F69 - Da due a tre fenditure: come si calcola l’interferenza

Ehi Che cosa stai facendo lì alla lavagna II Luca Ciao stavo facendo un disegno perché volevo fare un video per spiegare come si fanno diciamo così i calcoli per dedurre le famose frange di interferenza del famosissimo esperimento della doppia fenditura di cui abbiamo già parlato tu e io Sì l'ultima volta Sì sìì esatto e stavo dicendo da questo voglio fare un un video dove spiego perché di solito nessuno spiega mai Ma com'è che si fanno a ottenere no le posizioni ad esempio dei vari picchi quindi i massimi di intensità e poi ad esempio i minimi di intensità e poi c'era un'altra cosa che mi volevo chiedere volevo spiegare e perché me la volevo spiegare anche a me in realtà io faccio sempre dei video su delle cose che ogni tanto Ci rifletto e mi son detto ma non ho mai fatto il calcolo quando ci sono tre fenditure no invece di due Ti ricordi che avevamo anche parlato del problema tre fenditure insi Sì delle interferenze es Esatto più complica che c'erano delle relazioni strane esat Sì di quella cosa poi Tra l'altro dobbiamo riparlare tu ed io perché abbiamo raccontato delle cose giuste Ma incomplete colpa mia ovviamente prossimo video prossimo video Ma qui dicevo Vedi questa curva rossa che ho fatto questa sarebbe la curva che dice Qual è l'intensità sullo schermo questa è lo schermo e qui l'ho definito come un asse delle x no Sì E qui in ogni punto ad esempio punto x c'è un certo valore di questa intensità ad esempio qui dove ho fatto il punto x ci sarebbe un minimo dell'intensità qui un massimo poi un minimo un Massimo e questa Sì questa è la figura che si viene a disegnare sullo schermo sullo schermo Qui ci sono le frange Qui c'è una frangia di intensità massima qui un'altra frangia un'altra frangia eccetera no sì e mi interessava capire cosa succede quando hai tre fenditure rispetto a due ovviamente prima bisogna fare il calcolo con due poi vedere come perché diventa un po' più complicato il calcolo E perché o se si arricchisce questa figura oppure no se rimane più o meno la stessa e allora Ovvio per fare un calcolo di questo genere può essere estremamente complicato perché uno dice prendo l'equazione di Schrodinger devo inserire tutte le condizioni al bordo dello schermo dei due delle Def fenditure eccetera inserire nell'equazione risolvere poi diventa divare molto complicato fare una cosa di questo genere se la si vuole fare però i fisici di solito sono un po' più furbi e fanno delle approssimazioni ragionano in termini un po' più euristici e riescono lo stesso a derivare i risultati importanti no se vedo lì un po' un'approssimazione un trucchetto Qui stavo già mettendo perché stavo già segnandosi mi sono segnato che il ragionamento sarebbe stato fatto ipotizzando che questa distanza tra i due schermi quello con le due fenditure e quello rilevatore questa distanza è molto grande rispetto alla distanza tra le due fenditure e rispetto alla ai punti sullo schermo che andiamo ad analizzare rispetto Sì alla zona quindi interessata interessata Qui sembra che X sia abbastanza grande ma in realtà è perché non posso fare facciamo come fossero molto molto lontani po' più lontano di così così che diciamo x e d siano molto piccoli rispetto a l questo può aiutare semplificare le formule d'accordo Ok allora anche qua Ovviamente ho già segnato dei valori che poi in realtà bisogna dedur No ma ci arriviamo dopo no allora il punto è come si ragiona su un problema di questo tipo e in realtà è tutto abbastanza semplice basta quella matematica del liceo che tu sicuramente conosci quindi forse dovrei riuscire a seguire la maggior parte dei ragionamenti assolutamente riesce a seguire allora abbiamo due fenditure no Quindi dobbiamo immaginare Qui c'è la fonte luminosa no e da questa Fonte luminosa ovviamente emergono i fotoni o gli elettroni a seconda delle entità quantistiche con cui abbiamo a che fare e qui Supponiamo che appunto le due fenditure si