小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用六年級學生，全120集 P9 - 六年級春季09-計算綜合複習（三）上

歡迎來到永福老師的思維課堂 我們今天講這個計算綜合複習的三 OK 計數 計數我們前面講了什麼 來 我們掰着手指頭數一下 加乘原理 對吧 我們複習了一下加乘原理 OK 還有呢 排列組合 對吧 好 我們還講了什麼 我們還講了圖形的計數 那怎麼去數圖形 我們發現數圖形有很多的技巧 特別是長方形 正方形 對吧 有一些讓我們印象深刻的 印象深刻 到底怎麼數 那今天我們講什麼呢 我們看過來 比如說大家看這道題目 你們先腦袋裏面想一想看符不符的 能不能快速給它搞定 說老鼠愛大米 對吧 5只老鼠排隊吃10粒大米 第1只老鼠吃完之後你不能一下子全吃完 你要留給夠後面4只老鼠吃的 然後同樣道理第2只老鼠也不能全吃完 還要剩後面有3只以此類推 第5只要剛好吃完 對吧 而且每隻老鼠至少至少要吃1粒 你不能有一隻老鼠1粒也沒吃 那麼有幾種不同的分配方法 這個大家覺得會是什麼題想法 感覺如果說直接去考慮的話很複雜 對吧 你要考慮第1只老鼠吃1粒的 2粒的 3粒的 4粒的 5粒的 6粒的 分了6種情況 對不對 然後每一種情況看有多少種 今天我們學完之後你就知道 這個題目其實是隔板法 隔板法你就一步搞定 就只要一步 就寫一個組合完事了 把組合算出來就OK了 對吧 好 所以我們今天就講這個 對應和遞退 其中對應主要就是隔板法 隔板 我不知道這個大家學過沒有 看過來 也有地方叫擋板 一個意思嘛 對吧 不是插板啊 插板是不相鄰的才插板啊 這叫隔板或者擋板 大家聽過嗎 它特點就是什麼 特點就是適用於 每人至少一個呢 或者是它的變形 它的變形 你看每人至少一個它的變形就可以是每人至少兩個 每人至少三個就類似這樣的 這種叫對應 一一對應的 對不對 對應當然還有其他的 這是比較典型的一個 那第二個叫遞退 遞退 那遞退的話也是比較參考的 比較參考的一類 我們一會兒再專門說 我們先說對應 裏面的隔板法 OK 好 那大家看過來 那對應的思想就是建立一類對象 與另一類對象之間的對應關係 並通過後者的計數得到前者的答案 OK 那隔 其中的話最典型的就是隔板法 隔板法是什麼 來看過來 我把n個相同 注意關鍵字眼圈起來 相同的物品 相同物品說明這個物品的話 你換一下順序給 就無所謂 比如說第一個跟第二個 反正是這兩個嘛 一樣的 你先第一個給第一個人 然後再第二個給第一個人 或者第二個給第一個人 再第一個給第一個人 無所謂 然後分給m個人 m個人 人是不同的人 看到沒有 你要相同的人跟不同的人是不一樣的 所以相同的東西 分給不同的人 然後有一個關鍵的字眼叫 每人至少一個的 那麼這種分法 我就直接告訴你 就是c 什麼 n-1 m-1 就這麼簡單 當然這只是最最最最最最什麼 最基礎的隔板法 然後我們還有那種轉化的隔板法 怎麼轉化 有某些人要求分不止一個的 也有某些人可能不拿的 我們就要把它轉化成每人至少一個 那怎麼轉化呢 一會兒我會教大家怎麼轉化 對吧 我們還是拿個題目來說明 拿題目來說明 那地推 地推的話我們 在考試裏面也考了很多 最典型的就是上樓梯 兔子樹林 標樹 對不對 鋪方格的話就是這種幾何覆蓋的 幾何覆蓋這個考的會少一點 樓梯的一般來說 如果考試考可能就考樓梯 我就告訴你 對不對 