【清華大學】《土力學》（國家級精品課） P35 - 35. 35-8-5飽和土體的滲流固結理論（1）

好 同學們好 我們開始今天的課 上一節課我們給大家介紹了 地基的最終沉降量計算 我們用的是叫做分層總和法 我們分層總和法是拋開地基變形的過程 我們直接就是去計算它的最終的沉降量 那關於這個沉降變形的過程 那是我們這一節課要給大家解決的問題 我們就是這張的第五節 飽和土體的這個省流固結理論 那關於這個沉降變形的一個例子 我們還是拿出這個日本的關西機場 這個是個非常典型的 一個人工在大海里面填出來的一塊這個機場 那這個除了填住的這一層土之外 它的下面還有15到21米厚的一個粘土層 所以說這整個就決定了它這個填住的這個工程 這個機場它的變形非常大 另外持續的時間也很長 那麼這個是它建成之後 在這個機場上設置的一些沉降的觀測點 大家看到這個分佈了很多 然後這是整個測得的 這個當時設計的時候預計的沉降是5.7到7.5米 這是根據各種方法計算 包括我們上一節課大家學的這個分層總和法 這個實際完工的時候的沉降已經達到了8.1 並且還以每個月5公分 在90年的時候 我們5公分的這個速度在繼續的沉降 預計主固結完成的時間是20年 現在大家知道主固結是什麼意思了 就是由於超近孔煙水壓力消散引起的那部分 那部分沉降我們叫做主固結 這個大家看到這是一年的 這個測點是一年的 從2001年12月到2001年12月 平均每個測點大概還有20公分的沉降 這個持續的時間很長 所以說我們當修建一個建築物之後 我們引起的第一沉降 它實際上是一個和時間有關的變形的過程 我們上一節課給大家介紹的分層總和法 主要是拋開了這個沉降的過程 我們直接計算的是它可能發生的最終的沉降量 但是我們在實際工程當中 我們不僅僅需要知道一個建築物它最終沉降量是多少 我們還需要知道它在某一個時間 某一個時間它的沉降量 它沉降變化的過程 包括孔煙水壓力在某一個時間的大小 因爲我們知道超近孔煙水壓力的大小 取決於有效應力的大小 有效應力的大小除了變形之外 還有和它強度也有關 所以我們去分析這個建築物的穩定等等 我們也需要知道超近孔煙水壓力變化的過程 這樣的話我們就需要解決這樣的問題 就是固結沉降的發展的速度和程度 超近孔煙水壓力在某一個時刻的大小 我們解決這樣一個問題 就需要我們這一節課要給大家來介紹的 我們所謂的飽和土的一維省流固結理論 我們這一節的主要的內容分爲四個方面 第一個就給大家介紹飽和土的一維省流固結理論 也就是我們在文獻當中也常說的 是泰查基省流固結理論 第二個問題給大家介紹固結度的計算 所謂固結度就是固結的程度 在某一個時刻它已經固結到什麼程度了 叫做固結度的計算 第三個給大家討論有關沉降和時間的一些工程問題 就是在工程問題當中 我們需要和這個時間有關的這樣一個變形計算 我們需要有一些什麼樣的問題怎麼去解決 最後給大家討論我們反映固結快慢的係數 我們把它稱作是叫做固結係數 它在實驗室裏面來怎麼測定 這是我們這一節主要的四個問題 我們下面首先來看第一個問題 一維省流固結理論 那麼飽和土的省流固結理論 是針對土這樣一個多孔多相的鬆散介質 所建立起來的反映土體變形過程的基本理論 那麼這個理論是我們土地學的創始人泰沙基 在20世紀20年代提出來的 我們這節課介紹的內容 就是介紹這個一維省流固結理論的內容 我們分爲四個方面 第一我們給大家再重複介紹一下 泰沙基所根據這個一維省流固結建立的一個物理模型 這個事實上我們在上一章第三章的時候 已經給大家介紹過了 我們再簡單的給大家重複一遍 第二個就是數學模型 我們根據這個物理模型 根據它基本的幾個方面的定律 