【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（下） P8 - 108. 110-11-20動力學20

對於我們剛纔給的就我畫的那個體系來說 這個C確實是三對角矩陣 剛度矩陣也是三對角矩陣 康度矩陣不是三對角矩陣了嗎 康度矩陣是不是三對角矩陣 不是了是吧 這麼說吧 就是說在有些情況下 像我們那個框架體系 梁如果是不計彎曲變形的話 那麼得到的康度矩陣就是一個三對角矩陣 像我們這個就不一定是三對角矩陣了 那麼總矩陣也可能是三對角矩陣 但是一般情況下來說它可能不是的 因爲我們現在就是我們後邊講的 後邊我們就不講了 明天代研法 那麼那時候這個質量矩陣也不是一個對角矩陣 質量矩陣也不是對角矩陣 剛度矩陣也不是三對角矩陣了 總矩陣也不是的 一般情況下就不是的 我們回過來剛纔說我們這個方程吧 這個方程我們說是偶連的 你不能拿出來一個方程來求解 必須連立才能求解 當自由度很多的話 你連立求解幾乎要做起來幾乎是不可能的 那麼如果是獨立方程就簡單了 獨立方程就簡單了 那麼什麼時候是獨立方程呢 質量矩陣是對角矩陣 剛度矩陣也是對角矩陣 總矩陣也是對角矩陣 如果都是對角矩陣的話 那麼就是一個獨立方程了 不是對角矩陣的話就不是獨立方程 是偶連的方程 那麼下面我們來討論這個方程組怎麼樣來進行求解 剛纔我們講一個例題是說了 任意一個N維的項量 總是可以用N個現有無關的項量來線性表示 那麼在T時刻各個點的位移是不是一個N維項量 那我們是不是可以用N個最多體系的N個陣型來線性表示 T時刻的位移是N維項量 我們寫成陣型的線性組合 其中di 因爲這個陣型的時間沒關了 陣型和時間是沒有關係的 那麼y是T的函數 所以d當然和T有關係 d是T的函數 這個是陣型的組合係數 也叫廣義座標 就是說你這個 第1第2到第N N個d 如果要是定下來的話 y就定下來了 所以你管它叫廣義座標 那麼這個式子 有沒有什麼問題 有沒有不可理解的 都理解了 T時刻一個N維項量 可以用陣型組合成 沒問題 然後把它帶到方程組裏面去 把它帶到方程組裏面去 帶進去 帶的時候先對Y求一階導數往這裏帶 對Y求二階導數往這裏帶 求導數的時候 這邊求導數 這邊就對d求導數 d是T的函數 帶進去以後 把它帶到這個方程組裏面去以後 走到下面這個方程 還是N個方程 m乘上Y的二階導數 C組織一階C乘上Y的一階導數 一階導數帶進去 這個是K乘上Y帶進去 然後我們把這個式子的兩端 等號兩端 同時組成d階陣型的轉移 等號兩端同時組成d階陣型轉移 乘下 d階陣型轉移 乘下 組成 那麼乘進去以後 這是N項核 這也是N項核 在下面的 N項核 都是N項核 從這一步到這一步沒問題吧 等號兩端同時組成d階陣型轉移 然後這N項核你看一看 I從1到N 階是不變的 I是變的 I從1到N N項 那麼這些N項核裏邊 是不是隻有一項不等於0 其他的項都等於0 有陣型對質量的正要性條件 正要性 那麼只有當I等於階那一項不等於0 而且是階型階得管一階量 不等於0 其他的各項都是0 就是N項核裏邊只有一項不是0 就I等於階那一項不是0 同樣的這裏邊也是 這也是N項核 只有I等於階那一項不爲0 那麼那一項 I等於階那一項 這個乘在一起是階陣型對應的管一質量 那麼這個I等於階那一項 這個三項相乘 就是階陣型對應的管一阻力系統 就是陣型對這個阻力劑陣C也是正交的 是我們設的 這個C剛纔同學還問 這個C 這裏邊很多元素 