小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用四年級學生，全120集 P9 - 四年級春季09-火車問題（一）上

Hello 同學們 大家好 來 我們今天看什麼 火車問題 火車有什麼問題呢 火車問題屬於行程裏面很重要的一類 對吧 在火車跑的過程中 我們去研究它走的路程 速度 時間 一些相關的關係 OK 好 那我們先看一下這題目 就是我們基本上每年 各種地方的考試裏面 都會有火車的問題 火車的問題 你看 比如說2021年秋季的期中考試題 大橋 火車過橋 對吧 2020年襄陽的小牲畜題目 小牲畜 對吧 火車過橋 過隧道 對不對 所以火車過橋是一類比較典型的問題 非常非常典型 也是我們今天主要要講的火車過橋 考試可能性 80%以上 對不對 好 那橋肯定有長度對不對 火車肯定也有長度 對吧 所以我們來研究一下 火車的長度跟橋的長度 它們走完之後有什麼關係 OK 好 那要研究的時候 我們肯定是要畫圖 對不對 那怎麼畫呢 你這時候拿出操作紙和筆 來跟我一起畫一下 我們一起來畫一下 火車過橋 比如說我在這邊先簡單畫一下 然後我問大家 來 比如說我畫一個橋從上往下看 這是橋面 看到沒有 這是橋面 能看出來這是個橋面 對不對 有個火車 蹦蹦蹦蹦蹦 就開過來了 那火車比如說這麼長 從上往下看的 它開過來了 對不對 那什麼情況叫火車過橋 我們一般什麼時候叫做火車 上了這種橋 是不是從車頭 對吧 火車的車頭馬上要上橋的 這個時刻開始算 一般是這樣 對不對 那什麼時候叫火車已經下了這座橋 是不是到車尾 車尾馬上就下去的時候 能看懂嗎 在整個這個過程 我們叫做火車過橋 火車過橋 對吧 叫完全過橋 這個過程叫完全過橋 完全過橋 OK 那現在大家看着這個圖 然後你自己動手畫一下 你想一想 完全過橋的時候 火車走的路程 是怎麼算的 趕緊趕緊 大家趕緊畫一下 比如說這一條是橋的長度 我們叫L橋 這一段的話是火車的長度 叫L車 對吧 那大家想一想 我們的這個火車走的路程 跟這兩個量之間有什麼關係 想象一下 看出來了嗎 那這時候怎麼去對比 這時候你要找一個點 對吧 火車上某一個點 你要看他走的路程裏某一個點 看某一個點移動的距離 那我們可以找火車的車尾 火車車尾原來是不是在這 那最後的時候他跑哪了 是不是最後跑這了 對不對 好 那你用手比劃一下 火車尾走這一段 走了一共走了多少 是不是走呢 車長 加 橋長 剛剛好一個車長加一個橋長 看到沒有 好 那再想象一下車頭 你用手比劃一下 往前比劃 車頭 車頭是不是也走一個橋長加一個車長 對不對 好 所以我們的第一種情況就出現了 我們的第一種情況就出現了 我們把這圈起來 完全過橋 完全過橋問題 那它的整個過程是怎麼叫的呢 來看 就是什麼 從車頭上橋到車尾離橋 對不對 好 橋長加車長 是我們火車走的路程 火車走的路程 對不對 能理解吧 好 這種情況我們標記爲第一種情況 第一種情況 好 第一種情況 大家看看能不能理解 那我現在隨便問幾個問題 比如說橋長 橋長是360米 對不對 好 車長呢 車長是140米 對吧 然後火車的速度呢 火車蹦蹦蹦挺快的 25米每秒 那它得過多久 時間就得多久 幾秒 來算一下開始 完全過橋 一列火車完全通過 一座長360米的橋 火車自己的長度是140米 對吧 火車的速度是一秒鐘25米 還挺快的 那一秒鐘25米的話 你可以算一下 其實就是90公里 還行 那時間應該多少 