【北京大學】《泛函分析》（精品課） P5 - 5. FA05

我們把上次講的這個事情,先簡單回顧一下。 首先從一個心理復發空間說吧,這是我們上次講的主要的事情。 它不一定是完備。 什麼叫完備呢? 完備其實就是說,所有的科系界,它都要有一些。 那麼我們講的任何一個,這樣子的一個心理復發空間, 其實它都可以完美化。 完美化,我們把它提成X-bar,這個方式。 提成X-bar是什麼? X-bar是所有X中的所有的科系界所組成這樣的一個空間。 其次是要等價類。 所有科系界都要等價類所組成一個空間。 這個空間其實我們上次說了,這個還是一個心理復發空間。 並且這上面可以定義一個方式。 這個方式其實就是,如果說Cosine是這個科系列的話, Cosine這個方式其實就是Xm的方式, 大概就是我們說的這個極限。 我們上次說的這個極限總是存在的。 那麼其實就是這個空間是完備的, 這是我們上次證明的這樣的一個定義。 所有科系列等價類組成這個空間,根據這個方式, 它其實是完備的,所以這是一個復發空間。 那這個極限是什麼意思? 其實就是說任何給一個心理復發空間, 我們都可以把它完備化。 這是我們上次證明的一個定義。 但是在實際中用的其實是下一個事情。 這是我們上次也證明過的。 就是說,現在我不知道這個是不是完備了, 我從一個心理復發空間出發, 假設它有另外一個心理復發空間, 但是這個空間,關於這個方式是完備的。 並且這個x在這個方式裏面是醜的。 就是說,在這裏頭的話, 醜的意思是你給的那個x, 我在那邊允許了,我都要乘那個x允許了, 在這個空間裏面,使得這兩個關於這個方式允許了。 在這個意義下的話, 其實如果是這樣的話, 那其實x1這一個方式, 這是一個完備的復發空間, 其實跟這個空間的完備化, 其實是可以先等於不夠的。 也就是說,這兩個空間其實是一回事。 在心理統治意義下,這兩個其實是一回事。 在後面, 一個典型的例子, 其實有理數, 有理數它的完備化其實就是數數。 有理數的完備化其實就是數數。 所以從發明學來說, 從數數理論來說, 從完備化來說, 其實就是你把有理數根據那個絕對值來完備, 它的完備化空間, 那其實就是我們的數數。 這是我們的完備化空間。 那其實我們這兩個例子上次沒有講到, 這個需要講一下這個事情。 這個空間其實因爲在其他地方經常要用, 特別在PTE, 這是經常用的一個空間。 假設這是一個有間的序, 有間序, 你簡單簡單地把它拿過去, 那麼這個空間是什麼? 這個空間是要表示, 所有一直到K階的所有的片導數, 它都要連續, 都要在上面連續。 在上面連續, 所以你這兩個東西可以取一個, 取個這樣子, 因爲這零箱數, 零箱數它在有間的序上, 它也是這樣子。 那麼這就表示什麼? 你二號, 這也是經常用的一個記號, 你二號U, 這表示什麼? 就是U關於DN、NCD這樣的一個片導數。 其實α呢, α就是一個作用指標, α的半徑, 這個都是一個整數, 把這個整數把它加起來。 加起來我們就要加到α的絕對值, 好吧? 然後呢, 第一個應該已經是α1, 然後在DN裏面就是αN值導數, 這些都是半一點連的, 如果說這是連的, 就表示不求導數, 這是一個約定。 那麼這個空間, 關於這個範圍, 這是完備的, 就是這個範圍的空間, 這個大家可以回去認識, 這個認識的, 這是這個範圍的空間, 這是完備的, 關於這個範圍的範圍。 然後這個空間其實也是經常要用的, 我下來寫一個零, 無窮, 無窮的這個容易理解, K取的無窮也就是說, 它認爲是導數, 主要原因, 類似導數, 偏導數, 主要成分, 問題解決, 這樣子的用, 我們叫光法數。 