鋼子劑陣裏邊的元素我們能求的是吧 質量劑陣裏邊的元素我們是一般都給出的 質量大小 那麼阻力劑陣當中那些元素怎麼給呢 我們後邊再說 這個阻力劑陣C 我們令它正交 然後我們後面再說 如果令這個C正交的話 這個C應該怎麼樣構造 後面我們再來說 這是另外一個問題 你看現在C對陣型是正交的 陣型對阻力劑陣C正交 那麼這N項核裏邊只有一項不是0 只有那一項I等於階那一項不是0 而這個乘在一起應該是C階0 同樣的這個N項裏邊也只有一項不是0 廣義剛度 那麼這N個方程就變成一個方程了 對不對 那你剛纔是左乘了地階陣型轉直走到的這個 那麼階可以是1 階也可以是2 階也可以是N 那麼我們說就可以走到N個方程 階等於1 2 N走到N個方程 那麼這N個位置的方程是不是偶連的 不是 就獨立的了 你每個方程裏邊只有一個位置函數 你看 就地階 對不對 而我們剛纔這個方程裏邊 那第一個方程裏邊是Y1 Y2到Yn都有的 而這裏邊只有一個位置函數 N個方程是獨立的 那麼獨立方程求解當然就很方便了 如果解這個方程我們把地階階要求出來的話 由地階能不能得到我們原來體系那個位移的Y 能不能得到 如果地階求出來了 就乘回去 就組合回去 因爲我們剛纔給出來的這個Y 就等於σ I從1到N DI陣型 只要你把這個陣型組合係數求出來的話 那麼這個Y就得到了 陣型是一致的 而這個地階階求解就是求這個方程 這個裏邊的階從1到N 一共求N次 就可以求出來這N個組合係數 而在求每一個的時候就是一個方程 獨立方程來求解 我們給它整理一下 我們令C階星等於二科C階 我們就接M階星 這個是不是有印象嗎 單自由度體系的時候 阻尼比和阻尼係數的關係 就是阻尼係數除以二倍的M每個 應該等於阻尼比 那麼剛纔我還提到這樣一點 你按陣型振動的時候 可以看成是一個廣義單自由度體系 按陣型振動的時候 可以看成是一個廣義的單自由度體系 既然是單自由度體系的話 那麼這個C也可以看成是廣義單自由度體系的阻尼係數 那麼柯C階就是廣義單自由度體系的阻尼比 我們把柯C階叫地階陣型的阻尼比 由實驗來確定 地階陣型阻尼比由實驗來確定 比如我們來一個兩個自由度的體系 這是兩個自由度 兩個自由度體系 假如它有一個陣型 第一陣型 這塊是1 這是2 1比2 第一陣型 你們能不能讓這個體系按這個1比2這個陣型來振動呢 可以吧 比如它的陣型 第一陣型 1 2 這個體系的第一陣型假如說是這個的話 那麼你把這個拉離一釐米 把這個拉離兩釐米 同時一同手就開始按着第一陣型振動 剛纔說了 可以看得出是一個單自由度體系了 因爲你知道這兒的位移了 這塊位移就知道了 這塊位移總是比這塊位移是它的二倍 那麼既然是單自由度體系 如果我們按這樣拉開 然後鬆手以後 因爲是有阻尼的 這個陣幅是不是會越來越小 這時候慢慢就停下來了 我們可不可以按照單自由度體系求阻尼比的方法來求這個體系 按這個陣型振動的阻尼比呢 能不能 既然是可以看成單自由度體系 我們單自由度體系裏邊我們是討論了阻尼比的 跟衰減的過程有關係 就是相鄰的兩個陣幅的比對是個常數 我們可以求出它的阻尼比 那麼這個阻尼比就叫做陣型阻尼比 就是按陣型振動的時候 我說按陣型做自由振動 按陣型做自由振動的時候 可以看成一個單自由度體系 那麼我們利用單自由度體系求阻尼比的方法 我們把它的阻尼比定下來 就叫做陣型阻尼比 是由實驗來定的 由實驗來定的 我們把它帶到這個式子裏邊去 等號兩端 同時除以廣義質量 把這個帶進去 這個微型方程就變成這樣一個形式了 這塊少寫了一個平方 