【麻省理工】公開課《經典力學》 P11 - 11. 《十的力量》短片：介紹40個數量級的直觀概念

我們今天要討論的是阻力和曳力 當你將一個物體在介質中移動時 不管是氣體還是液體 它都會受到曳力的作用 這阻力取決於物體的形狀、大小、移動時所 經的介質以及物體的速 率 介質是顯而易見的 如果是在空氣中移動 你會感受到風從頭髮間吹過 這就是阻力 如果你在水中游泳 你也會感受到這種阻力 在油中 阻力會更大 這種阻力 這種反作用力 與我們之前討論的摩擦力非常不同 當兩個表面相對移動時 在那裡 動摩擦係數保持不變 與速度無關 考慮到阻力和阻力因素 它們與速度完全沒有關係 一般而言 阻力可以表示為速度的 k1倍加上速度平方的k2倍 且始終與速度向量方向相反 這裡的v代表速度 因此所有這些符號 k1、v與k2 以及明顯的v平方 它們都是正數 而k值取決於物體的形狀和大小 以及我所使用的介質種類 今天 我將專門討論球體 當我們處理球體時 我們將得到這個力的大小 使得這部分等於 c1 乘以 r 乘以速度 加上 c2 乘以 r 平方乘以 v 平方 而且 它總是與速度向量相反 c1 在我們的單位中是每秒公斤乘以米 而 c2 的單位是每立方公尺的公斤 我們稱這個為黏性項 而且我們稱之為壓力項 黏性項則與介質的黏稠度有關 如果以液體為例 水、油和瀝青之間的黏性差異 非常大 physicists 也將其稱為黏度 如果黏度很高 就會非常黏稠 那麼這個數值 c1 就會非常高 所以我們稱這個為黏性項 而這個則稱為壓力項 導電性C1與溫度有著強烈的關係 我們都知道 如果你將瀝青加熱 它的黏度就會降低 當它變冷時 會變得更加黏稠 c2 的值與溫度的關係不大 這裡的壓力項為什麼會有v平方 並不是那麼容易看出來 在課程後半段 當我們討論動量的傳遞時 我們會明白為什麼那裡會有v平方這個術語 但r平方卻非常容易看出 因為如果你有一個球體 而且有流體、氣 體或液體流到其上 則其截面積與半徑的平方成正比 而且很容易看出這個物 體所承受的力 我們稱之 為壓力項 與r平方成正比 所以這是很明顯的 兩種密度相同的液體會有…… 它們的c1值可能差異很大 可能相差十個數量級…… 不是十個 而是四到五個數量級 但是 如果它們的密度相同 那麼液體的c2就幾乎一樣 c2幾乎等同於液體的密度ρ不 完全一樣 但幾乎一樣 但是c2與密度之 間有非常強的相關性 如果我放手讓一個物體掉 落我拿起一個物體並讓它掉落…… 今天我們只討論球體 那麼你會看到…… 我有一個質量為 m 的物體 因此會有重力 mg 作用在上面 當 它加速時 阻力也會增加 它會持續成長 當速度增加時 總有那麼一個時刻 阻力也會增加 總有那麼一個時刻 兩者會相等 當兩者相等時 加速度就 不再存在 物 體便以恆定速 度移動 我們稱這種速度為 終端速度 這就是實際情況 當 mg 等於 c1 rv 加上 c2 r 平方 v 平方時 這時我們得到終端速度 如果知道m代表物體的質量 半徑 以及該介質中 c1或c2的值 你就可 以計算出移動它所需的能量 那麼你就可以計算出終端速度是多少 這是一個二次方程式所以你會得到兩個解 其中一個是不合理的 所以你可以排除那個解 我們經常在一個領域、一個體制中工作 這個黏稠的詞語在其中佔據主導地位 我稱這個體制為第一種 但今天我會給你們一些例子 顯示我們正處於一種實際上由這種力量主導的體制中 我稱這種體制為第二種體制 當一與二相同時 當黏性力與壓力 力相等時 我們可 以讓這些項目相同 因此你得到 c1 rv 等於 c2 r 平方 v 平方 我們稱這個速度為臨界速度 儘管它並沒有什麼特別之處 它一點都不關鍵 這只是兩個項目相等的速率 這就是它的意思 而這當然等於 c1 除以 c2 再除以 r 現在我們將明確區分第一個和第 二個領域 第一個和第二個制度 