邊上寫個, 這是下面寫個零, 這表示什麼意思, 這表示這個函數, 它要在零點附近, 它是在, 在這個ω的邊界附近, 這個函數要在零點。 所以這不僅僅是在邊上等於零, 還是要在邊上的空間比較等於零。 那麼這成一個概念, 其實就是說, 它其實不但是函數, 它是在這邊上比較等於零, 其實它的類似偏導數, 它都要在這邊上。 ω的邊上附近, 其實它都等於零, 好吧。 那麼, 這樣子的用, 我們可以定義這樣的一個函數, 這個KK, 開始一個函數P, P是大於等於E的一個實數, 開始征服R, 那麼你把所有的, 所有的這個, 這些偏導和P差, 全結合, 把它加起來, 然後你再開幾個函數, 你就可以證明, 這是一個函數。 這個函數, 你要證明這是一個函數, 其實它跟LP, 也就是說這個U, G, 是一模一樣的, 證明是類似的。 你證明這是一個函數, 你要證明這個是一個函數, 其實是一模一樣的。 但是, 這裏面, 要檢測實際, 這個空間, 光函函數, 它關於這個函數, 這是個函數, 但是它不是網絡, 這個不是網絡, 這個大家回去要算一下, 也就是說你這個, 這個連續函數, 其實最簡單的K等於U, 連續函數, 它其實關於LP, 其實就不是網絡, 除非P等於U, 所以這個P的話, 好了, 我們這個空間, 關於這個函數, 它只有這個網絡, 但是網絡, 根據我們剛纔說的, 任何一個觸犯空間, 你都可以網絡化, 那麼這個網絡化的空間, 我們就叫做說明空間, 好吧? 這是我剛剛分析的, 這個偷懶的講法, 說明空間是什麼? 說明空間, 其實就是不同函數, 關於這個不是太好的函數的網絡化, 就這個, 你去網絡化, 網絡化的話, 一般你騎着這個駕駛機, 它是M0, 好吧? 但是騎着另外一種T函數, 如果是用T1的話, 更喜歡用的是這個函數, 這個說明空間, 但是用的最多的話, 其實應該是K等於1, 或者是2, K的如果太高了, 其實跟這個差不多, 這都是兩個記號, 就是這個, 關於這個, 空間網絡化, 在我們這個課堂, 在發行線裏面, 我們把這個叫做說明空間, 但是在TDE裏面, 其實說明空間是有另外一種函數的, 就騎着這個樣子, 說明空間是什麼意思? 騎着這個時候, 在洛伊1200這個島屬, 它是1LP, 但是這兩個空間騎着是一樣的, 這兩個空間騎着是一樣的, 這是一個定理, 好吧? 當然你可以偷懶, 我再說一下, 你用偷懶的講法, 其實你可以發什麼呢? 就是發這些東西, 看着這個網絡化就行了, 這是最偷懶的一個講法, 好,那下頭我們接着來講其他一個事情, 我們講哪個函數? 好,那下頭我們現在講的就一樣, 現在我們在同一個空間上, 假設有兩個函數, 所以我們這是一個新空間, 這是第一, 這是什麼呢? 這是X1, 這是X2, 兩個函數, 我們就說它, X2, 對, 第二函數, 第一, 特別的要強, 這是實際上的意思, 如果說Xn, 關於第二個函數要趨於0的話, 你就能推出這個Xn函, 關於第一個函數, 要趨於0, 好吧? 那另外一個等價的說法, 其實是什麼? 其實如果, 這實際上是另一個Xn, 對, 另一個Xn, 假如這個實際上是另外一個等價的說法, 如果說, Xn它關於第二個函數, 它要趨於0的話, Xn關於第二個函數, 它要伸出來, 你就能推出Xn, 它關於第一個函數, 它也要趨於0, 好吧? 這是我們這個第一, 那我要說, 這兩個函數是等價的, 這個比較強, 那我說這個, 這兩個函數, 等價, 假如說, Xn, 這個要趨於0, 這個雙方比較強, 其實就是Xn, 也就是說, 兩個函數, 也就是什麼呢? 