comportano Quindi come due nuove fonti no di emissione no e quello che su poniamo in questo calcolo è che le onde emergono dalla prima e dalla seconda fenditura con la stessa fase no Quindi se un se escono con un picco di intensità escono con un picco di intensità da entrambe le fenditure no ok Sì sono in fase sono in fase All'uscita in coerenza di fasi adesso cosa succede Beh queste due onde qui le vedi che ho fatto un disegnetto dell'onda no E questa e qui vedi che c'è tra tra due valli o due creste C'è una distanza e questa è la distanza che caratterizza l'onda in questione che è la cosiddetta lunghezza d'onda sì che di solito si scrive lambda no abitualmente e Supponiamo qua che abbiamo a che fare inizialmente Se non altro con un'onda monocromatica cioè che ha un'unica lunghezza d'onda Ecco o o unica frequenza no si può ragionare in termini di Fre Sì sì sì caso più semplice caso su un'unica onda con una cioè le onde hanno tutte queste due onde hanno la stessa lunghezza d'onda Molto bene adesso qual è Cos'è che succede queste per arrivare guardo al punto x e dico dal punto x l'onda deve fare una certa distanza per arrivare a questo punto x no sì E questa distanza qua la chiamo L1 e l'altra onda deve fare una distanza che è L2 sì che è leggermente differente qui lo vedi già No L2 è più grande di L1 sì sì sì sì ora è evidente che noi sappiamo e mi metto di qua Guarda che è così che per ottenere diciamo così quello che è importante è la la chiamo Delta 1 e 2 ed è la differenza tra queste due distanze che è L2 - L1 perché è importante che questa differenza sia tale ad esempio mi posso chiedere qual è come deve essere questa differenza affinché ci sia un'interferenza puramente costrut perché se è costruttiva si crea il picco se è distruttiva invece Valle crea Sì s s si crea un'interferenza distruttiva no sì allora perché sia perfettamente costruttiva bisogna che questa differenza sia un multiplo della lunghezza d'onda m perché ovviamente no dopo una lunghezza d'onda l'onda si ripete Esattamente no quindi e quindi se cioè ciclico e quindi la ciclicità e la lunghezza d'onda Esatto esatto quindi io dico questa differenza per avere un'interferenza diciamo costruttiva no costruttiva questa differenza deve essere un certo n moltiplicato per lambda Sì E dove n è un numero intero positivo o negativo Eh voilà Questa è l'interferenza costruttiva oppure l'interferenza distruttiva l'interferenza distruttiva come sarà Eh beh avrò Delta 1 2 che invece di essere un multiplo della lunghezza d'onda sarà un multiplo della lunghezza d'onda più mezza lunghezza d'onda più 1 mezzo di lambda no E in questo caso avrò le le due onde che sono in perfetta opposizione di fase e a questo punto ho un'inferenza distruttiva sì a questo punto dici Ok allora è molto semplice basta che calcolo questa differenza tra questi due percorsi no e se guardiamo qua alla fine è molto semplice perché qui Ho dei triangoli se prendo il caso di L prendiamo il caso di L2 qui vedo che ho un triangolo no E che questo triangolo ha due cateti uno dei cateti è l esatto e l'altro cateto è questo ed è x e ti manca 1 mezzo d e mi manca qua 1 me2o di D D su 2 qua no ecco quindi l L2 quad teorema di Pit è l qu + X + D su 2 al quadrato sì e L1 quad è la stessa cosa l qu + X - D su 2 al quad Eh perché qui invece avrò questo triangolo qu Ah sì è l'altra metà consegno diverso Certo Qui togli qui es e qui posso addirittura Quindi a questo punto posso poss anche scrivere L2 e sarà la radice quadrata di questa di questo oggetto no Quindi di L qu + X + D su 2 qu guardiamo per l l qui posso mettere questo l quad in fattore farlo uscire dalla radice e quindi avrò 1 + X su X su l + d su 2 l il tutto al quadrato questo l su 2 e ovviamente l su 1 sarà la stessa cosa l su 1 L1 Pardon sarà esattamente l r 1 + X su l Men questa volta Men di Scrivo malissimo 2 su l al quad Sì bene Adesso abbiamo queste due espressioni ed è adesso che uso il fatto di avere questa