當速度遠遠小於臨界速度時 稱為第一種流體狀況 因此 我們得到 mg 等於 c1 r v 也就是終端速度 因此終端速度等於 mg 除以 c1 r 如果你拿相同材質的物體 這表示它們的密度相同 無論你將這些物體投入液體中 還是投入氣體中 所以 m 等於四分之三 π ρ r 的立方 現在這是物體的密度 而不是介質的密度 然後你馬上可以看到 因為這裡得到的是半徑的三次方 這與半徑的平方成正比 如果你在那裡放入相同密度的物體 當速度v遠大於臨界速度時 就是第二種情況 此時mg等於 c2乘以r平方乘以v平方 這 就是終端速度 因此終端速度為 平方根為 mg 除以 c2 乘以 r 平方 mg 除以 c2 乘以 r 平方 如果你拿相同密度的物體 而且你比較它們的半徑 m 與 r 的立方成正比 所以現在這與 r 的平方根成正比 因此這區分了這兩種體制 我們將看到這樣的例子 有時你確實只專注於其中一種 有時則專注於另一種 我為你準備了一張在網 頁上的簡報圖 所以你 不需要複製它 它總結了我剛才告訴你的內容 它包含了所有關鍵方程式 你看到頂部的阻力 阻力的大小 然後你看到臨界速度 這並沒有什麼關鍵之處只是這個符號的速率與 這個符號的數量級相同 接下來你看到這裡的條件這就是我所稱的終端速度方程式 然後我們有第一種制度 在這種情況下速度遠低於臨界速度 然後你會得到終端速度 正如你看到的黑板上所示 這與 r 平方成正比 如果你只考慮具 有特定密度的物體 而如果速度 如果速度遠大於臨界速度 你目前處於第二種制度中 並與 r 的平方根存在依賴關係 我將進行一個示範和一些測量 使用鋼珠 具有非常精確半徑且 非常知名的物體 我將 它們放入糖漿中 我們為此選擇了手性糖漿 這可能讓你感到興趣 兩湯匙的熱量是180卡路里 為了這個示範 我需要了解更多資訊 所以我必須自己做些功課 但至少你現在看到這裡 這款糖漿能為你帶來什麼好處 每兩湯匙含有180卡路里 或每湯匙 它的脂肪含量非常低 而且在使用之前 其餘部分可能也會引起你的興趣 我必須知道C1 那是我計算過並測量過的 實際上 這種類型的演示 你我今天要做的事情 你可以推斷出來 但這非常依賴溫度 昨天和今天可能不同 我測量C2的準確度相當高 請注意糖漿的密度 以千克每立方米為單位 非常接近C2 我 之前已經提過這一點 非常接近 不是完全正確 但非常接近 這些鋼珠軸承的密度約為 每立方米7 800公斤 而且我要加入那 種煤油膏 四個 滾珠軸承 它們的直徑是一英寸 532號、316號 以及四分之一英寸 我計算的是這些鋼珠的 終端速度與半徑的關係 所有這些都在網路上 這裡你看到的是對數坐標圖 這是對數刻度 這也是對數刻度 這裡你看到的是速度 以及這裡你看到的是滾珠 軸承的半徑（單位：公 尺）這是我的第一個方程式解法 當我代入不同的r值時 我得到終端速度的方式就是這樣 這是最關鍵的速度它與 r 成反比關係 如果你觀察這裡的這個黑點 那麼終端速度在這裡 會是關鍵速度的十倍 因此請注意 當你處於該速度以上時 你便完全處於第二個領域 而你的終端速度與滾珠 軸承半徑的平方根成正比 這黑色的點是臨界速度的十分之一 所以你會發現當你速度較低時 在這裡工作時 再次 你會發現你會落入…… 僅在第一個領域內 你會發現終端速度與半徑的平方成正比 這個斜率在此圖中是正二 而這個斜率則是正二分之一 我們的滾珠軸承都在這裡 因此我們僅在第一種制度下運作 在這裡黏性項佔主導地位 現在你可能會說這個臨界速度在此有什麼意義呢 如果他們根本無法達到那個速度呢 對一個小鋼珠而言 這個臨 界速度大概是每秒100公尺 這大約是每小時200英里 將一個以每小時400英里速度射入此糖漿的滾珠軸承 並沒有 任何問題 這種情況下 如果你 以每小時400英里的速度射入它 你將會超過臨界速度 並在一段短時間內 