它就是由前面的初始條件 我們能得到後面的 你前面的情況到底是什麼樣的 然後一步一步推 就是你算完三個之後 你後面就可以全部寫出來 但是它一般不會要求你全部寫出來 好吧 那這個我們一會兒再看看 來我們先看最典型的隔板法 那這種題目大家先什麼 先自己想一想好吧 先自己想一想 就如果你來你會怎麼轉 怎麼做它 九個相同的蘋果就在上面 你看這蘋果長得完全一樣的 放到四個不同的籃子 你看這四個籃子是不一樣的 要求每個籃子裏面都至少放一個 你不能有空籃子 有多少種不同的放法 你想一想 想一想 非常非常典型 典型的隔板法 好吧 然後呢 這個講完之後我再給大家看看 它會怎麼變形 它的變形裏面有很多種 對不對 然後我把其中的一種 各種給大家說一說 給大家說一說就行了 我們就簡單的先變形三種 好吧就變形三種不要變太多 OK 那這種題目怎麼辦 爲什麼叫對應思想 爲什麼隔板法叫對應思想 來來我們試一下 看過來 首先如果你直接去想的話 最容易想到的應該是什麼 有的人說老師那我就先把這個 九個蘋果分成四個數字相加 對吧 比如1116 1125 1134 然後12什麼玩意兒的是吧 有這樣想的吧 肯定有啊是吧 然後在每一種 分法的話再去放 最後再加起來 這樣確實是可以 但比較麻煩 那接下來我們稍微畫一下 我畫九個圈 代表這九個蘋果 好吧 然後四個籃子的話我就畫四個三角 那當然這個籃子其實是不同的 OK 那現在我們要把上面的九個圈 分成四組 對不對 是不是要分成四組 那怎麼分成四組啊 最簡單的方式我就是在這些 圈跟圈之間的空格 對吧 我在空格里面放板 放板就是隔板 這個隔板的思想就是這麼來的 在我們去放板 能理解嗎 123456789 對吧 我們去放板 比如說我如果有這放了一塊板 相當於是把它分成幾組了 兩組了吧 對不對左邊三個右邊六個 我如果再放一塊板 相當於分成幾組了 123三組了 我如果再放一塊板 1234是不是放了四組了 OK 所以我們要把它分成四組 去放到四個籃子裏面 四個不同的籃子裏面 我是不是得放幾塊板 三塊板 對不對 這個9就是n 這個4就是m 對不對 所以你m個不同的籃子 你就m-1塊板 我只需要什麼 三塊板 能理解吧 好所以首先放三塊板 這個能理解 好其次第二個問題 你這板能有幾個位置能放 有幾個位置能放 我一共有9個蘋果對吧 9個蘋果它的間隔有10個間隔 對不對 離兩邊 好 那現在大家看看 12345678910 這10個位置裏面有幾個位置 是能放板的 非常棒 是不是8個位置 只有裏面的8個位置纔行 那哪兩個位置不行 很明顯 這兩個位置是不行的 左右兩邊這兩個位置不行 爲什麼 如果你把一塊板放在這 代表什麼 代表有一個籃子是空的 是不是 你比如說你放這了 那它右邊不就是空的了嗎 那你就有一個籃子是空的 不行 我們要求每個籃子至少放一個 對不對 所以這道題目 這道題目它就對應過來 怎麼對應 你每一種放法 每一種蘋果放到籃子裏面的放法 都對應一種 三塊板放到8個位置的放法 這就是對應的思想 對不對 能理解吧 板的放法 對應蘋果的放法 蘋果的放法 也對應板的放法 那可能有同學會有疑問 老師 那你這樣分了 我知道是4座很巧妙 對吧 那這個順序呢 很簡單 你就讓這4塊板 4個籃子 不同的籃子就站這 對吧 不用擔心 你這個板放完之後 它自動就給到底下了 你不用去動的 爲什麼 因爲所有的都有可能的 對吧 比如說你最簡單的1116 1161 1611 