【麻省理工】公開課《微分方程》 P14 - 14. 傅里葉級數簡介

現在 我們開始吧 今天的主題是 對不起 謝謝 今天和接下來兩節課 我 們將學習傅立葉級數 今 天將會是介紹 說明它們是什麼以及如何計算它們 但在我認為 在我們這麼做之前 我認為至少應該花幾分鐘時間來說明為什麼會這樣 以及我們 將帶他們去哪裡 他們為什麼會來 這個地方的課程一點都不適合 因此 到目前為止的情況是 我們一直在嘗試解形如 y 的二階導數加上 a 倍的 y 的一階導數的方程式 常數係數、二階方程式、 以及t的f是輸入 因此 我們 正在考慮非齊次 方程式 這是輸入 那麼 解是否等同於對應的解 y 對 t 可能需要一些給定的初始條件來給出一個 特定的 挑出一個特殊的 我們稱之為回應 對 那個特定輸入的回應 而最近幾天 這些輸入卻異常特別 輸入的基礎已經呈指數成長 或者正弦和餘弦 問題在 於你知道 我們已經學會如何解這些問題 但重點是 你看 這些看起來非常複雜 特別的 現在 傅立葉級數的重點在 於讓你明白它們並不像看起來那麼特別 原因是這樣 簡單來說 任何合理的週期性 f(t) 它不一定要非常合理 它可以有些不連續 雖然不會太不連續 這是一種週期性的 也許不是最小週期 但某個週期是二π 當然 正弦t與餘弦t有精確的週期 二π 但如果我改變頻率 將其轉換為整數頻率 例如正弦 2t 或正弦 26t 兩π仍會是週期 雖然它不會是 最小週期 週期會更短 重點在於 這種東西總是可以被表示為正弦 和餘弦的無限級數 因此 它看起來會是這樣 你必須先提出一個常數項然後 剩下的部分 如果不用 求和符號的話 寫起來會很長 因此 我會這樣做 也就是從n 等於一到無限大的總和n 的整數值 換句話說 就是正弦和餘弦的總和 通常會先寫餘弦 而且 頻率中 n 表示頻率 的東西 而 bn 則是正弦 nt 現在 為何這樣能解決輸入的問題 一般輸入用於週期函數 至 少當週期是 2π 或是 2 的某個倍數 或是它的某個分數時 好吧 你可以這樣想 我來做個小表格 讓我們把輸入放在這裡 這裡我將提出回應 好的 假設輸入是函數正弦 nt 好吧 這將會是某種情況 換句話說 如果你只是 解決了這個問題 你會知 道如何在這裡放一個正弦波 你清楚如何找到解答 尋找一個特解 也就是說 實際上 你是透過將 這個轉換成複數指數 然後 好吧 我們一直在經歷的這些過程 那麼 我們給這個回應取個名字吧 我們叫它 y 我最好用 n 來做索引 因為這當然是一種針對此特定週期 函數的回應 所以是 n of t 而且 如果輸入是餘弦函數 它也會有回應 yn 現在我真的不能用同一個名字來稱呼它們 所以我們在這裡放一個s 來表示這是正弦的回應 這裡我們放一個c 來表示餘弦的回應 你輸入的是餘弦函數 你得到的是這個函數 現在 順便說明一下 請注意如果 n 為零的話 這將會處理常數項 也是 換句話說 之所以會有 常數項出現在前面是因為它對應 於餘弦函數在零點的值 也就是一 現在 假設我輸入的是餘弦函數 你所要做的就是將答案乘以 a n 在這裡也是一樣 將輸入乘以 b n 你會得到多個解 這是因為這個方程式是線性方程式 那麼 我接下來要 怎麼做呢 我會把它們加起來 如果 我把它們加起來的話 就會得到一個解 不同的n值 並考慮到對應於這個首 項常數項的n等於零 所有這些的總和 根據我的傅立葉公式 將會是 f(t) 這總和以及相應的回應是多少 嗯 那將是總和的a 嗯 CT 加上BN 是正弦函數的反函數 這將是從一加到無限大的總和 