我們推導的建立一個數學的省流固結的溫分方程 第三討論一下這個數學模型溫分方程的求解 它的理論求解的問題 最後給大家討論固結程度和固結度的概念 我們這個一維省流固結理論分這四個方面 來給大家來介紹 那麼泰沙基的一維省流固結理論 針對的是圖體一維變形的問題 那麼一維變形的問題 在我們實際工程當中 典型的就是一個有限厚度的土層 我們施加一個大面積的盒載 理論上來講那就無限大的分佈的一個盒載 當然在實際工程當中 如果說我們施加的面積足夠大 相對它的土層的厚度足夠大的話 我們也可以把它簡化成 簡化成是一個一維的固結的問題 那麼一維固結問題它的一個特徵 就是說它的附加應力 我們施加一個盒載上去之後 它的附加應力在土層裏面引起的附加應力 它的增加是相等的 一個分佈是相等的 都是個P 那這個圖體變形它就是一維的 一個單純的沉降變形 就是一維的這麼一個變形 那麼這樣一個變形我們可以把它簡化成 我們圖示的這樣一個模型 這樣一個在鋼筒裏面 我們上面加一個軍布的盒載 這樣圖體的變形它是純粹一維的 由於我們側面是由不變形的鋼性的筒給它約束的 這樣的話是把它簡化成這樣一個變形的模態 所以它的主要的特點就是出於側線狀態 省流和圖體的變形都是沿着豎向這一個方向來發生 包括它的變形 包括我們在施壓了之後圖體要變形 變形之後把這個水擠出來 也就是我們所謂的固結省流 省流固結 那麼這個省流固結它也是沿着豎直這一個方向來發生的 水平方向不會發生 因爲大家都處於相同的情況 爲了更好地理解飽和圖體 在承受這樣一個核載條件下 所發生的內部的有效應力和超近孔域水壓 它們之間的相互關係 那麼泰查基提出了一個描述這樣一個物理現象的 一個簡單的固結模型 物理的固結模型 那麼泰查基提出的模型就是有這樣一個 在一個鋼筒裏面有一個彈性的活塞 彈性的彈簧上面加一個帶孔的活塞 有這樣一個結構來構成 我們在這個活塞上施加一個鋸木的鋰片 一個總的硬鋰片 那麼對這樣一個模型 它們兩者之間有一個非常相應的對應關係 各個量之間 我們在圖體固結這個側線條件 在我們這個模型裏面 也是通過一個側向不變形的鋼筒來模擬的 那麼圖體的骨架 當我們把它假設成是一個彈性介質的條件下 我們在這個模型裏面是用一個彈簧來模擬的 那麼圖體孔隙當中的飽和的孔隙水 在我們的模型裏面是充滿鋼筒的水來模擬的 那麼在我們實際的圖體模型裏面 當圖體省流的時候 它是沿着這個孔隙從上面涉出來的 而在我們的物理模型裏面 是通過活塞上面帶孔的活塞 來對應這樣一個特性 那麼圖體滲透性的大小 那就是我們用這個活塞孔的大小來模擬的 所以說這個真實的飽和圖體的固結過程 對應這樣一個物理模型 它的初始狀態 它的邊界條件 和它們相之間的相互作用 都是非常相似的 都可以來描述 這樣一個物理模型 就可以很好的來解釋 我們這樣一個飽和圖體所發生的省流固結的過程 那麼在泰拉基這個模型裏面 它是分爲三個狀態 來對這個圖體的固結過程來進行解釋的 我們首先來看t等於0這個時刻 這個時刻也是我們上一章介紹這個模型的時候 給大家重點討論的 我們當時討論這個主要是引出這個 在t等於0這個時刻 這個水還來不及 剛加上這個核載的瞬間 這個水還來不及從這個活塞裏滲出來 所以說這個活塞還沒有下移 沒有下移就意味着這個彈簧還沒有受到壓縮 所以說有彈簧承擔的圖體的有效應力這個部分 在t等於0這個時刻 它是等於0的 這樣的話總的附加應力p都會由裏面的水來承擔 我們叫做超近空移水壓力 在t等於0就是加上核載這一瞬間 它就等於施加的總核載p 這是在t等於0時刻所發生的事情 但是這個事情不可能永遠保持的 因爲我們這活塞是允許水從裏面向外面發生水流的 