所有的這些 對吧 一直往下 所有的這些裏面 是不是都已經包含 我們都算進去了 都在這個板的放法裏面 對吧 你這時候不要再去把籃子再重複 再挪了 再挪就重複了 你想想是不是 所以最後我們只要有一個什麼 8個位置 放3塊板 C83 這就是C n-1 m-1的由來 對不對 好 那就就會等於A83 8×7×6 除以A33 3×2×1 所以等於56 56種 完事 完事了 就這就是完事了 能理解 OK嗎 能理解嗎 能理解給我比個OK 太棒了 所以你會發現他就很巧妙的搞定了 對吧 很巧妙的把他給搞定了 好吧 我把屏清了 我就把這個結果寫在這 我們的結果就是56種 56種 對吧 那這56就是C83來的 56種 然後你可以做答案 然後接下來我們就給他稍微拓展一下 對吧 那我們先鞏固一下 來第一個 現在是把9個相同的蘋果 放到4個不同的籃子裏面 一定記住這個相同不同 這是我們的基本的條件 那我把數字變一下 大家先鞏固一下 來 100個 相同的蘋果 還是蘋果 對吧 放到5個 不同的籃子裏面 來 幾種不同的方法 然後關鍵字眼是 每個裏面至少一個 每個至少一個 每個 至少一個 這句話一定得有 好那答案是多少 C 99 4 非常棒 C994 會了嗎 會了是吧 OK 好 會了之後我就要變了 你下回見到之後就OK了 我就先把這個隔板法搞清楚 這個相同不同 我們先固定住 我們先不搞什麼 不同的蘋果 不同蘋果那就複雜了 那也太複雜了 對吧 那你還得A就乘個A99什麼的 一般不除一般不除 就相同蘋果 相同蘋果 相同籃子也變複雜了 相同籃子 你還得再除一掉 還得再除掉 OK 好吧 那接下來的第一種變法 來 我們還是把9個相同蘋果 我們數字還是不要太大 好吧 放到4個不同籃子 還是它 OK 那我們剛剛是要求 每個籃子裏面 至少放一個 現在我改變了要求 每個籃子至少要放兩個 這樣會更公平 對吧 你剛剛每個籃子 至少放一個 有可能出現1116這種 那我現在要公平 好 那大家思考一下怎麼辦 我怎麼樣把每人至少兩個 把它轉化成每人至少一個 咋辦呢 如果你看 你想要每個人至少分到兩個 對吧 那你可以這樣 反正蘋果是相同的 無所謂 你就可以先每人先給他一個 每人先給他一個 能理解什麼意思吧 也就是說這9個蘋果先減掉4個 剩下5個 就先拿出4個 先拿出4個 這4個就是固定好的 你們就每人至少一個 就每人拿一個 不是至少一個 這4個就給這4個人 或者說放到這4個籃子裏面 先每個籃子放一個 能理解嗎 對不對 那這時候我們再把5個相同的蘋果 放到4個不同的籃子裏面 再要求是不是就變成是 每個至少一個了 對不對 這時候5個去放的話 是不是就是每個至少一個了 所以它就變成是c44 不是c43 這不尷尬了 不要在意這些細節 是不是 你5個去放到4個 5-1 4 4-1 3 就相當於是5個蘋果的4個空 找3個位置來放板 對吧 所以9個相同的蘋果 放到4個不同的籃子 如果每個要求至少2個的 那就c43 懂了吧 OK 好 那我把它同樣的 那給大家鞏固一下 鞏固 鞏固對吧 來來來我們鞏固一下 我寫個固 鞏固一下 來 現在是100個 你們怎麼每次都100個 100個相同的蘋果 放到10個不同籃子裏面 我都放點籃子 每個籃子 至少兩個 好 這時候又應該是多少 c多少多少 趕緊算一下 快快快 快點 馬溜的 那這時候怎麼辦 我先從這100個相同的蘋果裏面 拿出10個 先每個籃子裏面放一個 是不是剩90個 