這裡會有一些常數項 我們就稱它為 c1 換句話說 如果這個輸 入產生那個回應 這些是我們可以計算的東西 我們根據傅立葉公式 得以計算出原本無法計算 的週期函數 即週期為2π 的任何週期函數 這個過程是 你有一個週期為 2π 的週期函數 找出它的傅立葉級數 我 今天會展示給你看該怎麼做 找出它的傅立葉級數 然後對 f( t)、一般 f(t) 的回應將是 這個無限函數級數 其中 y 這些東西 是你已經知道如何處理的東西 計算它們是正弦和餘弦的回應 你只需將這些係數相加那麼 為甚麼這樣做有效呢 這是因為疊加原理的緣故 所以 這是正確的 我之所以 能夠進行加法和乘以常數的操作 是因為我使用了疊加原理 如果這個輸入產生那個結果 回應的總和等於各個輸 入總和的對應回應 那麼 這是為什麼呢 為什麼我可以使用疊加原理呢 因為微分方程是線性的 這沒關係 這就是所 有這些能夠成立的原因 現在 我們要做的是 今天我將告訴你如何計算這些傅立葉級數 我將無法用它來實際解任何微分 方程式 這將花費我們相當長的時間 從頭到尾展示如何計算傅立葉級數 好吧 我這週一要解微分方程式 錯了 我可能連那個都還沒開始計算呢 因為計算過程會很複雜 傅立葉級數需要做足夠多的功課 你真的需要知道所有可 能的技巧和捷徑 幸好 這些技巧並不是非常聰明的辦法 它們只是明顯的事實 但要花費一段時間才能將這些在 我看來明顯的事實指出來 或許在你眼中並不明顯 最後 第三天 我們將解微分方程 我實際上將執行這個程式 但我們從中主要得到 的是另一種共振的觀點 因為我們感興趣的是挑出這些詞語中可 能產生共鳴的 進而 引發非常狂熱的反應 回應中的一些詞語突然產生 比你原本認為的更大的振幅 這是因為它在挑選傅立葉轉換中的共鳴詞語 一系列的輸入 好吧 那是一個很大的問題 讓我們開始學習微積分 今天節目的內容是 計算傅立葉級數 給定 f(t) 週期為 2π 找出其傅立葉級數 換句話說 我如何計算 這些係數 a n 和bn 答案並不是立馬明顯的 這實在非常驚人 我認為這實在是相當了不起的 這是高等數學的基本內容之一 而它所依賴的是某些被稱為的 正交性關係 所以 這裡就 是你必須學習這些事物的地方 好吧 我想先給一個大致的定義 而不是馬 上進入細節 所以 我 要打電話給多倫多大學 我認為我會使用 因為傅立葉分析 通常是在變數為時間的情況下應用的 我認為我會一直使用獨立變數t 如果我記得的話 不管怎樣所以 這些是兩個連續的 或 者說不太不連續的函數 負的π 讓它們成為週期性的 假設2π是一個週期 因此 函數 例如 像那些函數一樣 正弦函數 t、正弦函數 nt、正弦 函數22t 等等 說 2π 是一個週期 好吧 我想要它們整個實 數軸上都成立 而不是那裡 針對所有實數定義 然後 我說它們是正交的 垂直 但沒有人說垂直 正交是這個詞 在區間 -π到 π 上正交 如果積分 因此 這兩個函數 如果從負pi到pi的u(t )與v(t)的乘積積分為零 那稱為負π到π之間的正交性條件 現在 你知道 嗯 這只是一個定義 我很樂意進一步深入探討 現在 讓我們來看看這個定義真正 代表的意義 以及為何會使用「正 交」這個詞 因為它確實與兩個向 量在您所指的意義上是正交的有關 它是在1802年學會的 我現在得先把這件事擱 置一邊 而我是否能處理它則取決於我說話的速度 但是 你可能比較希望我說得慢一點 所以我們來妥協吧 不管怎樣 這就是條件 現在 我要說的是傅立葉 那個藍色的傅立葉級數 找 出係數 a n 和 bn 