Аналитический способ решения – это база для параметра. ЕГЭ 2025 Математика. Задача 18

Приветствую всех любителей задач с параметром и тех, кто пока не умеет ее решать и боится браться за изучение. Ну, действительно, времени можно потратить много, а выхлоп пока непонятно какой. Кстати, о выхлопе. В ближайшее время я провожу лютый пятичасовой интенсив по аналитике в параметрах. Ссылочка на регистрацию вот здесь. Ну, а если тебя параметры не интересуют, все равно рекомендую подписаться, потому что в течение года тебя ждет море интенсивов по другим темам ЕГЭ. Тем более в последнее время очень часто появляются такие ролики. Эта задача всех убила на ЕГЭ, эту задачу никто не может решить, в этой задаче 99% допускают ошибки. Давайте мы вот от этих названий уйдем, ведь я здесь для того, чтобы как раз помочь вам научиться эту задачу решать. Что нам нужно? Нам нужно блестяще уметь решать любые уравнения неравенства и системы без всяких параметров. И тогда, когда наша математическая культура на высоком уровне, мы можем освоить 4 метода решения. Аналитика, графика, плоскость, параметры и функциональность. Если вы скажете, а давайте побольше, побольше не надо. Вот эти 4 там хватит за глаза, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ. И будем мы с вами встречаться регулярно. Если у вас есть интересные задачки, смело накидывайте мне их в телеграм-канал, я буду делать ролики по мотивам этих задач. Ну, а мы с вами сейчас, не откладывая дело в долгий ящик, переходим и смотрим, как решается задача из реального ЕГЭ. Ну что же, переходим к практической части. И вот перед нами уравнение. Его ребята увидели в 23-м году. И какое условие? Условие так немножко хитро звучит. Нужно, чтобы у этого уравнения были корни хотя бы один. Причем ровно один из них отрицательный. Итак, давайте вдумаемся, что это означает. Это означает, что если корни ровно один, то он отрицательный. Если корни больше одного, то ровно один отрицательный. Все остальные или положительные, или равны нулю. Ну что же, все понятно. Теперь, как и в предыдущем ролике, прогоним через 4 метода. Аналитики можно решать. Ну, я возведу в квадрат, дальше получаю квадратное уравнение, с ними я разберусь. Можно. Графики. Ну, по-прежнему я возвожу в квадрат. Слева у меня получается парабола, справа прямая линия. Ну, тоже могу нарисовать. На плоскость параметра могу перейти? Кстати, тоже могу. Возвожу в квадрат, выворачиваю А, там получается парабола. Легко нарисую, всё получится. Функциональный метод. Ну, пока ничего хорошего не вижу. Ничего хорошего не вижу, но вы услышали, что из трёх методов, которые я озвучил, которые применимы, везде нужно возвести в квадрат. Но, возведя в квадрат, мы потеряем ценнейшую информацию. Какую? Конечно же, про ДЗ. Поэтому начинаем с неё. Какой бы метод вы ни выбрали. Итак, я пишу, что x² плюс 6x плюс 5 должно быть неотрицательным. И А-6x должно быть тоже неотрицательным. Если вы вдруг боитесь этих трёх букв ОДЗ, то вы пишите вот эти два условия. И, соответственно, после возведения в квадрат, у вас получаются уравнения. И тут, естественно, возникает вопрос. Попробуйте его задать в комментариях. Я его чуточку позже озвучу. Зачем нам кое-что нужно? Увидите, зачем нам это нужно. Это, на самом деле, очень даже ценная информация. Ну, первое, не разница квадратная. Она решается легко. Потеряем где-то, можно корни быстренько увидеть. Получается, что у нас есть разложение на множители. x плюс 1, x плюс 5. Больше нуля. Ну и метод интервалов решили. Получили, что у нас есть минус единичка, есть минус пятёрка. Знаки расставили по схеме плюс, минус, плюс. И