動力學_林柏廷_剛體平面運動力學：力與加速度(1)_慣性矩(3)

各位同學大家好,又到了鋼體平面運動學當中,針對慣性矩部分的介紹。 先前我們已經介紹過了慣性矩的一個基本定義,並且針對不同的幾何我們來計算一個鋼體針對某一個旋轉軸方面的慣性矩。 今天我們要介紹一個很重要的定理,在慣性矩的分析上是非常常被使用的。 這個定理稱之為平行軸定理,平行軸定理的目的是什麼呢?我們來介紹一下。 一個鋼體,倘若它在自體旋轉的時候,它都是針對本身自己通過直心的一個旋轉軸在做旋轉。 因此呢,在過去的介紹,我們可以針對這個鋼體的直心,還有通過直心的某一個方向,這個旋轉中心軸的一個方向上,進行針對這個軸的慣性矩計算。 但是呢,在現實生活中,任何的鋼體,它有可能繞著並非通過直心的一個軸來做旋轉。 那針對這個並非通過直心的旋轉軸之旋轉,這個鋼體也會有針對這個軸的慣性矩。 今天呢,我們就要介紹平行軸定理,可以協助我們很快地就可以將這個鋼體針對任意軸的慣性矩之計算。 所以為了要完成這樣的計算呢,我們要進行一些幾何上的一些說明。 那我們在這邊看到,這個鋼體呢,有一個座標系叫x'y'z',我們就假設呢,這個x'y'z'的這個原點呢,就是這個鋼體的直心。 好,那在這個鋼體外部有一個A點,我們就假設這個鋼體現在要繞著我們的A點做旋轉。 所以在過去慣性矩的介紹當中,並未說明這個鋼體對外部的一個點或是軸旋轉的時候,這個慣性矩要如何計算。 那今天我們就來說明一下。 在這邊呢,我們利用一些幾何關係,我可以得到這個直心到A點的距離叫做小d。 那至於呢,這個A點到我們的鋼體中的一個任意小質量dm呢,可以繪製成一個直角三角形。 那我們就說這個直角三角形的斜邊半徑是r,紅色的r。 那利用畢氏定理呢,我們得到r平方會是底下的這個橫向的這個邊長是小d加上x'這個和的平方。 再加上這個dm到x軸的高度y'的平方,所以我得到一個r'等於d加x'括號平,加上y'的一個關係。 那根據我們這個鋼體的對直心方向上,直心上的一個慣性矩計算,我們知道I是r平方dm做積分。 那這邊呢,r平方呢,我們就可以做一個修改,因為我們現在想要了解的這個旋轉軸已經是換為A點了。 所以我們利用剛剛推導的r平方的一個函數關係代入之後,最後我們得到了三個不同的項。 其中的第一項呢,是一個x'平加y'平乘上dm的一個積分。 第二項呢,是x'dm的積分,其中有一個2d的倍數,我們是常數就把它提到我們的積分符號外面。 而第三項呢,則是dm積分乘上d平方。 所以接下來我們要針對這三個不同的項來做一些探討。 針對我們剛剛得到的積分三個項次當中,我們先探討一下第二項。 這個第二項呢,是一個x'dm的積分。 那這樣的積分呢,代表了什麼意思呢? 也就是這個微小的質量dm乘上它到了這個旋轉軸x'y'z'的一個半徑。 然後呢,這個基本上是一個力矩的計算。 好,那在這邊做這樣的力矩的計算呢,我們可以得到其實它是一個總體的質量 乘上一個總體的半徑,也就是一個力矩的計算。 那由於呢,我們是通過這個旋轉軸,所以這個平均的這個半徑呢,應該要為0。 所以因此我們得到第二項的x'dm這個積分呢,是0。 好,緊接著呢,我們就回頭來看這個積分的三個項當中,第一項跟第三項。 第一項呢,裡面有一個x''加y''. 根據我們的圖中可以看到,其實它就是綠色的r''. 那r''乘上dm呢,其實就是這個鋼體對原本質心的慣性,所以也就是Ig。 那至於第三項呢,是d'乘上dm的積分。 而dm的積分呢,就是總體的質量m。 所以為什麼我們在慣性矩的計算當中呢,常常會需要算一個鋼體對自體質心的慣性矩。 此外呢,還要計算這個鋼體本身的質量。 就是因為如果我們想要知道一個鋼體針對任意軸做旋轉的時候, 它的慣性矩其實是Ig加上md'。 Ig就是這個鋼體本身對質心的慣性矩。 m是它的質量,d則是這個鋼體的質心到這個外部旋轉軸的距離。 所以從今以後,我們就可以利用這個平行軸定理來計算一個鋼體, 針對任意軸它的一個旋轉方面的慣性矩。 那我們再回顧一下,I就是Ig加上md'。 那這邊要特別注意的一個點,Ig在這呢,我們的計算是通過某一個特定的軸,比方說y軸。 而我們在這邊做計算的I呢,就是將這個y軸平行的移動到A點, 然後繞著,通過A點繞著與y平行的這個旋轉軸來做計算。 倘若我對於通過A點,但是是通過z軸,跟z軸平行方向的這個方面的旋轉的慣性矩有興趣的話, 則我的Ig就是用Iz來做計算。所以各位同學在這邊要特別注意, 我們到底是用Iy還是Iz平行移動到A點,這個方面是要特別注意的。 好,那在這個鋼體的旋轉部分呢,有一個物理量也是一個我們很有興趣的, 也就是所謂的旋轉半徑。那旋轉半徑的定義呢,是將一個物體針對某一個特定的軸旋轉的慣性矩I, 我們定義它為mk平方,而其中的k呢,也就是所謂的旋轉半徑。 那旋轉半徑呢,它的幾何性質呢,單位就是長度。 然後我們已知這個鋼體的質量,所以我們可以利用慣性矩除上質量再開根號, 我們就可以求得這個所謂的旋轉半徑。那我們以一個溜冰選手來思考, 如果這個溜冰選手呢,他的這個旋轉方面的這個慣性矩很大I, 慣性矩很大的時候,那我們的旋轉半徑就會跟著變大,k會變大。 或是說如果這個某一個選手,他的質量比較輕,一個體重比較輕的選手, 那他的旋轉半徑也會變大。所以從這邊我們可以看到一個鋼體它針對任意軸在做旋轉的運動的時候, 其實跟兩件事情是最相關的,也就是這個鋼體它本身的旋轉的慣性矩, 以及這個鋼體本身的質量。從今天的這個介紹呢,我們就瞭解了原來一個物體它的旋轉半徑, 跟這兩個物理量有關,那我們未來在做任何分析的時候,我們就會比較有感覺。 那如果今天呢,有很多個鋼體一起在進行某些旋轉的移動, 這些慣性矩以及這個質量呢,都是可以相加的,或者是相減。 所以常常在這個慣性矩的計算上,如果我有一個幾何中間挖了一個洞, 我可以利用這個還沒挖洞的幾何的慣性矩先做一個計算,再將這個洞的慣性矩也算出來, 然後將總體的這個體積的慣性矩減掉這個洞的慣性矩,我就可以得到這樣子的布林幾何最後的慣性矩。 所以這個慣性矩的計算呢,也是可以相加減的。 那各位同學可以再多找一些參考資料,針對這方面做一些練習。 今天呢,我們又完成了慣性矩方面的介紹,我們針對了這個慣性矩,針對不同的任意軸, 這個鋼體的慣性矩的計算做了介紹,也介紹了這個在針對不同軸旋轉的時候,它的迴轉半徑的分析方式。 同學要加緊練習,我們下次再見。