也就是, 他們說, 右黨的策略是這樣, 就對我們來說, 在很多情況, 其實策略, 纔是重要的一個事, 好吧? 那也就是說, 兩個函數都不等價的話, 那他們其實右黨策略, 其實是一回事, 這是我們的定義, 今天我們要講的, 一個重要的事情, 就是說, 在有限位空間上的話, 我們就像史書或者古書, 他們這樣的復刊空間, 在有限位空間上, 其實那麼兩個函數都不等價, 那麼兩個函數都不等價, 也就是說, 他們的策略都是這樣的, 這就是爲什麼, 你在有限位裏頭, 把問題伸進去的原因, 好吧? 所以這裏的很多事情, 就不出現, 無權位裏頭出現的很多問題, 在有限位裏頭, 其實就不出現, 好吧, 這是先走, 怎麼樣來描述呢? 這是我們下的, 我們可以這樣描述, 我說, 這個是X, 這個是它的R, 這個跟這個一樣, 這個是新空間, 這是兩個函數, 兩個函數R, 我說, X2, 這個B, 這個A要強了, 那麼我們要強項的是什麼? 要存在着一個C, 大約值的, 值到這個, X這個E, 要小一點的C, X2, X關於R, 這是要跟那個XR, 這個C, 是要跟X沒有關係嗎? 對R和X, 它這個C是同一個, 這是第一個, 第一個強, 那其實你可以這樣弄, 那麼這裏頭, 你馬上就有這兩個函數, 中文第二條是什麼? 中文第二條就是存在着大約值, 值到什麼? 值到這個, X關於第一個函數, 它要小一點的C, X2, 要小一點的C, 這個是什麼? 這個我是要跟N一等的, 這個C, 也是跟X沒有關係嗎? 這是我們要用來看的, 這兩個函數是不等價的一個事情, 那麼這兩個函數是一回事情了, 這是中文第二條, 如果說第一個強, 那麼要存在這個事情, 那我們現在來看, 如果說存在這個C, 死的這次就對, 如果說存在這個C, 死的這次就對, 那麼X2肯定比, 我寫錯了寫錯了, X2BB, 那X2, 我看看我這個事情有沒有搞錯, 下一個這個正法, 在我們這個辦案派系, 跟信息有關的事情, 這是經常要用的, 這個比這個強, 以後我要存在的時候, 找一個C, 那我們反正假設C不存在對嗎? 假設不對, 也就是說任何的C, 這件事情都不對, 所以你就是什麼? 你就是C等於N, 你可以存在XN對嗎? 等於XN, 死了嗎? 死了這個, XN, 關於第一個方法, 它死掉, 大於等於N, XN, 關於第二個方法, 對不對? 關於第二個方法, 所以呢, 你就再說什麼呢? 我就唸YN, 比如說我叫它XN, 我除下那個XN, 關於第二個方法, 我再給它, 給它存在一個N等於1, 好吧? 再存在N等於1, 那麼你說說看YN的第二個方法, 第二個方法, 這個騎車要在N等於1, N等於1, 去看對不對? 但是你再說說看YN的第一個方法, 它第一個方法, 第一個方法其實它是要差一點, 你把這個讀過去, 用騎車讀, 騎車讀這個方法, 那這個說, 這個要去年, 這個必須要去年, 但是我現在已經找到了, 這一點, 關於第二個方法, 它都要去年了, 所以這就麻煩了, 好吧? 這是用來判斷這個, 兩個方式是不是等價的一個, 一個命題, 好, 有了這個時間之後, 那下回我們再說, 這下回我們要說, 其實任何有行爲空間上的, 這兩個方式, 其實都是等價的, 這是我們一定要判斷的, 這是一個方式, 同一個空間, 這是兩個方式, 同一個空間, 假設, 這個爲數, 等於A, 小一小不二, 這兩個都是等價的, 有行爲空間上的, 任何兩個方式, 它都是等價的, 好, 現在我們來講有限位, 有限位, 其實我一開始就跟大家說過, 在這個無求無空間裏面, 因爲現在我們基本上處於無求無的時代, 