вот эту часть, и вот эту часть забрали. У нас есть два промежутка. Заметим, очень важно, что есть куча отрицательных x. Ну, есть ещё какие-то положительные, есть 0. Это не так важно, а вот куча отрицательных, это здорово. И дальше я сделал, смотрите, какое действие. Я его заведу в квадрат. Получается, что x квадрат плюс 6x плюс 5 равняется a минус 6x. И вот здесь естественно возникает вопрос. Вот теперь я его озвучу. В комментариях вы уже наверняка написали. Если у меня левая часть не отрицательна, то и правая автоматически должна быть не отрицательна. Зачем же тогда писать вот это условие? А сейчас я показываю зачем. Затем, чтобы извлечь дополнительную информацию. Решим вот эту линию неравенства. Мы получаем, что перерисовали 6x в правую часть, на 6 поделили, a дельт на 6 не меньше, чем x. Значит, x не больше, чем a дельт на 6. А теперь смотрите. Куда бы я ни поставил это число a дельт на 6 на число прямое, я забираю все x, которые лежат левее него или совпадают с ним. А это значит, что от этого левого промежутка гарантированно останутся какие-то x. А значит, у нас точно в ODZ есть куча отрицательных x. И среди них мы будем искать корень. Это ценно? Это ценно. То есть мы понимаем, что задача имеет смысл дальше продолжить решать при всех значениях a. Ну хорошо. Ну и теперь, соответственно, вы выбираете метод, который вам больше нравится. На годовом курсе, разумеется, мы обсуждаем все 4. И здесь сразу совет вам. Не откладывайте в долгий ящик. Вот мы на годовом курсе задачу с параметром изучаем в течение всего года. По понедельникам в 17.30 у нас занятия жестко сфиксированы. Приходите, я вас жду. Ну а подробнее по ссылочке в описании. Итак, я буду решать сегодня аналитикой, потому что график я вам уже показал, но плоскость параметров и функциональный метод у меня впереди. Значит, у меня квадратное уравнение. Я перенес все в одну часть. x2 плюс 12x плюс 5 минус a равняется 0. И дальше я начинаю рассуждать. Мне нужно, чтобы корни были. Значит, что? Значит, дискриминатор должен быть неотрицательным. Давайте я его посчитаю в явном виде. Это будет 12 квадрата. Минус 4 умножить на 1 умножить на 5 минус a. Значит, что это будет? 144 минус 4 умножить на 5 минус a. Ну, я 4-ку-то вынесу за скобку. Можно было бы, конечно, и четверть дискриминатора посчитать. Но я не очень люблю это дело. Не хочу запинать лишние формулы. И получаю вот такую штуку. Теперь рассуждаем. Может ли такое быть, чтобы корень был один? Да. И если он будет отрицательным, будет здорово. Давайте рассмотрим первую ситуацию. Первая ситуация. Дискриминатор в точности равен 0. Значит, 4-ка точно равна 0. Значит, 31 плюс a равен 0. Откуда легко получаем, что a это минус 31. Ну, и теперь осталось что сделать? Подставить найденные a вот сюда и явно найти корень. Или сообразить. Ну, если дискриминатор равен 0, значит, у нас должен быть единственный корень. И это единственный корень. Минус b делить на 2. То есть, минус 12 выделить на удвоенную единичку. Ну, это минус 6. Ну, и, внимание, минус 6 входит в дз и меньше 0. Значит, что? Значит, в это значение параметра мы включаем ответ. И здесь я хочу сделать небольшую паузу. И порадовать вас. Задача с параметром на e оценится в 4 первичных балла. Если вы одну логическую ситуацию полностью разобрали. А это логическая ситуация. То есть, мы доказали с вами, что получается квадратное уравнение. Мы нашли в дз. Мы рассмотрели случай, когда дискриминатор равен 0, когда корень единственный. И оказалось, что он меньше 0. А значит, значение параметра подходящее. В ответ его включаем. И 1 балл у нас точно в кармане. К чему я