approssimazione perché so che X su l piccolo D su l piccolo m quando ho una radice quadrata e ho 1 + Y e Y è piccolo rispetto a 1 eh questa radice quadrata la posso Quasi uguale a 1 è uguale a 1 più la prima correzione è 1/2 di Y Ok dopo hai ancora dei termini che sono del dell'ordine Y quad d'accordo quindi molto piccoli visto yol questi li posso trascurare no sì e quindi qui questa questa Rad questa questo oggetto qua posso dire che è uguale a l e la radice la posso approssimare con 1 + 1/2 e poi ho questo quadrato che c'ha il qui quindi adesso avrò approssimato e qui avrò questo quadrato col segno più Questo è L2 diciamo no e L1 sarà la stessa cosa 1 + 1/2 dello stesso quadrato ma con segno Men con segno meno ok E adesso devo fare Delta 1 2 che è L2 - L1 e qui vediamo già che quando facciamo questo L2 - l un Ovviamente gli un si semplificheranno e avran dobbiamo sviluppare questi quadrati e avremo dei termini che si diciamo così si semplificano facciamo cancello e facciamo velocemente questo calcolo Dai allora qui Ovviamente questa differenza tra queste due quantità che abbiamo approssimato usando il fatto che X su l d su l piccolo quindi l'approssimazione della radice quadrata poi sviluppando questi due quadrati eh otteniamo tutti questi termini Questo è un calcolo elementare e tutti questi termini stando attento ovviamente mettendo in evidenza 1 su l qua 1 su 2L tutti questi termini vediamo che si semplificano perché abbiamo un X qu che si semplifica con - X qu abbiamo questo termine col segno meno che si semplifica con questo qu Esatto E alla fine restiamo con due volte XD 2 volte XD su 2L otteniamo quindi XD su l Eh però quindi una una quantità abbastanza semplice ora se ci ricordiamo la condizione di per avere un picco di risonanza era che la differenza Questo Delta 1 2 doveva essere un multiplo della lunghezza d'onda no Quindi X D su l deve essere uguale a n vol lambda Eh ok quindi posso dedurre X quindi questo è vero Se solo se x è UG a n lambda l n lambda l / d X = Pardon Ecco quindi Queste sono le posizioni dei picchi massimi eh picchi massimi di intensità e ovviamente la condizione di antir resonanza invece era Delta 1 2 che era 1 + una metà di lunghezza d'onda no sì quindi i picchi minimi invece saranno x = n + 1/2 lambda l su D quindi qui vediamo a n = 0 è il picco X al centro no tra le due fenditure poi abbiamo un secondo Picco a n = 1 o n = - 1 e invece diciamo con N = 1/2 Arriviamo alle alle Valli eh agli Zero dell'intensità Quindi è un calcolo molto semplice Abbiamo qua e ovviamente quello che possiamo vedere qua cosa molto importante è che queste posizioni dipendono dalla lunghezza d'onda dell'onda mh sì quindi cambiando la lunghezza d'onda Cioè se queste lunghezze fosse un'onda più Quindi avremo dei picchi Diciamo che saranno molto più ravvicinati tra loro ne avremo molti di più se la lunghezza d'onda è piccola Sì invece la lunghezza d'onda è grande i picchi saranno perché la distanza Ovviamente tra due picchi è Questa distanza che ho scritto qua perché se prendo n+ faccio questa distanza con N sottraggo la distanza per di n - 1 ottengo La differenza è lambda l su D Quindi questa differenza distanza tra i due picchi è proporzionale alla lunghezza d'onda Quindi se la lunghezza d'onda è molto piccola posso avere tanti picchi molto più eh più ravvicinati Sì questa cosa però che è importante capire che questa distanza dipende dalla lunghezza d'onda perché C'è un'unica diciamo un unico punto un unico Picco che è diverso da tutti gli altri quello all'origine quello all'origine perché quello all'origine in realtà è caratterizzato per per una questione geometrica il percorso dei raggi che emergono dalle due fenditure esattamente della stessa lunghezza m quindi saranno sempre perfettamente in fase Ok indipendentemente dalla lunghezza d'onda lambda dal suo valore Sì invece questi quindi la posizione di questo Picco non dipende da Landa è l'unico la posizione degli altri picchi dipende