動作是否會由壓力項所控制 但當然 當重力接管時 那麼你最終會進入第一種制度 但這就是臨界速度的含義 如果你能給滾珠這樣高的速度 那麼這兩個項就相等了 那只是這個意思 非常好 現在我們將來看一下各種滾珠軸承 各種尺寸 我會告訴你我們如何進行這個實驗 你很快就會看到螢幕上出現一個… 七個相隔一公分的標記 它們在液體中 一、二、三、四、五、 六、七所以這裡是液體 而且滾珠軸承是從上方掉落的 當它到達這一行時 我會開始計時 當它經過一、二、三、四個標 記時當它經過這條線時 我會停止計時器 而每個標記大約相隔一厘米 所以這是一段大約四釐米的旅程 我們將測量從這裡到那裡所 需的時間 終 端速度已經給出 這明顯是第一種情況 所以你看到那裡的終端速度 現在 所需時間當然就 是這個距離 我稱之為h 也就是滾珠所行進的距離 除以終端速度 而且這是很合理的 因為你處於第一種制度中 由一除以r平方 現在我要給你的 不是半徑 但我要告訴你這些滾珠軸承的直徑 它們就是這樣提供的 所以我們會得到一份這 裡的滾珠軸承直徑清單 以及直徑是以英寸為單 位我最小的那個直徑是1/8英寸 接下來是5/32 英寸我還有3/16英寸 這些東西都是以英寸為單位的那是其中一個情況 而我的直徑是四分之一英寸 如果我在這裡繪圖…… 或者繪圖 如果我在此處 給出直徑……以英寸的132分之一為單位…… 那麼這是4、5、6 和8簡單的數字 明顯地 如果它所需時 間與1除以r平方成正比 它也會與一除以d平方成正比 當然 這是一樣的 我要繪製的不是 1 除以 d 平方 而是為了得到一些整數 我將為你繪製 100 除以 d 平方 即這些單位中d為英吋的132分之1 這給了我一些不錯的數字 然後我得到這裡的6 25 我這裡得到4 00 你可以看到100除以25正好是4 我在這裡得到 2.78 我上一個數字是 1.56 現在我要進行計時 我的計時不確定性 這當然取決於我的反應時間 那應該至少為0 1秒 然而 你會看到當我接觸到四分之一英寸的鋼珠時 它進行得如此快速 以致於我的錯誤可能達到了十分之二秒 它瞬間就完成了因此我認為這裡可以允許十分之二秒 而且我真的不知道 可能十分之一秒 可能是十分之二秒 你可能會問我 為什麼你沒有給我們直徑的誤差 這最終當然會轉化為群體中的錯誤 原因是這些數據如 此精確 你購買的方式使得 不確定性幾乎可以忽略不計 與我所犯的時間錯誤相比 所以我甚至不會考慮那一點 好的 那麼現在我們可以開始示範了 而且我必須改用這個裝置 這裡是這罐開羅糖漿 它確實非常黏 你看到那七個記號 僅僅是為了我的方便 我在那裡放了兩個黑點 這樣我就能輕易地看到 我需要啟動計時器的那一刻 而且在我停止它的一瞬間有這麼多線 如果我不這麼做 我可能會混淆 我們將一起計時 而且我們會看看這些物體…… 需要花多久時間才能通過 我將從直徑一英寸的物體開始 我這裡有一個 鑷子 我把它釋放在零點 三 哦 你看不到那個你應該能看到那個 三 二 一 零 看多漂亮啊 它正在慢慢通過你瞧 它正在累積 你看到頂部那個漂亮氣泡了嗎 它進行得非常緩慢 但等著瞧 當它突破表面時 它就這樣去了 不 一公分 二公分 三公分 不 好吧 那是什麼 什麼都沒有 發生什麼事了 我沒有看到 我想再做一次 我把它刪除了嗎 那有多少錢 5.93 記住這一點 實際上看到他們是否能繁殖真是不錯 好的 它走了 不 一公分 兩公分 三公分 5.66 這顯示了我計 時的不確定性 我們之前有5 93 現在有5 66 情況還不錯 是5 9 5.7 時間誤差為十分之一秒 我的時間誤差可能比十分之一秒還要大一點 你沒有太多時間 因此 我們現在來看5 30秒 好的 5.30 秒 要花一些時間才能穿透表面 這不是很有趣嗎因為糖漿表面由於接觸空氣形成了一層薄薄的薄膜 由於這個原因 這真棒 它讓我們耐心等待 