所依賴的是這個定理 即如果我觀察這個函數的集合 對於任何整數 n 的函數 正弦 n t 當然 我可以假設 n 是一個正整數 因為負 n t 的 正弦值與正 n t 的正弦值相同 和 t 還有 餘弦 m 和 t 讓我們換一種方式 這樣我就不希望你認為 它們是完全相同的整數 因此 這是一個隨著 n 從一開始到無限 大的函數集合 這裡 我可以讓 m 跑到 m 可以從零到無限 因 為餘弦為零的值有某種意義 這是一個常數 即一 任何兩個不同的一 兩個不同的東西 你知道怎麼可能兩個東西不一樣呢 嗯 你知道 你談的是兩個重合的 根 我只是隨便說說 過度的 這些之中任何兩個不同的 這個集合中的兩個不同的成員 我不知道 沒辦法說那樣的話 在這個區間內 任何兩個不同的都是正交的 當然 它們都有週期 二π是它們所有人的週期 因此 它們形成我所說的這個一般類別 但是 任何兩個不同的類別在 從負π到π的區間上都是正交的 所以 如果我從負 π到π sin3t乘cos4t dt 答案是零 如果我積分sin3t乘以 正弦60t的值為零 兩個餘弦函數也是一樣 或者是一個正弦函數和一個餘弦函數 唯一不會得到零的情況是當你進行積分時 如果兩個函數相同的話 你怎麼知道當 兩個函數相同時不會得到零這個答案呢 如果這兩個函數相同 那麼我正在 積分一個平方 一個平方永遠是正的 我正在積分 u 的平方 一個平方永遠是正的 因此我無法得到答案零 但是 在其他情況下 我可能會得到答案零 而這個定理就是你總是這樣做 好的 那麼 這是為什麼呢 好吧 我問你 有三種方法可以證明這個就像數學中許多基本事實一樣 有不同的做法 順便一提 除了這個定理之外 我可能應該也包括進去 因為我 們之後會用到它 所以即使我在遠方 你還是應該把它包括進去 如果使用相同的函數會發生什麼情況 如果我讓u等於v 在這種情況下 如我所指出的 你不會得到 答案是零 但是 你得到的實際上是 也就是說 我只是在問 n t 的平方的正弦值是多少 那是在其中兩個相同的情況下 我使用相同的函數 那是什麼 好吧 答案是 它和你將會得到的一樣 如果將餘弦平方進行積分 結果為 π 這是你所知道的 從 18.01 開始 或等同於此 者你可以將正弦平方整合 這是你要做的其中一件事 學習任何考試中關於積分方法的內容 無論如何 我就不計算這個了 答案是π 好的 現在 證明的方法是 你可以使用三角函數恆等式 而且 我在其中一個早 期的問題中提到了身分 正弦與餘弦乘積的恆等式 以一種容易進行積分的形式來表達 你可以那樣來證明它 或者 你可以使用 如果遺忘了三角函數公式 並想再做些練習 可以 使用複數指數 因此 在 同一個問題的另一部分中 我要求你做其中一件事 不論如何 使用複數指數 現在 我要使用一種神秘的第三種方法 另一種方式 我要使用微分方程式 而且 我會這麼做 因為這是這個方法 這不只是正弦和餘弦 它們是正交的 那裡有大量正交函數 而且 它被發現的方式 以 及你如何證明它們是正交的 並不是透過三角恆等式和複數指數 因為那些只適用於 正弦和餘弦 相反地 我們 是透過回溯它們所解決的微 分方程式來進行的 因此這就是我將在此使用的方法 因為這是可以推廣到其他許多微分方程的方法 而不僅僅是正 弦和餘弦函數所滿足的簡單方程不過 不管怎樣 這就是方法 證明這些正交性條件的方式所以 我不會那樣做 所以我會假設 m 它與 n 不同 因此我並不在這兩種情況中 取決於的是 這些函數所 遵循的微分方程式是什麼 滿足嗎 好吧 這是一種不同 的微分方程 