【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（下） P15 - 115. 117-11-27動力學習題（多1）

今天我們來做多自由度振動的體系測試 首先我們對多自由度振動的知識內容做一下梳理 不管是多自由度還是單自由度 首先我們要計算體系固有的動力特性 在單自由度中我們需要計算的是原頻率Omega 翻過來就是它的週期T 而到了多自由度動力特性 除了頻率Omega之外 還有一個非常重要的概念 就是振行 而頻率 針對多自由度 你是n個自由度 頻率就將會有 Omega1一直到Omegan 而每個頻率都會針對一個振行 頻率 振行 如何去求解 那麼只要我們列出了運動方程 剩下的就是數學知識 而頻率和振行對應的物理意義 也就是我們在力學應用上的力學概念 大家一定要非常清楚 我們現在來先整理一下動力特性計算的方法 對n個自由度體系 我們拿最簡單的這種模型爲例 n個指點一串 那麼當它產生位移時 n個指點之間的運動是相互都獨立的 就是n個自由度 每個指點給定它的位移 x1 x2一直到xn 注意這裏的x已然是振行了 列出對應的振行方程和頻率方程 在前面已有的我們的運動方程的基礎上 代入方程的特解 也就是體系按振行振動時 那麼它得到的振行方程 把每一個指點的運動方向都加上一個附加約數 然後求出單位1附加約數上產生位移時 那麼另外任意一個附加約數上產生的力 由此物理義kij的物理義 給出剛度氣數矩陣 每個指點產生的位移就是x1到xn 那麼你的k乘上x 得到的是由附加約數上產生的 沿振行方向的位移 使附加約數產生的力 這個力和水去平衡 它直接抵消 直接作用在指點運動方向上 由運動產生的慣性力 那麼這個就是我們標準的剛度法所列出來的振行方程 把它整理成我們的習慣性的矩陣表達式 就是k-ω的方乘上m括號乘上x等於0 這個振行方程 大家用這個矩陣表達式來提記憶 會相當的方便 那麼這個時候方程中的位置數是誰呢 是我們想要求的振行 所以這個方程我們稱之爲振行方程 而振行方程前面x所乘的這個係數的矩陣 我們把它拿出來 求這個係數矩陣的質 什麼意思呢 要想讓這個振行方程的x有非0體 數學知識告訴我們了 那麼它的係數行列式的質就必須等於0 那麼大家看在這個方程中 現在位置數是誰呢 就是要求的動力的體力 所以上一個是關於振行的方程 而振行方程中的係數行列式的質 定它等於0 就是我們要求的頻率的相關的方程 所以上一個是振行方程 下一個是頻率方程 我們一般是由頻率方程求出頻率後 再回到振行方程再求解振行 這是按照剛度的思路來求解的 來現在再翻過來按柔度考慮 圖是結構還是剛纔的結構 那麼也是產生了沿振行方向的位移 x1到xn 那麼體系指點處產生的位移是由什麼產生的呢 沒有外合感 那就只有慣性力 也就是在慣性力作用下 每個指點產生了它對應的位移 就是振行大小 那麼按照我們的柔度的思路 就是給出任意一點 對應的單位力加在x接點的時候 那麼沿b接的質量發生 加上一個單位1的力 其他所有指點產生的位移 就是這一列的柔度係數 按照這個概念 我們把柔度矩陣中的所有係數全部求出 這裏我們用F表達 比如我們來看 第二列F12 F22 一直到Fn2 它的物理意義是什麼呢 第二個下標表達的是 所施加的單位力 也就是說在第二個指點處加單位1的力 而Fn2是哪個詞呢 是第二個指點處 沿運動方向加一個單位1的力以後 第n個指點在此時發生了位移大小 那麼柔度矩陣求完以後 乘上此時各指點上所施加的慣性力 那麼等於誰呢 就應該等於指點處各個方向的位移 又是我們所設定的這個陣型 把這個方程我們整理一下 那麼就應該是標準表達是 柔度矩陣乘上慣性力 那麼慣性力是質量乘上ω的方再乘上x 我們把它分開來寫 