【大連理工大學】《畫法幾何及土木工程製圖》（全132講）王子茹（上） P34 - 34. 4.3.1 直線與平面垂直 (1)

同學們好 現在我們學習直線與平面垂直 直線與平面垂直相交 是直線與平面相交的特殊情況 在這一節裏 主要研究直線與平面垂直的投影特性 直線與平面垂直的情況又可分爲兩種 第一種直線垂直於特殊位置平面 第二種直線垂直於一般位置平面 下面就來學習掌握它 這是一個平面P 有一條AB線與P平面垂直 實際上這是直線和平面垂直相交 這個交點是垂竹 配點 而直線與平面垂直 它的條件就是 它垂直於平面內或垂竹 或者是不過垂竹的一切直線 這個時候直線和平面垂直 那既然這樣的話 我們現在來看一下 在這個兩面投影體系裏邊 有這樣的一個P平面 這是V面際線 這是水平際線 這是一個一般位置面 現在就來看一下 直線與這個一般位置平面垂直 是一個什麼情況 我們前面講了說直線垂直於平面的話 它應該垂直於平面內或垂竹或不過垂竹的一切直線 那既然這樣的話 這個LK這條線和P平面垂直 它也應該垂直於這樣兩條線 一條線是AB 一條線是GB 那這是過垂竹 這是過垂竹的這兩條直線 那這兩條線都有什麼特點呢 那就是AB這條線 它平行於水平際線PH AB是平面內的水平線 CD平行於PV 也就是說它平行於平面內的正平線 所以CD是平面內的正平線 根據直角定理 空間兩條直線垂直 如果有一條線和這個投影面平行 這個時候空間兩直線所夾的直角 在該投影面上就反映90度 這樣的話就有LK這條線 它在投影圖上 這個LK它應該垂直於平面內的這條水平線 也就是在投影圖上 LK的水平投影垂直於平面內AB線的水平投影 它有這樣一個關係 LK的V面投影L1.K1. 應該垂直於平面內正平線CD的正面投影C1.D1. 這是直角定理 所以如果一條直線要垂直於一個平面的話 那麼這個直線的正面投影 一定要垂直於平面內正平線的正面投影 直線的水平投影垂直於平面內水平線的水平投影 反過來 如果一條直線的正面投影 垂直於平面內正平線的正面投影 直線的水平投影垂直於平面內的水平投影 那麼該直線一定垂直於該平面 這樣我們就得出這個直線和平面垂直的一個必要和充分條件 這個必要和充分條件就是直線垂直於平面內的相交二直線 這就是直線與一般位置平面垂直的情況 接下來我們來看它的具體的做圖方法 把P平面轉換成用正平線和水平線所決定的平面 AB是水平線 CD是正平線 垂線 LK的水平投影垂直於AB線的水平投影 LK的正面投影 L' K'垂直於C' D' 也就是垂直於正平線的正面投影 現在在投影圖上 LK這條線垂直於這個平面 那麼空間LK這條線垂直於這個一般位置面 下面看一個例子 過D點向三角形ABC做垂線 這是已知的三角形平面兩個投影 直到D點的兩個投影 過D點向三角形ABC做垂線 這涉及到了剛纔講的直線和平面垂直的條件 直線和平面垂直 直線的正面投影垂直於平面內正平線的正面投影 直線的水平投影垂直於平面內水平線的水平投影 做圖只要滿足這個要求 你做的這條垂線就是正確的 現在我們來做 先看看三角形平面裏邊有沒有已知的條件 同學們看BC這條線 BC它的V面投影B和C點在OX軸上 那它的水平投影BC 這就是一條水平線 這條水平線就不用求了 就是已知的 有沒有正平線呢 沒有 沒有就得做正平線 現在在三角形平面內做正平線 這是正平線的水平投影 這是正平線的V面投影 然後過D點做A點E點的垂線 過D點做DE 做D點E點垂直於A點E點做它的垂線 這是這條垂線的正面投影 垂直於平面內正平線的正面投影 然後過D點做線垂直於BC這條線 BC這是平面內的水平線 所以DE的水平投影垂直於平面內水平線的水平投影 現在DE這條線和三角形平面垂直 現在來看求空間上點到直線的距離 有這樣一個題 這是A點的兩個投影 