所以其實這套題目 它就對應過來就是什麼 90個相同的蘋果 放到10個不同的籃子裏面 每個籃子至少一個 是不是就變成這樣了 對不對 90個 那就c 829 10個 那就 829上面的9 夠了吧 袁碩老師你算出來 我們現在這只是編一個數 加深你理解 對吧 你要想算可以 829乘 828 827 826 就這樣下去 然後再除以987654321 有興趣的你去算一下 好這個知道了嗎 那我如果變成每個至少三個 你也會了吧 過來吧 100個相同蘋果 放到 你看 10個 不同的 對吧 那我 然後我們如果要求每個至少放三個 那就每一個裏面先放兩個蘋果 對不對 然後剩下的每個至少一個 所以我們這其實就是一種跨規的思想 跨規的思想 把沒學過的 轉化成 已經學過的東西 對吧 這是數學裏面很重要的一個思想 好那第 接下來第二種變形 袁碩老師這不是第三嗎 因爲第一個其實不算嘛 第一個只是鞏固嘛 對吧 這只是算鞏固 把我們題目鞏固一下 換個數字 它不算 所以第二個是算 算一個變形 對吧 好 那我們接下來看 看下一種變形 下一種變形 10個 我現在要換一下了 10個相同的蘋果 放到三個 不同的籃子 我就不要那麼多籃子了 那這時候有點不一樣了 有點啥不一樣 等一下 根據強迫症我要把它改一下 改一下這標記 改一下 這個叫做鞏固 對吧 這個叫做鞏固 這叫做第二種變形 或者第一種變形 第一種變形 那不要寫二 我們寫個一變 一變 這個叫做二變 這樣是不是就好看一點 這樣就懂了 對吧 所以我們練了一道 這一問之後 第一個先鞏固了一下 然後第一種變形 鞏固一下 第二種變形 再鞏固一下 來再第三種變形 來 這時候你會發現這個籃子有點特別 不是每個籃子至少一個 它是怎麼要求 它是要求 第一個籃子 至少一個 第二個籃子 至少兩個 事兒咋這麼多呢 第三個籃子 至少三個 好 那這時候又應該有多少種不同的方法 再想一想 這籃子還有要求 它要跟它的標籤對上 它要符合它的身份 對吧 它要符合它的身份 怎麼辦 怎麼轉化成每個籃子至少一個 那有人說老師第一個籃子OK的 第一個籃子就是至少一個 第二個籃子 它要至少兩個怎麼辦 先給它一個 是吧 第三個籃子要至少三個 先給它兩個 所以這時候這10個裏面 怎麼樣 先拿幾個出來 先拿三個出來 能懂嗎 這三個的話 先一個放第二個籃子 兩個放第三個籃子 這時候三個籃子都變成是 每個籃子至少一個了 所以就是C 6 2 這個C的數字很容易錯 你最後轉化完之後 n個到m個是C n-1 m-1 你要理解的去計 它本質上就是n-1就是位置 你有幾個空可以放 m-1就是板 你要放幾塊板 好吧 這個玩意兒要鞏固嗎 這玩意兒不要鞏固了吧 再固下來就沒完了 好 所以我們直接說第三種變形 那第三種變形可能會 超乎大家的想象 信不信 不信的話我們來看一眼 好吧 怎麼變呢 看過來 這確實是當辦法 看 x1 加x2 加x3 加x4 等於20 的 正整數解 有多少組 自然數解 有多少組 那自然數解這個就難了 這個我們一會兒再說 好吧 就先看正整數解 先看正整數解 好吧 快快快想一想 先把自然數解全擦掉 不然你們就崩潰了 來 那這是不是走錯片場了 這跟我們這 擋板對應有啥關係 是吧 這對應隔板法 玩脫了是吧 你想象一下正整數解是什麼意思 就是x1x2x3x4 都要是正整數 你看正整數至少是1 對不對 那你看這4個加起來等於20 你相當於是把20個什麼 相同的蘋果 