就應該是質量乘上ω的方 那麼乘上x 等於x 把這個式子我們整理一下 給出標準的柔度表達式 把x從等式的左邊拿過來 那麼就是x除上ω的方 減去f乘上n 那麼這個時候我們又得到了一個關於陣型的方程 只不過這時候方程中的係數是用柔度求出來的 那麼同樣道理 針對這個陣型方程 我要想有x有非0的解 那麼x前面組成的係數行列式 也就是它的係數行列式的質 需要等於0 把這個式子給出以後 我們就會看到在這個式子中 未知數是ω的方 我們得到了一個關於ω的方程 那麼它就是一個頻率方程 如果你的自由度是n的話 可以想見這個方程中最後求出來的 應該是關於ω的n次方的方程 那麼解得ω的數值大小 應該一共有n個解答 解出ω以後 用頻率方程解得頻率以後 把ω的數值帶回到第一個方程 關於x的這個陣型方程中 因爲它是其次的 所以它的解不是唯一的 那麼我們給出來的是關於x之間的比值關係 一個頻率帶回到一個陣型方程中 得到針對此頻率的陣型的數值 所以有n個自由度的體系 就應該有n個頻率 有n個陣型 每個頻率對應它自身本身的陣型 剛度柔度都講完了 那麼我們來看一下二者之間的關係 我們知道剛度陣和柔度陣是互爲異的 也就是說它倆乘完應該等於一個單位陣 那麼我們把這個柔度方程處理一下 讓它前乘上一個剛度矩陣k 那麼可以想見 它倆乘完得到的就是剛度陣 而k和柔度陣f一乘得到的是單位陣 也就只剩下m陣了 那麼整理完以後我們會發現 我們這個柔度方程就改成了一個 用剛度法所列的陣型方程 所以不管是什麼體系 用剛度法和柔度法所列的方程是同一個方程 它倆其實是等價的 那麼至於具體結構 你是用柔度法列還是用剛度法列 取決於什麼呢 取決於你的剛度陣和柔度陣中的係數 哪一個更好球 顯而易見 要想柔度dij好球的話 就是mij圖要快速能畫出 那麼當然就是靜定結構 適合於用柔度法 而k是加上附加約數以後 讓附加約數發生單位1的位移 球體上的反例 這個就是我們位移法的思路 那麼需要的就是 針對體系的位移 加上附加約數以後 得到的這個結構 和我們位移法的基本結構 要是能夠一致的話 那麼所有的剛度係數 一球的話 那麼直接代我們的平常數就可以了 所以一般是靜定的 是用柔度法 超靜定次數越多的 越適合於用剛度法來求解 我們來看一下 柔度方程 剛度方程列完以後 得到的陣型方程 頻率方程 已經全部求完了 那麼我們知道了 這不是目的 我們要求出頻率 求出陣型 而n個自由度的體系 應該有n個頻率 n個陣型 利用已列出來的頻率方程 我們求得對應的 這裏和我用剛度法舉例 但是不排除柔度法 解得的頻率 我們按照大小順序 依次從小往大排列 那麼得到的第一個頻率 應該是所有頻率中最小的 那麼最後一個頻率 就應該是所有頻率中最高的 我們依次把它稱爲 第一頻率 第二頻率 一直到第n頻率 在實際工程中 爲什麼我們要從小到大排列呢 因爲第一頻率 第二頻率 第一階的頻率 在工程中 它所佔的意義更重大 所以我們把第一頻率 還叫做基本頻率 其他的我們稱爲高階頻率 頻率求完了 要帶回到陣型方程 陣型方程什麼樣呢 就是你這個頻率方程 變成係數矩陣 後面乘上陣型 等於定 那麼ω1要帶回去 求得的x的數值 就叫第一陣型 ωi帶回去 求得的x的解答 就是第i個陣型 xi x求出來以後 我們一般都把它 用規則化表達 也就是第一個值設爲1 其他的按比例給除 一共應該有n個陣型 而這n個陣型 一定應該是線性無關 陣型是我們非常重要的 一個動力特性 那麼你在前面解答的時候 就做了一個假設 就是體系要按陣型振動 什麼叫按陣型振動呢 就是在任意時刻 體系中兩點之間的位移的比值 永遠和這個陣型是相等的 那麼體系各值點之間 做的振動就是同頻同步 任意時刻的位移值 永遠等於這個陣型的大小 這就是體系所謂的 按陣型做的自由振動 