【哈爾濱工業大學】《結構力學》（全127講）李強（上） P34 - 34. 4.8.1 結構位移計算08

我們上一課講到非核載因素引起的位移的計算 其中第一個講的就是由溫度作用引起結構的位移的計算 這個位移的計算是從我們最原始的公式出發 最原始的公式我說了 是等於某點的位移應該由三部分組成 第一部分是由於彎曲變形對我位移的貢獻 第二部分是由於它的軸向變形對我位移的貢獻 第三部分是由於它的剪切變形對我位移的貢獻 這是裏頭沒有包括還有製作移動的問題 如果要包括製作移動對位移的貢獻 那麼應該把製作移動引起的變形部分把它加在內 由於對於感見來說 製作位移相當於外力功 因爲我們是從虛空原理得到的 所以它本身應該是在我們的方程的左面 爲了計算這個位移我們把它挪到這個公式的右面去 所以這是最原始的公式 那麼最原始公式對於非核載因素引起的位移 第一種情況我們討論的是由於溫度改變引起的位移 那麼這裏頭我們忽略到製作的位移 而且又發現由於溫度作用引起的變形 只包含它的彎曲變形和軸向變形 這裏頭不包含有簡潔變形 所以最後它只剩了兩項 也就是第一項是由彎曲變形引起的 第二項是由於軸向變形引起的 當然把它進一步簡化之後 我們可以把它寫成由溫差引起的變形是α得的th再乘上ωm 是單位力作用下引起的彎曲除的面積 再加上由於軸向變形 那就是αt0再乘上一個ωfn 這是由軸向變形對我們總的位移的貢獻 這是由於溫度作用引起的 那麼其中它的正負號的選取我已經強調過 如果由於單位廣義力引起的彎矩 它的變形的方向與溫度變形引起的方向一致的話 那麼它倆的乘積取正號 如果相反就取負號 那麼由於它伸長和縮短這一部分 下面這一部分那就看一下 你中心溫度如果要是升高 而單位廣義力又引起這一感見 它的這感見的內力也會使它伸長的話 那麼它倆的乘積就爲正 或者叫同性爲正 異性爲負 這是我們說的溫度作用 那麼除了溫度改變會引起靜韻結構這種位移之外 那麼還有一種我們叫做下料誤差 也就是在我們的實際工程當中 有意或無意的都會使得我們下料的時候 它的長短會發生一個改變 會產生一個改變 比如這感見我的設計值是5米長 可是由於下料的時候那麼多多少少總會有所改變 比如說變成了5.001米 多出一點多出一毫米一釐米 那麼由於多出這部分或者是減小部分或短了一部分 就是由於它的改變就會使得整個結構會產生相應的位移 儘管你很小但是會產生相應的位移 我想知道由於你這個感見下料的出現的一個大小的變化 會使得整個結構會產生什麼樣的位移 我們剛纔說過 我們這種下料可能是有意的也可能是無意的 無意的可能是操作錯誤 我直接給多了點或者少了點 在靜韻結構上 當然這多一點少一點的話並不會引起它的內力 但是會引起它的位移 另外我可能是人爲的故意的就要給它增加一點或者減小一點 目的也就是使得我們的結構在設計的值和實際使用過程當中 由於它倆之間是有差別的 所以爲了使用上的方便我有說是故意給它多一點或者少一點 後續我們在算完之後我們會發現爲什麼要會這樣 所以這節我們先看一下下料誤差如何來進行處理 也就是當我們把感見加長或者是截短 我們把感見的加長和縮短 就是你下料時給它加長了還是縮短了 這個我們可以把它考慮成是感見由於變形的原因引起的 你可以把它考慮成是變形的因素引起的 如果把它考慮成變形的因素的話 比如我們看這個橫架 這橫架的上懸杆 假設在下料的時候我就讓它伸長了多出了點 多出多少呢 多出0.02米 2釐米 