【台灣大學】《邏輯學》（全100講）傅皓政 P33 - 33. Ⅴ：5.4.無前提或無結論的論證

但是我們有時候會遇到這樣的一個論證 什麼樣的論證呢 就是 它沒有前提 或者沒有結論 ok 那這時候怎麼辦 就是 我們要列的時候會發現 我剛剛說把前提跟結論都列出來 但是呢 我們可能會發現 有些論證它其實可能沒有前提 或者是它沒有結論 那這時候怎麼辦呢 我們的做法是這樣 就是說 如果它是沒有前提或者沒有結論的話 我們在列的時候呢 我們要去設想 前提跟結論應該把它當成一個什麼樣的狀態 來處理 這是我們的想法 那我們有兩個範例來提供給各位同學看 第一個範例是 沒有前提 各位可以看到 我們這裡有一個結論對不對 這個結論是 P 則 Q 則 R 各位請注意括號 還是提醒各位同學注意括號 第二個是隻有前提而沒有結論的例子 是 P or negation P and Q 跟 negation Q 然後它沒有結論 這個情況當然會常出現啦 譬如說你如果問一個人 他的主張對不對 你為什麼主張這樣這樣這樣 他就跟你說 那你的理由是什麼 他說我沒有理由啊 我沒有理由啊 當他說我沒有理由的時候 其實就是在告訴你 他沒有任何的前提 ok 就是我的主張 其實是沒有任何這個理由的 好 那有時候我們會說 怎麼可以沒有理由呢 這個一定要有理由啊 表示什麼呢 表示你告訴他說 你這個只有主張的論證是一個無效論證 因為你不可以沒有理由 但是呢 有時候你會說 嗯 對 這個好像不需要理由 當你腦袋裡面發現說 對 這個主張或者這個結果 它是不需要理由的 當你有這樣的想法的時候 其實你就等於認同它是一個有效論證 什麼意思 就是它沒有前提 你也覺得它是一個有效論證 ok 所以我們其實 日常生活裡面的推論 其實對這個沒有前提的部分 其實會 也會經常遇到 因為如果他說 我這個主張或者我這個結果 就是沒有理由的 你可不可以認同 通常如果你會認同 就表示說 ok 它應該是一個有效論證 那如果不認同說 不行 你這個一定要有理由 那就表示說 這應該是一個無效論證 它在有效或者無效論證意思大概就是這樣 那在沒有結論的情況下又是什麼情況呢 這個其實我們已經講過 什麼樣的情況之下你會發現 這個沒有結論是一個有效論證呢 很簡單就是 如果你的前提是不一致 或者你的前提本身內部會產生矛盾的時候 其實我們就知道它可以推出任何結論 所以換言之 你如果告訴別人說 對啊 你最後的結論是什麼 沒有結論 怎麼可以沒有結論呢 你總要有一個結論 告訴我 你如果告訴別人說 這沒有結論啊 就是所有結論都可以 那所有結論都可以就表示說 你的前提一定會有不一致或者矛盾的部分 那通常我們如果發現 有人的前提是矛盾或者不一致的話 通常我們也不會再繼續追問 因為大概也沒有什麼意義 因為它可以推出任何的結論 所以 B 這個情況是很容易理解 就是它只有在一個情況之下 你會發現它是成立的 什麼情況呢 就是這些前提彼此是不一致 或者會導致矛盾的情況 那接下來我們來說明一下 怎麼樣來做這樣的一個題目呢 我們先來看 A 各位可以看得出來它沒有前提 所以在真值表列出來的時候 它並沒有任何的前提對不對 那在沒有任何前提的情況之下 各位想想看 當我們在設想一個論證是不是有效的時候 定義是說不可能出現前提皆真而結論為假 所以意思是什麼呢 意思是說 我們要確保它不會出現這種情況 那當你沒有前提的時候呢 我應該把前提當成真或者當成假呢 如果沒有前提的時候呢 基本上我們就會把前提全部當成真 所以各位可以看到 我在這裡寫一個很大的真 表示說你在設想前提的時候 你就直接把前提當真就好 假設它沒有前提的話 你就把這個前提都認為真 所以接下來的任務你要做什麼 就是要去檢查結論 那你要去檢查結論 那怎麼去檢查結論呢 我們先把結論做完 結論我們第一個應該要做 Q 則 R 因為它是有括號的 那 Q 則 R 是以 Q 作為前件 而 R 作為後件 那各位檢查一下有沒有前真後假的情況 有的在第二個情況跟第六個情況是 前真後假 所以各位會發現這兩個情況為假 那其他情況都沒有前真後假的情況 所以其他都為真 所以我們可以很快把 Q 則 R 完成 那接下來我們要來處理第一個 conditional 就是第一個箭頭 第一個箭頭呢 我們要用什麼當前件呢 我們要用 P 當前件 那用什麼當後件呢 要用 Q 則 R 剛剛運算出來的結果 這個藍色的部分當作後件 