取決於 n的值 但它們看起來基本上是一樣的 這些符合微分方程 換句話說 他們的共同之處在於 微分方程式是 y 我們 稱之為 u 這樣看起來更好 如果這樣的話會看起來更好 你讓我想稱它為 u u 的二階導數加上 而是 n 的平方 因此 函數 sine nt cosine nt 滿足 u 的二階導數 加上 n 平方乘以u 換句話說 頻率是n因此 這裡就是頻 率的平方 等於零 換句話說 這些函數的共同點在 於它們都滿足一個看起來像這樣 的微分方程 而唯一允許變化的 就是頻率 這允許的頻率是…… 變數 而頻率則是這個 變數 u 的係數 現在 值得注意的是 這就是你需要知道的全部 他們符合這個 微分方程 這就是你需要 知道的全部來證明正交關係 好的 我們來試試看 嗯 我需要一些符號 所以 我將讓 un 和 vm 代表任何兩個函數 換句話說 我將假設 m 與n 是不同的 例如 這個可 以是 sine nt 那個可以是 sine of mt 或者這可能是正弦函數 而那可能是餘弦函數 你大概明白了吧 任何兩個這樣的函數 下標表示其中的n或m的值 那就是說 任何兩個 我指的是真的兩個 不同的 嗯 如果我說 m 不等於 n 那麼它們絕對必須是不同的 因此 再次強調 這對我來說實在是多此一舉 而且 我要計算的是 首先 從這個方程式 我會這樣寫這個方程式 它表示 u 的二階導數等於負的 n 平方乘以 u 這對這些中的任何一個都是正確的 当然 這裡它會是 v 的二階導數等於負的 m 平方乘以 v 你必須做出這些簡單 的調整 現在 我們要計算的是從負pi 到 pi 積分的 u 双 prime 乘以 v m dt 現在 請你耐心聽我說完 為什麼我要那樣做 我無法解釋我為什麼要 那樣做 但五分鐘後你就不會問我這個問題了 現在的重點是 這是非常不對稱的 u 被微分了兩次 v 則沒有所以 這兩個函數 但有一種方法可以 將它們轉換為一個表達式 這看起來非常 對稱的 它們是相同的 做這一點的方法是 我想去除這 裡的一個質數 並在這裡放一個 要達到這個目的 如果你 想要將其中一個整合進來 並區分另一個使其看起來相同 這稱為分部積分法 你在18 01中學到的最重要的理論方法 即使你當時 並不知道那是最重要的理論方法 好的 我們現在要使用它 作為傅立葉級數的基礎 因此 我將使用分部積分法首先 當你使用分部積分法時 你只需要進行積分 你不需要進行微分 所以 第一件事看起來是這樣 在負的π和π之間進行評估 我正在進行分部積分 在極限之間 減去同時進行後得到的結果 你同時進行整合與差異化 而且 再次在極限之間進行評估 現在 我只會隨便說說過這關 這是一無所有 我不在乎你選了哪個聯合國組織 和哪個虛擬機器 這裡的答案永遠都是零 与其浪費六塊板試圖寫出 論點 讓我用手比劃一下 例如 如果 V 是正弦函數 即正弦 mt 當然會是零 因為正弦在 時會消失 正負π 如果聯合國是餘弦函數 微分之後就變成了正 弦函數 因此 現在它成為了一個在兩端都為零的函數 因此 我們唯一可能產生 一點疑問的情況是 如果這 是一個餘弦函數 微分後仍然是餘弦函數 換句話說 它看起來像是餘弦 之後是 餘弦nt乘以餘弦mt 但我 認為這結果是零 也是這樣 為什麼 因為餘弦是偶函數 因此它們在兩端具有相同的值 因此 如果我減去在π處的值 再減去在 負π處的值 我得到零 因為兩端的值相同 因此 根據這個完全有說 服力的論證 不管我這裡有 什麼正弦和餘弦的組合 那個部分的答桉永遠都是零 因此 透過計算 但 思考計算 