那麼求一下由於這2釐米的出現 引起這個橫架C點的豎向位移是多少 引起C點的豎向位移是多少 那麼想一下這個C點如果上面兩杆DE和EF杆都伸長了 那麼顯然它們倆之間就會翹起了一點 那麼這樣一翹起一點就會使C點的位移也跟着上了一半 我想知道它上了有多少 那麼還是追溯一下我們前面所介紹的公式 由於感見僅僅出現了一個伸長 所以在我們這個公式裏頭它沒有彎曲變形 因此這一項你不用考慮 當然它也不會出現它的剪切變形 所以這一項也不用考慮 那麼我們這裏沒有考慮支座的移動情況 所以這一項也不考慮 那麼最後剩誰了呢 就剩了一個由於面對着軸向方向的變形這一項 也就等於Fn再乘以dm 當然我們對於整個感見來說 這個是相當於軸力 這個軸力是在單位廣義力作用下引起的感見力 而對橫架來說我們所有的力都是加在極點上 所以感見上的力都是一樣的 所有感見上所作用的力都是一樣的 所以它跟積分沒有關係 那麼既然跟積分沒有關係 那麼就把它挪出來 挪到積分號之外去 也就是把它寫成Fn然後dm 那麼dm是什麼意思 我們的積分是對整個感見進行積分 也就是在整個長度上進行積分 那麼這個積分是不是就相當於這個感見它最終的伸長量 總的伸長量 每一小段每一小段的伸長量 我把它加在一起 最終表現就是這個感見的伸長量 所以我們把它寫成一個Fn再乘上一個它的伸長量就是Δm 好了 這就是我們的計算公式 從這個計算公式裏頭 我們可以發現 如果你要要求某一點的位移的話 那麼首先要知道各杆的軸力是多少 另外各杆的伸長量或者各杆的長度方向的變化值是多少 另外我們會發現這裏頭在進行計算的時候 只有感見的長度有變化的那個杆那個軸力你需要求出來 其他杆的軸力你都不用求 因爲這裏的求和僅僅是和有伸長的那些感見有關 其他的感見沒有關係 好 那麼下面我們來通過這個橫架的計算 來看一下這個公式怎麼應用 那麼首先我先求一下 在單位廣移力作用下引起的 已知位移或者已知感見長度有變化的那些感見 它的內力是多少 首先第一步我先把這個橫架內力先求一下 單位廣移力作用下引起的內力狀態 這是它的原結構 我要想求西點的豎向位移 那我就在原結構西點豎直方向加一個單位廣移力 在這廣移力作用下我想求一下 已知變化的和長度發生變化的感見它的內力 也就是這杆內力和這杆內力 那麼要想求這兩杆的內力的話 我得先知道它的兩個約束反力多少 所以第一步我先取出隔離體 所謂隔離體就是去掉一切與外界的聯繫 這就是它的隔離體 再至於相應的約束力 這塊有兩個這塊有一個 就是按照它的約束性質先把它的方位確定下來 然後把所有的力在水平方向投影 發現水平方向只有這一個約束力 因此這個約束力只能等於零 而豎直方向這個力正好坐在中間 那麼我們知道這像一個單段似的 所以它向下的一它們一人乘函一半 它是二分之一它是二分之一 利用兩個約束力我們可以求出每個杆的軸力 但是我剛纔說了 我只需知道你長度有所改變的那個改變的軸力是多少 那你說我只需知道它們兩個軸力多少 而這兩個軸力根據這個力我可以知道它是負的 它的負的二分之一 這是負的二分之一 其它的你可求可不求求完也沒用 所以我們就不求了 這個就是在單位力作用下引起的軸力圖 只有這兩個感念有用 好 那我們把它往公式裏帶 因此七點的豎向位移就等於什麼呢 帶入這個公式 公式一個是力再乘爲一 那麼先看 這杆的軸力是負的二分之一 它的改變量是多少呢 它說每個杆它伸長了 伸長意味着那就是它的0.02 它的伸長量 