但現在它走了 它走了 現在…… 1…… 三… …現在 3.80 你有這個嗎 你會變得越來越難對付 三十六分之一英寸 它實際上是件好事 它在表面 停留一會兒 讓我有時間準備 真的 這真的很有幫助 不 是嗎如果你在水中這樣做 它會……你甚至看不到它 來吧 對了 現在 所以你明白 這對我來說非常困難 因此我很容易就會出現重大錯誤 2.69 現在我們有四分之一英寸的尺寸 真的很大一塊 我必須再做一次 我完全不信任這個 它穿透表面太快了 我無法準確地做到 順便問一下 第一個數字是什麼 1.68 而這是1 40 1 68和1 40 所以你看到 我說的話並非開玩笑 那我的不確定性很容易就是0 2 現在到了關鍵測試階段 關鍵測試是 如果我…… 測量是正確進行的 而且如果我們真的在那個制度下工作 那麼如果我在線性紙上繪製100除以d的平方對t的圖表 應該是一條直線 好的 我這裡有一個計畫 是我準備的 我要把這些數字放進去 所以首先 我們會得到 6.5 點 讓我們為最小的滾珠軸承設定5 8秒 這是最小的那個 不要被誤導 因為這是100除以d的平方 所以這是最小的那款 5.8 我們現在在這條線上 這裡是5 8左右 就這樣 請注意這個點比我想的還要低 原因是溫度上升了 如果溫度上升 則黏度會降低 流動速度也會加快 但這沒關係 這不會讓我擔心 下一個是3 80 4 3.80 你看到了嗎 我預測過了 直線 那不是一條直線嗎 不是直線 哪裡不對 好的 我們再加一個第 三點2.69 2點…… 這是2 7 2.69 我幾乎無法指出時間上 的錯誤 因為它並不大 於我的點的大小 而且現在我們有了最後一個 一點 我們以平均值為準 1.55 約有零點二秒的誤差 這也有約零點二秒的誤差 好了 這樣就可以了 現在 這是一條直線還是不是 一條優美的直線 所以你看到 你確實是在這裡工作 在1除以……的制度下 在終端速度 與半徑平方成正比的制度中 好的 我們會把燈光還給你 現在有一個與此實驗相關的問題 那就是達到終端 速度需要多長時間 當然 這個物體具有一定的質量 因此會受到重力的作用 而且重力等於mg 接著有一個阻力 在這種情況下 由於我們僅在制度1 中運作 那種阻力 的大小等於C1rv C1rv 因為我們處理的是制度1 所以如果我稱這個為y的增加值 第二個……牛頓第二定律 會給我 ma 等於 mg 減去 C1r 乘以 v 而這等於 mdvdt 所以我這裡有一個關 於v的微分方程 這個 方程是可以解的 你將在第四次作業中解它 你即將看到的是 速度隨時 間變化的函 數將會增加到最大值 這就是終端速度 你可能會稱之為終端速度 它會以某種方式逐漸增加 然後會漸近地接近 終端速度 這就是我在你的第三次……第四次作業中要 求你計算的內容 如果 完全沒有空氣阻力的話 我希望你明白速度會線性增加 這樣你就能得到類似這樣的結果 所以沒有任何拖拽 因此 由於阻力的影響 行為差異非常大 我已經計算過了 那是你作業的一部分 這 個四分之一英寸的滾珠 軸承需要多長時間…… 達到終端速度約99% 需要多長時間 我 已經計算過了 你可以自己進行這個計算 那是只有九毫秒 換句話說 一旦它穿透了表面 這需要一段時間 因為有薄薄一層 接著在九毫秒內 我是否已經達到終端速度的99% 所以一點問題也沒有 當我等待物體穿越第一個標記時 它已經明顯達到終端速度了 所以那沒問題 現在我想轉向空氣 空氣當然以極其不同的方式運作 原理是相同的 但C1和C2的數值卻大不相同 如果我們在一個大氣壓 下 並在室溫下取用空氣 那麼 C1 約為 3.1 × 10⁻⁴在 R 單位中 而 C2 約為 0.85 這非常接近空氣的密度 即 大約每立方米一千克 我之前 告訴過你C2和rho有非 常強的關聯性 因此臨界速度 即 C1 除以 C2 再除以 R 約為 3.7乘以 10的負 