我們一個接方 那麼這個方程在形式上看 就與我們前面討論過的單自由度體系的自由振動的G阻尼的運動方程是一樣的 我們給出來一個單自由度體系 這是一個單自由度體系 如果單自由度體系的位移我們用d階表示它的位移的話 它的質量我們用m階型表示它的質量 它的剛度係數我們用k階型來表示 它的阻尼比假如用kc階 這個體系的阻尼比用kc階 那麼這個單自由度體系的運動方程是不是就是它 就是它 我們也可以把它 把這個體系叫做原來那個結構的d階陣營所對應的折算體系 就是原來體系按n個自由度體系 n個自由度體系 按d階陣營振動相當於是一個單自由度體系 這個單自由度體系的運動方程就是它 畫出來的話可以畫成這樣一個樣子 實際上不是這個樣子 實際上是幾個支點都在動的 是按d階陣營振動的 這個折算體系它的位移的解 它的位移的計算我們是前面已經講過的 這個單自由度體系的位移自由振動的 g阻尼的自由振動的解 這個運動方程的解我們前面已經得到了 和單自由度體系的解是一樣的 方程一樣 解當然就一樣了 其中的ωd階就是g阻尼的自振頻率 g阻尼的自振頻率 這ω階是我們不計阻尼算出來的自振頻率 它有這樣一個關係 和單自由度體系是一樣的 其中的a階的表達式 這是折算體系的初位移的平方 就t等於0這個時刻 這個折算體系的位移相當於是廣義位移了 對原來結構來說相當於是廣義位移 那麼d階0求解導數是折算體系的初速度 折算體系的初位移初速度 我們可以算出來這個解當中的這個a階 那你會說了 我原來那個結構的初位移初速度我是知道的 因爲你自由振動嘛 有了初位移初速度才能夠求解是吧 原結構的初位移初速度是已知的 但是你這個在計算框當中要用到了這個折算體系的初位移初速度 怎麼算呢 我們就由原來那個結構的初位移初速度 來算這個折算體系的初位移和初速度 下面我們就來看具體怎麼算 由原體系的初速條件來確定折算體系的初速條件 我們一開始給出來這個陣型的d階這個表達式 任何時刻都成立 當然我們給出來的這個 這個t時刻的位移 可以寫成是n個陣型的一個d階 陣型的線性組合對吧 在所有的時刻都是成立的 在所有的時刻 你任何時刻它總是有一個向量的 這個向量總是可以用陣型來線性表示 t等於0這個時刻 這個式子是不是成立了 那t等於0代進去 那代進去以後呢 這個就是原體系的初位移 各個值點的初位移 而這個是各個折算體系的初位移 那我們要求一個一個求 這一共n個嘛 我要一個一個求 求着n個 我就要想辦法把它變成一個方程一個位置量 這邊是已知量 這邊是n個位置量 第1 第2 第n 是不是n個 我們把這n個是不是都要算出來了 我們把這個式子小號兩端同時組成 利用陣型的增加性條件 你能想象出來組成什麼東西 我要使這個和號是n項和變成1項 要把這n項和變成1項 你看B階陣型是吧 轉指再呈一個什麼指量矩陣或者剛度矩陣 對於我們現在的問題來說呢 呈指量矩陣要好一點 組成一個D階陣型轉指和指量矩陣 乘一下 這個是已知的項量 乘一下 這邊乘這個 這n項和就變成了1項了 乘一下 組成 等號右端就是1項 除了i等於階那一項不是0以外 其他各項全是0 i等於階那一項 那麼乘在一起呢 i等於階的時候它一乘 是階陣型對應的廣義指量 稱爲D階0 那麼由這個式子就可以解出來D階0 D階0等於D階陣型轉指乘指量矩陣 乘上原體系的處位移項量 分母是D階陣型對應的廣義指量 右邊都是已知量 可以算出來這個未知量 階可以是1 也可以是2 也可以是n 是不是我們都可以求出n個 這是處位移 