那第二杆軸力也是負二分之一 它的伸長量也是0.02 因此我得把它乘二 一樣的 這樣我們就算一下這點的豎向位移是負的 這個消掉是0.02 這個結果表明 當上旋杆消掉的時候給多出了0.02米的時候 就會引起七點豎向位移 產生0.02米的豎向位移 這是負的 說明這一點的位移方向和我假設的方向是相反的 我假設是向下 那麼這個負的說明這點真實的位移方向是向上的 也就是說這一點就相當於跑到這裏了 那麼這兩個分別伸長的話 那麼它的形狀實際是這樣的 變成這樣的 從官方看就相當於形成這樣一個拱形 從官方看就相當於這種拱形 因此我們把這種形式稱它叫做齊拱 齊拱是我們在工程當中經常所採用的一些施工手段 爲什麼要齊拱呢 因爲我們知道我們所使用的材料都是彈性物體 在合載作用下它就會產生變形 比如說我們一個梁 我們梁當把它放置在兩個支座上的時候 由於它有自重 這個自重當很大的時候就會使得梁出現一個彎曲 而且這個彎曲是向下的彎曲 而對於橫架來說 它是在前面我們曾經提到過 它是一種掏空的梁 因此你可以把它想象成一個梁 那麼這個梁在自重的情況下它就會自然而然地向下彎曲 也就是說錫鏈就會向下產生一個位移 顯然我們這個結構在使用過程當中 如果這塊出現一個向下的位移 顯然不符合我們的使用標準 所以爲了消除這個向下的位移 所以一開始在設計的時候 我就先給它設計成一個起拱的狀態 先讓它拱起來 然後靠它的自重使得又給它壓平 又壓到一個水平方向位置 就是一個平面 我們的結構就變成一個非常規整的結構形式 所以起拱是我們在施工過程當中經常所採用的一種方法 除了我們說的溫度改變會引起位移 下料的誤差會引起位移 還有一個 織作的移動也會引起位移 織作的移動對於我們土木工程結構來說 就相當於我們的建築結構 由於地基處理得並不是太合適 在建築過程當中可能就出現了一個沉降 織作的沉降就會引起結構的位移 對於靜定結構來說 它就會使得結構產生位置的改變 我們稱之爲位移 對於靜定結構 我們在分析靜定結構的特性的時候 曾經說過有幾種情況下 就是無力狀態 沒有外合載的情況下 它的內力也得靈 我們剛纔說的這個 一 溫度改變 靜定結構不會產生內力 下料誤差 靜定結構不會產生內力 織作移動也不會產生內力 但是它們會產生相對位移 下面我們看一下 靜定結構由於織作沉降 或由於織作移動 會引起什麼樣的位移呢 那麼還是從最原始的公式出發 由於靜定結構織作移動過程當中 感覺沒有變形 因此也就沒有彎曲變形 因此第一項不用考慮了 在織作移動過程當中 軸向也不會發生改變 因此第二項沒有 當然剪切方向自然也沒有變形 所以這三項都沒有 剩下誰呢 剩下最後一項 因此也就說由於織作移動引起的位移公式 應該等於負的這一項 就是負的Frici 其中這裏頭Fri 也就是說你織作移動那一點的約束反力 是在單位廣移力作用下 引起這一點的織作上的反力 而Ci是說以織位移 某一個織作產生的位移作 以織這一點的位移 實際上它是由於沒有變形 因此我們利用的是剛地虛無原理 剛地虛無原理把它挪過去之後就變成什麼呢 變成一個位移 再加上一個織反力引起的 織反力和它的相應位移作用 這樣一個作用 這是單位廣移力在它的位移上做工 這是織反力在它的位移上做工 所以等於零 我們爲了計算位移 所以把它挪到我們方程的右邊去 所以這就是織作移動引起位移的計算公式 那麼下面我們利用這個公式 利用這個公式來求一個具體的題 看看如何來描述它的位移量 比如說像我們看這個題 