那麼既然位移的比值 永遠保持恆定一個量 那麼我們對位移的yt函數 進行一階求導 我們會發現求導以後 sin變成了cos omega1提出來的 那麼對每一點的位移 我們都提出來了同一個omega 都是sin變成了cos 所以我們發現 當體系按陣型振動的時候 各值點的位移的比 保持是陣型常數 而它的速度的比 也是常數 也是這個陣型 而且和這個位移比值 是同樣都按陣型振動 所以一句話是 體系按陣型振動的時候 各值點的位移 各值點的速度 永遠保持比例常數 這個常數就是它的陣型值 那麼我們來反推一下 什麼情況下 體系會發生按陣型的振動呢 既然你任意時刻的位移的比值 需要是等於陣型 那麼在初始時刻 零時刻 它的位移比值 就應該也等於陣型的比值 上面我們推出來了 任意時刻的你的速度的比值 應該等於陣型 那麼初始時刻 它的速度的比值 也必須是等於陣型的比 所以我們給出了 按陣型振動的先決條件就是 當體系的初速度初位移是 按某一陣型給定的時候 體系後續的振動將按此陣型發生 陣型和頻率 通過前面我們的陣型方程 頻率方程發現 在求解過程中 沒有和任何外部因素 比如核載等等發生任何關係 只和體系本身的值點的分佈 結構分佈有關 也就是說 陣型和頻率是體系固有的屬性 和外部因素有關 這就是我們在多自由度中 需要求解的兩個 對應的動力特性 一個就是它的n個頻率 第二個就是針對每個頻率 它所對應的陣型 所以記住n個自由度體系 有n個頻率和n個陣型 這部分工作 大家應該重點放在哪呢 一對任意體系拿過來 要分清楚自由度是幾 動力自由度給定以後 給出年每個值點運動的方向 然後柔度法 剛度法列出標準的陣型方程 列方程的時候要注意 那麼符合力學意義 所以下一步的工作 就是我們結構力學上 所確定的剛度係數的求解 柔度係數的求解 當這兩部分工作完成以後 那麼後面就是簡單的數學 解一個一元n次方程組 得頻率的數 解一個n元一次方程組 得它的陣型求解 兩部分的數 注意位置數不同 解的方程也不是 奧米格方帶進去那個 求完質以後 是關於奧米格方的n次方程 而這個是關於 n個位置數的n元一次方程 這個具體的數值求解 剛度法柔度法 我們在後續的課程中 我們要進行一下練習 自由振動講完了 那麼下面我們來看一下 我們得到的這個陣型 有什麼應用呢 爲什麼說這個陣型 是非常關鍵的一個動力特性呢 那是因爲陣型具有正交徑 用公式來表達就是 兩個不同的陣型 xi和xj 中間夾乘上它的質量陣 xj的轉質乘上剛度矩陣k 再乘上xi就應該等於0 這個性質我們稱爲叫 陣型的正交性 這個公式成立的前提條件就是 前後兩個陣型xj和xi 不是同一個陣型 那麼陣型對質量正交 同時它也是對剛度正交 所以中間夾乘剛度陣 中間夾乘質量陣 兩個不同的陣型乘完以後 都應該等於0 而這個正交性 大家一定要記住了 一定是對質量 對剛度正交 而不是它倆本身去相乘 那麼這個正交 我們剛纔強調了 一定要是xi和xj 兩個不同的陣型 去夾成一個質量陣和剛度陣 才能等於0 那如果要是同樣一個陣型呢 xi的轉質乘上m 再乘上xi會等於什麼呢 乘完以後 這回它不等於0 會得到一個數值 那麼這個時候我們就給它命名一下 xj的轉質乘上k 再乘上xj 得到的一個數值 我們記爲k接新號 這個我們把它叫做是 接陣型的廣義剛度 下一個 m前程是xj的轉質 後面乘上xj 得到的一個數值 我們把它記爲m接新號 我們把它叫做 接陣型的廣義質量 然後 如果結構體上受任意合載的話 我們把這個合載變成 等效在節點上的合載 然後前乘上第七個陣型 我們把這個叫做 接陣型的廣義合載 那麼同理我們也可以構造出一個 接陣型的廣義阻尼 怎麼構造出來的呢 那麼我們把這個阻尼陣C 也設定爲正交的 怎麼保證是正交的呢 我們現在只知道質量陣是對陣型正交 