danda d'accordo Quindi sarà sempre per due fenditure un un picco Al centro quello sicuro ma la perché dico questo perché è importante perché se come diciamo un problema reale La Sorgente emette delle particelle o delle onde se vogliamo caratterizzate da più lunghezze d'onda quindi ci saranno una sovrapposizione di onde con diverse lunghezze d'onda Ok sì ora quindi bisogna tenere conto anche di questo fenomeno Ora ovviamente tutte queste lunghezze d'onda differenti faranno sì che i picchi per ognuno di questi lambda diversi sarà un po' diverso sì salvo il picco centrale il picco centrale sarà un picco sempre di diciamo di di coerenza di fase perfetta e Questo spiega perché il picco centrale sarà sempre il picco di massima intensità Ok sì sì perché negli altri la luce in modo ci sono degli sfasamenti che creano degli attenuazioni dell'onda perché questi sfasamenti creeranno alla fine delle onde che si attenuano no E quindi l'effetto Sì perché lì sono un po' magari sparpagliate Esatto quindi ci sarà un po' di interferenza distruttiva tra queste onde che si sovrappongono poi c'è ancora ci sarebbero altri fenomeni No perché in realtà il discorso è complesso Nel senso che ci sono anche dei fenomeni di diffrazione no di cui bisognerebbe tenere conto e anche questi fenomeni di diffrazione possono produrre producono delle attenuazioni quando ci si allontana dal centro no per una sola lunghezza d'onda Vedi se Ragioniamo con una sola lunghezza d'onda e noi ci vogliamo limitare a questo oggi tutti i picchi hanno esattamente la massima la stessa intensità Eh voilà sono tutti equivalenti anche a quello centrale quando invece introduciamo dei pacchetti d'onda dei fenomeni di diffrazione dovuti al fatto che la come dire la Eh le le le fenditure hanno una dimensione che non è zero e allora ci sono questi fenomeni in più allora la figura diciamo diventa più una figura se la la scrivo qua che è più del tipo più più così no che ha come un una campana d'intensità ma poi un po' es Es es esatto poi va va a diminuire eh con X no Invece qua è proprio uniforme no Esatto esatto Quindi vedi due fenditure è tutto molto semplice no Sì all'inizio però mi hai menzionato che c'era che potevo anche guardare il caso a tre fenditure adesso dice Oh Ok allora abbiamo identificato i punti per le due fenditure i massimi di intensità i minimi di intensità e adesso Aggiungo una fenditura E che cosa cambia ed è molto più difficile da analizzare il problema Uno penserebbe di sì ma sento che se riesce a spiegarlo a me Magari non è così più difficile diciamo è un pochettino più difficile ma non così tanto allora quello che che faccio è cancello qua e modifico leggermente quel disegno per introdurre la terza fenditura Vai Ok allora siamo pronti Ho riscritto qua i valori dei picchi eh nel caso delle due fenditure e delle Valli no dei minimi di intensità sì Quindi questi sono i risultati che abbiamo ottenuto prima per le due per le due fenditure Eh sì E adesso ho modificato il grafico e ho aggiunto una fenditura Quindi al centro Nella coordinata x = 0 Adesso c'è una fenditura e la distanza tra le fenditure è sempre la stessa di prima è sempre D eh sempre la stessa distanza Adesso però avrò una sovrapposizione di tre onde No questa volta avrò avrò tre onde che che emergono e che si sovrappongono e arrivano fino al X quindi anche questa volta incominciano onde monocromatiche onde in fase sempre la stessa lunghezza d'onda lambda per tutte e tre e e escono tutte con la stessa fase dalle tre fenditure bordo e qui vedo che adesso abbiamo tre triangoli Esatto E adesso avrò anche qui L1 avrò L2 e avrò L3 eh tre tre tre lunghezze no E avrò tre triangoli con i cateti che adesso saranno X - D x e X + D Sì ora puoi immaginare qui non ho proprio bisogno di rifare tutto il calcolo che abbiamo fatto prima che bisogna farare usare il teorema di Pitagora usare sempre questa approssimazione qua e voilà il calcolo è sempre lo stesso No cosa dobbiamo fare però