小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用三年級學生，全120集 P8 - 三年級春季08-雞兔同籠問題之分組法（下）

那我們繼續,我們看一下模塊2 分組法來解決整備問題 那前面我們解決的都是什麼 差幾隻的,對吧 如果是隻數差 還記不記得 我們是怎麼分組啊 就差幾隻的 我們就一對一分組 對不對 那如果是腿數的差呢 機圖裏面的腿數的差呢 我們是怎麼分組的 我們是二對一分組的 記不記得 兩隻雞一隻兔 來分組 對吧 那難道所有的分組法 它考的都是這兩種嗎 不一定 還會有這種整倍的問題 幾倍的問題 比如說雞的數目是兔子的 二倍 三倍 五倍 甚至是幾倍多幾隻 對吧,幾倍多幾隻 一般沒有幾倍少幾隻的 你要是幾倍少幾隻 你就先給它補上 讓它剛好幾倍 能理解吧 OK 所以有的時候分組並不是相同的數量的 通常會是整倍數 要麼就是雞是兔子的整倍數 要麼是兔子吃雞的整倍數 那這時候就比如說 二倍 雞是兔子的二倍 那就是說幾對幾啊 二對一PK的吧 是不是 兩隻雞一隻兔的 三倍就三對一 四倍就四對一 五倍就五對一 這是不是很好理解 對不對 它說幾倍你就幾對一唄 N倍你就N對一PK 然後有多的再專門算 就可以了 能不能理解 OK好 非常棒哈 那我們來看一下這題 試一下哈 幾倍多幾 哇你看多可愛 雞是兔子的三倍 一共呢 一百二十條腿 問各有幾隻 咋辦呢 你看這這這雞是兩條腿的 兔子是四條腿的 對吧 來我們來畫個圈圈 那這時候是怎麼分組 能看出來嗎 這時候這個比武大會啊 得三隻雞來K一隻兔子 對吧 因爲雞的數目是兔子的三倍嘛 我們就只能這麼分組 而且是剛剛好分完 沒得剩 沒有剩餘 我們就喜歡這種沒有剩餘的 來大家算一下 那這時候怎麼樣 算一下算一下 算一下啊 這是這是支數的倍數吧 對吧 這是支數的倍數的 就雞的支數 是兔子的支數的三倍 好 那在每一組裏面幾條腿啊 我看看有沒有人會算錯 每一組裏面三隻雞 每隻雞兩條腿 一隻兔子 每隻兔子四條腿 是這樣吧 三乘二 加一乘四 等於十條腿 每一組都有十條腿 對不對 那麼一共有一百二十條腿 一共有一百二十條腿 對不對 好那你就用一百二十 除以十 得到什麼 十二組 是不是就就就出來了 對吧 你只要組一球出來 其實數目就馬上就出來了 對吧 雞的話每一組有三隻 一共十二組就三十六隻 兔子呢 一乘十二就是十二隻 然後你也可以什麼 檢驗三十六隻 每隻兩條腿是七十二條腿 十二隻每隻四條腿 是四十八條腿 七十二加四十八呢 就等於一百二 對上了 OK 所以如果只數的倍數 n倍 那你就什麼 你就n對1 那當然不是說一定要是 雞是兔子的倍數 是不是有可能兔子是雞的倍數 對吧 啊比如說我們我們來出一套 兔子是雞的倍數 以免每次都這樣 都都以爲一定雞更多 那不一定哈 比如說 兔子 是 雞的 四倍 哇 對吧 這麼多了 有點6哈 OK 一共一百八十條腿 那也沒多少條腿 那各幾隻來 大家算一下 這是第一種 變一下 不一定說 不一定說雞多還是兔子多 那首先我們知道肯定是什麼 四隻兔子 來你看我畫的多標準 一隻雞 你看這隻雞他多開心 他被一群兔子包圍呢 四打一 對吧 打的鼻青臉腫 當然我們不提倡這樣哈 OK 那現在我們看一下每一組的話 是幾條腿啊 