那麼還有一個出速度 還有個出速度 那麼我們對這個式子 對這個式子 等號兩端同時對T求一階導速 這求一階導速 就是速度了 這邊求一階導速 然後把T等於0代進去 那麼這邊就是T等於0這個時刻各指點的速度 出速度 是不是 這個就是折算體系在T等於0這個時刻的出速度 跟剛纔是不是類似 方法也類似 可以折到折算體系的處位移 有了折算體系的處位移出速度 是不是就可以算出來折算體系的位移了 那麼折算體系的位移算出來了 折算體系的位移就是那個D 就是階型組合係數得求出來了 這個求出來了 有了陣型了 原體的位移就可以寫出來 我們把前面那個D的表達式給它代進去 其中A的表達式 計算表達式在前面已經給出來了 它是跟那個處位移出速度有關係的 可以算出來是A了 我們一個是自振頻率 就是不計阻尼的自由振動分析得到的頻率和陣型 下面我們就舉個例子 咱們來計阻尼的時候 要不計阻尼是不是會寫得更簡單一點 不計阻尼的話 你就用不計阻尼自由振動的那個位移方程解決就行了 就是我們求折算體系的位移的時候 就用不計阻尼的自由振動的 單阻度體系自由振動的 不計阻尼的那個位移表達式就可以了 代進去就是它了 其中A表達式 處位移平方 加上出速度的平方 再除以ω的平方 這是那個出向位角 這個系統表達式 我們把這種方法叫陣型分解法 或者叫陣型疊加法 都行 陣型分解 你就是把那個位移y分解成了不同的陣型的骨骼 或者是反過來說這個位移y是N個陣型來疊加得到的 陣型分解法 是解剖動力學當中 計算多自由度體系和無限自由度體系的一個基本方法 能不能算非線性體系 就不行了 不能算非線性體系 因爲它體現在是一個疊加的過程 而且非線性體系也沒有一個我們前面提到的那個陣型是沒有的 非線性體系就沒有一個說所有的支點都按照相同的頻率做自由振動 是不可能的 就是沒有陣型 也沒有一個不隨時間改變的頻率 除了是非線性的 線性的話纔有陣型 只適合於線性體系的修剪 計算步驟 第一步先求無線阻尼的自振頻率和陣型 說動力特性就是 無線阻尼求陣型和頻率 用來對線計算 然後第二步確定陣型阻尼率 那麼這個陣型阻尼率怎麼來定 我們後面再說 後面我們再說阻尼率怎麼給定 第二步給出來陣型阻尼率 第三步求出來阻尼頻率 我說的是一般的 叫計阻尼的 求出來阻尼頻率 阻尼頻率等於 不計阻尼的頻率乘上根號下邊 一減去到最方是吧 然後確定折算體積的除位移除之度 折算體積的除位移除之度求出來 根據原來體系的除位移除之度 求出來折算體系的除位移除之度 然後求這裏邊的A和EB系統 有計算共識的 第六步用陣型疊加表達式 來求原體系的位移表達式 有陣型分析法 計算我們剛纔給的這個 剛纔我們現在討論的這個 就是自由振動 求反應的計算過程 下面我們就舉一個例子 三個自由度 這三個自由度 這三個值點的質量都是一樣的 是等於m 1050千克 整個量長10米 兩個質量就不計了 因爲兩個質量已經計在這個值點上了 排引能量E 前面關鍵句I都是已知的 現在 這個三個自由度體系呢 在T0這個時刻有初位移有初速度 T0這個時刻呢 這塊有初位移 假如我們向下爲正的話 向下爲正的話 這塊向下有個1釐米的初位移 這兒是1.5釐米的 這塊有個1.2釐米的 有三個初位移 同時呢這三個值點呢還有速度 那麼初位移初速度引起來的振動 自由振動 我們爲了簡單體現 我們就不考慮阻尼了 當然你計阻尼也行 計算過程基本類似 只不過計算稍微麻煩一點 複雜一點 我們按照不計阻尼的來算 無阻尼的自由振動 理解第一步 求自振頻率和振行 