也沒算特別快 但也不慢了 OK 那怎麼算呢 來 我們對比算一下 我們第一步肯定是 它走的路程是360加140 對吧 是500米 火車一共走了500米 對不對 這是入程 那要求時間怎麼求 時間就是入程來除以 速度 所以就500 除以25 20秒 非常棒 我看有很多同學都求出來了 能看懂嗎 對不對 好 那這是求時間的 這是求時間 它還可以求什麼 反過來嘛 我告訴你時間是不是可以求速度 對不對 比如說舉個例子 我寫這邊 對吧 橋長 橋長這次我們讓它長一點 760米 可以嗎 車長也變長一點 240米 然後這個火車經過它用了多久 用了多久 這次用的比較久了 用了50秒 那麼火車的車速是多少米每秒 來大家算一下 又口刷了是吧 能口刷嗎 可以 好了 首先我們還是把它求出它的路程 760米加240米是多少 是1000米 對不對 好 那1000米的話 它花了時間50秒 所以速度就是 路程除以時間 等於20米每秒 能看懂嗎 對吧 所以你不管是求時間的 還是求速度的 你都要把什麼 橋長加車長 好 那有沒有第三種情況 大家想象一下 你要麼是求時間 對吧 用火車走的路程除以速度 要麼是求速度 用火車走的路程除以時間 那還幹什麼 有人說老師我知道 第三種肯定就是求什麼 求路程 你時間有求過 你速度也有求過了 那下一個不就求路程嗎 是這樣嗎 那能求路程嗎 我們試試 求路程是可以的 就告訴你速度 火車的速度 對吧 火車的速度 比如說是什麼 20米每秒 開慢一點 現在開開慢一點 對吧 然後用了30秒 經過了一座橋 對不對 那這時候你得到了 是不火車走的路程 但是這個火車走的路程 是橋長加車長 所以這時候出題 他會怎麼出 他在告訴你 比如說火車的長度 是150米 那大家想想 橋的長度應該是多少米 我看誰反應快 非常棒 你用速度乘時間是多少 20乘30 對吧 是多少 是600米 有時候火車一共走了600米 這600米里面 車長是150米 那橋長呢 就用600減掉150 等於450米 對吧 所以答案就是450米 好 大家對比這三種考法 對比這三種考法 對吧 這是第一種 這是第二種 這是第三種 對比這三種考法 你對完全過橋 就很熟悉了 因爲考試一般也就這三種考法裏面 變來變去 它也不可能有其他考法 對吧 除非說它把這個橋變成什麼 變成山洞 變成隧道 那是不是一個樣子的 能看懂嗎 所以不管是火車過橋 還是火車過山洞 還是火車過隧道 只要是完全過橋 就記住橋長加車長 那如果萬一我們沒記住怎麼辦 沒記住你就臨時畫個圖 臨時畫個圖 好 那火車過電線杆的 一般考的就很少了 因爲它太簡單了 爲什麼 因爲火車的長度 就是火車走的路程 你想想是不是 比如說車頭 剛經過這個人的時候是在這 然後最後呢 到車尾要離開這個人的時候 對吧 這個過程中的話 車頭走的距離 正好就是什麼 一個火車廠 或者說你看車尾也行 車尾走的距離 正好就是一個火車廠 所以火車廠就是火車的路程 對不對 所以火車過電線杆是最簡單的 那我們主要是一般考就考火車過橋 好 那考試只考完全過橋嗎 那也不是 除了完全過橋還有第二個名字 叫完全載橋 完全載橋 大家看一下 第二個 完全載橋 對吧 完全載橋的載是什麼意思 載什麼上面 對不對 整個過程火車一直在上面 那什麼情況下叫整個都在上面 那首先 是不是得從火車的車尾 上橋開始 你的車尾都得上橋 你才能叫整個火車都在上面 對不對 那一直到什麼時候爲止 一直到車頭要下去了 車頭你看要下去了 