adesso dobbiamo calcolare la differenza tra L2 e L1 no L2 - L1 e di nuovo troveremo che questa differenza tra L2 e L1 come prima è XD su l Eh voilà nell'approssimazione appunto in cui L è molto grande ora come possiamo immaginare la differenza tra L3 e L2 chiamiamo quindi L3 - L2 sarà anche anche questa XD su l no m e la differenza tra lo scrivo qua la differenza tra L3 e L1 Ovviamente tra L3 - L1 è la stessa cosa che dire L3 - L2 + L2 quindi tolgo e aggiungo L2 - L1 Quindi sarà Delta 32 - Delta 1 2 e quindi è semplicemente due volte questo valore no Sì 2 volte XD su l No questa è l'approssimazione abbiam fatto prima no Ok adesso quindi ho queste differenze di percorsi le conosco guarda lo scrivo qua Delta 1 31 è UG 2xd su l adesso dobbiamo chiederci Qual è la condizione affinché tutti tutte e tre queste onde siano in fase eh maah oppure Qual è la condizione che tutte e tre queste onde siano producano un'interferenza distruttiva no E poi possiamo chiederci ci sono altre condizioni che adesso emergono che prima non potevano emergere perché c'erano solo due onde sovra per esempio due costruttive e uno distruttivo una roba di questo genere ad esempio Ok allora in realtà quello che sappiamo noi adesso è che abbiamo tre ore no allora Supponiamo che queste Quindi abbiamo che nel punto x l'onda sarà un certo psino E questo PSI sarà la sovrapposizione di un PS1 + 1 PS2 + 1 PS3 no sì Cioè l'onda dici sì la somma delle tre ondeo queste tre onde No queste tre onde hanno un'ampiezza e una fase Eh sì l'ampiezza Supponiamo che è un a che è uguale per tutte Eh non ce ne occupiamo Supponiamo questo a sia un numero reale che non ci interessa Ok d'accordo e poi abbiamo le fasi Quindi avremo diciamo la fase della Prima onda Eh e Supponiamo che la fase della Prima onda possiamo sempre sceglierla come ci fa più comodo perché tanto sono tutte Siccome sono tutte in coerenza di fase possiamo diciamo scegliere sceglierne una al più capire cosa sono le altre se scegliamo una rispetto a quella Esatto quindi la prima la scelgo che abbia la fase zero e quindi qui avrò un semplicemente uno eh S poi avrò la seconda che avrà una fase che sarà un certo e e poi ci sarà la differenza Questo K è Guarda l'avevo scritto qua il numero d'onda no che il numero d'onda angolare che dice come varia la fase in funzione della distanza No E questo è i k moltiplicato per la differenza di cammino tra L2 e L1 quindi è L1 no ok Questo numero d'onda angolare che non mi è subito intuitivo capire da dove SP il fatto il fatto che l'onda ovviamente quando ti sposti Cambia no e di quanto cambia quando ti sposti E beh un certo numero di cerer numero che in proporzione alla lunghezza d'onda e quindi sì che ti dà vedi il numero di radianti in funzione della della di di diciamo D Quindi è una cosa vera per ogni onda sinusoidale Sì esatto per un e a questo e quindi qui ha questo e siccome comunque abbiamo ovviamente le le onde sono hanno tutte la stessa lunghezza d'onda Quindi anche lo stesso numero d'onda la terza onda sarà è un e k invece del Delta 1 2 sarà la differenza tra la terza e la prima no m m m Delta qui l'ho chiamato 31 13 Insomma 31 Eh ok Molto bene Ora però sappiamo che questo Delta 1 2 è XD su l no XD su l sì sì sì sì sì E questo sappiamo che è due volte XD su l due volte XD su l questo sempre grazie alla nostra iniziale approssimazione esatto allanalisi che abbiamo fatto e questo K Quindi qua è l'ho scritto qua 2 pi su LDA lo scrivo qua 2 pi su lambda 2 pi su Landa due volte eh m Ah no L'ho già messo qua il due Ah sì sì Ok ora questo guarda qui l'ho segnato qua prima lungimirante posso dire inutile che a me mi interessa x No perché poi alla fine Voglio trovare i punti X Sì però qua è molto più comodo definire una nuova variabile theta che qu Sì solo definito una variabile quindi theta e Qui invece avrò 2 th Sì quindi alla fine a me quello che interessa è una funzione che a parte diciamo questa questa ampiezza che diciamo che c'è qua Eh è