寫下任何東西只是浪費時間 你盯著它直到你同意它確實如此 現在 透過這種整合方式 我將這個高度不對稱 的表達式轉換成了U和V具有某種關係的表達式 被一視同仁 好吧 這很好 這真不錯 但是為什麼 我為什麼要這麼麻煩 好了 現在我們將利用這個事實 這符合 微分方程 換句話說U 的二階導數等於負的 我對不起 我應該為這個加上下標 如果這是解決方法 那麼這就等同於乘法 必須在下方加上下標否則結尾就不重要了 好的 我現在要來對這個表 達式進行不同的評估 Un雙撇 V m dt 等於 嗯 U n 雙撇 因為它滿足微分方程 等於那個 那麼這是什麼 這是負的 n 平方乘以從負 π 積分到 正的 π 我用負的 n 平方乘以 U n 來取代 U n 我把負的 n 平方提了出來 所以這裡是 U n 另一個因素是 V m dt 現在 這就是證據 你什麼意思 那是證據 好吧 我先說說看 直覺上來說 那是論點的結尾 然後 我會更詳細地說明 但是 你提供的細節越多 就會越複雜 這越是複雜而非簡單 看 我只是告訴你這在U和V之間是對稱的 按摩一下之後 這裡 我用不同的方式來計算 U 和 V 是否具有對稱性 嗯 答案是對或錯 U 和 V 是否具有對稱性 錯 為什麼 因為「n」的關係 這個「n」傾向於「U」 我們有被稱為矛盾的現象 這件事在U和V上是對稱的 因為我可以證明它 而且 它在U和V上不是對稱的 因為我可以證明它 我可以證明它不是對稱的 因為它傾向於 n 現在 那個矛盾只有一種可能的解決方式 兩者都會對稱 如果什麼 負的π 好吧 讓我寫下來 好的 不管了 你瞧 這唯一可能 發生的情況就是這個表達式等於零 換句話說 某樣東西要同時具有對稱與非對稱的性質 唯一可 能就是它一直為零 而我們正試 圖證明的 就是這個值確實為零 但是 不如這樣做 讓我來告訴你 這等於那個 因此 根據歐幾里得 兩個等於同一事物的東西 事物彼此相等 因此這等於那 而這又因此等於我原本會得到的 我只是說對稱性而已 我原本會得到的不同結果 實際上等於負的 m 平 方乘以從負 π 積分到 π 的 unvm dt 因此 這兩個是相等的 因為 它們都等於這個 這個等於那個那麼 除非積分為零 否則 這怎麼可能等於那個呢 這樣如何 請記住 m 跟n 是不同的 因此 這證明了 因此 負pi到pi的unvm dt的積分等於零 至 少當m不等於n時是這樣 現在 有一種情況我沒有考慮到 我漏掉了哪一種情況 一乘以一不應該等於零 所以 這種情況我不需要擔心 但是 有一種情況我沒有 考慮到 例如 像nt的餘 弦乘以nt的正弦這樣的情況 在這裡 mn與…… 這並不是同一個函數 一個是餘弦函數 為甚麼會是零呢 你能用腦子看到那是零嗎 心裡 嗯 這是在試 圖成為另一種生命中 成為二πt的正弦值的一半 對吧 而且 顯然 2nt 的正弦函數的積 分在負π到π之間等於零 因為 你知道 因為你將它進行積分 結果為零 你將它積分成為餘弦函數 其在兩端的值相同 哦 這真是不少 說話 如果這個證明對你來說太抽象了 我不會要 求你在考試中重現它 你 可以使用三角恆等式來證明 或複數指數函數 但你至少應該知道其中一個 而你的作業問題 我要求 你稍微玩弄至少其中兩個 他們 好了 現在 這與我們 一開始提出的問題有什麼關係呢 問題在於解釋這個藍色序列因此 我們的問題是 從這個 藍色序列中我如何得到它的項 因此 給定 f(t) 2π 是一個週期 找出 a n 和 b n 好的 我們來專注於a n b n是一樣的 一旦你知道如何做其中一個 