BC線的投影 現在呢 要求A點到BC線的距離 求距離指的一定是垂直距離 最短的距離 怎麼來求點到直線的距離 我們先來進行空間分析 所謂空間分析就是把已知的幾何條件和未知的幾何條件 我們把它都擺出來看一下 分析它們的情況 找它們之間的一個從屬關係 這是已知的A點和BC點 現在要求點到BC的距離 指的是這個垂直距離AK 這是未知的 這是我們所要求的 那麼它們之間的關係呢 就是過A點 你得做BC的一個垂線 是個垂直關係 AK要垂直於BC 那麼AK這條線 我們說點在線上線在面上 它一定位於過A點 而和BC直線垂直的一個平面內 就在這樣的一個平面內 所以AK這條線不是孤立的一條線 它位於過A點而和BC垂直的一個垂面上 BC這條線與這個垂面P產生的交點就是K點 AK連線就是我們要求的點到直線的距離 這就是空間分析過程 下面把空間分析的這個過程 落實到頭腦圖上去 一步一步的實現 那也就是說第一步 你得過A點做BC的一個垂面 做這樣的一個輔助面 第二步求BC和你所做的垂面的交點 第三步連線求是長 是這樣的一個過程 好看具體做出步驟 這是已知的條件 第一步要過A點做BC面的垂面 過這個點要做這條線的一個垂面 這又涉及到了直線和平面垂直的條件 直線和平面垂直有哪些條件 直線的正面投影垂直於平面內正平線的正面投影 直線的水平投影垂直於平面內水平線的水平投影 那我們過A點做的垂面就用正平線和水平線給定 現在來看過A點做一條和CB相垂直的直線AD 這條線就是平面內的一條水平線 然後過A一撇 做A一撇E一撇垂直於B一撇C一撇 那這條線呢就是平面內的一條正平線 現在正平線和水平線這是相較二直線 它們決定一個面 這個面和BC這條線垂直 這就是過點做BC的垂面 怎麼樣過一個點做一個面和另一條線垂直 這就是剛纔的這個做法 這是第一步 第二步包含BC要做輔助前垂面 也就是說要求BC這條線與這個垂面的交點 這個交點怎麼做呢 首先 也就是說要求BC這條線和這個垂面的交點 這個問題就歸結爲直線和一般位置平面相交求交點問題 一般位置面和一條直線相交求交點要有三個做主步驟 所以我們要包含BC這條線做輔助面 這個輔助面做的是一個前垂面 然後求這個前垂面和垂面的交線 求交線 然後求交點 它的交線的水平呢 這是已知的 就寄居到這 好 微面投影 這是交線的微面投影 然後求交點是交線和已知直線的交點 這就是開一撇 這是交點的水平投影 那這個就是垂足 然後A' K'連線 水平投影A K連線 這樣就得到了這條垂線的投影 它要求的是距離 距離指的是真實距離 那麼現在的這個垂線的這個投影呢 它是一般位置線 不反映時長 所以它要求距離 那就是用直角三角形的方法來求時長 時長的具體求法 以A K的水平投影爲直角三角形的一個邊 以另一個投影 A' K'的兩 以另一個投影 兩點的高度差爲另一個直角邊 把這一段量到這 好 連線 這個就是距離 所以求點到直線的距離 要經過這麼多的步驟來實現 大家一定要清楚 求點到直線的距離 它是一個垂直距離 涉及到做垂面的問題 涉及到求焦點求時長 這是一個綜合體 接下來看一下直線垂直於投影面 垂直面的情況 現在來看直觀圖 這是H面 這是T平面 T平面垂直於H面 這是一個千曲面 另外有一條線AB垂直於T平面 AB是什麼線呢 AB一定是H面的平行線 所以水平投影的AB跟面的G矩性投影 在這個地方反映直角 在投影弧上來看它的投影 這是千曲面 它在投影弧上 AB這條線的水平投影 垂直於面的G矩性投影 它在V面上 是一條平行於OX軸的線 也就是說 這個AB這條直線 它垂直於這個千曲面 AB這條線一定是H面的平行線 AB是一條水平線 那麼這條水平線的V面 就要平行於OX軸 這是一種特殊情況 這部分內容就講到這兒 請同學們參照視頻 閱讀教材 並完成課後習題