來 四乘四 加一乘二 四四十六再加二 是十八條腿 每一組是不是十八條腿 那幾組啊 非常棒 正好是十組 對不對 所以雞就是 十隻 兔子就是 四十隻 OK 所以這種是不是也是一樣的 是不是也是一樣的 可以嗎 非常棒 再改一下 只數的倍數的我們是n對1 那如果是腿的倍數的 還是n對1嗎 這時候你就得算了吧 你就得算了吧 對吧 比如說他出題是這麼出的 來看過來 說兔腿 是雞腿 的四倍 大家對比一下 兔子是雞的四倍 我們是四隻兔子一隻雞 那兔腿是雞腿 就是四倍 那還是四隻兔子一隻雞嗎 想象一下 對吧 好 然後一共多少隻呢 來我們看看 如果是腿數的倍數 你會發現他一共多少隻 他會告訴你一共多少隻 如果是隻數的倍數 他會告訴你一共多少條腿 對不對 能理解吧 好了一共96只 問個幾隻 來趕緊算一下 趕緊算一下 那這時候怎麼分組 想象一下 我們這個分組就要使得什麼 使得你的兔腿 是雞腿的四倍 那一隻兔子一隻雞行嗎 不行 四除以二才兩倍 那兩隻兔子一隻雞行嗎 可以你看 對吧 兩隻兔子來出現 兩隻兔子是不是八條腿 一隻雞是不是就兩條腿 啊果然是四倍 看到沒有 所以這時候你就在槽子上 趕緊稍微畫一下 看看應該是怎麼分組 那這時候我們就要兩隻兔子一隻雞 對吧 二次的八再除以二 四倍 好沒問題 好那每一組的話是 二加一是三隻 那96只就是 32只 能懂嗎 啊所以雞就有了 32只 兔子呢 64只 對不對 能不能理解 所以我們通過這道題目 我們把兩種情況又說一下 對吧 只數如果只數的倍數 就是n對1 那腿的倍數 你一定要試着畫一下 你可以讓這個 某一種動物 少的那個 他一隻就不變 另外一個就增大 對不對 那兔子是雞 兔腿是雞腿的倍數 這個可能還好想一點 因爲兔子本來腿就多 那如果要雞腿是兔腿的倍數 那就得小心了 對吧 比如說你的兔子是四隻 如果想要讓他 二倍 雞腿是兔腿的二倍 那你就小心 你就得什麼 四隻雞 是不是 八條腿 才能是二倍 能理解嗎 好所以這兩種 大家是不是也有感覺了 知道了 好 那這是剛好倍數的 那除此之外 我們肯定還有什麼 還有那種幾倍多幾 幾倍少幾的 對吧 好那我們來試一下 來 看一下 這道題目來 大家動手算一下 一分鐘 夠不夠 老樣子 一定要先畫圖分組 雞兔 銅龍 兔的比雞的三倍多三隻 一共152條腿 問雞兔個幾隻 哎呀 這是隻數的倍數 還是腿數的倍數 是我們最喜歡的只數的倍數 對不對 而且是兔子多 兔子比雞的三倍 所以雞打幾 三對一 是吧 來我們畫一下 得標準的來 嘚嘚嘚嘚 三隻兔的 一隻雞 這雞好慘 是吧 好 然後這樣分 三隻兔子 這不是水母啊 這麼標準的兔子啊 然後呢 是剛好分組完嗎 也不是多三隻 三隻什麼 多三隻兔子 是不是這樣的 還有一個條件是 一共有152條腿 OK 好那現在大家可以算了 你要朝稿紙上把這畫出來 一目瞭然 看一眼馬上知道要怎麼入手了 對吧 我們說只要有多的 就一定多算 對吧 就趕緊麻溜的就算 是不是就麻溜的算了 好 我們把多的這三隻算一下來 三隻兔子是三乘四是12條腿 對不對 然後一共是152條腿 我們減掉12條腿 得到140條腿 那每一組裏面是三隻兔子 一隻雞 是14條腿 OK 每組是14條 你這裏面是140 所以就是十組 能理解嗎 那雞和兔子的支數我們就都有了 