это веду? К тому, что, может быть, не удастся решить задачу целиком. Или, может быть, в какой-то другой логической ситуации будет какая-то ошибка допущена. Но часть-то баллов надо забирать. Это же ценно. Вторая ситуация. Когда дискриминатор больше 0. Тогда наш дискриминатор вот он, да? Соответственно, получаем, что 31 плюс а больше 0. А значит, а больше минус 30. Ну, что теперь? Теперь надо эти корни явно вычислить. Давайте их вычислим. Их первый у меня будет так, возвращаясь вот сюда в квадратное уравнение. Минус 12. Плюс извлекаем корень из четверки. Получается двойка. Ну, а корень из 31 плюс а так и остается. Идеально удвоенный коэффициент. То есть старший, то есть на двоечку. Получаем минус 6. Плюс корень из 31 плюс а. Ну и второй корень. Минус 12. Здесь уже будет минус. Удвоенный корень из 31 плюс а пополам. И получается, что это после сокращенного минус 6 минус корень из 31 плюс а. Теперь давайте на секундочку остановимся и порадуемся. А знаете, чем мы порадуемся? А порадуемся вот этому как раз второму корню. Он заведомо меньше, чем минус 6. Почему я в этом уверен? Потому что дискретно у меня больше 0. Значит, выражение 31 плюс а положительное. Значит, корень из этого выражения тоже положительный. Ну, а поскольку перед ним стоит знак минус, то получается, что мы минус 6 уменьшили. Но поскольку этот корень меньше, чем минус 6, он входит автоматически в WDZ. То есть, уже можно подводить итоги. Отлично! У нас точно есть отрицательный корень. Ну, это победа. На самом деле, не совсем победа. Мы пока вот про этот корень ничего не знаем. А он какой? Кто ж его знает? А вдруг он тоже отрицательный? Ну, давайте возьмем, скажем, а равный минус 30. Тогда у нас получается минус 6 плюс 1 минус 5. Минус 5, между прочим, в WDZ входит. И два отрицательных корня. Но это же плохо. Плохо. Поэтому нам нужно, чтобы корень х1, нам нужно, да? Чтобы х1 был вот таким. И тогда у нас как раз останется один отрицательный корень, второй не отрицательный. Ну и отлично. Ровно то, что нужно. И нам приходится решать и рациональные неравенства. И, кстати, поскольку мы с вами сегодня пошли аналитическим путем, то сразу хочу напомнить, что нам для того, чтобы решать аналитическим путем, нужно уметь делать. Решать любые уравнения, любые неравенства, любые системы без параметров. Ну вот это, собственно, простое и рациональное неравенство. Здесь, конечно, параметр присутствует, но имеется в виду, что какая-то переменная величина. То есть здесь нет двух переменных х и а, только одна буквка. Значит, и рациональное неравенство. На 15-й позиции таких неравенств нет. Это значит что? Это значит, что нужно изучать все типы уравнений, все типы неравенств дополнительно, в том числе, даже если они не встречаются на 13-й, 15-й позиции. Поэтому будьте внимательны и расширяйте свой кругозор. Перенесли шестерку вправо, взяли в квадрат. 31 плюс а больше равно 36, значит а получается больше равно 5. Ну и теперь я подвожу итоги. Подвожу итоги, пишу ответ. Значит, смотрите. У меня корень х2 заведомо отрицательный, это хорошо. Корень 1 будет не меньше 0, если а не меньше 5, то есть я могу написать ответ. Но я не забываю ни в коем случае число минус 31, которое я нашел. В первой логической ситуации. И здесь получается от 5 до плюс бесконечности. Задача полностью решена. И мы рассчитаны на 4 балла. Но вот здесь, пожалуйста, поставьте видео на паузу и подумайте, что я сделал не так, а точнее так. Что я не доделал. Ведь ответ этот на самом деле неправильный. Я это предчувствую. В каком смысле предчувствую? Потому что я понимаю, что одно какое-то действие я не сделал. И