你車頭只要下去一點 你就不叫我整個火車都在上面了 對不對 所以就是這個過程 這個過程就是 完全載橋 所以大家在考試的時候一定要看仔細 他是說完全過橋 還是說完全載橋 然後把關鍵的字眼圈起來 然後開始判斷 那我們看看完全載橋的時候 火車走的路程是多遠了 看一下 你再用手比劃一下車尾到車尾 是不是這一段 火車就走這一段 那這一段有夠一個橋長嗎 肯定不夠一個橋長 對吧 橋長是這麼多 這是L橋 車長是這麼多 這是L車 我們發現就是什麼 橋長減車長 L橋減L車 對不對 得到火車走的路程 正好跟剛剛的完全過橋 對比一下 一個加一個減 對吧 好 那再舉個例子 我們再舉個例子 比如橋長是多少 橋長是600 這橋賊長 車長呢 車長200 這車也不短 車速呢 車速20 那完全在橋的時間應該多少 完全在橋上的時間 就20秒 對不對 橋長減車長 等於火車走的路程 對吧 是什麼 400米 然後再去除以我們的火車的速度 得到它的時間 20秒 就出來了 會了嗎 OK沒問題 給我比個OK 我看 太棒了 是吧 OK 好 那我們來看一下 看一道題目 有一列火車通過一座450米長的大橋 已知車長是150米 每秒20米 那麼完全在橋 趕緊關鍵字眼 在 完全在橋 你看到完全在橋 大家想到剛剛的一還是二 剛剛的二是吧 來大家算一下一分鐘 那這時候的話 火車走的路程怎麼算 來算一下 先寫個解 再寫個冒號 對不對 完全在橋 那麼火車的路程s就是 橋長 減車長 對吧 450米來減掉150米 就是300米 這一步能看懂嗎 你完全在橋上的時候 我們就是橋長減車長 好 那麼所用的時間呢 就是路程除以速度 所以就是300 除以20等於多少 15秒 就完事了 你對了嗎 太棒了 那有沒有同學有疑問 就你怎麼你就怎麼肯定一定是橋長減車長呢 有沒有可能是車長減橋長 你覺得有沒有可能 會不會出現說橋不夠車那麼長的 這火車比橋還長的 我們現實生活中確實有火車比橋長的 因爲橋的長度不一樣 火車的長度也不一樣 對不對 但是如果是完全在橋的話 是不可能 橋長比車長短的 否則它沒法完全在橋 你這樣對不對 對不對 比如說如果橋只有這麼點 然後火車是這麼長 那你怎麼完全在橋 你這個火車沒法整個堆在橋上 對不對 所以完全在橋就說明橋長一定要比車長長 這個大家能理解吧 非常棒 好來第二個問題 火車從開始上橋到完全下橋所用的時間 這屬於什麼 開始上橋 到完全下橋 這就是完全 過橋的情況 對不對 那麼我們的路程就是橋長加車長 等於多少 450加150就是600米 OK 那時間就是路程除以速度 600除以20 30秒 能不能理解 非常棒 這個做下來大家就知道了 OK好 那拿出草稿紙 給大家點時間 大家真的好好的練一下 好來 挑戰一下 把我們剛剛的兩道題目給KO掉 來 一座大橋長2400米 然後這個火車的話是每分鐘900米的速度 從車頭開上橋 到車尾離開橋 好好判斷一下 這是屬於哪一種 需要三分鐘 那麼火車長是多少米 第一步一定要先判斷 對吧 這個不用寫在事件上 車頭開上橋到車尾離開橋 是屬於完全過橋 還是完全在橋 不用管我怎麼讀的 你自己想一下 車頭開始到車尾離開 對吧 所以是完全過橋 對不對 因爲我們說你要完全在橋的話 你肯定是什麼 要完全在橋 肯定是我們的車尾到車尾上橋的時候 整個車纔算是在橋上 對不對 OK 好 那現在我們看看有什麼 時間有了 速度也有了 那路程這時候就不是說去用加減什麼的 對吧 我們這個路程直接就是速度乘時間 一分鐘900米 