剛度陣對質量陣正交 所以按照這個思路 我們把這個阻尼陣C 用剛度陣和質量陣去進行疊加得到 進行線性組合的時候 那麼這裏頭A和B 就是需要帶球的兩個係數 怎麼球 阻尼在單自由度的時候怎麼得到的呢 是用實驗求得的 所以同理我們在多自由度的時候 也需要實驗求得 用什麼球呢 我們要測定阻尼比 那麼不同的陣型振動的時候 有不同的阻尼比 而這裏頭我們要求兩個係數A和B 所以實際上我們是在工程中 去用阻尼比這個概念去來求 任意一個第I個陣型 那麼它的阻尼矩陣前程上I陣型的轉制 後程上I以後 得到的就是第I個陣型的等效的廣義阻尼 而我們經過把這個式子進行代入計算以後 得到了一個第I個陣型的阻尼係數 阻尼係數在我們單自由度中講過 它應該等於科C乘上臨界阻尼 也就是二倍的奧米格乘上m m廣義質量已經有了 奧米格I已經算出了 那麼如果我能測出科CI的話 就可以代入此方程式中 如果我能測得兩個科C的話 I陣型的阻尼係數 J陣型的阻尼係數 那麼我們把它對應地代入 I陣型J陣型的阻尼比 兩個由實驗測得以後 代入公式表達 我們就可以求出A和B的兩個位置數 求出以後就可以帶回到 對應的阻尼矩陣中 構造出一個正交阻尼矩陣 而任意一個陣型 對應的第J個陣型的阻尼比 就可以用此式求出 也可以用底下的科CI的計算公式 直接用阻尼比的方法計算得到 那麼這種阻尼 我們因爲是用m和k按比例 給它線性疊加的 所以這種阻尼 我們把它叫做比例阻尼 而這種構造方式 是由一個叫做Rilis人發現的 所以我們也把它叫做Rilis阻尼 好了 我們知道了 陣型對質量正交 陣型對剛度正交 陣型對阻尼正交 那麼因爲它對我們這些都正交 我們在實際計算中 就可以把任意的運動 分解成n個陣型的疊加 講到這兒 陣型的正交性的應用纔出來 應用陣型的疊加法 我們可以把任意的振動分解成 按每個陣型去做的三自由度振動 也就是思路式 由n個偶合在一起的自由振動 結合成n個單自由度振動的疊加 我們來看一看實際的計算的步驟 首先要想計算陣型的疊加 你就得先有陣型 所以需要先求陣型和體律 陣型和體律有了 那麼我們還差阻尼 所以要首先利用實驗條件 確定陣型的阻尼比 要確定兩個kci和阻尼 由它以後就可以確定任意陣型的阻尼比了 那麼下面我們要帶到公式中計算的時候 Omega不行了 就得把Omega轉換成OmegaD 由阻尼參加的時候的阻尼體力 然後按照陣型疊加的概念 把任意的初速度初位移 結合成按每個陣型振動的時候的初速度初位移 都有了 那麼帶入到每個陣型所做的單自由度振動方程中 哪一個呢 就是我們這個方程 先把Yt假設爲按n個陣型做振動的疊加 而每個陣型所做的振動 後面所呈的這個時間函數 都是一個單自由度振動 那麼對原有的振動方程 我們可以把它結合成n個按每個陣型振動的單自由度振動的振動方程 那麼大家看一下 這個方程按第七個陣型振動的時候 那麼你前面呈的就是第七個陣型的廣義質量 廣義阻尼 廣義剛度 廣義合載 有了陣型 有了陣型以後 那麼按照前面我們上一篇所給的廣義剛度 廣義質量 廣義阻尼 廣義合載的計算公式 就可以得到任意一個陣型對應的單自由度振動方程 當方程疊成這個樣子 我們的多自由度體系的振動的問題就轉化爲單自由度體系的振動 那麼單自由度體系 如果是自由振動 Pt等於0 你在自由振動的方程裏解答 如果Pt是減斜函數 那你就按減斜合載受迫的解答給出 如果是任意函數 怎麼辦呢 單自由度我們複習過了 任意函數作用下 任意的合載作用下 沒辦法給出數值精確的微分關係的解答 那怎麼辦 我們就按時間曲線 給出Pt的時間曲線 然後進行度它們積分的計算就可以了 所以當轉化爲單自由度時 所有的單自由度計算 全部按照我們前面的單自由度中給出的公式計算 這裏只是第七個陣型的 