4 次方 除以 R 米每秒 那就是比糖漿中的臨界速度低約 400倍 在相同R值的情況下 於玉米糖漿中也是如此 所以如 果我比較四分之一英寸的滾珠軸承 而且我把它掉進糖漿裡 然後糖漿中的終端速度 远低於糖漿的臨界速度 糖漿的臨界速度 每小時一百英里的速度對於四分之一英寸的滾珠軸承來說 會是極其驚人的 所以實際上遠低於這個數值 在空氣中 臨界速度 約每秒11釐米 這是一秒鐘內移動11釐米 而我們知道當你將一個四分之一英寸的鋼珠從空中落下時 可以說速度大得多 因 此在空氣的情況下 四分 之一英寸的滾珠軸承的 速率會遠遠超過臨界速度 所以你现在處於制度2中 這是制度2 幾乎所有你丟入空氣中的物體 此功能僅在第二模式 下運作 無論是雨滴、你擊出的棒球、高 爾夫球 甚至沙灘球 要不然你從高樓丟下一顆石頭 要不然你從飛機上跳下來 不管有沒有降落傘 都沒有差別 你總是被壓力項所支配 由v平方項所決定 你 始終處於一 個範圍內 其 中終端速度與物體密度一 定時半徑的平方根成正比 如果一個半徑約為一公 分的石頭從高樓上丟下 它會達到不會超過每小時七十五英里的速度 因為空氣阻力 如果你從飛機上跳下來且沒有降落傘 而我假設 你的質量大約是70公斤 我需要大約的數字 如果我能用一個半徑約為 40公分的球體來近似你 這也是一種近似 你實 際上並不真的像一個球體 但是我想先得到一些大概的數字 那麼終端速度是每小時150英里 如果從飛機上跳下來而沒有降落傘 你 下墜的速度不會超過每小時150英里 我昨天讀到一 篇關於跳傘者 的文章 他們從飛機上跳下在最後一刻才打開降落傘 並達到終端速度 每小時120英里的速度 這一點並不讓我驚訝 這與我計算出的粗略數字非常接近當然 隨後他們打開了降落傘 然後空氣阻力大幅增加 然後他們的速度進一步減慢 我告訴你一個雨滴…… 幾乎所有雨滴在下落時都處於第二種流態 因此終端速度由速度平方項所決定 然而 如果你讓滴數非常小 會有那麼一個時刻 你真正進入了第一種狀態 在第四次作業中 我請你計算這個情況發生的地点 而且我不能用來做水因為那滴水的半徑 會非常小 會立刻蒸發掉 所以我選擇了油 所以在作業4中 我要求 你取一個油滴 把它變得 越來越小 越來越小 直 到你開始進入第一種狀態 我想要你計算這兩個領 域之間交叉點的位置 我 這裡有一個球 你可以稱 它為氣球 但我稱它為球 因為裡面沒有氦氣 這個球大約重34克 那麼讓我刪掉一些這裡的 內容因為我想…… 是的 因此我們知道質量 也知道半徑 質量約為34克 半徑約為35公分 直徑約70公分 我可以計算出終端速度是多少 更好的名稱應該是終端速度 我知道我肯定會處於這個範疇 所以我知道質量 我知道C2在空氣中的值是0 85 我知道半徑 也知道重力加速度 我發現它的速度大約是每秒1 8公尺 所以如果我從三公尺高的地方放下它 我打算這麼做 那麼你會認為它掉到地 面所需的時間大概是我 的三公尺除以每秒1 8公尺 約為1 7秒 那不錯 那是一個不錯的近似值 然而 當然會花更長的時間 之所以會花更長時間的原因是因為 終端速度並不會立即達到 球形滾子在九毫秒內就 達到了 我可以向你保證 在這裡需要更長的時間 現在 如果你 想要計算接近終 端速度所需的時間 這並不是 一項容易的任務 因為你最後 會得到一個麻煩的微分方程式 你將會得到 mg 你將會得到加速度 這是由於…… 我們就用現有的公式吧 你看 我們有 ma 等於 mg 然後我們得到減去阻力 而且阻力項包含速度 v 的項以及速度平方的項你看v和 v 平方 因 此這無法進行解析解 但我已經請我的研究生大衛·普利（Dave Pulley） 他是你們其中一位指導教授 為我以數值方式解決這個問題 我會把他的結果展示給你們看 這裡有一個不錯的視 覺圖表 你可以看到 如果從三公尺高處掉落 時間對球的影響 