F65 - Che cos'è un limite singolare?

immaginate di avere una cesta con dentro 100 mele e immaginate che X di queste 100 mele contengano un verme se prendete a caso una di queste mele la probabilità che essa contenga un verme è Allora ovviamente PV = X / 100 molto bene Adesso immaginate che dopo aver preso una di queste mele la mordete e che nel pezzo di mela restante trovate una porzione R di verme una porzione quindi una percentuale di verme quindi è qualche cosa che è compreso tra 0 e 1 ora se avete questa infelice esperienza di trovare questa porzione Raw di verme Nel pezzo restante di mela sapete di avere mangiato una porzione rarra che è 1 - r di verme ovviamente quindi per fare degli esempi se avete trovato metà verme Nel pezzo restante Avete mangiato 1 - 1/2 avete mangiato mezzo verme se avete trovato 1/3 di verme Nel pezzo restante Allora avete mangiato 1 - 1/3 cioè 2/3 di verme e più piccolo è ovviamente più piccolo è è la porzione di verme che trovate nel pezzo restante maggiore è la porzione di verme che avete mangiato e più infelice la vostra esperienza ma è proprio così eh vediamo di ragionare un po' più attentamente chiediamoci Qual è la probabilità Qual è la probabilità di aver mangiato una porzione R barra di verme sapendo ovviamente che nel pezzo restante ho trovato una porzione Raw questa questa parte condizionale non la scrivo perché sennò la scrittura diventa troppo arzigogolata allora la probabilità che io ho mangiato una porzione R barra di verme sapendo che nel pezzo restante ne ho trovato una porzione R Beh ovviamente questa probabilità vale 1 Allora se questa probabilità vale 1 ovviamente posso ipotizzare che limite di p r bar nel n limite in cui R bar La porzione di verme che ho mangiato tende a 1 cioè il limite di questa probabilità quando la porzione che ho mangiato tende a 1 e Beh è il limite di qualche cosa che è una costante e quindi questo deve valere esattamente 1 quindi ne potrei dedurre se non sto attento che la probabilità di mangiare di aver mangiato un verme intero quando nel pezzo restante di mela non c'è nessun verme sia uno cioè che l'abbia mangiato con certezza Ma questo ovviamente è sbagliato perché quando io mangio una mela se nella mela non trovo nel pezzo restante non trovo nessun verme Questo potrebbe anche essere perché la mela non conteneva nessun verme ora quello che sto dicendo è che la probabilità di avere mangiato un verme intero Eh beh È semplicemente PV cioè X su 100 se ad esempio X Diciamo per fare un esempio è 50 Cioè solo metà delle mele hanno il verme Allora questa probabilità questo P 1 Vale 1/2 e quindi vedete che cosa ottengo ottengo che il limite della probabilità pi R pi R barra quando R barra va a 1 è diverso da pi di 1 quindi è un limite di natura discontinua Quindi è un limite singolare nel senso che è discontinuo se traccio la funzione se traccio questa funzione p di R barra in funzione di R barra e ovviamente R barra quando quando Diciamo tra 0 e 1 è una funzione costante vale sempre 1 e poi quando arriviamo il sul valore 1 non è più dato dal limite ma abbiamo ad esempio nel caso speciale che abbiamo scelto il valore 1/2 Quindi abbiamo una discontinuità in questo punto molto bene Questo esempio è molto carino ed è un esempio emblematico perché lascia intendere che là fuori nella descrizione del mondo ci siano innumerevoli problemi di questo tipo limiti di natura singolare in realtà la fisica è piena di limiti singolari ve ne farò un esempio solo in questa Chicca però ovviamente il tema è vastissimo Siccome ci siamo occupati di equazioni di Schrodinger e di processi di scattering farò un semplice esempio in questo ambito cancello e continuiamo bene allora immaginate un problema unidimensionale dove eh abbiamo a che fare con una barriera di potenziale di forma quadrata diciamo di larghezza a E di altezza v0 immaginate che ci sia un corpuscolo che arriva da sinistra con energia e se questa energia e è strettamente più grande che l'altezza della barriera di potenziale ovviamente il corpuscolo attraverserà il la regione del potenziale verrà sostanzialmente trasmesso si dice che viene trasmesso nel caso quindi di un corpuscolo classico la probabilità di trasmissione per questa energia e Eh adesso non stiamo a scriverla qui diciamo la probabilità classica ovviamente Siccome ci limitiamo a questo regime di energia sopra la barriera di potenziale Ebbene questo vale esattamente 1 adesso uno può fare il calcolo della probabilità di trasmissione quantistica no per la stessa energia Ovviamente questa probabilità di trasmissione quantistica Dipenderà dalla costante di Plan h h tagliato h tagliato è la costante di Plank ridotta ovviamente che è ehm h su 2 P Ok Ehm quindi dipende no E ci si aspetta no se se se ci mettiamo nel paradigma che dice Ah la fisica quantistica ridà la fisica classica n il limite in cui h tagliato tende a zero perché Perché ad esempio che ne so sappiamo tutti che abbiamo le relazioni di commutazione tra Ad esempio la posizione la quantità di moto che sono proporzionali a h tagliato Quindi se h tagliato va a Zer p e q diventano uguali a Zer e quindi commutano quindi sono di nuovo come delle grandezze reali non più delle matrici quindi ritroviamo tutta la descrizione classica No non c'è più il Principio di indeterminazione di Heisenberg e via discorrendo no Quindi c'è questa idea che ad esempio per ritornare al nostro caso se adesso prendo la probabilità di trasmissione quantistica e faccio h tagliato verso 0 e beh questo dovrebbe darmi la probabilità di trasmissione della fisica classica Quindi il valore 1 però non funziona così non funziona così