他走了三分鐘 2700米 所以火車走了2700米 能看懂嗎 那這2700米其實就是我們的橋長加車長 所以要求車長怎麼辦 有路程減掉橋長 你走的2700米 其中有2400米 是橋長 那麼有300米就是車長 能看懂嗎 你做這個嗎 好 非常棒 那大家看看這個 提升難度的小生出的 湖北 湖北的一道小生出的題目 一列火車通過一座1000米的大橋要65秒 好 有人說老師這完了 他沒說是完全在橋還是完全過橋 只要沒說的 就是什麼 就是完全過橋 只要沒說的 就是完全過橋 能記住嗎 因爲考試考這個是最多的 你要通過它 你就車頭進度就開始算了 到車尾離開 對不對 過大橋要65秒 同樣的速度過隧道要50秒 那咋辦 他沒告訴我們速度 也沒告訴我們火車的長度 這兩個都是要求的 咋辦 那我們這時候就要去列示的 怎麼列示的 所以我們假設兩個東西 假設 火車 速度爲什麼 爲V 車長 爲L 我們來列示的先看一下 好不好 我們看第一句話 第一句話說通過1000米長的大橋要65秒 那就是65乘V 速度乘時間 會等於什麼 路程 路程就是1000 加個L 橋上加車長 對不對 這是第一個式的 第一種情況 好再看第二種情況 730米長的隧道 卻要50秒 所以就是50乘速度 50V 就等於730 加L 這是第二種情況 那時候老師 這兩個我都求不出來 咋辦 是不是 咋辦 那咋辦呢 兩半唄 肯定不能兩半 所以我們就要想 我能不能把它抵消掉 哪個能抵消掉 速度好像抵消不了 一個是65倍的速度 一個是50倍的速度 這不好抵消 但是你看等號的右邊 都是加個L 所以我們可以把兩個式的相減 對我們看它差什麼 一個是1000一個是730 所以肯定是用1000來減730的 所以叫做1-2 能看懂嗎 第一個式就減第二個式的 那麼左邊就是什麼 65個V 減掉50個V 等於1000 減掉730 看懂了嗎 L加減掉L就沒了 也就是15個V 等於271 那V等於多少 18 是不是18 對吧 速度就是18米每秒了 那速度等於18之後 你可以帶到這來算 你可以帶到第一個來算 對不對 比如說我們帶到第二個 帶入 帶入2 我們剛剛會得到什麼 我們把算出來的速度是18 帶到2裏面 那就是50乘18 等於什麼 730再加個L 對不對 所以900 等於730加L 那L等於多少 170 能看到嗎 那你就可以做答案了 當然你要檢驗也行 你檢驗一下 所以火車的前進的速度就是18米每秒 火車的長度就是170 那大家知道像這種題目還經常會怎麼坑嗎 你覺得在什麼上面的地方可以坑 看到這種形成什麼 米每秒 米每分什麼的 所以它如果經常拓展就會怎麼拓 單位 在單位上挖個坑 怎麼單位上挖個坑 比如說正常都是米 秒 然後我在速度的時候我來個分鐘 就好幾個單位的 那你要怎麼辦 你是不是就要把單位給統一 能不能理解 特別是速度的單位 OK 那通過這幾道題目下來 大家對完全過橋有點感覺了 我發現完全過橋還是比較有搞頭的 對不對 如果說2020年襄陽的題目沒問題的話 那可能一般 地方的學校的考試 我告訴你活着過橋這一塊就沒問題了 真的是這樣 好吧 好 那大家看這題來 再鞏固一下這種 有一列動車完全通過一條長600米長的隧道 用了30秒 完全通過一座 長1200米長的大橋用了50秒 那麼這列動車的長度是多少米 你只要把這種難度的題目搞定 對不對 問題不大 好 一分鐘 我只給你一分鐘 好 先判斷是什麼 哪一種類型 來開始 我讓大家算的時候 你就記得暫停 算一下 