這裡是 所有數字都在這裡這是在網路上 所以請不要複製任何內 容你已經在頂部得到了 c1 和 c2 的值 你可能無法從座位上看到它們 但它們確實在那裡 這裡你看到的是高 度隨時間變化的函數 這是一秒鐘 這是一秒半 這是三公尺的標記 如果沒有空氣阻力的話…… 請記得 我們之前從三公尺高處落下了一個蘋果 它大約在780毫秒後墜落 然而 考慮空氣阻力 會延遲約一秒鐘 大約1 8秒 所以1 7並不算太差 如你所見 但如果看看這裡速度 隨著時間的變化情況 你看到它大約需要零點三四秒才能達到那 個終端速度 也就是 那裡的每秒1 8公尺 可以說 重力加速度並不會保持不變 而是迅速下降 當加速度達到接近零時 你就達到終端速度了 速度便不再改變 那麼讓我們試試看 我們將帶來更多光明 我們將拋出這個物體 我認為你不會得到1 8秒 你可能會得到比1 8秒更長的時間 而且原因如下 第一 這不是一個完美的球體 而且這些計算只適用於球體 這是第一點 第二 這個東西非常有彈性 所以一放開它 它可能會以某種方式震盪 這也沒有幫助 那可能會讓它減速 因為導致第二種制度減速的真正原因 其實是湍流 湍流非常難以理解和預測 因此我預測從 三公尺處下落所 需的時間將可 能超過1 8秒 但這將遠大於780毫秒 這是你丟下一個蘋果時所看到的 那麼讓我們看看我們有多接近 請啟動這個計時器 請確定它歸零 我已經歸零了 而且要釋放它並不容易 順 便說一下 同時啟動計時器也 並不簡單 而且對我來說 要看到它落地也並不那麼容易 因此 這個實驗存在著極大的不確定性 好的 3、2、1、0 我們看到的是什麼 我剛才看 到什麼了2.0 不錯 預測是 1.8 你得到了 2.0 因此 這考慮了空氣阻力 而且這甚至不是近似值 它使用了與速度 v 成線性關係以及與 v 平方的整個項 但幾乎完全由v平方項所支配 我還請大衛讓我看看 當我從帝國大廈扔出一顆小石 頭時會發生什麼事 當我們 選擇的小石頭半徑是1公分 這是一種我們所有人都能找到的卵石 我大約知道卵石的密度 當我們把它從帝國大廈扔下去時 我們達到大約每小時75英里的終端速度 如果沒有空氣阻力 我們的速度將達到每小時225英里 所以我也要讓你看一看 所以現在你看到的是帝國大廈 高度為475公尺 那就是你在T0開始的 地方這是1秒、5秒、10秒、5秒、15秒 如果沒有空氣阻力 它會在 不到10秒的時間內墜落地面 但現在它會在約16、17秒內墜落 你可以看到終端速度 大約在5、6秒內達到 它非常接近最終值 如果沒有空氣阻力 它落地時的速度 當然會線性增加 當它接觸地面時 會在這裡某處 這相當於每小時225英里 所以你看到它甚至只是一塊小石頭 你不會預期它對空氣阻力有非常大的影響 但如果你從高樓扔下它 效果卻非常顯著 現在 你可能還記得我們從3 公尺高處掉落了一個蘋果 並 根據它下落的時間計算了重 力加速度 那是你其中一個…… 你作業中做過的一件事 我們有781毫秒 我想 從中你可以算出重力加速度 對吧 因為你知道3公尺等於二分之一g乘以t平方 所以我給你3公尺 並帶有不確定性 我給你時間 781毫秒 在容許2毫秒的不確定性下 結果顯示g值出現了 所以我問大衛 空氣阻 力對這隻蘋果有什麼影響 我們當時忽略那件事 是不負責任的呢 蘋果的質量是134克 當然 這很容易稱重 所以這就是我們第一堂課的蘋果 M是134克 它幾乎是一個球體 不完全 但幾乎是球體 半徑約為3釐米 因此會產生終端速度 你 可以選擇計算它 使用v平方項 但我對此並不感興趣 我只想知道有多少毫秒 飛行器的著陸延遲是因為空氣阻力 並由大衛進行了計算 他發現那是從三公尺處產生的兩毫秒 從1 5公尺的距離來看 幾乎什麼都 沒有而從1 5公尺的距離來說 它幾乎什麼都沒有…… 你看到 當你把一個蘋果扔向 空中時 它確實處於第二種狀態 