這是一個主從結構或者叫做基譜型結構 其中固定端產生了一個轉動一個轉角 我要求一下由於這個固定端產生一個θ這麼大的轉角 引起端點k點的位移是多少 引起端點k點的豎向位移是多少 那麼顯然我們從公式的角度來說 我得先知道 在單位廣移力作用下引起的 固定端已知位移處的約束反力是多少 所以先看一下 這點 我要想求這點的豎向位移 我就在這一點豎之方向加一個單位廣移力 那麼顯然在這廣移力作用下 我可以求一下這個織作處所對應的 與轉動所對應的約束反力 顯然就是6 那麼你按求的6 顯然我畫出的彎矩圖 這點上側收拉 角際點彎矩爲0 中間的彎矩是一條直線 那麼這樣我就得到這點的彎矩大小 按照比例關係 那麼這1乘2乘L就是2乘L 這兩個圖形是相似三角形 相似三角形 那麼對應邊乘比例 那麼這個高度和這個高度比 應該等於這個長度和這個長度比 它是它的二倍 那麼因此這個應該是它的二倍 因此這個認識是L 也就是我們說的Fr極的對應是L 代因公式裏頭 那麼因此黑點的豎向位移就等於負的 注意這個負號是公式裏帶的 不要忘了 那麼裏頭是誰呢 裏面就應該是一個Li在乘這個位移 實際它倆是做公 那麼做公的時候一個Li Li是順人轉動的 而這點的轉角也是順人轉動的 因此它們倆做的公應該是正公 因此就應該是L再乘上這點的C的 整理一下就等於負的LC的 好 這一點的豎向位移就等於L乘C的 那麼前面的負號說明什麼問題呢 負號指明着是C一點它的豎向位移 與我假設的位移方向正好相反 我假設是向下的 而這點實際的位移方向是向上的 這是我們加一個單位例 這樣算得到結果 這裏說明是假設位移方向與真實位移方向是相反的 也就是真實的位移是向上的 好 我們再看一下這個題 這個是一層 兩層 三層 四層 也就是說它的組裝是相當於走了四層 從層次除上來看它走了四層 就是多層次的多跨徑定量 它說已知之作D發生了一個沉降 然後讓我求一下A點的豎向位移是多少 我們先把這個圖看一下 這圖我們大致先畫一下 這是三層 四層 這個是一個單鏈杆的組裝 這是A B C D 這是C A B C D 它說B之作產生了一個沉降 發生一個沉降 沉降量大小就是說這支座跑這兒的了 那麼這支座上這兒了 這一點沒有上下位移 那麼這個杆跟着它就走到這兒了 這杆跟着就走這兒了 所以這腳幾點跟到這個位置 而這個杆杆這點沒有豎向位移 所以這杆就跑到這兒了 就變成這個形狀了 所以這幾點到這兒 同樣這點沒有豎向位移 所以這杆到這兒了 所以這是它的整個的位移圖 現在按我們的提要求 就是這一點的豎向位移如果是得的D的話 那麼要求一下這個得的A是多少 看一下得的A是多少 那麼顯然這得的A按照我們剛纔的求解方法 還是帶入這個公式 這個公式是什麼呢 這個公式是復的 F R I C I看有多少個位移 現在我們就有一個 按我們這個公式說 你要想求哪一點的位移 就在那一點豎直方向加一個單位廣移力 我要想求A點的豎向位移 我就在A點豎直方向加一個單位廣移力 然後求一下約束處的反力 D點約束處 它不是有沉降嗎 求說已知位移約束處的反力是多少 那麼這個反力怎麼求呢 我們看在這粒子動作下 在這粒子動作下引起的彎曲圖顯然是這樣的 這是引起的彎曲圖 那我要想求這個支座的反力是多少 顯然我想知道這個支座說兩端的減力應該是多少 那麼先看它的右端的減力 它的右端減力 那麼從這個彎曲圖來看 基線向彎曲圖旋轉是順人的 所以這點的減力是正的 正的應該是這個方向 