data da 1 + e i th + e i2 th ho questa cosa qua e l'intensità sappiamo che l'intensità è data dal modulo al quadrato di questa di questa di questa onda complessa no che in fisica quantistica le onde sono a valori complessi e la probabilità è data dal modulo al quadrato Eh ok quindi ho quest'onda che è descritta con una fase che è un è una fase complessa No è una fase Diciamo che che è un numero complesso e quindi per l'intensità questa intensità sarà proporzionale al modulo al quadrato di 1 + Ei i t + e i2 Ok adesso a noi ci interessa sapere che cosa Quali sono i massimi e i minimi di questa funzione qua quando theta varia sì E quando trovo i valori di th dei massimi e dei minimi poiché th è direttamente proporzionale a X possiamo sapere i massimi minimi rispetto a X a X esattamente quindi sostanzialmente devo studiare una funzione di questo tipo Allora una cosa la vedo subito qua se th Vedi che qua eh ovviamente il massimo è dato quando questa somma Qual è la diciamo il massimo algebrico di questa di questa somma Beh sarà quando questo e questo valgono 1 in modo che avrò 1 + 1 + 1 e 3 qua eh S Sì quindi teta deve essere theta deve essere qualcosa come 2 pi n perché se th è = 2 P N questo vale 1 questo vale 4 P N di Nuo vale 1 Sì multiplo di Esatto Ma se tet Vale 2 P N qui è uguale 2 pco n Sì allora qui automaticamente vedo che uso qua Questo si semplifica e vedo che x è dato da n * lambda per l div D ok Sì ma questo è esattamente quello che avevamo già trovato Ah per il problema delle due fenditure aspetta Quindi la risposta è esattamente la stessa Allora i picchi massimi per i picchi massimi per i picchi massimi quando si passa da due a tre fenditure si trovano sempre nello stesso punto ok Ovviamente questo è sorprendente sorpr in ottima approssimazione ovviamente eh qui abbiamo fatto un po' qualche approssimazione ma sostanzialmente si trovano nelle stesse negli stessi punti e questo effettivamente inizialmente uno dice Ah ok Beh non era scontato no ok Adesso dovremmo chiederci quali sono il i picchi minimi e se ce n'è e se ci sono altri picchi massimi non dei picchi massimi No non non massimi totali ma massimi parziali massimi relativi diciamo così ecco dei massimi locali no che non sono quindi dobbiamo studiare sostanzialmente questa funzione chiamiamola i di th No questa intensità che è questa no Adesso cancello e ci guardiamo un attimo questa funzione Ok allora allora questa è la funzione theta che avevamo prima Esatto il modulo al quadrato di questa sovrapposizione di tre fasi che sono le tre fasi di queste tre onde no Sì ok questa funzione qua è il modulo al quadrato Allora il modulo al quadrato Che cos'è Beh è la funzione stessa eh per definizione del modulo al quadrato di un numero complesso è la funzione stessa per il suo complesso coniugato no complesso coniugato basta fare i diventa - i più e - i2 th Ok sì e a questo punto ho tutti i termini no avrò 1 + e - i qui inizio a distribuire l'1 + e - i2 poi avrò e poi e * e - i da 1 e e * e - 2i dà e - i Eh ok poi avrò ancora questo termine qua + e2i th che è questo E2 th * e - i è e e alla fine questo per questo da 1 Ok vediamo se non sbagliamo Allora i termini di uno Quanti ne abbiamo uno qua uno qua e uno qua quindi 3 tre poi abbiamo attenzione 2 vol di e - i th ne ho du aspetta perché è uguale cosa hai fatto lì scusa più Grazie niente e i th e i th sì e men i th e- i th quindi ho due volte e th + e - i th Eh sì e poi c'ho e2i e e - 2i t ok Quindi più più e2i + e - 2 th d'accordo questo è due volte il coseno di theta eh per definizione perché ovviamente e t Non l'ho scritto ma è coseno theta + i seno e - i th e coseno th - i seno th quando Li sommo i seni Si si semplificano e ottengo due volte il coseno no sì Quindi qua ho 3 + 2 * 2 volte il coseno + 4 volte coseno di theta e qua ho 2 volte coseno di 2 th Ok questa è la mia intensità Oh molto bene però adesso è molto più semplice Adesso è molto più semplice cioè più o meno Insomma