放到4個 不同的籃子裏面 看到沒有 而且正好正整數解就是 每個籃子至少放一個 看到沒有 這這這這這好神奇 對吧 它這還真的是隔板法 所以誇張一下c 19 3 完事了 懂了 能理解吧 好 我們就辨證三次 通過這個 我相信大家對隔板法應該有了 突飛猛進的理解 對吧 當然還有第4種變形 我就先 一會說 來來來 這第一問我們就先說到這裏 第一我們先說到這裏 來 看第二問 現在來做這個第二問 是不是就是 砍瓜切菜式 把16個相同的草莓分給 豆豆貝拉和木木 要求豆豆至少分到兩個 貝拉至少分到三個 木木至少分到4個 一共 有多少種不同的分法 對吧 咋辦呢 想想啊 快點 這個應該現在都會了吧 啊豆的話要至少分兩個 那這16個先給他一個 貝拉要至少分三個 先給他 兩個 木木先給他 三個 所以剩下 10個 那麼這10個 再去給他們三個人分的時候 變成是每人至少分到一個了 對不對 那麼10個 分給三個人 每人至少一個 那我們就是C 9 2 懂了嗎 你會說老師那 那你前面先給豆豆的一個 先給貝拉的兩個 先給木木的三個 會不會有影響 沒有影響 因爲它是相同的 不用擔心 對它是相同的草莓 你拿哪個出去無所謂的 數字也不影響的 對吧 所以你直接一個C92就完事了 啊 9×8 還有呢 2×1 他們相處 等於36種 完事 所以這個擋板法會了之後 你就感覺 有的題目做起來賊happy 對吧 好 第4種變形 那剛剛我不說是因爲剛剛沒地兒寫 第4種變形就比較難一點 可能大家要想想怎麼去轉化 啊 看過來 大家可以把這個截個圖哈 一二三四四種 等我寫完之後再截圖 這4種下來的話 一般你在市面上見到的這個 或者說你見到的一些考試 考試裏面的這個 都沒什麼太大的問題了 什麼意思啊 那考到隔板法 你都知道怎麼做了啊 那這次的話我們換一下 我們是12個相同的蘋果 然後是放到 還是三個不同的籃子 然後直接問有幾種不同的方法 哎 現在有個問題 它沒有每人至少一個 也沒有說每個籃子至少放一個了 發現沒有 那這 科學嗎 這合理嗎 這怎麼辦 那就怎麼去用到那個 因爲我們知道是 n個相同的 放到m個不同的 每人至少一個 是cn-1m-1 這是我們整個隔板法的這個精髓啊 對不對 精髓就是這個東西 那現在我怎麼轉化成每人至少一個 轉化不了我告訴你 是轉化不了嗎 那你想一想 它現在相當於是每人至少零個了 對不對 它沒說就相當於是每人至少零個 每人至少零個不是我們想要的 我們要每人至少一個 那但是這12個相同的蘋果 不夠每人至少一個 是不是這意思 對不對 好 那接下來瞪大眼睛注意看我的轉化 我們用劃規思想把它轉化成我們學過的 那12個相同的蘋果不夠每人至少一個 對吧 那到底得幾個相同的蘋果 纔夠每個至少一個呢 得幾個啊 你們想象一下 這個數字可能有的朋友發現有點 難理解 剛開始難理解 後面就很好理解了 幾個 你12個不夠嗎 12個會出現 第一個有可能 第一個籃子有可能是空的 第二個籃子有可能空的 第三個籃子有可能空的 所以你下樓再買三個 你要15個相同蘋果纔可以 也就相當於是什麼個意思啊 15個相同的蘋果 我要放到三個不同的籃子 每個籃子至少放一個 我就可以把它分成兩步走 第一步先從15個裏面拿出三個 對不對 這三個的話 一個籃子裏面放一個 然後剩下就隨便放了 剩下12個就隨便放了 所以12個有幾種放法 那麼15個 每個至少一個就有幾種方法 所以答案就是C 14 2 完事 C 14 2 