因此你實際上被速度的平方所支 配而在最初的1又1/2公尺內 它目前還沒有達到很高的速度 速度是線性增加的 所以最後一段才是你真正感受到空氣阻力的部份 也就是v平方項的影響 從3公尺處2毫秒 所以如果h是3公尺 就會有2毫秒的延遲 我們可以這麼稱呼 因此我們處在幸運與不幸的邊緣 如果你真的想用我們的 數據重新計算重力加速度 你應該真的從時間中減去2毫秒 另一方面 由於我們允許了 2 毫秒的不確定性 我們實際上並沒有偏差太多 現在來到最後一部分 也就是空氣阻力如何影響飛行軌跡 這也是你的作業的一部分 但我要在這方面幫你一點忙 在你的作業第4題中 我 要求你定量評估物體在液 體中的運動 但給這個物 體一個x方向的初始速度 然後是下面的液體 然後有重力 還有那初始速度 如果沒有阻力 那麼這當然會是一條拋物線 而且水平速度永遠不會改變 從來不會有任何變化 但現在情況並非如此 因為有阻力的作用 因為液體的阻力 物體將會在這個 方向上獲得速度 因此會有阻力的一部分與其相反 它在這個方向上有速度 因此也會有這個方向的阻力成分 這個成分會減 慢這個速度的x方向成分 所以你已經可以看出 那條你即將看到的曲線會非常不同 它看起來會像這樣 然後最終 這個 元件什麼都沒剩下 而最終 當你垂直向下時 你會得到物體垂直落入液 體中所能達到的終端速度 所以這是你第四次作業中 要處理的問題 這僅在第 一種制度下進行 因為我 們有一個含有液體的物體 使用液體時 你幾乎總是使用第一種制度 假設我拿了一個網球然後我將網球向上丟了26 100 那顆網球受到空氣阻力的影 響如果沒有任何空氣阻力 我會得到一個優美的拋物線 這會是完全對稱的 我以一定的初速度將它拋起 v 稱它為v零 我一點都不在乎 而且水平分量永遠不會改變 這會是v零x 始終相同 但現在 有了空氣阻力 你會發現會有一個力 一個空氣阻力力在 y 方向 如果物體朝這個方向上升 然後在 y 方向會有 阻力分量 由於它在這 個方向上有速度 所以在x 方向也會有阻力 所以這速度也將以同樣的方式被消耗掉 這個組件也將被消耗掉 這個組件將會受損 它不會一直保持不變 因此 你會得到一 條更像這樣的軌跡 這是一種非對稱的情況 明顯地 你無法達到沒有空 氣阻力時所能到達的最高點 是因為在y方向的阻力因素 它不會讓速度上升那麼高 這很明顯 你無法像沒有空氣阻力那樣遠 因為這阻力會讓速度減慢 這是很明顯的原因 但你也會發現曲率的不對稱性 我希望你能看到這一點 我稱這個點為 O 這個點為 P 我們稱這個點為 S 所以我會先丟出一個網球 然後我會丟出一個保麗龍球 而那個保麗龍球 這個球的半徑與網球非常接近 這表示兩者所受到的阻力相同 因為阻力僅由半徑 平方和速度所決定 r 平方 v 平方 記得嗎 然而 這個的質量要大得多 雖然阻力會非常接近 如果我以相同的初始速度將它們拋出 它對較小質量的影響會比對較 大質量的影響更大F 等於 ma對吧所以在非常大的質量上 阻力對較大質量的 物體影響會小很多 儘管阻力本身差不多 所以試著看看網球 它非常接近理想的拋物線 你甚至不會看到任何不對稱的影響 但保麗龍卻不是這樣 先看看網球 我應該現在就做 它看起來更對稱還是不太對稱 好的 現在我來試試這個 它看起來不對稱嗎 你能看到嗎 你只是說是 還是你真的看到了 讓我再做一次 我可以把它扔回去 所以現在它應該這樣彎曲 然後大概這樣往下掉 準備好了嗎 你看到這種不對稱嗎 好 現在來問我最後一個問 題我要問你以下這個問題 這有一個獨特的答案 我希望你仔細想一想 而且我希望你能百分之 百確定地給出這個答案 當這個物體從O移動 到P時 需要一段時間 當它從 P 點移動到 S 點再回到地面時 也需要一段時間 當然 這段時間和這段時間是否相同 或者這段時間更長 還是這次的時間更短呢 請好好想想 周五見