第一步 求自振頻率振行 這個呢 我們在前面講立體的時候呢已經講過了 已經求出來了 就利用對稱性 利用對稱性 給它變成了一個單自由度體系的計算 和一個二自由度體系的計算 可以求出來三個頻率三個振行 這個在前面我們已經解出來了 我們直接在這邊給出 我們1 我們2 我們1 3 1 2 3 三個振行 三個頻率三個振行 這是我們前面取立體的時候給出來的結果 那麼現在1i都是給出來這個確定的值了 我們把1i 彈性膜量 疊面慣性矩帶進來 m也有了 帶進來 帶進來算 算出來這個體系的三個頻率 第一頻率 也就是基本頻率是49.33每秒弧度 第二頻率是195.96 第三頻率是416.06 我們把自由振動的分析結果 頻率和振行我們放在這兒 放在這兒 第二步 求廣義質量 三個振行對應的 這三個振行對應的廣義質量 質量矩陣 我這裏沒有寫 這不很簡單嗎 應該是一個單位矩陣再乘以一個m 單位矩陣乘以一個m 因爲這三個值點的質量一樣 是一個三階的單位矩陣乘以m 把m的值帶進去算 算的結果 第一 第二 第三振行對應的廣義質量分別是 4200 2100 4200千克 廣義質量 把廣義質量我們放在這兒 廣義剛度呢 用不上 不算廣義剛度了 第三步 確定折算體系的初位移出速度 折算體系初位移出速度 我們三個折算體系 每個振行對應都有一個折算體系 都是單自由度體系 這個在前面已經討論過了 公式也有了 初位移帶進去 振行帶進去 各振行對應的廣義質量帶進去 也讓矩陣帶進去 我們算 算 折算體系的初位移 各振行所對應的三個 第一振行對應的初位移出速度 第二振行的 第三振行的 折算體系的初位移出速度 都算出來 這沒什麼問題吧 你就是算數了是吧 公式都給出來了 折算體系的初位移出速度 沒問題吧 怎麼樣 我把這折算體系畫出來吧 剛纔這上面沒有了 不就忘了 折算體系 假如遞接振行對應的折算體系 它的質量就是m階星 那麼它的頻率就是ω階 它的位移就是d階 如果要計阻尼的話 阻尼比就是kc階 這是一個單子游走體系 是接振行對應的一個折算體系 那麼這裏邊的第一和第一的一些導數 就是你這個折算體系 第一振行對應這個折算體系的初位移和出速度 這是單子游走體系 那麼它的求解在前面都討論過 我們可以寫出來它的位移 d階的表達式 是剛纔算出來的 第四步 求aiebc0i 當然有一個aj ebc0j也可以 反正它是一二三 三個 不計阻尼的 單子游走體系的政府和相對角的一個計算公式 跟初位移出速度有關 折算體系有初位移出速度 那麼振動起來的有政府 政府就是我這裏寫的a 有一個相位角 出相位角 把前面算得的折算體系的初位移出速度 和前面算得的各個自認品類 我們選個自認品類 都帶人去算 算得a1 a2 a3 ebc01 ebc02 ebc03 我這給的都是弧度 弧度 1.29弧度 1.40弧度 復的1.35弧度 然後求v1 就疊加了 有這個式子來疊加 各陣型 這項呢就是那個d 就是那個d陣型組合系統 我們的短期座標 那麼這個d的解呢 就是a乘上sinωt加ebc0 這個a ω ebc0 陣型都一致 ω在這 陣型在這 ebc0和a在這 帶人去算 第一陣型乘上a1 乘上sinω1t加ebc01 加第二陣型 i陣型2 第二項 第二陣型 乘上a2 0.1 sinω2t sinω2 195.96 t 加上ebc02 1.44 再加第三陣型 a3 sinω3t 加上覆的1.35 那麼各個值點的位移表達式 我們就得到了 那就是y1呢 第一個值點的位移呢 