所以第二個典型的狀態是t大於0小於無窮的這個時刻 這個時刻就有一段時間之後 這個水有一部分水就從活塞的內部滲到了活塞的外部 這樣的話活塞就下移了 下移了一定的距離 那麼下移了一定的距離之後 那麼這個彈簧就會被壓縮了 被壓縮就意味着彈簧承擔了一部分力的作用 也就是說這時候這個有效應力它是大於0了 彈簧承擔了一部分力的作用 但是總的核載沒有變化 所以說空氣水承擔的超近空氣水壓力這個部分 它就小於總的p了 大家注意 在我飽和土體的條件下 我這個總核載沒有變化的條件下 在Ev的這個條件下 根據力的平衡 我們有效應力承擔的這一部分 和超近空氣壓承擔的這一部分 之核它應該等於總的附加應力p 這是T大於0和小於無窮的這個時刻 第三個時刻 第三個典型的狀態 那就是T趨向於無窮的時候 這個經過很長很長的時間以後 空氣水兩側就平衡了 水流就不再發生了 不再發生之後 我們這個活塞就不再移動了 我們彈簧的壓縮量就固定了 這時候由於水內外的壓力是平衡的 所以說下面活塞的超近空氣水壓力就沒有 就等於0了 所以這個外核載p就全部的由我們這個有效應力 由我們的彈簧來承擔 所以泰拉紀用這樣一個物理模型 就形象地描述了飽和土體在受到異位壓縮狀態下 我們施加一個附加應力的時候 它的土體骨架和空氣水所發生的兩個相者之間 它的相互作用和它發展的過程 那泰拉紀的這樣一個物理模型 我們可以很形象去解釋這樣一個物理現象 但是它只是形象的解釋 我們要實際地去解決這樣一個問題 去描述 尤其是描述它們相之間 隨着時間的一個變化的過程的話 那麼我們僅僅靠這樣一個物理模型 它只能定性地去描述 但是它不能定量 所以我們還需要去建立相應的數學模型 下面就給大家來介紹 關於這個伊維神流固結的數學模型 由於問題的複雜性 所以我們去建立這樣一個數學表示關係的時候 我們需要做一些基本的假設 我們在這樣一個問題裏面 我們主要做了六條假設 第一個 土層是均值且完全飽和的 這是我們研究的情況前提 第二 土顆粒和水是不可壓縮的 我想這個大家也應該可以認可 第三個 土的滲出和土層的壓縮只言數相發生 那就是伊維的 伊維神流這也是我們的前提條件 第四個 神流符合大氣定律且滲透係數 保持不變 這一條呢 我們仔細去想的話會有一些問題 我們知道了滲透係數 土的滲透係數呢 在我們第二章給大家講的時候 它的關係 受哪些土的影響 那第一個是什麼呀 還記得大家講的嗎 就是它的積沛和孔隙 積沛和孔隙 這就是過水的斷面 大家想一想 我們土體在壓縮過程當中 我們所壓縮的那個體積 哪來的 孔隙 所以我們在壓縮過程當中 去假設土的滲透係數保持不變 實際上可能有些問題 但是爲了簡化這個問題呢 我們也只能首先假定保持不變 這是第四條 第五條 壓縮係數A是常數 這個一聽大家就覺得有問題的 我們前面講的這個壓縮實驗 這個EP曲線 那隨着壓力的變化 P的變化 這個A是在時時刻刻發生變化 但是在現在 我們爲了使這個問題得到簡化 我們也假設這個壓縮係數A是一個常數 第六 核載均不損失施加 加上去之後 這個總應力是保持不變 不隨時間發生變化 我們這六條假設 有了這六條假設之後 我們就可以做一些數學的推導 基本的思路 首先 從這個基本的變量 從我們研究這個問題的基本變量 大家看起來的話應該有兩個 一個呢 是超近孔域水壓力的大小 另外一個呢 是有效應力的大小 但是呢 我們知道了 我們有這個 我們這個有效應力原理 另外我們也有根據第六條假定 總應力是不變的 這樣的話 實際上我們消去了一個位值量 我們就變成一個 我們在這個問題裏面 我們就取這個超近孔域水壓力 作爲我們這個問題的基本的物理量 我們把它作爲一個基本的量來推導 來建立這樣一個平面方程 