perché questo limite h h tagliato tende verso zero è un esempio embl di limite singolare Vediamo come funziona Allora Beh cosa possiamo fare Beh adesso è semplicemente basta calcolarla questa probabilità di trasmissione quantistica No adesso prendo il foglio che ce l'ho scritta qua perché non voglio sbagliarmi Comunque non facciamo il calcolo che è molto lungo Non è difficile ma è molto lungo bisogna risolvere l'equazione di Singer stazionaria eccetera eccetera come abbiamo fatto in un altro video per il potenziale di DIR Comunque si trova 1 su 1 + v0 qu / 4e e - v0 moltiplicato per seno quadr Qui abbiamo poi una radice quadr di 2m e - v0 per a / h tagliato e questo è l'argomento del seno Questa è la probabilità quantistica ora per non lasciarci distrarre da tutti queste cose qua vedere più semplicemente cos'è questa formula scegliamo il caso in cui l'energia vale due volte l'altezza del potenziale prendiamo la massa uguale a 1/2 prendiamo la larghezza uguale a 1 sulla Rad v0 Allora con tutte questi valori otteniamo una formula un po' più semplice da guardare probabilità quantistica di trasmissione uguale 1 su 1 + 1/8 seno quadrato di 1 su h tagliato ora se guardate questa formula vedete subito che c'è un problema perché se qui abbiamo una funzione trigonometrica il seno al quadrato quindi è qualche cosa che quando cambia suo argomento inizia ad oscillare no se h tagliato va a zero l'argomento è sempre più grande l'oscillazione sarà sempre più rapida Cioè se io traccio questa funzione questa probabilità di trasmissione quantistica Ebbene sarà qualche cosa ovviamente che prende il valore massimo 1 e 1 è quando abbiamo le cosiddette risonanze di trasmissione e avrà un valore minimo che qui si calcola è 8/9 se non vado sbagliato quindi un valore di questo tipo No un po' più in basso Mettiamolo qua e tra questi due valori avremo una funzione oscillante che poi avvicinandosi al al regime h che tende a zero oscillerà infinitamente veloce quindi vedete che questo sicuramente non funziona la probabilità di trasmissione quantistica quando h tende a zero non tende verso la probabilità classica e quindi c'è una discontinuità Quindi è un limite singolare ma qui è doppiamente singolare poiché non solo non tende verso il valore giusto ma diventa patologica diventa infinitamente oscillante bene Questo era l'esempio poi ovviamente questo non vuol dire che non possiamo ritrovare la fisica classica e ragionando correttamente a partire dalla fisica quantistica nel regime in cui il valore di H diventa trascurabile rispetto a tutte le altre grandezze fisiche No questo è in linea di principio possibile ma bisogna prendere degli accorgimenti non si può prendere semplicemente una grandezza della fisica quantistica e far tendere h tagliato verso zero e sperare di trovare qualche cosa che abbia un senso e che sia interpretabile dal punto di vista della fisica classica non funziona così Nella fattispecie ovviamente che cosa bisogna fare Bisogna considerare che di solito si hanno dei pacchetti d'onda quindi c'è una distribuzione in energia e quindi questa queste probabilità di trasmissione per una data energia vanno integrate eh sull'energia sul pacchetto d'onda entrante E questa integrazione regolarizza queste oscillazioni E fa sì che queste oscillazioni alla fine tendano verso zero quando si fa questa integrale sull'energia con il pacchetto d'onda entrante e quindi si ritrova poi il valore uno ci sono quindi dei procedimenti No per comprendere in che modo in che misura bisogna ricostruire la fisica classica e tutto questo passaggio da una teoria a un'altra dove ci sono proprietà emergenti ad esempio nella fisica quantistica ci sono le interferenze c'è il principio di sovrapposizione sono queste interferenze costruttive e distruttive che fanno sì che la probabilità di trasmissione abbia questo comportamento oscillante no E ovviamente nella fisica classica non c'è quindi ci dovrebbe essere un meccanismo che le distrugge queste questi fenomeni di interferenza e quindi bisogna prestare sempre molta attenzione Ok comunque questo è un enorme tema della fisica il passaggio da settori da tra diversi settori diverse teorie diversi livelli eccetera eccetera qui non ci provo neanche lascio l'ultima parola al fisico britannico Michael Berry che tra l'altro è l'ideatore di questo carinissimo esempio della della mela con il verme Adesso vi leggo un passaggio di Michael Berry Vediamo se con gli occhiali ce la faccio ed è questo e su questo concludiamo in fisica i limiti abbondano e sono fondamentali nel passaggio tra descrizioni della natura a diversi livelli il mondo classico è il limite del mondo quantistico quando la costante h di Plank è trascurabile l'ottica geometrica il limite dell'ot ondulatoria quando la lunghezza d'onda lambda è insignificante la termodinamica è il limite della Meccanica statistica quando il numero n di particelle è così grande che 1o su n diviene trascurabile la meccanica di un fluido scorrevole è il limite della Meccanica di un fluido viscoso quando l'inverso 1 su R del numero di reinolds R può essere trascurato questi limiti hanno una caratteristica comune sono tutti singolari devono esserlo perché le teorie che collegano coinvolgono concetti qualitativamente molto diversi i limiti singolari presentano aspetti sia rassicuranti che creativi Inoltre considerandoli come una caratteristica generale della fisica ci permettono di comprendere due problemi filosofici collegati come una teoria più grande possa ridursi a una teoria meno generale come i fenomeni di livello superiore possano emergere da fomi di livello inferiore Grazie per l'ascolto