大小兩端彎曲之和除彎杆長 那麼先看一下彎曲是多少 那麼這個力作用引起的這塊是A 1乘A 那麼這塊是A 這也是A 好 那就是A加零再除上A 所以這塊應該大小是1 A除了A等於 這一段由基線向彎曲圖旋轉是逆時針 負的對這一點來說產生逆時針轉動 所以這一點也是1A加零除A 所以這樣我們就求這一點的約束反力 F R D約束反力就等於2 那麼下面我們帶入公式裏頭 帶入這公式 帶入這公式就等於負的 這負號裏頭帶着 然後看裏頭誰做功了呢 力 我們現在看力的方向向上 而這邊位移向下 所以它倆做負功 所以是負的2再乘上得的D 那麼整理一下這點就等於2得的D 這點的豎向位移應該是支座地點位移的兩倍 這是這點的位移帶入公式 如果對於彈性支座怎麼辦 彈性支座處理的辦法有兩種 一種你把彈簧把它考慮成是結構當中的一個可以變形的構件 也就是把它考慮是一個鏈杆也可以 保留成彈簧也可以 那你就看看這個彈簧的加速量是多少呢 那按照我們公式就應該是它的軸力 單位力作用下引起軸力再乘這塊的位移 而這塊的位移量和誰有關呢 和這個力引起這塊的約束反力有關 因此這塊的軸力再除上它的剛性係數 這是一種方法 另外一種方法你可以把彈簧考慮成是一個主體結構的一個支座移動 前面支座移動的成分我不是已經求過嗎 你只要把這個支座移動量大小求出來就可以了 而這個支座移動量大小就可以用支座位移引起的某個點的位移計算公式來求解 只是說這裏的位移又和外力有關 所以對於彈性支座你可以這樣處理 這幾種情況現在我們都已經介紹過了 包括溫度變形 包括下料誤差 包括支座沉降 包括彈性支撐 這幾種情況我都可以通過位移的計算公式得到解答 那麼回想一下 這公式的解答從哪兒得到的呢 是最初由我們的虛空原理得到的 虛空原理的推導 也就是說最後虛空方程它的適合範圍非常廣 是彎曲變形的可以用 簡潔變形的可以用 軸向變形的也可以用 靜性結構可以用 超靜性結構也可以用 是彈性結構可以用 非彈性結構也可以用 它都適合 所以它的適用面非常廣 當我把它在線彈性範圍內應用的時候 那麼它還有一個非常好的特性 就是它對應的有幾個定理 我們可以應用一下 這樣便於我們計算 所以這一節我們介紹一下 線彈性體系它有幾個互等定理 那麼這幾個互等定理 第一個我們首先介紹一下虛空互等定理 我們首先介紹一下虛空互等定理 所以前面說外力虛空等於內力虛空 虛空方程它的使用範圍比較廣 但是我們在某一個範圍內 比如在彈性範圍內 我們看看還有什麼什麼特性 比如說我們假設 我們的結構所對應的材料 是滿足線彈性小變形假設的 這是第一 那麼這時候虛空就有一個互等定理 怎麼來證明那互等定理 我們考察同一個結構的兩個狀態 一個是受力狀態 一個是變形狀態 注意我這裏強調是同一個結構兩個狀態 那麼這兩個狀態所對應的力和位移 其中力狀態它滿足平衡小變 而位移狀態滿足位移協調狀態 就是滿足邊界條件 同時也滿足連續性條件 比如說這是同一個結構 同一個結構我給它上面加了一組核載 那麼假設這紅的就是它的變形狀態 那麼下面同樣還是這個減質量 我用另外一組核載加在結構上 那麼它顯然也得到一組一個變形 我們利用虛空原理 那麼這是兩個狀態 我想說明什麼呢 我想說第一種狀態上面是力 在第二個狀態的位移上所做的虛空 等於第二個狀態上的外力 在第一個狀態的位移上所做的虛空 這就是我們說的虛空互等定義 那麼到底等不等呢 我們來看一下 那現在看第一種狀態在第二個狀態的位移上做工 