我們建立這樣一個問題的思路是這樣 這是我們實際所發生的這個事 在t等於0時刻 我在施加這個外核載是吧 我們大家注意我們研究這個問題呢 是先不考慮原來的自動應力的是吧 我們是施加這個外核載 只是考慮這個外核載引起的變化這個部分是吧 我們在施加了這個外核載p之後是吧 在t等於0這個時刻我們已經討論了是吧 在這個土層裏面引起一個總應力是吧 總應力p的分佈 這個總應力呢 在t等於0這個時刻 它全部是超近孔域水壓力是吧 超近 就是我們t等於0這個時刻 大家注意 這時候這個p呢就等於是吧 這個就相當於u0是吧 超近孔域水壓力u0等於p是吧 有效應力是等於0的 這是這麼一個狀態是吧 那根據我們前面的討論 當t等於無窮的時候 我們超近孔域水壓力會消散完的是吧 所以在t趨向於無窮的時候 超近孔域水壓力會變成0 而這個有效應力呢 因爲總應力保持不變是吧 所以這個有效應力呢 會等於總的這個應力p 這是兩個極限的狀態 極限的狀態 而在中間的某一個狀態 大家注意呢 我現在研究的問題呢 首先大家看 我下面是首先假定不透水的 是吧 下面是個不透水的鹽層 這樣的話呢 排水的過程呢 只是一圍的向上的這麼一個過程是吧 這麼一個過程 就上面是排水 下面是不排水的 所以說呢 我定性的去畫一下 t大於0 小於無窮的某一個時刻的話 那麼它的超近孔域水壓力的分佈呢 大概是我這個圖上藍的這個部分 是吧 淺藍色的這個部分 大家注意呢 上面是排水的 所以呢它會 根據別人的想象 它一定是變成0 是吧 t大於0的時候要變成0的 而最下面 它的滲進最長 是吧 超近孔域水壓力應該消散得最慢 所以說它應該最大 所以大概應該成這樣一個分佈 是吧 我圖上畫的 那麼總應力p是個矩形分佈 所以說剩下這一部分應該是有效應力 是吧 有效應力 這個中間狀態是這麼一個狀態 是吧 所以說從這個討論我可以看到 在某一個時刻t 我土層裏面超近孔域水壓力的分佈呢 它應該是兩個量的這個函數 兩個變量的函數 是吧 一個是和時間t有關的 是吧 一個和時間t有關的 另外一個的話呢 就是和我這個位置有關的 是吧 就是和我深度 我如果說我們取個座標系 那麼向上是z的話 那就是說它的變化還是和z有關的 所以說呢 我土層超近孔域水壓力 它的大小是z和t的函數 是這麼一個關係 是吧 而我整個土層的這樣一個水流固結的過程 大家定性的上能不能理解這樣 它實際上取決於兩個量 第一個呢 大家想就是我需要總的排出的水量的多少 也就是說我作用一個和載之後 我這個土層的最終會發生一個壓縮 是吧 最終發生的壓縮 大家想一想 這個最終發生的壓縮是壓縮的什麼東西 孔隙是吧 而在孔隙在我飽和土體的情況下 孔隙小的話 實際上是把水壓出來 是吧 所以我這個過程實際上取決於第一個 就是土層的可壓縮量 決定了我需要把多少水從裏面擠出去 這是第一個方面的 取決於另外一個方面的量 就應該是我土層的滲透係數的大小 如果這個土很透水 那麼我需要的壓縮水很快就可以排出去 我這個水流固結過程可以很快發生 如果我滲透係數很小 那麼同樣的壓縮的量 我需要擠出同樣的水的話 我需要更長的時間 所以它的量應該取決於兩個方面 一個是土層的可壓縮性 也就是說總的需要壓出去的水量的大小 另外一個就是土層的滲透性 也就是決定了我們滲出去水的速度 那麼有了這兩個方面的東西之後 有了剛纔的討論 有了定性的概念之後 下面我們就來去推導這樣一個過程 那推導的時候呢 我們會從這個土層裏面某一個厚度 某一個位置 這一處 我們取出一個小的單元 這個小的這個土體的單元 它的厚度是dz 爲了簡單體現 我們取出這個單元的其它兩個方向的長度 我們都取一個1 這個大家大小是一樣的 