好不好 OK 快快快 大部分同學都很棒 都有認真在思考 對 那首先第一種的話 第一步的話要先說它是什麼 完全過橋 完全過橋的話 這時候如果你忘了 你可以把那個公式梳理一下 完全過橋就是 橋長 加車長 是等於路程的 也就是等於速度乘時間的 對吧 這是在梳理我們自身的一個過程 OK 那現在沒告訴你動車長度 也沒告訴你它的速度 對吧 那這些都是寫在這個草稿室上的 是你自己在梳理的 實際題目當中沒有 你就在假設 假設動車 長爲L 對不對 速度爲V 那麼就會有什麼 來第一步 路程等於速度乘時間 所以就是橋長加車長 600 加L 等於30V 這是第一個 對不對 第二個是1200 加L 等於50 V 這是第二個 好那用剛剛的做法大家試一下 還記不記得 是不是把大的往小的減 所以這時候是2減1 對吧 得 1200 減掉 600 等於50V 減30V 也就是600 就等於20個V 那V等於就等於什麼 30 帶路1 得 有人說老師你剛剛帶路2 怎麼現在又帶路1了 我想帶哪個就帶哪個 你要帶哪個你就讓它好算就行了 得600加L等於什麼 30乘30 所以L就等於300 因爲30乘30是 900 那600加多少等於900 600加300 對不對 好那你可以打 這動車的長度 爲300米 而且它的速度我們也求出來 30米每秒 30米每秒是快還是慢 30米每秒 大家在這邊就馬上換算一下 30米每秒相當於多少千米每時 來馬上換算我看看 我看是不是真的會 還是在糊弄我 算一下 知道怎麼算嗎 30米每秒是什麼意思 30米每秒就是 1秒鐘30米 1秒鐘走30米 是這意思吧 那現在我們要看千米每時 我們就要看一小時 那一小時應該走多少 一小時是多少秒 一小時是3600對不對 所以就是3600乘30 能看到嗎 對不對 好 108000米 看到沒有 108000米 軍鬥雲 不是那個 那你說老師這麼多嗎 注意 我們問的是一小時走多少公里 就是多少千米 所以其實就是108000米 所以它會等於108000米每時 所以時數就是108 這個快嗎 這個一點都不快 我們的子彈頭高鐵 時數能超過300 300 大家如果有坐過高鐵就知道了 對不對 非常非常快 時數300了 那一般米每秒再換算成千米每時的時候 大家可以記住就是 乘3.6 比如說一米每秒 那就是3.6千米每時 兩米每秒就7.2 10米每秒就是36 那30呢 30米每秒就乘個 3.6等於108千米每時 懂了嗎 所以這速度還挺快的 好 所以下來之後大家查一下 查一下高鐵的速度 高鐵的速度 它的兩種都寫出來 一種是多少米每秒 一種是多少千米每時 兩個都給它寫出來 比如說你算出千米每時呢 你就去除以3.6 你算出米每秒呢 你就去乘3.6 對吧 算出一個近似的大約多少米每秒 湊個整就行了 好吧 OK 好那當然這其實是很快的 爲什麼 一秒鐘30米 你想象一下 嘟一下 30米了 三秒多百米就跑完了 是不是 就一晃眼的功夫 1 2 3 百米完事了 就那樣了 好 那還是老規矩哈 給大家來一個賊輕鬆的腦筋指甲 5秒來 5 4 3 2 1 太平洋的正中間是什麼 大家知道嗎 我們說我們地球上有四大洋對吧 大家知道是哪四大洋嗎 太平洋 還有呢 大西洋 印度洋 還有呢 北冰洋 非常好 好那太平洋的正中當然就是 平啊 中間不就是平這個字嗎 對不對 然後七大洲 大家知道是哪七大洲嗎 亞非北南及歐大 你要是不知道的話 那你就去再去看看 亞非北南及歐大 好 OK 好那我們先告一段落