你應該知道如何處理其他事情 所以 這是這個想法 再說一次 這又回到你在所學到的某件事 18 02的開始 但我認為它並沒有成功 但是 也許你們中的一些人會認出它 那麼 我要做的是寫下來 這裡就是我們要找的術語 這裡 這個 好的 還有其他的 這是一個無限級數 它會永遠持 續下去 現在 來進行這個論證 我必須在這裡再加入一個項 所以 我要加入一個k乘以cosine kt 我並不是暗示k可能大於n 如果這樣的話 我應該在這裡寫下來 我也可以同樣使用 bk sine kt 在這裡 而我也可以把它放在那裡 你知道 這只是另一個術語 這是a 這是我們要的 而這是另一個術語 對吧 好的 現在你要做的是 要得到 a n 你要做的是 把所有東西都乘以 你專注於你想要的那一個 所以 是點、點、點、點 然後你乘以餘弦nt 所以 是ak餘弦kt乘以餘弦nt 當然 這也會被乘以同樣的倍數 但是 我們想要的也會被乘以 a n 當我乘以餘弦nt時 餘弦平方nt 那麼 我希望你能看到即將發生的 事情現在 我要做的是哦 我沒有將f(t)乘以 對不起 這是書中最老的把戲 我現在從負數開始整合所有東西 以避免無休止地重複複製 我 會用黃色粉筆把它們整合起來 而你只能靠自己了 這絕對是一種彩色 筆類型 當然對吧那麼 你想從負π積 分到π嗎 很好 只要把所有東西都積分 右邊的所有東西 從負π到正π 再加上這些其他因素 只是表示我並沒有 你知道 它們也存在 現在 會發生什麼事呢 這是什麼 零 每個項都是零 這是因為正交關係 它們都是某個常數乘以餘弦nt 再乘以某個與餘弦nt不同的東西 正弦kt、餘弦kt 甚至是那個常數項 其他所有項都為零 唯一存活下來的是這個項 那它的值是多少呢 從負π到π的餘 弦平方的積分 我之前曾經放在某處 就在這裡 下面 這是圓周率 因此 這個符號變成了 n 倍的圓周率 當 n 被拉長時 但餘弦函 數的平方的積分結果卻是圓周率 因此 最終得到的是一个關於 n 的公式 什麼是 n a n 是 嗯 a n 乘以 π 所有這些項都為零 只剩下這邊 的左邊 因此 a n 乘以 π 等於 函數 f(t) 與 cos(nt ) 在負 π 至 π 之間的積分 但是那是n乘以π 因此 如果我只要n 我必須除以π 這就是係數 a n 的公式 如果你想要 b n 論證是完全相同的 但為了完整性 我還是寫下來 正所謂 讓你有機會消化我所做的一切 你知道 給你三十秒時間消化 sine nt dt 因為論點是相同的 而正弦平方nt的積分也是π 所以在那裡沒有差異現在 只有一個小提醒 我必須稍微小心一點 這是由n1、n2等組成的 這也是n1、n2 不幸的是 常數項是一個小小的例外 我們最好特別注意這一點 因為如果你忘了 可能會導致 嚴重的錯誤 常數項呢 假設 我以簡化的形式重複這個論證 有一個常數項加上其他內容 一個典型的其他東西 例如餘弦函數 假設是這樣 我怎麼才能得到那個常數項呢 嗯 如果你把它想成某種常數乘以 之所以是常數 是因為它正在被乘以 cosine 0t 嗯 cosine 0t 等於一 所以 這表示我應該乘以一 也就是說 我應該做的是簡單地 將這個從 -π 積分到 π f(t)dt 答案是什麼 嗯 這個從 -π 積分到 π 是多少 這是 0 乘以 2π 對吧 其他所有項都等於零 每一個其他的項都是零 因為如果你在一個完整週期內對餘弦nt 或正弦nt進行積分 你總能得到 零 有相同面積在軸的上方或下方 或者你可以看看兩個特殊的情況 不管如何 