推導方程爲了簡單體現我們就取1 所以這個微小單元它的體積是1乘1乘dz 然後我們考慮的是一個微小時段 大家注意在我們討論的這個情況下 我們說省流是一維的 省流是從下向上是這個一維的 因爲就上面 就上面是排水的 下面是不透水的 這個省流一定是單向的向上 所以我們假定了這一處 它的單位時間單位面積的流量 我們用個小q來表示 就這個土體單元這個流量 就用個小q來表示 因爲它是和座標軸反向的 所以我們加一個負號在這 這樣的話q本身它就變成正的 這樣過了dz之後 然後這個流量會變成負的 這個q乘上偏q偏dz 過了dz之後 它有一個這個量的變化 這是我們寫出這個單元 它的這個情況 下面我們推導的時候 先給大家說一下思路 我們就是利用了 在這個過程當中它的連續性條件 所謂的連續性條件 在我們這個問題裏面 實際上有兩個方面 這個連續性條件 體現在兩個方面 第一個呢 大家看到反映的是土骨架的體積變化 實際上就反映的是 孔隙體積的變化 是吧 這是我們從土體本身它的連續性條件 我們就是土體骨架 我們取了一個土體骨架 它的體積的變化 實際上就是這個單元裏面孔隙它的變化 是吧 如果這個土骨架被壓縮了 那就說這個孔隙被壓縮了 是吧 如果說這個體積膨脹 當然在我們的情況下不可能 它如果是膨脹了 它就是體積膨脹了 是吧 就這樣 第一個方面的連續性條件 就是骨架的體積變化 就等於這個孔隙體積的變化 這是我們連續性條件的第一個方面 那麼連續性條件的第二個方面 就是孔隙體積的變化 就等於裏面水的變化 是吧 水排出的或者是吸入了 是吧 這個方面也是連續的 因爲是飽和的 是吧 是飽和的 那就是土的孔隙體積的變化 就反映在我飽和土裏面 就是它的孔隙裏面水量的變化 水量的變化實際上就是流出和流入 我這個土體單元它的流量差 所以大家注意 我們是用這兩個方面的連續性條件 去構入我們的這個微分方程 其中還用這個土骨架的體積變化 我們實際上在我們的第二節 講那個土的壓縮性的時候 這個土的壓縮性就是這個土體 然後第二個還有個有效應用原理 還有一個有效應用原理 就是骨架有效應用原理 和超線固定水壓力之間的關係 還有反映這個流量 反映土體水流的基本定律 我們有搭系定律 這樣的話我們通過這個連續性條件 加上我們土的壓縮性 有效應用原理 搭系定律 這三個一致條件 一致的方程 我們最終會建立水流固結的基本的方程 大體的這個思路 是這樣一個思路 下面我就來簡單討論一下 這個推導的過程 這個推導的過程我不講得太細 因爲我想這個數學方程的推導 大家是強強 應該比我還強 所以說我只是給大家介紹一下 這個思路和過程 大家回去仔細地去看一下 這方面的這個東西 我們取出這樣一個單元 我們首先看一看 這個土體單元裏面 它的固體的體積 就是顆粒的那部分體積是多少 我們用一個微一來表示 那麼它就等於總體的 大家注意我們剛纔的總體的 因爲這個兩個邊纏是1 總體的就是dZ 那麼其中固體的體積的部分 我們就是乘了1加上1 1分之1 那這個大家能看懂嗎 大家畫一下那個三項草圖 我們取固體部分之1是1的話 那個孔隙部分一定是1 1 孔隙部分一定是1 所以總的應該是1加上1 1加上1 然後固體這個部分就是佔1那個部分 所以比例關係通過三項草圖 很容易把它寫出來 所以固體的體積的部分 就等於1加上1 1分之1乘上dZ 它在我們整個壓縮過程當中 是保持不變的 這是我們固結 就是顆粒那個部分是不可壓縮的 第二個部分是孔隙這個部分 用微二來表示 那就是根據這個指標E的定義 就是E乘上一個固體體積V1 帶進來實際上就是1 除上個1加上1乘上dZ 這是某一個時刻孔隙的部分 孔隙的這個部分 