allora adesso cosa mi devo cosa mi chiedo Beh mi chiedo ma dov'è che questa funzione si annulla la non la funzione la derivata di questa funzione perché la dove la derivata si annulla so che avrò un Massimo o un minimo della funzione m Sì quindi la prima cosa che devo fare è calcolare la derivata rispetto a theta di i th quindi la derivata di 3 è 0 0 costante la derivata di coseno theta è Sen - seno di Teta Quindi - 4 seno di Teta e stessa cosa qua meno Attenzione qui ho devo derivare anche l'argomento quindi 2 * 2 diventa 4 - 4 seno di 2 Z Eh ok E quindi quando questo è uguale a Zer saremo nei picchi o nelle valli in uno o l'altro Esatto questo vogliamo che sia uguale a zero no sì Ora ovviamente sappiamo che è 0 se theta è della forma n 2 P eh 2 P N Perché Che è abbastanza ragionevole guardando due seni Perché a questo punto effettivamente il seno è uguale a zero dopo possiamo chiederci Esiste un altro valore per il quale abbiamo la la la diciamo la la la che la funzione si annulla di nuovo qui Bisogna conoscere un attimo la la trigonometria no si può fare il calcolo qua si può cercare di risolvere in realtà in realtà è più facile quasi vederlo qua ok perché è più facile vederlo qua perché poi lo possiamo vedere anche qua perché quando si prende il cerchio trigonometrico no quando dico 1 è qua No questo è 1 no sì poi Ei è un certo numero qua no e e i du F quando quando la rappresentazione di un numero che c'ha l'angolo th sarebbe un punto lì no ok Adesso però io cerco un tale che la somma di questi tre numeri complessi è esattamente uguale a 0 sì perché se è uguale a 0 ovviamente so che è il minimo no Quindi so che la derivata sarà anch'essa uguale a 0 perché è proprio il minimo dell'intensità non può andare più sotto di così No allora io quello che so è che se theta è uguale a 2 P su 3 eh quindi 2 pi su 3 Che cosa vuol dire è la stessa cosa che dire pi - pi su 3 no m m Allora quindi è fare pi Gre eh m - pi su 3 è tipo qua no sì quindi questo è il Theta Eh che stiamo usando no quindi ho un punto qua no e se faccio due volte th eh 2 volte th sarà 4 pi su 3 e 4 pi su 3 è pi + pi su 3 no Quindi è pi + pi su 3 andiamo qua Sì ora Qual è il valore che otteniamo qui con questo angolo questa distanza qua è esattamente 1/2 Eh quindi in realtà è - 1/2 perché si trova da questa parte dell'asse no Quindi vedi che ho la parte reale di Ei I 2 pi su 3 e - 1/2 ok E il coseno sostanzialmente quello che sto dicendo è che il coseno di 2 pi su 3 - 1/2 Se raddoppio l'angolo il valore è sempre - 1/2 sì - 1/2 + - 1/2 è - 1 sì e - 1 + 1 0 0 e invece per quanto riguarda la parte immaginaria la parte immaginaria di 1 e 0 e questi due numeri hanno esattamente due parti immaginarie opposte che si annullano che sono esattamente √3 su 2 Eh questo valore del seno eh E quindi sostanzialmente vedo che questa somma è esattamente Zero ora posso verificarlo qua vediamo cancello solo un attimo qui l'ho fatta un lunga ma seno di theta se th è UG a 2 P su 3 seno di theta è √3 su 2 quindi è - 4 √3 su 2 ok sì e seno di 2 th è lo stesso valore ma col segno opposto Quindi - 4 * - √3 su 2 e quindi questo dà 0 Ok quindi la effettivamente la derivata è zero eh qui bisognerebbe calcolare anche la derivata seconda e si vedrebbe subito che la derivata seconda è positiva perché qui Basta fare un'altra derivata inserire il valore non lo facciamo qua eh quindi cosa abbiamo appena scoperto Abbiamo appena scoperto che ci sono dei theta eh Mh che sono della forma theta della forma n più o meno eh avrei potuto fare il ragionamento anche con degli altri segni più o meno n + 13 * pco eh Questi Eh scusa 2 2 pi * 2 pi Eh quindi ho nel caso n = 1 2 pi su 3 o 2 o - 2 pi su 3 eccetera no quindi vedo che i minimi assoluti non sono più dove si trovavano i minimi assoluti del problema du fenditure no m perché il problema a due fenditure avevano dei minimi assoluti che se G esprimo in termini angolari corrispondevano a 2 P N + 1/2 eh Questi erano i valori