所以我們做出來之後 我們仔細觀察一下有沒有前真後假的情況呢 你會發現有 在第幾個情況 在第二個情況是前真後假 所以它是 assign 這個假 對不對 其他情況都為真 其他情況都為真 所以各位會發現 在這樣的情況之下呢 它有沒有出現前提皆真 結論為假的情況 有 因為 P 則 Q 則 R 是結論嘛 所以所謂前真後假的情況出現在哪裡 出現在第二個情況 所以第二個情況就顯示了 前提皆真結論為假的情況 那既然有前提皆真結論為假的情況 它應該就是一個什麼論證 它應該就是一個無效論證 所以我們可以確定它是一個無效論證 那無效論證呢 各位可以看到我在一樣 double term style 這個符號呢 地方我畫了一個斜線 我們用一條線把它畫掉 表示這個不成立 那這個不成立是什麼意思呢 其實按照我們上次的學習來講 在第四單元我們學過 其實這個成立只有在 一個情況之下它會成立 什麼情況下呢 當這個結論是 tautology 也就是它是恆真句的時候 這個語意的蘊涵關係才會成立 所以這個其實就很明顯告訴我們什麼呢 很明顯告訴我們說 P 則 Q 則 R 這個語句並不是一個恆真句 這個句子並不是一個恆真句 那既然它是一個無效論證呢 我們不能說它是一個無效論證就結束了 當我們寫完它是一個無效論證之後 我們要寫什麼呢 對的 我們是要寫反例 那我們的反例是什麼 各位可以看到 我們剛剛說在第二個情況結構就是 P 為真 Q 為真 R 為假的情況 所以在這個可能情況 或者說在這個結構裡面 或者說在這個模型裡面呢 顯示出它會出現 前提皆真 結論為假的情況 那當然這個論證是沒有前提的嘛 所以你也可以直接說 在這個論證裡面顯示這個結論為假 那隻要顯示結論為假 在沒有前提的情況之下 只要這個結論有為假的情況 就表示它不是一個效論證 各位也可以這樣來回答它 接下來我們來看 B B 是隻有前提而沒有結論的情況 那各位發現我們從這個表列出來之後 我們就知道 我再重複一下剛剛我們的想法 既然我們的定義 我們對有效論證的定義是 不可能出現前提皆真 而結論為假的情況 所以呢 我們剛剛在 考慮沒有前提的情況之下的時候 我們是把前提都當作真的 那現在我們是在沒有結論的情況之下 那怎麼辦呢 很簡單 我們就把結論當成 全部都為假的情況 所以各位可以看到 我在這個結論的部分 畫了一個大大的假 就是說我們在 無論在任何情況下 我們就把這個結論當成是假的 所以現在關鍵點在哪裡 關鍵點在於說 如果現在出現前提皆真的情況 那就有前提皆真結論為假囉 所以這個時候它就是一個無效論證 所以呢 我們就開始來把這個前提完成 那這個前提呢 第一個語句我們當然是從 negation P 開始 各位從 negation P 開始可以發現 它是假假真真 這個應該沒有問題 那接下來我們要處理這個 or or 的語意是什麼 就只有在 兩個都為假的時候為假 其他為真 那各位可以去看一下 有沒有兩個都為假的情況呢 各位發現 都沒有兩個都為假的情況對不對 所以呢 在這個地方 or 的部分呢 它是真真真真 就全部都為真 那接下來我要處理這個 and and 的語意是 只有在兩個都為真的情況之下它才為真 那這個有沒有在兩個情況下都為真呢 有 我們用這個藍色的跟 Q 來做運算 什麼情況是兩個都為真呢 只要在第一個情況 跟第三個情況是兩個都為真 那其他呢 沒有兩個都為真 所以它是真假真假 那接下來我們再來處理第二個前提 negation Q 的部分 negation Q 的部分呢 我們是根據 Q 來做運算 所以 Q 是真假真假 所以這裡應該是假真假真 那各位會發現一件事 發現什麼事呢 我們看這樣的一個前提呢 最後的結果是 紅色的部分就是它語句所得到的真假值的結果 那這兩個語句的真假值得到的結果 各位會發現 有沒有兩個都為真的情況呢 沒有 你找不到兩個前提都為真的情況 意味著什麼呢 意味著你找不到 前提皆真 結論為假的情況 那既然你都找不到前提皆真 結論為假的情況 表示什麼意思 表示它是一個有效論證 所以我們最後的結果就會發現說 它其實是一個有效論證 為什麼 因為 你找不到前提皆真結論為假的情況 這個就是真值表法的運算的方式 就是各位看到 它其實就是很簡單 你只要把所有的情況都列出來 語句列出來 然後一個一個根據外延遠者把它 計算完畢之後呢 再根據最後得到的結果 你就可以去決定它是一個有效論證 或者是無效論證