它是隨着省流固結髮生的過程 它是時時刻刻在發生變化的 因爲有效應力增長 有效應力增長引起土骨架的壓縮 土骨架壓縮就意味着土的孔隙會發生壓縮 所以微二這個部分是發生變化的 這樣的話我們在第七時段以內 我們根據第一個方面的連續性條件 就是土體孔隙體積的變化 就等於流出的水量 孔隙壓縮了多少 一定是把那個水擠出去了 根據這個的話我們大家看 這個第七時段內孔隙體積的變化 孔隙體積就是這個V2 它的孔隙體積的變化 就是偏V2偏t乘上個dt 這個dt時段以內孔隙體積的變化 那麼流出水量的變化 我們就根據這個 流入減上流出的 它就是這個單元裏面水的變化的多少 所以我們就這一項乘上一個dt 就是這個減上一個這個 再乘上一個dt 就是這個流入水量的變化 那麼大家看這個消去了 這個dt也消去了 大家看整個這一項 這一項下來的話就是偏q偏zdz 再把這個dt也放在這 當然這個dt也消去了 下面我們就得到這個方程 很簡潔的一個方程 1加上1 1分之1 偏e偏t等於偏q偏z 這個就是根據我們第一個方面的連續方程 也就是說孔隙體積的變化 等於流出的水量的大小 在dt時段以內得到這麼一個簡潔的方程 這就是我們根據第一個條件 我們得到的這個偏方程 大家看到這個裏面流量的變化 流量變化我們可以利用一下 我們學過的達西定律 我們有時候滿足達西定律 這個省流的過程 所以我們根據達西定律 這個流量應該等於它的面積 過水的斷面積乘上一個流速kI 然後這個a大家注意就是1 我們兩個邊長都是取的1 所以這個a就是1 就等於kI了 所以這個k大家注意這個i 這個i等於什麼呢 這個i實際上應該是 我們叫做水頭的偏分分的負數 水頭的偏分分應該包括位置水頭加上壓力水頭 大家注意我們剛纔的討論僅僅討論的是 我們這個附加應力引起的這個部分 附加應力引起的部分 我們說只引起超近空氣水壓力的變化 它的位置沒有變化 所以說我們這個i計算的時候 大家看到我是用的這個偏hu偏z 這個hu是什麼呢 就是超近空氣水壓力引起的那部分水頭 大家注意這是超近空氣水壓力引起的那部分水頭 所以它就寫成這個就等於u除上一個γw 這個u是超近空氣水壓力 大家注意這個u是超近空氣水壓力 大家注意一下我的定義 這樣的話根據這個大氣定律 我們這個q這裏面的q可以寫成這麼一個 和超近空氣水壓力可以弄上關係的 那其中另外的偏e偏t這一下 我們需要利用到另外一個連續性條件 大家注意我們第二個連續性條件 就是土體孔隙體移的變化 就等於土骨架的體積的變化 這是我們第二個需要用到的連續性條件 而土體骨架的體積變化 我們是可以根據土的壓縮性 把它和有效應力的變化聯繫起來的 那就是根據土的壓縮性 這是我們學的 土骨架的孔隙比的變化 根據我們學的 就等於壓縮係數 乘上一個有效應力的變化 這是我們上一講討論的土的壓縮性了 然後還有有效應力原理 就是有效應力 就等於總應力減上一個超近孔隙水壓力 我們把這個方程帶到這個裏面 這兩個方程都帶到這個方程左邊這個偏E偏T裏面 大家看到這個偏E偏T帶到這兒裏面 就等於一個負的A偏C 這一撇偏T 然後再把這個方程帶到這兒來 就是總應力減上一個超近孔隙水壓力 底下是偏T 大家注意我們總應力是不變的 所以時間不變的 所以這個一偏這個就沒了 就剩下超近孔隙水壓力的變化 這個就等於A偏U偏T 這是根據第二個連線條件 我們導出了這個偏E偏T 就等於A偏U偏T 導出這樣一個關係 所以下面我們就把 達西定律和我們剛纔給你土的壓縮性得到的這樣一個關係 兩個分別帶到這個方程的右邊和左邊 帶進來之後稍加整理 我們就可以得到這樣一個式子 這樣一個式子再進一步整理 就得到這樣一個 這個過程大家看懂了沒有 