dei minimi assoluti nel caso delle due fenditure Sì ma nel caso delle due fenditure questi valori in realtà a cosa corrispondono in realtà questi si trovavano qua nella figura no ma invece adesso vediamo che per questi valori funzione quindi ho a parte 2 P N avrei 2 P / 2 Pi no seno di Pi greco Quanto fa eh 0 sì sì sì sì e seno anche questo è 0 quindi anche per questi valori la derivata è Zer Ok ma se calcolo la derivata seconda e qui risparmio il calcolo lascio in esercizio in questo caso si trova che è negativa Quindi quelli che prima erano dei minimi assoluti cioè questi punti qua nel caso nel caso della diciamo delle tre fenditure diventano dei massimi locali e lo vediamo subito qua perché Immagina che th sia uguale a pco no se th è uguale a pco qui Avrei diciamo l'intensità sarebbe 1 e i p Gre è - 1 e Ei I 2 P è + 1 e quindi questi si se ne vanno via e ottengo uno eh Invece quando avevo la il massimo dell'intensità avevo 1 + 1 + 1 3 Sì adesso un quindi ho un picco che è 13 dell'intensità del Picco Massimo sì sì sì sì quindi sostanzialmente quando ho tre fenditure e qui penso che arriviamo alla fine di quello del nostro sforzo quando abbiamo tre fenditure in realtà Dove prima c'era la valle si è venuto a formare un picco secondario che è più o meno 1 ter dell'intensità del Picco precedente del del Picco Massimo no Quindi abbiamo vedi in questi valori theta n più o-o 1/3 per 2 pco Questi sono i due i minimi assoluti No questo è il massimo locale questi sono i massimi quindi quindi la la figura si è un po' compless ificata no da quel lato lì i picchi massimi Sono rimasti gli stessi ma sono apparsi questi picchi minimi dove prima c'erano i i le valli dei dei minimi assoluti sì e quindi diciamo Sì c'è un po' più di struttura però globalmente non è che cambia molto a livello globale Avremo sempre che la frangia centrale la frangia di massima intensità ovviamente perché per lo stesso discorso che abbiamo fatto prima che se la lunghezza d'onda cambia la coerenza è sempre perfetta quando X è = 0 perché sempre perché i percorsi diciamo per tutte e tre le Le Sorgenti sono uguali No ma sono simmetrici diciamo sonoo uguali in questo caso perché quella centrale sarà sempre diverso dalle altre ma due almeno sono sempre uguali Sì S E comunque quindi insomma questo adesso non so È chiaro che è un po' un casino a fare bene Questi calcoli alla lavagna e spero che comunque chi chi guarda questo video vede come si può fare questo genere di calcolo senza soffrire troppo e riuscire a dedurre le posizioni dei picchi e dei minimi dei massimi dei minimi assoluti e dei massimi assoluti e dei massimi locali nel caso delle tre fenditure quindi dà già un'idea Ecco del di come si fa voilà penso che ci fermiamo qua mi sembra che è un buon punto spero che tu abbia più o meno capito Eh ho un orgoglioso 90% di di comprensione qualche passaggio mi fido che sia un po' le mie lacune matematiche torna qua in campo che non ti si vede più senò qualche passaggio mi fido siano le mie lacune matematiche sui numeri immaginari il numero di Eulero però in generale sì sì sì sì sì sì E vabbè dai più o meno Dopo chi ci segue Chi ha più un po' più di domestichezza sicuramente capisce a volte non è tanto il problema di quanto sono complicati i calcoli ma l'impostazione dei calcoli no come come S perché uno dice quando sapere dove andare Esatto come organizzare la logica del calcolo dopo Qui Ovviamente la matematica è molto semplice non ho fatto la derivata seconda ma la derivata seconda di questo ovviamente è semplice perché abbiamo seno diventa coseno Men no sì coseno senza Men facciamolo qua se faccio la derivata seconda qui avrò ovviamente coseno e il segno resta meno però e anche qui il segno non cambia però avrò - 8 coseno theta e quindi sarà questo diciamo Dopo ovviamente uno fa proo il calcolo rimpiazza con gli angoli dei valori e vede se l' adriato seconda è positivo negativo bene Ci fermiamo qua grazie mille grazie grazie a tutti m