你總是得到零 正弦函數也是一樣 所以 答案是 c0 等於 等於 有點特別 你不能只是把 n 等於零代入這裡 否則你會失去 一個二的因數 所以 c0 應該是 1 除以 2π 這個積分的次數 現在 世界上有兩種人 一種是 學習兩個不同的公式的人 另一種是只學習一個的人 兩種不同的符號 所以 大多數人會說 看 我想 要這個永遠是零的公式 這意味著 即使n是零時 我希望這是公式 那麼 你就無法得到正 確的首項 你得到的 將是c0的兩倍 因此 傅立葉級數的公式是這樣 所以不會這樣寫 如果你想要一個 a 零的話 就會這樣寫 以這個公式計算後 你必須寫出 不是c0 而是零除以二 我想你會最開心 如果我要給你建議 請記住 一個公式 針對 a n和b n 的情況 你必須記住首項係數是零除以二 如果你堅持使用那個公式 否則你就必須學習一個特 殊的公式用於首項係數 也就是用1除以2π而不是 一除以π 好吧 我真的會 在四分鐘內計算傅立葉級數嗎 不太可能 但我會勇敢地嘗試 不管怎樣 你將會進行一個 你書中有很多內容 而且書中有 很多例子 事實上 例子太多了 它把所有好的例子都給你算出來了 反而破壞了這些例子的價值 你想要我花三分鐘說明一個計算嗎 你知道的 這樣你下次上課時 就有東西可以做了 讓我們看看 所以 我會在黑板上寫幾件重點 我建議你坐好別動 不然的話 你會弄壞它 而且會花雙倍的時間 應該還是得去 儘管我知道你 為了做作業一直做到凌晨三點 振作點 我早上六點就起來 補做新的 這樣我們就扯平了 負的π 正的π這 裡是1 負的1 函數開始看起來像 這樣 現在 為了使其週期性 它必須繼續在 同樣的方式 因此 我想這已經足夠說 明它的人生歷程 以及它是如何運作的 這是一種典型的方波函數 有時也稱之為 這是一個奇特的函數 它 在軸的上下兩側對稱分佈現在 當你計算積分時 an 將會是 好的 看起來a n最後會變成零 而且 你只要稍微破解一下就能得到 這不會有什麼壞處 我更擔心的是你 會怎麼對待那些B N 另外 下週一 你會直覺地發現 a n 等於零 在這種情況下 你甚至不會費心去計算它 那麼 b n 呢 嗯 你瞧 因為這個函數不連續 所以這是我的輸入 我的 f(t) 是這個橘色 不連續函數 bn 將會是 我必須把它分成兩部分 在第一部分中 函數是負一 在那裡 我將從負數進行積分 函數的 π 到 π 積分 即負一 乘以 sine of n t d t 然後 還有另一部分 抱歉 從負π到0 另一部分 我從0到π積分的是什麼 好的 f(t) 現在等於正弦n t 的積分 現在 每一項都是 完美簡單的積分 問題只在於 你如何將它們結合 不管怎樣 這就是計算後會得到的結果 即一減去餘弦nπ 所有部分將是 將會是 1 減去餘弦 nπ 除以 n 同樣 因此 答案將是 2 減去 2 倍的餘弦 二乘以n乘以正弦n t d t 二減二乘以一減去餘弦nπ除以n 好的 現在這是什麼 如果 n 是奇數 這就是負一 如果 n 是偶數 則加一 現在 你可以這樣使用它 或者你可以將 它們合併為一個表達式 這是負一的n次方 它照顧了他們兩個 但 按照通常表達 答案的方式 如果是 偶數n 我會得到零 如果 n 是奇數 我得到二 所以 如果 n 是奇數 就乘以二 如果 n 是偶數 則為零 所以 是四除以 n 或者為零 而且 最後一組是那些係數乘以適當的餘 弦或正弦嗎 正弦項 因為餘弦項都是係數 所有結果都顯示為零 很抱歉我沒有機會 詳細計算 但我想這 已經足夠讓你進行估算 自己去想剩下的部分