現在大家重點是理解這兩個連續性條件 連續性條件 大家如果理解了這兩個連續性條件 就根據我們的壓縮性 然後就馬上可以把這個方程導出來 我們最後導出的關係大家注意 這邊是偏U偏T 等於k1加上1 底下γw A 這邊是偏U的平方 偏Z的平方 這樣一個關係 這樣一個關係的話 我們看看我們方程右邊前面這些東西 這些東西都是一質量 都是根據我們前面都是可以測的 對於固定的圖體我們都是可以測的 都是一質的量 所以我們把前面這個量定義成一個係數 用CV來表示 這個CV的話我們就稱作是叫做固結係數 大家對這樣的方程熟悉不熟悉 見過嗎 有的同學說見過 什麼方程啊 大家在哪兒見過 熱傳導方程 還有在其它地方見過嗎 擴散 對 分子的擴散 在水裏面或者是吧 我們根據分子的濃度不一樣的 它有一個擴散的過程 擴散的過程也是這樣一個方程 這是一個典型的 可以反映擴散過程的這樣一個方程 這個我們實際上大家看到 超近孔明水壓力的消散 它也是一個擴散的過程 我們從這個方程可以看到這一點 那麼下面來看一看這個固結係數 這個固結係數根據這個方程大家都知道 這個固結係數大家看這個方程的左邊 反映的是這個量隨時間的變化的過程 大家看到這個固結係數CV它的大小 實際上就和這個擴散發生的快慢 它是有關的 所以說這個CV就反映了圖體的固結特性 也就反映了超近孔明水壓力消散的快慢 也就是說我們圖體固結速度的快慢 這是固結係數 另外從這個定義我們知道 這個CV固結係數它的大小 是和滲透係數K成正比的 是和壓縮係數A成反比的 這個大家能不能從定性上去理解這個問題 我們爲什麼這個固結係數它固結得快慢 我想和滲透係數K成正比大家容易理解 這個K越大排水越快 它應該是消散的就越快 這個CV就越大 和壓縮係數A成反比大家能理解嗎 越難壓縮它就是越快還是越慢 大家看看對不對 大家說的 壓縮性越大就意味着什麼呀 壓縮性越大就圖體越容易壓縮是吧 越容易壓縮就意味着什麼呀 在同樣一個硬體作用下需要擠出去的水量怎麼樣 多還是少 是多的是吧 所以它就慢 是吧 它就慢 是這樣一個理解 大家別想反了 這兩個因素 它的單位是每秒長度的時間 長度的平方 除上一個時間 是這樣一個 對一般的粘生性土的話大概10»¼這樣一個量級 這樣一個方程的話 我們叫做省流固結的方程 它實際上就反映了我們超進孔隙水壓力消散的速度 和孔壓沿豎向分佈的關係 實際上這兩邊的物理很明確 這邊就是反映的超進孔隙水壓力消散的速度 這邊大家看到就是超進孔隙水壓力沿着豎向分佈的規律 所以它反映的是超進孔壓消散的速度 與孔壓沿豎向分佈的這樣一個關係 這個方程在數學上 我們把它稱作是線性的齊次的拋物線片面方程 它是我們研究了非常多的 就是擴散方程 包括熱擴散 包括分子擴散 都是這樣一個方程 這個方程在數學裏研究了很多 它的求解方法也是在數學裏面研究過的 它有一個標準的求解方法 可以用分離變量法來進行求解 它解的一般形式 就是我臺上寫的這個形式 是這麼一個 大家看到這是一個三角函數 這還加上一個衰減型的一個自然對數的這麼一個函數 是它的基本解的這樣一個形式 那這樣一個方程 在我們給定相應邊界條件的條件下 它可以完全地採用數學的方法來進行求解的 下面我們就給大家簡單討論一下 這個問題的求解的方法和它的理論的解的形式 我說我們求解這樣一個問題 有了片面方程之後 我們求解一個這樣的和時間有關的 這樣一個片面方程 它需要知道兩個方面的條件 第一個就是它的初始條件 對於我們這樣一個問題初始條件 根據我們前面的討論 它已經我們知道得很清楚了 就在t等於0時刻的初始條件 就超近孔域水壓裏是一個矩形的分佈 是一個等值的分佈 然後呢 