它的變化應該是這一項 加這一項 加這一項是吧 那麼y2應該等於 √2乘以它 那這一項就沒了是吧 減去√2乘以這一項 各個值點的位移隨着時間t的變化規律呢 就得到了 這個解就得到了 這就是分解法的過程 從它的結果來看 就由我們給的這個體系 三個最多的體系 你看啊 你看 這一項 1.122 再這一項呢 在正一復一之間變化 當然這些呢 因爲不是同一個頻率嘛 它們不同時達到最大值是吧 那麼但是它在正一復一之間變化 那麼這個前面係數呢 1.122 我們這三個陣型呢 都是規一化陣型 是吧 第一個值都是1嘛 規一化陣型 這個前面係數是1.122 這邊的要乘以0.1 這個乘以0.02 那麼這三項在這裏邊所佔的 誰多呀 誰少啊 第一陣型多 第三陣型最少是吧 這是三個最多體系 如果是十個自由度 二十個自由度 那麼就會更明顯 這個問題就會更明顯 低階陣型在這個裏邊所做的貢獻大 高階陣型在這裏邊做的貢獻很小 在實際計算的時候呢 我們並不需要把這n個陣型全拿來算 我們只需要前面的幾個 低階陣型來算就夠了 那麼取多少個呢 還跟這個體系有關係 不知道大家還有沒有印象 前面我們提到了 體系啊 這個n個自由度體系 我們可以分成兩種類型的 一個是頻譜密集型的 就是說你n個自由度體系 n個頻率 這n個頻率離得很近 那麼還有一種是頻譜稀疏型的結構 n個自由度體系 n個頻率 這頻率相隔得比較大 比較遠 那麼如果對頻譜稀疏型的結構來說 我取前面幾個就行了 前幾個 三四個 假如是二次自由度 我就取前三四個 可能就得到足夠精度了 如果是密集型的頻率譜的話 那就不行了 如果密集型的頻率譜的話呢 那麼前面的繞杆個佔的比重都很大 你取少了就不行 在後面的建築結構抗震設計這門課裏邊 有一種算地震反應的一個方法 叫震形分解反應譜法 震形分解跟我們這個思路是一樣的 叫震形分解反應譜法 也是把這個 N個自由度體系 化成了單自由度體系來算了 那麼對於這個不計扭轉的方物結構來說 構層建築不計扭轉的 那麼就是屬於頻譜稀疏型的 那麼前面取幾個震形來進行疊加計算 如果是計扭轉的一個方物結構 頻譜是密集型的 那麼取的震形個數呢就要多一點 可能估計得要取到20個左右纔行 有不同的結構 那麼後邊取的震形個數呢 不一定一樣 這是震形分解法 那麼震形分解法它的實質是什麼呢 我們來說一說它的實質是什麼 它應用於線性體系的多對多體系的振動分析 振動計算 它的實質就是說我們把N個偶連的運動方程 化成了獨立的N個方程來進行求解 把偶連的化成獨立的方程來求解 實際上是做了一個座標變換 在我們原來物理世界裏邊這個座標下 y1 y2這個座標下 它是偶連的 但是我現在做了一個座標變換 現在在另外一個系統裏邊 現在我用的那個座標是d1 d2 dn 在這個裏邊的話 這個座標是非偶連的 是獨立的 那麼從物理意義來講 我們相當於是把N個最多體系 化成了N個獨立的單最多體系來算 就把這N個最多的體系 化成了N個單最多的體系來算 如果我們算每一項 算d1 d2 d3 d4 算這個左邊系統 是不是相當於單最多 就把多最多化成單最多體系來算了 把多最多化成了單最多體系來進行計算 下面我們再來解決 關於阻尼的問題 在我們前面的計算過程當中 你想一下 我們有沒有用到阻尼矩陣 用的是什麼 阻尼比 是不是 只用到阻尼比 並沒有用到阻尼矩陣 但是有一些方法 在我們這個課程裏邊就不講了 這有一些方法 特別是數值計算方法裏邊 要用到阻尼矩陣 所以下面我們還是要講一下 這個正交的阻尼矩陣是怎麼構成的 