懂了嗎 這個就比較難 想一想 所以這個你得加上的 它沒有每人至少一個的 你就得加上 你得加 這字不是簡單的 oh no 想象一下 好吧 想象一下 OK 好了 那大家先把這一頁截圖來 先把第一種變形 第二種變形 第三種變形先截個圖 這樣的嗎 然後再把這第4種變形截個圖 然後自己改個數字 改個數字 然後再練一下 那麼隔板法你就槓槓的了 好 這你能理解 接下來大家來看這道題目 表面上看有點難度的題目 老鼠愛大米 5只老鼠吃10粒大米 然後後面這幾句 這一整句不用看 你看每隻老鼠至少要吃一粒 因爲這個要是成立的話 你這一句就是廢話 你每隻老鼠都至少吃一粒 你第一隻吃完 肯定是要夠剩下4只吃的 不然怎麼每隻老鼠至少吃一粒 好來直接一個組合 c 10粒大米 9 5只老鼠 4 能理解嗎 搞定了 來 9 8 7 6 除以 4 3 2 1 OK 那等於多少呢 算一下快點 6跟這個約掉了 8和4約掉剩個2 所以2714再乘9 等於126 能理解吧 所以會了之後 你會發現這種題目 一般的誇誇的就一下子就搞定 誇誇的真的是一下子就搞定了 OK 那除了這種對應的話 難道它對應法一定要考這個 對應法一定要考這種玩意嗎 我什麼意思呢 對應法一定要考隔板的嗎 不一定啊 那接下來我看對應法的第二種考法 在幾何裏面的考法 我也給大家 舉個例子 對吧 你們就把隔板法放在最主要的地位 然後幾何的這個瞭解一下就行 最後給大家畫個圖 看我畫的這個圖 賊標 不要在意這些細節哈 大家不要在意這些細節 我們把這個位置換一下 壓和 怎麼不給面呢 你就整那麼個小點夠幹啥呀 就是 夠吃飯嗎 幹嘛 好來來來 我們看這題是什麼 什麼個意思啊 這題比較有意思 什麼一個意思啊 就是 它上面有賊多個點 密密麻麻的 OK 好吧 我們把這叫A1 A2 A3 然後點點點點點點點點點 一到A20 哇有20個點呢 對不對 然後呢 我任意連兩個點 是不是得到一條線段 那這條線段是不是在語言上面的一條弦 對吧 OK 然後任意兩條弦 它有可能是沒有焦點的 有可能是沒有焦點的 對不對 也有可能是有焦點的 對吧 比如說什麼樣叫沒焦點的 我給大家簡單 舉個例子哈 這樣就是沒焦點的 你看 嘎嘣 哎呀 你們倆怎麼沒有焦點 那什麼樣叫有焦點的 這樣 這樣哎 這兩條是不是就有焦點了 看到沒有 這是不是有一個焦點 好 那麼我問你 這上面 任意的 任意的去連 對吧 我把這20個點隨便連 共有幾個 焦點 呀 好像有點難哈 好像有點難 想一想 共有幾個焦點 你直接K當難難呢 你要想焦點跟什麼是對應的 我們的焦點跟什麼是對應的 那首先你想要有一個焦點 一定是選了幾個點 一定是選了4個點 對吧 比如說我就拿這4個點當例子來說一下 那現在大家就思考一個問題 4個點 對應 幾個焦點 4個點對應幾個焦點 4個點你去連的時候有 有有好些連法嘛 是吧 4個點它會這樣連 嘚嘚嘚嘚嘚嘚嘚 是不是連這樣 是不是 好 它連的這6條線 有幾個焦點 在圓內的焦點 圓內的焦點 我說的是圓內啊 不包含圓上啊 是不是在圓內的焦點就只有一個 所以 你要求幾個圓內的焦點 其實就是對應要求 幾組 4個點 所以你只要C 24 完事了 答案就出來了 這就是對應的思想 好吧 OKOKOK 好 那對應就先說到這 稍微動個腦筋來 什麼時候4減去1等於5 3 2 1 說 答案就是 4個角 的長方形 對吧 做個砍掉一個角 還有5個角 對吧 OKOKOK 好 那我們說到這裏