每個地方都是這樣的 這是這個初始條件 邊界條件 我們知道兩個 在一般的 在某一個時間t t大於0小於無窮的這個時刻 實際上它的邊界條件就是 我們上面是排水的 所以上面等於0 這個超近孔域水壓裏等於0 下面大家注意是不排水的 不排水的就意味着 就意味着它的導數等於0 不排水就意味着它的導數等於0 在這個方向 它沒有流量 所以它意味着它的導數等於0 這是在t大於0小於無窮的時候 它兩個邊界條件 另外在t趨向於無窮的時候 大家注意 這個超近孔域水壓都要消散爲0的 消散爲0 這也是我們一致的另外一個附加的條件 那麼有了這樣一個邊界條件 有了這樣一個數學方程 我們有一個標準的解法 根據這樣的話 我們可以求得這樣一個問題的解 這樣一個問題的解 可惜求出這個解不是一個簡潔的表述形式 它是一個級數的形式 這個是數學上給出的 數學家做的 那麼給出的是一個級數解 大家看到這是π分之4p 這有一個求和 這個級數求和m等於1到無窮 大家注意這個m取的是奇數 1 3 5 這麼下去的 前面有一項sin 有一個正旋 後面是一個e的負的多少次方 這樣一個形式 這裏面大家注意 有一個t位 我這給了一個t位 這個t位是這麼來定義的 這個當中的t位是這麼來定義的 是h的平方分之c位乘上一個t 大家看到這個方程除了這個t位之外 沒有其他含時間的項 所以這個量t位我們就把它定爲時間因素 大家看這裏面有時間 時間因素 它是一個無量綱的量 它兩個都消棄了 正好是一個無量綱的量 那麼這個t位 它反映的是超近孔虞水壓力消散的程度 在某一個時刻t反映的是超近孔虞水壓力消散的程度 大家可能目前不理解 這麼一個 除了一個厚度平方的c位 這個t 做了一個這麼變化之後 就成了一個反映超近孔虞水壓力消散程度的這樣一個量 大家可能現在還不理解 這個後面我們會繼續給大家來討論 爲什麼它是反映這個 我們後面還會給大家討論 大家注意這樣一個極豎方程的解 它的隨着這個m的變化 它的衰減速度很快 所以說我們在實際工程當中 我們通常取一到兩項就滿足我們的精度要求了 一般來說取兩項 一般取兩項就夠了 不太會取三項 取兩項就足夠了 因爲它衰減的速度很快 我們可以從這樣一個方程來給大家討論一下 在這個土層裏面 超近孔虞水壓大概是一個什麼樣的分佈 實際上比如說我們可以寫出 我們可以寫出這個m等於1的時候 m等於1的時候這個像素 它展開的話我們m等於1的這一項 就這樣一個 兩項來組成 其中呢 前面是一個sin 大家看到是一個正弦的四分之一 這個是一個衰減函數 所以實際上它包括了兩個方面 第一個呢 它的基本的形狀大家看到 它應該是大概接近於我的這樣一個分佈 隨着z的 大家看到隨着z的一個變化 接近於一個四分之一的 因爲我取了一項是一個四分之一的 我後面還有其他項 它的形狀就接近於一個四分之一的正弦的一個分佈的形式 而這個就反映了極值 它的最大值 消散的大小 大家看到隨着時間的變化 這個最大值應該是在最下面 它逐漸逐漸的會減小 操作性會減小 這個是反映這個最大值 它衰減得快慢 所以它整個是這麼兩項的一個形式 我們畫一畫某一個時間t 它的分佈的話 大家看到就是我圖上畫的這個分佈 t等於0的時候是個矩形的 然後t大於0逐漸的 t等於無窮的時候消散成完全等於0 是大概的 是這麼一個變化的形式 所以我們實際上從超近孔域水壓力 這個UZ曲線的移動情況 可以實際上看出的就是這樣一個圖層 它水流固結髮生的一個進展的過程 另外從我們這個曲線上 每一點大家看到 如果說它的斜率 它的斜率反映的是什麼呀 因爲超近孔域水壓的大小 它的斜率就反映水力梯度的方向 水力梯度的方向也反映水流的方向 好 我們下面休息五分鐘