雞就是每組一隻 十組就十隻 兔子是每組三隻 外面三隻 一共是33只 OK 那你就可以檢驗了 來 雞的話是20條腿 兔子的話是132條腿 對不對 20加132等於152 對不對 Yes 會了嗎 那德學老師 你看我們做了這麼多道題目 都是幾倍多幾隻的 難道考試就不可能幾倍少幾隻嗎 那我們就來見識見識 如果是幾倍少幾隻 又應該是什麼樣 對吧 好再來 雞兔銅龍 那現在是要什麼 還是兔子比雞嗎 可以 那我們也可以反過來 雞比兔子的幾倍 還是三倍是吧 好三倍 注意 少幾隻 你要少幾隻 你想少幾隻就少幾隻 有同學說老師 那你三倍你是三隻對一隻 那你這少幾隻不能超過三隻嗎 無所謂 我們來個少四隻試試 來個少四隻試試 跟你講 不怕吧 不怕 OK 好那你看 23的6再加10 所以我們可以再構造個數 你看我們就現編一個數 一共多少條腿呢 一共多少條腿 好我們算一下 一共 那還是你看上面有個數是吧 我把它用上 一共152條腿 行嗎 各幾隻來 大家現在按暫停開始算一下快 快點快點快點 雞比兔子的三倍少了四隻 小學老師怎麼畫 這沒法畫呀 對不對 你正常的話應該是三隻雞 一隻兔子 那到最後的時候 你少了四隻 那那有兩組都被破壞掉了 是不是 所以你在槽子上畫就行 不要在試卷上畫 那怎麼辦 你少的四隻太頭疼了 我們怎麼辦 我們下樓再買 四隻雞的腿 給它補上 對吧 好 那四隻雞需要幾條腿 24的8 8條腿 把這152條腿補上8條腿 等於多少 等於160條腿 可以嗎 如果我們補到160條腿 那就可以說什麼 就可以說 雞剛好是兔子的三倍呢 能不能理解 我相當於是下樓又買了四隻雞 對吧 那但是這種題目要小心 你這是下樓買的 你最後再算的時候一定要幹嘛 一定要再把它減掉 能不能理解 OK 那現在我們來算一下 一組裏面是三隻雞 一隻兔的23的6 14的4 三隻雞是6條腿 一隻兔子4條腿 和減是10條腿 那160除以10 是多少 16組 對吧 是16組 好 那這時候在算雞和兔子的時候 小心 哪個是OK的 能直接得出來的 是不是兔子 每一組反正一隻兔子沒什麼變化 水兔子是16乘以1 等於16只 那小雞呢 16組每一組裏面有三隻 但是得扣掉四隻 對不對 你是下樓買的四隻 要小心 所以是44只 那就可以答了 來我們來檢驗一下 我們也來檢驗一下 你們能理解嗎 能理解 我們來檢驗一下 你看44只的話是多少條腿 828條腿 16只呢 乘4是64條腿 828條加64條 是152條腿 登登 過關 OK 那通過這兩道例題 以及它的辨識題 我們發現了 我們發現了什麼 不管是多幾隻還是少幾隻 不管是隻數的倍數 還是腿數的倍數 我們現在都知道怎麼分組了吧 對不對 所以大家下回見的時候 要知道好吧 好我們再稍微提升一下難度 看一下它的辨識題 這個辨識題完事之後 我再給大家出一道辨識題 來快 一分鐘開始 說同學們吃蘋果 男生比女生的四倍少三個人 每個男生吃三個蘋果 每個女生吃兩個蘋果 一共吃了131個蘋果 這是屬於哪種 倍數的 只數的倍數的 對不對 男生比女生的四倍少三人 那正常來說 那這時候男生每人是吃三個蘋果 所以男生就這樣 那男生比女生的四倍 所以四個男生 一個女生 是不是這樣分組 能理解吧 好但是少了三個人 那三個人他會吃多少個蘋果 每人吃三個 所以三乘三去加131 