【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P24 - 26. 3.3.1 作用在曲面上的力

前面我們討論了流體靜壓牆作用在固壁上的力 那麼前面的討論的是作用在平面上的力 那麼下邊的我們來看靜止流體作用在曲面上的力 那麼這個呢 大家看右邊這個圖 這個圖呢 我們在這兒假設在水裏面有這麼一個彎曲的面 假設有這麼一個彎曲的面 那麼把它放在靜止的流體裏面 那麼靜止流體對這個曲面會有一個作用力 那麼這個力有多大呢 那麼我們下邊來討論第一個問題 曲面上的液體總壓力 那麼假設曲面AB 它的母線是垂直於圖面的 那麼曲面的面積爲A 我們再把座標定一下 假設座標橫向是X 那麼向下是Z 那麼這時候呢 我們來看在曲面上任意一點有一個小面積A 那麼在這一點處作用着一個壓牆P 那麼按照前頭我們講的 這個壓牆是垂直指向作用面的 那麼這個壓牆的大小等於若際h 那麼一般性的討論比較麻煩 因此一般來說 我們要把這個力給它進行投影 壓牆乘以小面積就是作用力 那麼我們把這個作用力沿着X軸方向投影 沿着Z軸方向投影 那麼這樣呢 我們看沿着X方向的壓牆就變成壓牆的投影 就變成P乘以cosα 那麼沿着Z方向的投影就是P乘以sinα 那麼因此作用在底A小微圓面積上的力 我們把它叫做底PX 那麼它就等於沿着X方向的投影 也就是說壓牆乘以面積壓牆乘以底A 這是合力 那麼這個力呢 就是沿着X方向的投影 那麼壓牆乘以小面積 再乘以sinα 就是這個力沿着Y方向的投影 對吧 那麼剩下來呢 我們就是對這兩個力進行積分 那麼水平方向的分力 我們來看水平方向的分力呢 底PX等於P乘以cosα 底A 這是我們剛纔得到的 然後壓牆呢 等於若際H帶進來 那麼就是再乘以cosα 底A 那麼底A乘以cosα是什麼呢 我們來看 那麼這個小面積底A乘以cosα 是不是就是這個面積 在垂直於X軸的平面上的投影呢 對吧 那麼我們把這個投影叫做底AX 那麼也就是說這個就是底A 在垂直於X的平面上的投影大小 那麼就是底A乘以cosα 叫做底AX 然後呢 我們對這個進行積分 那麼對這個進行積分呢 我們就得到PX 那麼等於若際H乘以底AX 那麼看到這個式子呢 大家是不是覺得比較熟悉啊 是不是比覺得比較熟悉啊 那麼在這裏邊呢 大家看這個H就是作用點 對於距離OX軸的距離 對吧 就是這個距離 那麼因此呢 因此呢 我們來看這個是不是就是作用在AX平面上的合理 對吧 就是作用在AX平面上的合理 那麼因此呢 我們又得到PX等於若際HC乘以AX 這是我們前頭得過的結論 得到過的結論 那麼這個若際HCAX 若際HC呢 就是行心處的壓強 再乘以面積 對吧 那麼這樣呢 我們就得到得到水平方向的分離 那水平方向的分離 那麼他應該等於是面積在垂直於X軸的平面上的投影AX 在這個AX上 他行心處的壓強乘以這個面積 乘以這個面積 那麼這個呢 是一個很好的結論 對吧 那麼下邊呢 我們來看作用在曲面上合理 沿X軸分離PX 那麼他的計算方法怎麼樣呢 怎麼算呢 那麼這個怎麼算呢 我們第一步把這個曲面A在垂直於X軸的平面上投影 那麼得到投影的面積AX 那麼這是第一個 那麼第二個呢 我們在這個投影面AX投影面的行心處有他的壓強PC 然後行心處的壓強乘以這個投影面積 那麼我們就得到PX 那麼PX等於PC乘以AX 那麼這個呢 就是作用在曲面上的力 沿着X軸方向的分離大小 是這樣來做 對吧 那麼下邊呢 我們再看垂直方向的分離 那麼垂直方向的分離呢 剛纔我們討論到 抵PZ等於P乘以sinα抵A 就是說P乘以抵A是那個力 然後呢 再乘以sinα就是在Z軸的分量 對吧 然後P等於RhoGH 乘以sinα抵A 對吧 那麼抵A乘以sinα又是什麼呢 抵A乘以sinα 就是面積在垂直於Z軸的平面上的投影 那麼我們把這個呢 叫做抵AZ 那麼這樣的 我們對這個再進行積分 再進行積分 那麼這個積分呢 積出來呢 是PZ等於RhoG RhoG是常數啊 那麼H抵AZ 對這個積分 對吧 那麼H抵AZ到底是什麼 那麼H抵AZ 我們看這是一個高度乘以一個面積 那麼高度乘以小微圓面積是一個小柱體 那麼在整個面積上積分 這個積出來是一個體積 我們把這個體積叫做VP 那麼這個VP呢 我們把它叫做什麼呢 叫做壓力體 那麼在這呢 大家看右邊這個圖 那麼這個圖呢 我們看這是那個曲面AB 這是那個曲面 那麼這個曲面上任意一點呢 距離自由頁面的高度是H 距離頁面的高度是H 那麼這個曲面呢 在垂直Z軸的平面上的投影就是AZ 這個長度就是AZ 那麼因此壓力體積分 就是這個高度乘以一個小 抵AZ嘛 小面積 高度乘以小面積再積出來 相加 那麼得到的這一部分就是壓力體 那麼如果這個壓力體知道了以後 那麼靜止液體 對曲面的作用力 在Z軸方向的分力 PZ就等於邏輯乘以壓力體 就邏輯乘以壓力體 那麼因此呢 我們這兒就得到PZ等於邏輯VP 就得到這個 那麼這樣呢 我們會發現 靜止液體作用在曲面上的力 分X方向的分力 含一個YZ方向的分力 PZ 那麼PX呢 就等於投影面積 行星處的壓強乘以投影面積 那麼垂直方向的力呢 就是壓力體 就是壓力體的大小 那麼乘以邏輯 壓力體的大小的乘以邏輯是什麼 實際上就是這壓力體裏邊液體的重量 對吧 那麼我們就得到這樣一個結論 那麼這兒呢 大家要注意 壓力體是曲面到自由液麪 自由液麪就延伸面也可以 那麼之間垂直 嵌垂 曲底柱體的體積 大家注意是這一塊體積 對吧 那麼這個呢 大家要特別注意 那麼這裏邊呢 作用在液體作用在曲面上的總壓力的合力 既然有px 有pz 那麼合力呢 就應該是p等於√px²加pz² 對吧 那麼這個作用線 就是總壓力的作用線 那麼作用線與平面之間的夾角α 怎麼樣呢 那麼這個α呢 大家看 這個長就是px 這個就是pz 因此這個夾角 tan2等於pz除以px 那麼這個夾角就是α