這是我們說的第一個狀態 第一個狀態上面作用力 由此它得到了一個位移 然後同一個結構我們給它加另外一組力 假設是核載 用另外一組核載 任意的 那麼顯然它也得到了一個變形 這變形就是這樣 我們把這個稱爲第一狀態 這個稱爲第二狀態 那麼下面我們把第一狀態中的外力 在第二狀態的位移上做工 那麼這個做工顯然是虛空 我們假設叫ΔW1 2 那麼這個力在這個位移上做工 根據弓的方程 那麼顯然應該等於這個的內力在這個的變形上做工 而這個的內力包括彎矩 軸力 簡力 那麼這個對應的變形就包括轉角變形 伸長變形 長度方向變形和剪切角 那麼顯然它在這個做工 這是第一狀態 那我們把這個叫做1 這個對應是第二狀態的變形 我們叫2 好 那麼按照前面的定理 就應該比如說彎矩變形 那就是M1再乘上θ2 dθ2 積分再加上Fn1再乘上dλ2 再加上Fq1再乘dθ2 由於我們說考慮的是線彈性小變形假設 因此我們還可以把公式重新寫一下 那就是M1 注意dθ2是它的變形 而這個變形是在第二阻力作用下引起的 那麼它所對應的呢 顯然應該是M2eidx 那這個對應的呢 是Fn1再乘上Fn2eadx 再加上第三項是 是Fq1再乘上一個Kfq2 dAdx 那麼現在我們把M1和M2調個 那麼顯然這也是合適的 M2再乘上M1eidx 再加上Fn2Fn1eadx 再加上 這個K放前面 那就是Fq2Fq1dAdx 那麼這樣一變就變成什麼了呢 就變成M2再乘上dθ1 再加上Fn2乘上dλ1 再加上Fq2dAe 那麼按這個公式算一下就變成什麼了 變成WΔ2e 所以它們兩個就相等 所以它倆相等 所以你看 我們往裏期待就得到這樣一個關係 用語言敘述一下它們關係 也就是說 處於平衡而且滿足協調的兩個狀態 1 2 那麼狀態1的外力在狀態2的位移上所做的總的虛公 等於第二狀態的外力在狀態1的位移上所做的總虛公 這就是我們說的公的互等定理 那麼由公的互等定理 我們還可以進一步找到另外幾個定理 比如第一個 位移互等定理 位移互等定理說 根據公的互等定理 你上面加任意核載的時候它都有這麼一個相等關係 那麼當加一個特殊核載的時候 自然它也滿足這樣一個關係 比如說 我在這個減之量上 這個位置給它加上一個力 這個力大小叫Fp1 我給它分兩個位置 這個位置可以叫1 這個位置叫2 當第一個位置加上Fp1的時候 引起第二個位置的位移 下面我們在第二個位置我再加上一個力叫Fp2 那麼同樣引起Fp1這塊也有一個位移 根據虛公原理 那麼第一狀態的力就是Fp1 在第二狀態的位移上 則是它一二上所做的公 應該等於第二狀態的Fp2 在第一個狀態的位置上 則是它二一所做的公 也就是它們兩個相等 這兩個相等 我把這個公式兩項同時除上Fp1和Fp2 我們在這寫一下 因爲只要根據公的互能力 Fp1再乘上Δ12 等於Fp2再乘上Δ21 我兩邊同時除上一個Fp1 Fp2 這頭也除上一個Fp1 Fp2 那麼這兩個Fp1消掉了 這兩個Fp2消掉了 那麼這頭剩什麼呢 剩了一個Δ12Δp2 這頭是Δ21是Fp1 所以它的角標有它的物理意義 比如說Δ12什麼意思呢 就相當於第二個位置上加上力的時候 引起第一個位置上的位移 這是一點的位移 那麼一點的位移再被這個二點的 就是由第二點作用力引起一點的位移 再被第二點的力除一下 那麼相當於平均 或者說被它除一下就相當於 Fp2等於1的時候引起一點的位移 我用一個小的Δ12來表 同時這裏頭也是一樣 Δ21 