無求無空間, 其實爲數和G, 是非常非常討厭的一件事情, 但是我們現在假設是有限位, 所以有限位的這個事情還挺難, 因爲這是一個有限位, 因爲這個爲數是A, 所以你可以假設這個E, 是X的一組G, 一組G的話, 要是X, 我都要和那唯一的, 這是E, 這是M, 它是K裏的時代, X, 要是X是E, E加上, 加上, 這是M, 不厭, 這是一個有限位的事情, 那麼我要證明的是, 這三個任何兩個方式都是等價的, 任何兩個方式都是等價的, 所以任何兩個系列, 你就可以制約一個, 所以我就取什麼呢, 比如說我就取, 這個是E, 那麼我們取一個最常用的這個系列, 取一個最常用的這個系列, 你就把它取成什麼, 取成等價, 就是這所謂的N方式, 那現在你只需要做什麼, 你只需要做什麼, 我假設這是N, 這是X上的另外一個方式, 你假設這是X上的另外一個方式, 你需要做什麼, 剛纔已經寫了對吧, 你需要做, 我們需要做, 找一個C, C大一點, 死大, 死到什麼, C, 對吧對吧, X, 要小一點, 再一點, 要小一點, C, X, 對吧, 那麼這次用什麼方式, 而你跟這個系列, 我們需要用數學分析裏的一個, 一個基本的距離, 什麼wise path的距離, 那現在怎麼做呢, 首先我做這個, 我就列, F, C, F, C, 其他就是什麼, 就是我再C, E, 對吧, 這樣吧, 這是A, A, 對吧, 這個其實是X的這個方式了, 好吧, 我再C, C其他就是, 啊, 所以這個是什麼, 啊, 這個其實是F和C的方式, 這個其實就是K, 從這兒到這兒, 這樣的一個函數就好, 是這樣的一個函數, 這個是什麼, 一次起子, 並且, 並且是什麼, F, R還是C, 這個東西其實要等差的話, F和C, 因爲現在沒有, 所以這其實就是R, F和C, 好吧, 這是第一個, 第二個, 這個是連續的, 對, 換一個C連續, 這樣是連續的, 換一個C連續, C是連續的, 這個連續的形態, 也就是說你這個, 啊, C, 啊, K, 好吧, 如果說它要設定它是C, 那你就能推出這個L, 這個L, K, 啊, 所以它要C, KCK, 所以它要K, KCK, 我說這個L, 所以它要KC, 這是, 這是什麼, 這是, 是這樣的, 啊, L它是, E, E是Y, 對, L它是L, L連續, KCK, E就是L連續, KCK, 今天大概要去比 啊 那你這個你去哪裡 這些怎麼做呢 是想做對不對 所以你比如說我說這個 KC啊 KC KCK對吧 我就把這是KCAK KCMK對吧 那麼你再看這個KCK KCK要收音的KC 啊 這就是KC 那麼我們知道在這個情況之下它就是什麼 KCi K它是要收音的KCi 對那一部分的要去 這是有限度的 有限度的收音機 你要用什麼 好吧 這是我們這樣子 好了 那也就是說 你這個收音道看 那也就是說它是每個步驟都要成功的 所以你再看啊 你這個我們來看這個F K -FC 給它取個絕對值 好吧 取個絕對值 那我把這個 我就把它記成這個XK 好吧 這取的就是我們這個 K對不對 XK-X XK的這個塊 -這個X 再取個絕對值 好 我把 那記取這個 就是我的X好吧 就我的X的話 它是1 1 加它 它是N 好吧 那這三個步驟是 XK-這個X 這三個步驟是 所以這個旗再回想 你再把這個 還是三個步驟 所以這個旗都是什麼 旗都是小E 小E K 1 - 1 加它 加它一個 K N - 然後 這裡幹 1 2 3 因為在有些動作的時候 這個肯定壓曲邊 但K 壓曲中心 也就是說 這個是一個連續的 好吧 這是一個連續的 第二條 