等於140個蘋果 我們先把男生少的那三個人補上 如果把那三個人補上的話 他們應該是一共吃140個蘋果 然後每一組吃幾個 每一組吃的就是 三四再加 12再加2 是不是14個 所以這數都湊的很好 看到沒 初級的說這數都湊的很好的 十組 對吧 剛好十組 所以男女生就都出來了 男生十組 每組四個 扣掉三 等於37人 女生十組 每組一個就是十人 好我們可以算一下 男生37個人 檢驗一下 每人吃三個 那是不是111個 女生的話是十個 每人吃兩個 是不是20個 而且還是不是131 沒問題 說明我們做對了 到目前爲止這些都是平平無奇 對吧 這分組你都會了 不管你是支數的分組 還是那個啥的分組 還是這種腿數的分組 腿數的分組的話 在這道題目裏面就是男生吃的蘋果 跟女生吃的蘋果之間的背處關係 能理解吧 好那現在我們乾脆來提升一下難度 來 來一道比較有意思的題目 大家準備拿出筆記本 筆記本要抄在筆記本上 快拿出來 說 有一種動物叫九頭鳥 它有九頭 一個尾巴 有另外一種動物叫九尾狐 對吧 九尾狐 顧名思義 它名字都起的這麼霸氣了 那就是一個頭 不是一頭一頭 一個頭 好吧 九個尾巴 你看看他們倆多互補啊 對吧 現在呢 有一堆的九頭鳥和九尾狐 仔細數了數 一共有210個頭 一共有290個尾巴 各幾隻 滿滿胸 來先思考一下 快 一分鐘 只給你一分鐘思考時間 快 怎麼辦 你是要用假設還是要用分組 對吧 我們現在假設分組兩種做法都說過了 好 你要用假設 還是要用分組 對吧 然後如果是假設怎麼假設 用分組怎麼分組 現在的問題是 一共幾隻動物你知道嗎 不知道 一共幾個頭 倒是知道 一共幾個尾也知道 但一共幾隻動物 我們不知道 對吧 你210個頭 你這裏面有的是九頭的 有的是一頭的 你也不知道啊 你290條尾巴 你還是不知道啊 怎麼辦 那分組能分嗎 也不能 他也沒有說九頭鳥 比九尾狐多幾隻 對吧 或者誰比誰多幾倍多幾都沒有 完了 那怎麼辦 所以 第一個目標 我們就要求出來 到底有幾隻動物 你把這個求出來 你就踏出了歷史性的一步 那怎麼求啊 我們來找一下 找一找他們的共同點 對不對 九頭鳥是九個頭一個尾巴 九尾狐是一個頭九個尾巴 他們的頭不一樣多 他們的尾巴也不一樣多 但是他們的什麼是一樣多 名字 名字的個數 這有啥用啊 這些啊 頭加尾非常棒 對吧 頭加尾 你看九頭鳥的頭加尾是什麼 是十個 九尾狐的頭加尾是十個 所以如果說你閉着眼睛 你不要去看他 你就想這些動物 現在這些動物的話 他們頭加尾 每一隻的頭加尾都是十的 哦 OK 太棒了 那現在我們把這個總的頭加尾也加一下 210加290 等於多少 500 單位是什麼 單位是頭加尾 對不對 OK 那500的話 這一共500 那每隻動物都是十 所以就是500怎麼樣 除以十 得到50只 能理解嗎 這很巧妙的把這個支數給求出來了 把這個支數給求出來了 哦 我們現在就知道了 他一共是50只動物 對吧 啊 然後一共這50只動物有210個頭 290個尾巴 那這樣的話 知道支數了 你可以怎麼辦呢 能分組嗎 好像還是不能分組 那我們假設試一下 我們假設一下 我們假設一下哈 假設你要假設這50只都是九頭兩尾還是九尾狐 那你這時候隨意了 你看一下頭跟尾哪個多 尾巴多 尾巴多說明九尾狐多吧 