也就是說Δ12等於Δ21 那麼這就是我們說的位移互等定理 這種位移互等定理可以敘述一下 就是在同一個結構 在第一個位置上作用單位力 引起第二個位置處的位移 等於在第二個位置處作用單位力 引起第一個位置處的位移 所以這Δ21是說在單位力作用下引起的位移 那麼實質上我們從這裏看 它是位移再除上一個力 所以嚴格來說它並不是位移 它只是位移影響係數 所以更確切一點說是位移係數互等定理 這裏的互等有這個意思 就是它不僅大小相等而且量綱相同 不僅大小相等而且量綱相同 這個定理我們在後續的立法當中會用到 下一個叫做反力互等定理 反力互等定理說 在一個結構的諸多個約束當中 我選取兩個約束 然後讓其中第一個約束使它產生一個單位位移 我們把這個狀態叫做第一狀態 然後我們再用第二個約束讓它產生單位位移 我們管它叫第二狀態 好 就這兩個狀態 你看這是第一狀態 這是第二狀態 反力互等定理是什麼意思呢 就是說當第一個約束讓它產生單位位移的時候 引起第二個約束上的反力 等於第二個約束讓它產生單位位移的時候 引起第一個約束上的反力 這樣的意思 那麼具體推導還是根據公的互等定理我們得到 由公的互等定理我們知道還是剛纔這個式子 那麼我讓這個方程的上下兩邊同時出上一個得的1 得的2 同時出上它之後 那麼它的左側就相當於它的約束反力在出上位移 那麼相當於這個得的2等於1的時候引起第一個約束上的反力 那麼同理那頭是當得的1等於1的時候引起第二個約束上的反力 正好兩頭相等 那麼這個和我們剛纔說的是一樣的 表明說同一個結構在織作一處發生單位位移的時候 引起第二個約束上的反力 等於第二個約束使它產生單位位移的時候 引起第一個約束上的反力 那麼同樣還是這個問題 它是約束力在出上位移 所以它本身並不是約束力 它只能成爲約束反力的影響係數 另外還有一個Kij等於Kji 表示的不僅大小相等 而且量綱是相同的 這是我們說的第三個互等定理 叫做反力互等定理 那麼除了這兩個還有一個定理 我們稱爲叫位移反力互等定理 那麼這定理也是由弓的互等定理得到的 我們看一下 它是說一個結構在某一點一點加一個力 引起某一個織作上的反力 這是我們稱爲第一狀態 然後第二狀態是說 你引起織作的反力這個位置讓它產生一個轉動 產生一個位移 那麼這個位移引起的力作用那一點的位移 我們是說這個位移和這個反力它倆大小相等 它倆大有作用 就是當單位力作用在一點的時候 引起第二點處的約束反力 等於第二點產生單位位移的時候 引起的核載縱單位力核載縱那一點的位移 但是符號相反 爲什麼相反呢 我們可以看 根據弓的互等定理 那麼顯然第一狀態的力在第二狀態的位移上作弓 那麼這個約束力在這個位移上作弓 那個力在位移上作弓 等於第二狀態的力在第一狀態的位移上作弓 第二狀態的力這塊有一個轉動反力 那麼那一塊的位移等於零 所以最終等於零 所以經過整理之後就會得到 ΔE2等於-k 就是-k21 這就是我們說的反力互等定理 那麼這裏有一個符號 注意一下 我們把這個定理再敘述一下 就是位移反力互等定理說 同一個結構在第一個位置處作用單位合載 引起的第二個製作上的反力 等於第二個製作產生單位位移時候 引起第一個合載處的位移 但是符號相反 這裏仍然是表示它們兩個絕對值大小是相等的 而且量綱也是相同的 這是我們通過虛弓方程在它的線彈性範圍內得到的四個互等定理 這四個互等定理將在我們後續的超近的結構計算過程當中得到應用 好 這一課就到這 下課