第一個 N的意思是 第二條 這是連續的 那現在我們來看看第三條 要開始 到這個 到這個開始 比如說這個X 這個 壓在1 2 也就是什麼呢 也就是這個 開始1到這個平方 加它 開始N到這個平方 1到3 這個大一點 就是這個 到X的地方 開始 這個不能卡在裡面 不能全在裡面 因為這是新鮮蝸牛 新鮮蝸牛 所以這個 這個千萬不能在裡面 所以它都是放著 因為這是放著 放著肯定壓大一點 所以說 這是大一點 就是這個 所以你這個 這是一個FC 壓一等 N壓大一點 我是要從那個 N N大一點 使得 使得是這樣 好吧 為什麼 這是一個零下數 我們已經 前面這三步 已經第二步 記得 這個是在 這三條的一個零下數 所以呢 所以你把這個 這個零下數 你的S 等於S 記得你一定要把它 開始1 開始N 它是在這個N裡頭 對吧 然後這個 開始1的這個平方 加上這個開始N 這個平方壓到1 對吧 我們知道 這個是什麼 這個是這裡頭的 一個緊急 這個 這個集合 是這裡頭的一個緊急 然後 這是一個零下數 也許還是 在一個緊急 或者說 附加緊急 有些逼急了 在20公斤裡頭 都存在一個 有些逼急上的零下數 它能夠達到最大值 也能達到最小值 這就是 發生在這個地球 好了 那麼因為它每一個點 每一個點 它都是 都是正 所以它是最小的 你N 你的N可以去最小值 N 你得去最小的這個 F和T 大概 S3的 最小 你去N 你就取得 取得這個最大值 最大值 那麼你就 就有這個值 好吧 最小的 因為它能達到 它總是正的 最大值 能達到 所以它肯定 肯定是有限 有這個值 好了 那你再來講這個 你這裡有1 2 這樣對吧 然後你 那我們再來講這個 有1 這個其實 1 加好這個 3 1加3那麼起著 你就得到這個值 這就是為什麼 這個等於這個事情 這個不等於 每一個 都是起著 這個起著 所以你就發達了 好吧 這是這樣的一個事情 我們再把 再把這個定理說一下 這個定理說 任何有 有些位空間 給定一個有些位空間 給定一個 有些位空間 這上課的任何兩個方式 方式都能講 這上課的任何兩個方式都能講 這是有些位空間裡的 一個非常重要的一句 好那下回我們再 再來再來再來 再來講一個東西 至於有些位空間 那下回我們再 再來講另外幾個定理 我假設 假設這個是 這是一個完備的 這是一個完備 我現在我要演繹一個集合 這個集合 這其實是一個單位行政 這個話是 它是要的 那下回我們說 這個是列舉的話 S它是一個列舉 列舉就是什麼意思呢 任意的 我都 我都要 都要承擔一個職業 XKG 指的是什麼呢 指的是XKG 它會勝任的某件事 這是列舉 一個職業叫列舉 任何一個 系列 我都要承擔這個 勝任職業 這是列舉的這個 充分必要條件 這是有些位空間 列舉的充分必要條件 這是一個有些位空間 那現在下樓 下樓我們演繹一個 那麼你看啊 這如果它這是有效的 你打了S列舉 這其實我們剛才已經做了 因為有效的 那現在 從設立那個觀點來看 它大的那個 兩個方式 屬於它本身就是這樣 但是有些位的 你可以取這個 我們剛才說的 有所謂的A2 就是二十八步啊 二十八步屬於 二十八步是列舉的 那麼 這其實就是列舉的 對不對 好 所以那下面我們假設 S列舉 S列舉我現在 我要推出 那個為數 為數等於A 它的有限 這是我們要做的事情 那我們假設 我們反正 假設不對 也就是說 它不是有限位 不是有限位的話 其實也就是說 你任何給一組 信用方向的 任何給有限多個 信用方向的 我依然還能找到另外一個 另外一個 跟它還是有限位 所以這是我們 用的這個事情 假設不對好吧 那麼你現在 你取一個1 1 1 1 好吧 我說我 