是不是說明九尾狐多 好那這樣 我們假設全是九尾狐 能懂嗎 九尾狐多啊 所以我們假設全是 九尾狐 那如果全是九尾狐的話 它應該怎麼樣 它有50只 那它應該是50乘 乘9是450個尾 然後50乘1是50個頭 它應該這樣啊 對不對 那你實際只有290個尾 只有210 有210個頭呢 能理解吧 那怎麼辦 那你這時候選其中一個來做就可以了 比如說如果有同學選了頭 那你就這麼想 全是九尾狐應該50個頭 而實際有210個頭 210個頭減50個頭 差了160個頭 是不是差了160個頭 如果其中有一隻把它變成九頭鳥 那頭每一隻的頭就從一個頭變九個頭 會差啊 九減一八個頭 那現在差了160個頭 除以八 就差20只的九頭鳥 那九尾狐呢 50減20 就是30只九尾狐 就出來了 這是從頭入手的 如果你從尾巴入手 是不是也是一樣的 是450 結果它實際只有什麼 只有290 一減 差了160呢 如果你九尾狐變一尾 那九減一也是等於八呀 沒想到是怎麼一樣啊 所以160除以八 20只九頭鳥 50減20 等於30只九尾狐 這九頭的哥們 這九尾的哥們 能看到嗎 所以兩種思路 你看哪一邊都行 你們喜歡用頭算就用頭算 要用尾算就用尾算 好 然後打 就出來了 所以造型棚還是比較有意思的 大家給它加個星 下來之後寄到你的小本本上 記得跟你的好朋友分享 同桌前桌後桌閨蜜死黨 都記得要分享 然後你自己也可以改編一下 下來自己編一下 怎麼編 你把這個頭和尾的數目換一下 那怎麼換呢 你可以這樣 你在假設 你就九頭鳥 你希望答案是幾隻九頭鳥 幾隻九尾狐 你就先把那數算一下 然後再算它一共幾個頭 一共幾個尾 就出來了 能理解吧 OK 好 那我們總結一下來 今天我們講的分組法 第一個 分組法的步驟 我們怎麼用分組法呢 我們發現它需要分成兩種 對不對 第一種就是 只數 相差幾隻的 比如雞比兔子多幾隻 兔子比雞多幾隻的 或者誰比誰少幾隻的 那我們就是 一雞一兔分組 然後呢 先算差 先把差的幾隻 先把它算清楚 第二種是腿數差的 那這時候 很多時候就不是 一隻雞一隻兔的 那就要先試一下 對吧 先試 分組 對吧 同腿分組 就你試出來腿相同 那就是兩雞一兔 分組 那爲什麼兩雞一兔的話 也是一樣 對吧 就是爲了讓它的腿 是一樣的 好 那第二種的話就是 整倍的 整倍數 分組 那你還是得分成兩種 只數的 和腿數的 對吧 那隻數如果是倍數的 那最簡單了 就n對1 分組 腿數倍數的 就不一定是n對1 這時候你就要去什麼 恰好湊倍數 湊倍數分組 因爲它們的腿 既然是不一樣 那麼你最後腿要三倍 那你就是要去湊一下倍數 對不對 然後也是一樣 先算 有差就先算差 這個差的話 有的時候是多 有的時候是少 多還好 多的先算 對吧 如果是少的就先補上 少的補上 如果有少幾個 就先給它補上 最後再減就行了 OK 第三個就是難一點的 應用 辨識 難題 對不對 那麼可以應用在哪裏 應用在我們的 車 船 等 等等 還有複雜的動物 那複雜動物的話 一般支數一定要先求出來 總共的支數 對吧 像這我們的九頭鳥的 九頭鳥那道題目一定要再 再編一道 再編一道的話 你說明你 你一定能加深理解 好吧 所以分組法的話 我們算完之後 OK 沒問題 好 那我們這個 假設法和分組法 就先說到這裏 好吧 大家拜拜 拜拜