另外 我們前面雖然說不用阻尼矩陣 但是我需要阻尼比 我需要用阻尼比 那麼這個阻尼比我到底怎麼樣給定呢 阻尼比應該怎麼給定呢 那麼下面我們就來說這樣兩個問題 一個是正交的阻尼矩陣怎麼樣來構造 如果不用阻尼矩陣的話 要用阻尼比的話 那個阻尼比應該怎麼樣來確定 當然我們前面說了一個是用實驗來確定 但是你不可能說你所有的陣型阻尼比都用實驗來確定 你這個也做不到 你能讓一個N個自由度體系發生DN陣型做自由振動嗎 簡單就說簡單體系吧 我這黑板畫的是兩個自由度體系 你假如說是自由度再多一點 五個是兩五個自由度 你說它按照第五陣型來振動 你怎麼讓它按第五陣型來振動呢 也不可能的 你這個兩個自由度吧 你讓它按第一陣型振動第二陣型振動還可以 你這第一陣型按這樣動 假如第二陣型是一負一的話 它就這樣來懂是嗎 這個振動還可以讓它發生 但是你自由度再多了 或者結構再複雜了 你按照那個陣型來讓它發生自由振動幾乎就做不到了 所以你說是實測 你也沒有辦法實測 我們就可以這樣來做 組織劇陣C 我們用質量劇陣和剛度劇陣來構造 其中A0 A1由實驗來確定 質量劇陣 陣型對它正不正交 剛度劇陣是不是陣型也對剛度劇陣正交嗎 這樣的組合而成的劇陣C對陣型正不正交 是不是也正交 這樣做成的C對陣型肯定是正交的 滿足正交性條件的 你光正交那也不行 你還要符合結構的實際的阻尼的機制 那麼就靠實驗了 我們把這個阻尼劇陣叫銳利阻尼劇陣 叫銳利阻尼劇陣 我們首先通過實測先獲得兩個陣型阻尼 通過實測測出來兩個阻尼 一個科C1 科C1和科C2 通常就是科C1和科C2的 我剛纔說你要讓這個體系按陣型發生自由振動 這個是不容易做到的 但是如果讓第一陣型 對於簡單體系來說 讓它按照第一陣型做自由振動 這個還是可以做到的 你像剛纔我說的這五個自由振動體系 它第一陣型應該是什麼樣的 應該是往一側的 一側的來不動 當然我們可以算出來 你這兒的比值可以算出來 陣型可以算出來 然後你讓它發生一個按這樣的第一陣型的振動 可以吧 然後你是不是就可以按照單自由振動體系算阻尼比的方法 算出來的阻尼比 就是那個科C1 那麼第二陣型的話 對簡單體系來說 比這個稍微難一點 但是也是可以讓它發生的 就是通常我們 當然要做實驗了 當然對簡單體系了 我們測出來兩個陣型阻尼比 然後由這兩個陣型阻尼比 來確定其中的A0和A1的取值 那麼這樣得到的這個阻尼陣C 既滿足陣型對它的正交性條件 同時它還反映了實際結構的阻尼極致 對不對 就和實測的結果對上了 而且還滿足正交性條件 下面我們就看 我們實測出來這個阻尼比 怎麼樣把這個阻尼比和這裏邊的A0和A1的關係建立出來 這個關係建立出來以後 纔能有已知的柯Ci 柯Cj求出A0和A1 有了A0 A1了 就有了這個阻尼基陣C了 這個C一定是正交的 對陣型是正交的 下面就建立A0 A1和柯Ci 柯Cj的一個關係 我們把這個等式 等號兩端同時鎖成Di陣型轉值 又成Di陣型 鎖成Di陣型轉值又成Di陣型 那麼成完了以後 這個就是I陣型的廣義質量 這個是I陣型的廣義剛度 而這個因爲你這是銳利阻尼基陣 對陣型正交的 這個成完了以後是不是也是一個數 Di陣型所對應的廣義阻尼係數 成開以後 這是CiCi A0乘上I陣型的廣義質量 A1乘上I陣型的廣義剛度 然後再根據這個廣義阻尼係數和阻尼比的關係 廣義阻尼係數應該等於二倍的阻尼比頻率廣義質量 有這個 有這個關係 那麼你看它寫成這樣一個表達式 它又可以寫成這樣一個表達式 它和它應該相等 