我們要把i從1到n每個陣型得到的振動的方程全部求出以後 別忘了還得回來前程上第i個陣型 然後n 1到n個陣型的振動要疊加 得到實際它的振動 這個是我們陣型疊加法所求解的 任意合載作用下 有阻尼時多自由度體系的受陣分析 那麼這個受克分析 既然用到了陣型疊加法 一有疊加兩字 大家就該知道了 前提的條件或者是能用陣型疊加法的約束條件是什麼呢 結構必須是線彈性的 否則無從彈起疊加而自然 這是我們的計算受克振動通用的方法 那麼現在大家來考慮一個特例 當你的合載是一個減斜合載的時候 第j個陣型最後得到的運動方程長什麼呀 也就是這個dj應該是什麼樣呢 單自由度的公式我們知道 應該是減斜合載作用下的受克振動 應該最後體系應該按合載的頻率去進行振動 再用θt加上一個出向位 而前面這怎麼樣 應該乘上它產生的靜位移乘上一個動力擴大器數 那麼我們發現在這裏面 第j個陣型是按θ的頻率振動 而任意一個陣型都是按θ的頻率振動 帶到疊加的方程中我們會發現 最後所疊加的只是x數值大小不同 而後面所乘的數值不同 但是它所做的振動的規律全都是同頻同步的 所以最後它將得到的一個表達式就是 按照某一特點之間固定的比值乘上sinθt加 而這裏就是從第一個值點的振幅到第n個值點的振幅之間的振幅 那麼結論就是多自由度體系在減斜合載作用下受克振動時 它也相當於像陣型一樣 是各值點之間永遠同頻同步位移值保持是一個常數 有了這個那麼減斜合載作用下的受克振動 我們可以考慮不用這個陣型疊加了 而直接設定它的位移的幅值 只要求出幅值來就可以了 而求解方式跟我們的求振行的思路是一致的 受克的合載我們講完了 那麼現在要處理的是振行和頻率的實用計算方法 爲什麼呢 不管你是用剛度法列也好 用柔度法列也好 最後你要求頻率的時候 頻率方程是一個關於ω方的n次方程 兩次的我們還有公式可求 三次的就沒有公式了 再高以後數學解答的工作量就太大了 而你用這麼大的工作量解出來ω1到ωn以後 我們發現實際工程我們一般只用到第一頻率 基本頻率ω1等於多少 所以我們要想只求ω1的時候 我們可以用一些近似的計算方法 來看看第一種方法 這種方法我們稱爲叫能量法或者叫瑞利法 怎麼做呢 我們設定一個振行 就命名它爲第一振行 然後把它的廣義質量廣義剛度求出 二者一圖就是針對你設定的這個振行的頻率 那麼由這個公式我們可以看出來 如果我所設的這個振行恰恰好好是第二個振行 沒問題 求出來的就是ωi 我現在要求第一頻率 那我就設一個第一振行 前提條件就是什麼 你所設的這個振行跟第一振行一定要非常的接近 那麼就可以得出來第一頻率了 所以瑞利法或者叫能量法的核心就是 你所設的振行怎麼能最靠近實際的第一振行呢 這裏頭給大家介紹一種方法 就是第一 你這個振行一定要滿足原有的位移的邊界條件 比如我們圖示結構 底端是固定端 一定別忘了固定端 沒有角位移 沒有線移 第二 按照我們的生活經驗 可以大致判斷出來第一振行的形狀 那麼你所設的這個形狀一定要跟實際的振行相靠近 有一個辦法就是可以保證 你所設的這個形狀是跟原有的邊界條件吻合的 是什麼呢 你就實際求一下它的一個位移曲線 什麼位移曲線呢 把所有的質量按照它的運動方向加上 爲什麼呢 因爲在它自振的時候我們知道 其上作用的力只有慣性力 而慣性力是和質量成正比的 那麼我們就把它所有的質量加上 按位移方向加完以後 你就求解一下 在此種情況下 它所產生的位移曲線 把這個位移曲線看成是第一振行 代入能量法瑞利比的公式 得到相應的廣義質量廣義剛度 二者一除 得到的就是ω1的方向 經過我們前面的立體分析可以看到 按照剛纔我們所說的方法 在工程實踐中 當我們把這種所設定的位移曲線 替代成第一振行的時候 精度是符合我們工程要求的 所以這個方法可以看出來 計算量小 實施起來非常方便 概念很清晰 