我可以假設這是 信用無關的好吧 信用無關的 但信用無關 其實你還可以 把它更換一下 你 那這事情怎麼 那這事情你可以這樣 怎麼會先取個1 1 對不對 先取個1 1 我把它更換一下 然後因為它是 它是不成為的 所以我要找 要跟它信用無關 然後1 2的方式 然後1 2 我再可以找 1 2的 所以你可以 一直一直可以 這樣子 然後是什麼 我來看 我說 XM 我就 你就說有 這些東西說 信心組合 那這個 這個所謂的 信心組合 這事情跟我們原來說過 這個空間取的什麼 取的所有的 可是1 1 加上 可是 那麼我們知道 這個空間的維束 是M 這是M 這個空間的維束是M 然後因為 因為 因為這個空間 維束 維束成同 所以我肯定 要找這個 一個X 它是什麼 一個X 一個 這個X 它肯定 所以人家寫G7的名字 X X肯定 X等於這個 這個 好了你寫 現在我們來看這個事件 那我說 我們來看這個事件 我看這個 這是我說 一定存在這個 Y 0 它是 要在哪一個領域呢 要在這個X領域 Stand Stand是什麼 Stand就是說 這個 X領域 Y領域 它是 它是要下一個 要下一個 X領域 Y 你是 那個其實是標準 那個E這個 Y 我就把它寫成 Y 這樣呢 這是A A 這個 但是 這個 這個你就把它寫成 路 路總是大一點的 為什麼 這 這寫的 這寫的做法是一樣的 這個 我 跟前輩 我就 我把它寫好吧 不客氣 我把它寫成 那個是 是減去一個什麼 減去一個 可是一 減去一個 可是一對吧 一 減去可是二 一二 對吧 我們只認錯這個 不然什麼 可是一是連續的 連續對吧 連續 但是我現在 我現在我在可是一 可是一 但是可是二 可是二的可是一 當然現在 現在的可是一 可是二的話 還不錯吧 它不是一個減的 但是 這是一個 屬於要分定的 一個基本定律 對不對 這個定律 對吧 這個定律說 F 我說的可是一 這是連續 你寫什麼 F 這個可是一 下了去 可是二 那麼你的F 一定有 最小 但是會有 有對待 但是它肯定有最小 它往上翹 往上翹的時候 它肯定有最小 所以你這個 你寫的F可是一 是要去共同的R 也就是Y Y要 要去共同的R 所以 這個函數 F可是一 它Y可是一 它也是最小的 最小的 這裡其實 所以這是最小的 最小的 但是這個最小的 你把最小的定律 圖的話 它肯定要大一點 因為為什麼 因為你如果說 比如說 這個要等於 你的X減Y 要 放出來等於X 必須要等Y 但是 但是我會 接著Y留在這裡 但是我說的X X是不等的 所以 所以它的距離 總是大一點的 好吧 這個 這個總是大一點的 那 那你就說 你就說 我現在有一個 1C 有一個1N 好吧 我從1N出發 我要找到一個Y0 Y0是不等的 知道了嗎 知道這個 路 要等於這個 X減去這個 Y0 這個 這個是什麼 這是X減Y 這要等於Y 等於Y 對吧 這個是等於Y 好了 我現在 我現在拿著1N加1 1N加上1 我把這個路 給它組成 X減Y0 好吧 那麼你這個1N 加上1的這個號數 其實是要等於1 好吧 所以呢 但是你可以算出來這個 1N加上1減去1I 1N加1減去1I 所以這個會等於什麼 這個路 X減Y0減去1I 但是你再 這一個 這一個其實 就是六分之一 六分之一 好吧 X減去Y0減去 加上O減去I 但是這個 這個它總是在這裡 對吧 所以呢 這個總是帶著路 是正常的發行 那也就是說 你如果說 這是一個不成為的話 你現在 就這 這其實就是我們剛才 證明這個路 假如說 這個圍住 等於無窮 那所以你 就有一個什麼樣子的 1N這個1A 就無窮 你這樣 你就可以這樣 包括這個 每一個方式 