важно понять, какое именно. Зачем тогда я эту ошибку делаю? Чтобы вы на нее обратили внимание. Ребята, вот здесь есть какая-то ошибка. Какая? Что-то не доделано. Зачем нам это нужно? Затем, чтобы когда вы пришли на ЕГЭ, не волновались. Вы говорите, я все спокоен. Или я спокойно. Я знаю все шаги, которые мне нужно проделать. Первый, второй, третий, четвертый, пятый, десятый. И я получаю ответ правильный. Поэтому сейчас, пожалуйста, сделайте то, что я вас прошу. В комментариях напишите, если вы идете аналитикой, что я не доделал. И что нужно еще сделать. И получите ответ. Ну а я сейчас, соответственно, сделаю вот это действие. И покажу вам, что должно получиться. Ну что же, давайте сделаем то, что мы с вами еще не сделали. Итак, подытожим пока, что у нас известно к этому моменту. Квадратное уравнение. Если дискориент равен нулю, то а равен минус 31. И корень здесь хороший. Давайте я его даже напишу. Здесь у нас корень равен минус 6. Он входит в ОДЗ. Если дискориент положительный, то есть а больше, чем минус 31, то у нас есть два корня, из которых один точно меньше, чем минус 5. И вот здесь ключевой момент, да? Он отрицательный раз, и он входит в ОДЗ 2. Ну казалось бы, входит, да? А вот этот он не равен. Я проверял? Нет, не проверял. То есть, может быть, он еще и не входит в ОДЗ. Ладно, будем проверять. Это первый момент. Это точнее про второй корень. Теперь первый корень. Нам нужно, чтобы он был не отрицательным. И мы тогда нашли, что это будет при а не меньше 5. Но важно еще, чтобы он вошел в ОДЗ. А вдруг он не входит в ОДЗ? И вот здесь, о чудо, вот этот вопрос. Так, подождите, подождите. Если он не входит в ОДЗ, так это вообще замечательно. Почему это замечательно? Тогда не важно, какой он. Положительный, отрицательный, райнулю. Его просто нет. А значит, проблема у нас на самом деле возникает тогда, когда корень Х1 как раз-таки входит в ОДЗ. И он может быть отрицательным. Нам-то нужно, чтобы ровно один корень был отрицательным. А если он в ОДЗ не входит, так это же просто замечательно. Его нет. А раз его нет, то знак его никто проверить не может. Поэтому давайте-ка мы с вами рассмотрим ситуацию такую сначала, что корень Х1 не принадлежит ОДЗ. И вот здесь снова возвращаюсь к тому, что находить ОДЗ это очень даже здорово. То есть он заветом не принадлежит этому промежутку. Мы проверяем, что... Так, наоборот. Мы хотим, чтобы он попал в этот промежуток. То есть он между минус пятеркой и единичкой. И тогда он точно не принадлежит ОДЗ. Ну, поехали. Соответственно, добавим шестерку ко всем частям данного неравенства. Получаем 1 меньше, чем корень с 31 плюс А. Это меньше, чем 5. Возводим в квадрат, поскольку все положительное. 1 меньше, чем 31 плюс А. Это меньше, чем 25. И вычитаем 31. Получаем, что минус 30 меньше А, меньше, чем минус 6. Так, теперь, что можно сказать про корень X2 при таких значениях параметра А. Ну, очевидно, что он по-прежнему меньше, чем минус 5. Вопрос, попадет ли он в ОДЗ. То есть будет ли он дотерять вот этому неравенству. Давайте проверим. X2 должен быть не строго меньше, чем 1 на 6. Значит, X2 у нас где? Вот он. Минус 6 минус корень с 31 плюс А. Не больше, чем А дельт на 6. Значит, что нам нужно сделать? Изолировать корень. Значит, мы его перекинем в правую часть А. Ашечку перекинем обратно в левую. Минус 6 минус А дельт на 6 не больше, чем корень с 31 плюс А. Ну, и здесь возникает вопрос. Можно ли зайти в квадрат? Да, и вы наверное уже почувствовали, что что-то очень много вопросов я задаю. И это не случайно. Задача с параметром как раз умение задавать себе вопросы и умение на них