而且又滿足我們精度要求 那當然就是一個很理想的 只算第一頻率時的選擇 但是這個計算方法 有一個缺點就是 你說精度高 是因爲你算的近似值和精確值 二者比較了 你心裏有數知道 可以的 精度夠了 可是實際工程中 真要用這種方法算的時候 是沒有精確解答的 你不知道你的精確度到底在什麼範圍內 那麼這種近似方法 就會帶來一個不知道 結果到底有多精確的問題 那麼爲了解決這種問題 我們給出一種通過迭代 可以無限趨近於精確解答 它的精度是可控的計算方法 就是我們的迭代法求基頻和基本知識 首先介紹一個迭代的矩陣 就是這個D 用柔度矩陣和質量矩陣 求出來這個迭代矩陣以後 你可以先設定一個陣型 可以按照剛纔我們所說的方法去設定 設爲第一個初始的設爲X0 然後用它去開始迭代 怎麼迭代呢 用我們剛纔計算得到的迭代矩陣D 後乘上X0 那麼經過計算以後 得到一個新的陣型X1 X1算完以後 我們爲了和X0去進行判斷 那麼我們應該知道 如果X0是真的陣型 那麼你所新計算得到的X1 和這個X0之間應該是成比例 二者之間我們給它比一下 任意拿出對應的兩個值比 那麼所有對應值比完以後 應該是同一個比例關係 而且這個比例關係正好應該是ω方分之一 那麼二者成比例就不用算了 說明你設的X0恰恰好好 就是實際陣型 但是一般不會做到這樣的 那麼不成比例 X0不是陣型 但是我們計算得到的這個X1 應該比X0應該更趨近於第一陣型 爲了算起來方便 我們這時候讓X1給它規劃 也就是第一個值等於1 後面按比例除得 得到的這個是X1 再把它帶回到我們前面這個迭代公式中 那麼得到下一步計算得到的Xn加1 還是剛纔的道理 那麼我們看計算得到的Xn加1和這個Xn之間 是不是成比例呢 那麼如果成比例了 Xn計算就是已經得到了真實陣型了 但是因爲我們是近似計算的方法 它倆不可能完全成比例 只能是看什麼呢 看各個對應兩個值之間的比值 是否是接近於同一比值 那麼按照這個接近程度 就可以控制你的計算精度 它們二者之間對應的兩個值 兩個值兩個值一比 比出來在小數點第三位 已經都是一樣的了 那麼我們認爲這個精度夠了 那就是千分之一 到此計算結束 那麼你所給出來的這個算得的Xn 我們就把它稱爲基本陣型 而由我們前面這個二者比例關係可以看出來 你有Xn了 有Xn加1了 就可以算出ω的區 那麼ω就等於 對應的前後兩個數值之間的比 就是ω的方的區 那麼注意 這種算法算出來的 只要不是特別蹊蹺的 那麼設定的你的X0是比較一般性的 得到的頻率得到的陣型 肯定是第一頻率第一陣型 按照此種方法計算 跟前面能量法比 那麼缺點是計算量大一些 可能要迭代n次 但是優點是得到的結果精度可控 可以無限趨近於精確性 兩種方法建議大家都要掌握 那麼具體用哪種 就看你實際計算時的精度要求 到此爲止 我們所有多自由度涉及到的概念 無阻尼自由振動中要求動力特性 也就是你的自振頻率 你的每個自振頻率對應的振行 然後核心掌握振行的力學概念 振行有什麼特點 爲什麼體系會按振行振動呢 振行的正交系 這些全都要牢牢掌握 有了振行的正交系 我們才能進入下一步 什麼呢 核載作用下多自由度體系 我們怎麼去求解呢 爲了化解求解這個微分方程的麻煩 我們把任意的振動分解成爲 N個按振行振動的單自由振動 去進行求解 所以前提條件是振行是正交的 體系是線彈性的 然後大家要熟練掌握按振行求解的之路 如何把多自由度轉化爲N個單自由度 也就是廣義質量 廣義剛度 廣義阻尼 廣義核載的計算公式 當把它轉化爲單自由度以後 所有的公式去查 單自由度的 無核載作用的 簡系核載作用的 任意核載作用的 都要會求解 最後要掌握兩種實用的計算方法 那麼這樣我們的多自由度 就可以求解任意核載的作用下的 動力特性的求解 它的 只要工程要求的第一頻率的求解 好了休息一下