都要等於1 但是 你的1N 1N加P減去1N 這個方式 它是正確的 那你這個做 好吧 所以這樣子呢 這樣子呢 1I I總是帶無窮 它當時還是原始的 當時 當時沒有 不存在 當時不存在 包括不存在 所以這就完了 因為這是歷史 歷史的話 它任何一個東西 它必須要存在 這歷史的認識 但是我們 如果它無窮 那這個實驗 它是沒有實驗 好吧 你把這個 剛才這個證法 你把它稍微改一改 這個下面有一個 非常有用的 這個研擬 是非常有用的 一個研擬 這個叫歷史研擬 這個我們以後 經常要用 在無窮的 巴拿空間裡頭 這是經常要用的 用的 我 先沒辦法寫 其他那個實驗 先說個其他實驗 這是一個無窮空間 我說的A 是一個直截 我稱之為有界 這個有界是 是什麼 假若 要存在這個A 這個M大圓是這個什麼 死的 A是這個放手 它是壓下來 在裡面 對 這是一個有界 有界 那我們剛才 講的那個定理的一個內容 這是一個不寬空間 要不然 這是一個 我說這是一個有限位的 這個充分必要條件 這個維持效率 有限這個充分必要條件 是什麼呢 充分必要條件是這個 X中的任何有界的 它都是A 充分必要條件 X中的 任何 有界的 它都是A 任何有界的 它都是A 現在 現在我都在列舉 你就說我A A是一個有界的 有界的 那麼我XK 它是在A裡頭 那麼我一定存在著一個直截 那個K界 直截 XK界 它是 要收斂 它可以接受提供的 這裡頭其實有一個地方 大家要注意一下 我這個X的話 X的話 X 它封印界 X封印界 我說 它X在這個裡頭 它找個直列 直列收斂 收斂那個極限 這個收斂是在它大X裡頭 這個極限 其實我沒有說 這個極限還在這裡頭 如果說 任何這樣子的直列在這裡頭 存在著一個 任何一個序列在這裡頭 我存在著一個直列 使得這個直列收斂到X 並且X還在A裡頭 這樣子的東西 這樣子進來A 我們通常叫直列解 通常叫直列解 但是我們現在這裡 我們只是一個列舉 所以這樣子來看 這件事情其實 就有限位空間上 其實從這個來說 就那麼有限位空間上 你給一個方式的話 其實任何的有界極限 我都能找個直列 使得它收斂這個事情 這是有限位空間的一條線 或者說是有限位空間的 極限會有 這是我們必要條件 當時無限位空間 你把剛才那個視頻 再把它改了一下 這可以證明下面這個 這叫歷史盈利 因為這個歷史盈利有兩個 發明人家 其中這個歷史盈利有兩個 一個是F F是兄弟兩個 好吧 這個歷史盈利這麼說 歷史盈利這麼說 我說這是一個新方空間 這是一個新方空間 然後是X0 X0 是X一個新的文章 是不等X 這是一個必然的 現在這是一個 難易的一步熊 一步熊大一點 我都要談談這個Y一步熊 Y一步熊 X裡頭 然後這個Y一定是個礦石 石的這個 Y一步熊減去X 它是要大一等於這個 G減去一步熊 這是要的難易的X 難易的一等於X 要的這個 這個兄弟們 這個跟我們剛才證明 有限會之列點的時候 這個證法其實是一樣的 但其實我們剛才 剛才做的那個事情 剛才做的事情是什麼樣子 假設說這個 我說 這個有限法 其實你可以去 可以 這其實就是我們剛才那個證法 剛才那個證法 其實你如果說這是有限會的話 其實你是可以去一步熊的 但是現在 現在我沒有說這是有限會 我沒有說這是有限會 沒有說有限會 這其實我是給一個 任何給一個幣的現行指揮兵的話 那麼其實任何一個 我都要能掌握到這樣的Y一步熊 對於這個Y一步熊 因為Y一步熊其實是依賴幣的 所以這是在兩個東西的差別 有限會的時候 其實這個可以證明 但不全會的時候 不全會的時候 除非是這個 我們下一堂課 我們要講的這個法術是要這個 好吧 好我們這個先歇會吧 歇會我們接著再講