отвечать. Если левая часть отрицательна, это здорово. Почему это здорово? Тогда невероятность автоматически выполнилась. Если же она положительная либо равна 0, то нужно еще проверять. Но мы же знаем, что вот такие А мы рассматриваем, да? Если мы рассматриваем такие А, то что можно сказать про вот эту дробь? А дельт на 6. При условии, что А у нас вот такое. Давайте просто поделим на 6 и получаем, что А дельт на 6 будет больше, чем минус 5. Но, соответственно, меньше, чем минус 1. Так. Минус 6. Вот такая дробь А дельт на 6 из этого промежутка. Это заведомо отрицательное число. Поэтому вот здесь точно меньше 0. Так как. И мы вот эту перечисляем. Ну, а значит, невероятность выполнилась автоматически. Невероятность верна. Невероятность верна. Отсюда мы делаем важнейший вывод. Что при всех вот таких значениях параметра корень Х1 просто не попадает в ВДЗ никогда. И это замечательно. А корень Х2 отрицательный и в ВДЗ попадает. Значит, вот это часть ответа. Так. Теперь поехали дальше. А теперь мы хотим, чтобы корень Х1 был неотрицательным. Ну, это мы с вами уже прекрасно знаем. Х1 больше 0, когда А больше равен 5. Ну и осталось только проверить, что при этих значениях параметра А наш корень Х2 попадает в ВДЗ. Давайте в этом убедимся. Значит, Х1 может быть, повторяю, неотрицательным. Только при таких значениях параметра попадает он в ВДЗ или нет, для нас по-прежнему неважно. Если попал, ну, он никак не является отрицательным. Если не попал, ну и хорошо. Поэтому не нужно уже проверять принадлежность в ВДЗ или непринадлежность в ВДЗ. Нам нужно разобраться с тем, чтобы Х2 как раз таки в ВДЗ попал. Ну, давайте посмотрим. Значит, Х2 наш, вот этот корень, минус 6, минус корень с 31 плюс А должен быть по-прежнему каким? Не больше, чем 1 на 6. Но давайте сразу заметим, что это верно, потому что А здесь принимает только положительное значение, а, значит, правая часть неравенства заведомо положительная, левая заведомо отрицательная. Да, то есть понятно, что вот это меньше нуля, вот это больше нуля. Верно. Ну, а теперь вся наша работа выполнена и можно фиксировать ответ. Ответ. Что в ответ входит? Сначала значение минус 31. Давайте я напишу объединение всех промежутков. Затем промежуток от минус 30 до минус 6. Тот, который мы с вами потеряли, да, при неаккуратном решении, из-за которого нам, разумеется, снимут какое-то количество баллов. И потом все вот такие А, при которых у нас есть корень Х2, который отрицательный, корень Х1, который не отрицательный, входит в ВДЗ, он не входит, это уже значение имеет. Важно, что мы теперь ответ нашли целиком и полностью. Значит, задача вот теперь по-настоящему полностью решена. Итак, мы с вами задачку разобрали. Не так страшен черт, как его молюет. Я имею в виду, конечно, задача с параметром. Вы можете мне возразить, ну, задача с резерва, там обычно халява. Я могу вам привести задачи с резерва, которые решались раза в два дольше, чем те, которые решались на основной волне. Поэтому, если вы говорите, нет, я основную волну пропущу, пойду в резерв, там все попроще. Не надо так делать. Решайте задачки в основной волну, получайте свои высокие баллы и радуйтесь. Ну, а если у вас есть интересные задачи с параметром, которые вы хотите обсудить вместе со мной, присылайте их условия и я сделаю соответствующие ролики. Ну, а если вам нужна моя помощь и вы хотите научиться решать эти задачи, то каждый понедельник в 17.30 я вас жду на готовом курсе, подробности по ссылочке в описании, и мы вместе пройдем этот путь от начала и до конца. И вы уверенно сдадите ЕГЭ. Ну, а с вами был Андрей Павликов. Увидимся на канале.