可以寫成爲這一項 加上這邊的在控制面上的環積分 那麼這個呢 就是聯繫性方程 就是質量守恆定律 在流體理學裏面的一種表示方式 那麼由於它是積分形式的 因此呢 我們把它叫做積分形式的聯繫性方程 對吧 那麼在這還要注意 質量守恆定律是一個必須得滿足的定律 那麼因此呢 流體流動 它是必須得滿足聯繫性方程的 如果一個流動不滿足聯繫性方程 那麼只能說這個流動是不存在的 對吧 那麼下邊呢 我們來看 對於一元管流 那麼它所滿足的聯繫性方程是個什麼樣子 那麼一元管流呢 我們看就這麼一個管道 就這麼一個管道 那麼在這個管道里面的流體呢 在這裏面流動 對吧 那麼流體呢 在一節面流入 入流斷面 在二節面流出 就是出流斷面 對吧 然後那麼 那麼這個呢 是管閉 閉面 那麼控制體呢 就是由入流斷面 出流斷面 加上管閉 圍成的區域 那麼這時候我們看聯繫性方程 能夠變成什麼樣子 聯繫性方程變成什麼樣子 那麼這裏邊呢 我們做一點假設 我們認爲呢 流體呢 是不可壓縮的均值流體 那麼如果流體是不可壓縮的話 那麼控制體內的流體質量就是不變的 那麼控制體內的流體質量不變 因此我們看這一項 這一項控制體內流體質量是不變的 因此片導數就是零 對吧 那麼剩下聯繫性方程就變成了這個積分等於零 那麼因此呢 我們來看 對於不可壓縮的均值流體 那麼它的這一個控制體內的增量等於零不變 那麼因此呢 這個積分形式的聯繫性方程就變成了環積分等於零 對吧 那麼這個環積分呢 對於我們來說 把這個控制面呢 有入口斷面 有出口斷面 還有閉面 那麼因此呢 把這個積分呢 就給它換成這麼幾個 第一個在入口斷面上有這個積分 在出口斷面上有這個積分 那麼除了這個以外呢 這個AC還應該包括閉面 但是在閉面上是沒有流進流出的 對吧 沒有流進流出 所以那個一定是零 那麼這樣的這個積分就變成了這個樣子 那麼變成這個樣子 密度是不可壓縮的 等於零變成這樣子 那麼變成這個樣子 這個時候呢 我們假設這個斷面的是個過流斷面 那是個過流斷面 這是其一 其二呢 在入口斷面處U1和U1矢量和底A矢量 它方向相反 對吧 方向相反 那麼因此呢 這個點擊呢 等於負的U1A1 那麼這裏邊呢 這個U1呢 是過流斷面1上的平均速度 1上的平均速度 那麼這是U1 那麼U2呢 是出流斷面 出口那個地方 它的平均速度 U2 那麼這樣的 我們就得到了負的U1A1加上U2A2等於零 對吧 那麼把這個整理一下呢 我們就得到了U1A1等於U2A2 那麼這個是什麼呢 就是說從左邊流入多少 從右邊一定流出多少 那麼這個就是一元流動的連續性方程 那麼因此呢 這個關於連續性方程呢 很簡單 那麼大家也很好理解 對吧 那麼我們還可以有很多例子啊 大家去想一想 其實還有很多例子 對吧 你比如說這個一個可樂瓶 一個可樂瓶 那麼你要是在它下邊打一個洞 把上頭蓋給擰緊了 在下邊打一個洞 那麼裏邊的水會不會流出來呢 你們可以做個實驗 對吧 那麼如果要是可樂瓶呢 它的管壁是不變形的 那麼它一定是流不出來的 它要流出來的話 一定會使管壁變形 如果管壁不變形 那麼它必然流不出來 對吧 因爲流出必須有流入 那麼沒有流入只有流出 那麼這個流動就不連續了 對吧 大家還可以想很多其他的例子