這樣一來我就把這個阻尼比和A0 A1的關係是不是建立出來了 建立出來一個Ci 它倆可以解出來 Ci等於二倍的ωi分之一 括號裏面是A0加A1ωi放 那麼科學階是不是也是一致的 類似的我們是不是還可以得到一個 科學階等於二倍的ω階分之一 乘上A0加A1乘上ω階放 這個得到的過程跟剛纔這個完全一樣 只要把i改成階就完事了 那麼各個i各個階我們實測出來的兩個已知的阻尼比 那麼由它倆連立求解 可以求出來A0和A1 求出來吧 有了A0 A1了 你個C是不是就得到了 A0就得到了 C就這樣做 根據這個過程有這個兩個測試 有已知的兩個阻尼比 算出A0 A1 就得到了這個阻尼跟C 然後再說 你實測出來兩個阻尼比 那其他的阻尼比就完全可以由這個式子來定了 如果你現在第一第二陣型阻尼比 我就有了 第三陣型阻尼比呢 是不是由這個式子可以定 那就是科學階三應該等於 二倍的ω3分之一 A0加A1ω3平方 就是你知道兩個阻尼比 由這個式子可以把所有的阻尼比都求出來 舉個例子來說 三個自由度體系 我們已經根據無阻尼的自由振動分析 得到了它的三個頻率 這個體系的三個頻率 鋼琴混音頭結構 它的那個阻尼比通常規範規定是取之於0.5 那我們也不實測了 這個也是通過實驗 通過實驗 通過大量的實驗得到的 就是第二陣型阻尼比我們也取0.05 就是兩個陣型阻尼比都是0.05 現在要求第三陣型阻尼比和阻尼矩陣C 結 這個式子剛纔已經給出來了 H1就完事了 結12就行了 兩個式子是一個 只要把這個角標換一下就行了 那麼克斯一克斯二都有了 有這兩個方程連力求解A0 A1 A0的結果是0.0328 剛好下面是鋼的劑度除以質量m 中間C鋼的配除以m A1是0.0591 剛好下面是質量m除以配 A0 A1有了 那麼第三陣型阻尼比 還是由這個式子算 只要把這個角標換成3就行了 第三頻率有了帶進去 A0 A1帶進去 第三陣型阻尼比就得到了 是0.00624 你假如是十個自由度 我們也是算出來前面兩個有了 那麼由這個式子可以把後邊的八個都算出來 多少個陣型阻尼比都可以算了 再說阻尼矩陣C A0乘以質量矩陣加上A1乘以鋼的矩陣 這個體系的質量矩陣是對角矩陣 是一個單位矩陣乘以質量m 鋼的矩陣呢 這個 這個怎麼來的我們就不說了 因爲前面我們列方程的時候都講過它怎麼求鋼的矩陣 有了質量矩陣有了鋼的矩陣 往這裏邊一帶 把A0 A1帶進來 得到阻尼矩陣C 阻尼矩陣就得到了 這個阻尼矩陣對這個體來說 你看啊它肯定是三對角的啊 三對角的 那你換個體系呢就不一定是了 那麼這個阻尼矩陣就滿足對陣形的正交性條件 第一陣形矩陣乘上這個矩陣 再乘第二陣形一定是等於0的 滿足正交性條件的正交阻尼矩陣 我們之所以這樣做 實際上是爲了我們求解 這是沒有辦法的事 沒有辦法的 只有這樣做的話 我們才能用陣形分解法來進行求解 如果阻尼矩陣對陣形不正交 就不可能用陣形分解法來進行求解 那你可能會說你這樣取了以後 這樣的阻尼矩陣一定符合實際嗎 不符合實際 要靠實踐來進行檢驗 對於大多數結構來說的話 我們做這樣的假設 分析出來 算出來的結果和實測結果是差不很多的 它是可以用於實際計算的 但是也有一些體系它不滿足正交性條件的 也有 特別是不同材料組成的體系 比方有一部分是鋼結構 另外一部分是混凝土 或者結構和圖體合在一起共同工作 這時的阻尼矩陣就不是正交的阻尼矩陣了 如果你非得按照正交的來算 那麼實測結果和計算結果就相差得會比較大一些 這節課我們就到這 下節課我們講束縛振動分析