F70 - Il principio di sovrapposizione non può essere applicato superficialmente: le 3 fenditure

oggi vi parlo dell'esperimento Della Tripla fenditura Ne ho già parlato ma questa volta ne riparlo brevemente per correggere un errore o meglio qualcosa che ho detto che non era del tutto completo e in questa correzione ovviamente c'è qualcosa di interessante da capire rimanete [Musica] sintonizzati allora nel problema ma nell'esperimento della tripla fenditura c'è una differenza importante rispetto a quello con due fenditure e questa differenza sta nel fatto che apparentemente nel problema con tre fenditure non ci sono dei termini di interferenza del Terzo Ordine è come se le fenditure interferisse tra di loro come possibilità due alla volta soltanto e mai tre alla volta questo fatto viene quantificato tramite una quantità Det ta parametro di sorkin in riferimento a Rafael sorkin che l'ha derivato apparentemente per la prima volta e questo parametro è la combinazione di diverse probabilità è scritto qua poi alla fine del video per chi è interessato lo ridero ridero perché l'avevo già derivato in quel video di cui Questo video è una sorta di errata corrige Ebbene questo parametro fa intervenire Che cosa le probabilità P1 1 P2 e P3 che sono le probabilità di che cosa Beh dato un certo punto x Diciamo dello schermo rilevatore ci possiamo chiedere qual è la probabilità che l'entità quantistica in questione che emerge dalla sorgente potrebbe essere un elettrone un fotone Qui non è importante qual è la probabilità che arrivi al punto x sapendo che attraversa la prima fenditura stessa cosa per P2 ma in relazione all seconda fenditura e P3 probabilità di raggiungere sempre questo punto x sapendo che attraversa la terza fenditura queste probabilità P1 3 P2 3 p12 fanno invece intervenire dei processi che coinvolgono due fenditure allaa volta p12 è la probabilità di raggiungere questo punto x sapendo che l'entità in questione diciamo l'elettrone passa attraverso la fenditura 1 o 2 ma non attraverso la fenditura 3 p23 Ovviamente per le fenditure 2 3 P1 3 per la fenditura 1 e 3 con l'esclusione della fenditura 2 la probabilità P1 2 3 invece è la probabilità di raggiungere questo punto x scelto a caso ovviamente sapendo che l'entità passa attraverso una delle tre fenditure quindi tutte e tre sono delle possibilità che poss possono ovviamente agire e interferire tra di loro bene quando si calcolano queste quantità sperimentalmente e gli esperimenti Com'è che vengono fatti Beh di solito per calcolare P1 2 3 si lasciano aperte tutte e tre le fenditure per calcolare p12 si chiude la terza p23 si chiude la prima p13 si chiude la seconda e P1 P2 P3 ad esempio per P1 si chiude la terza e la seconda e si lascia aperta solo la prima eccetera eccetera si raccolgono tutti diciamo la statistica degli impatti e poi si costruiscono queste probabilità si fa questa combinazione lineare che ha che che che fa intervenire dei segni più e dei segni meno e la teoria diciamo così la regola di Born si potrebbe dire apparentemente predice che questo S sia uguale a 0 Ma errata corrig in realtà quello che vi voglio spiegare oggi è che in generale non è così contrariamente a quanto ho affermato in precedenza molto bene allora lasciando stare adesso Come si arriva a questo parametro di sorkin che deve essere uguale a zero sarebbe la stessa cosa anche per degli per dei processi classici di tipo corpuscolare perché nei processi classici P1 2 3 è la somma di P1 P2 P3 P P1 2 è la somma di P1 e P2 P2 3 è la somma di P2 e P3 P1 P3 P1 3 è la somma di P1 e 3 e quindi classicamente questa questa combinazione è identicamente uguale a zero il fatto che lo sia anche quantistic è più sorprendente no come se nella probabilità quantistica ci sia un residuo di relazioni che diciamo sono simili a quelle delle probabilità classiche ma E poi ovviamente come vi ho spiegato in quel video sono stati fatti degli esperimenti Ad esempio se non ricordo male nel 2009 che hanno giustamente mostrato che con un buon grado di precisione effettivamente questo parametro di soring S è uguale a z0 Voilà Questo è quello che vi avevo raccontato vi avevo anche detto che se questo parametro venisse violato Beh questa sarebbe stata una sorta di indizio che la regola di Born quella regola di corrispond Enza quantistica che permette di fare il collegamento tra le probabilità sperimentali e le probabilità teoriche bene questa regola di Born se viene violata vuol dire che non ha validità generale E quindi il risultato in sé poteva essere molto significativo quindi gli sperimentatori hanno testato questo parametro S per vedere se era veramente zero o no per trovare eventualmente delle violazioni della del del del formalismo standard della fisica quantistica e quello che vi avevo detto è che così non era il caso Ora però le cose non sono così semplici il fatto che io non vi ho detto tutta la verità E perché non la conoscevo in quel momento Perché diciamo mi stavo interessando al problema della tripla fenditura che è meno usuale di solito non è che lo si guarda mi stavo informando E ho scoperto appunto questi articoli sperimentali questo parametro di sorkin eccetera e sembrava che all'incirca nel 2009 la storia finisce lì Cioè nel senso che Ok si verifica che è uguale a zero con buona precisione quindi la teoria quantistica è stata ancora una volta verificata in un certo ambito e voilà però non avevo letto a sufficienza e non avevo guardato che la storia aveva avuto un seguito e cioè che alcuni hanno giustamente obiettato che la diciamo la derivazione di questa relazione partiva da un assunto ingiustificato e adesso vi dico qual è questo assunto ingiustificato il punto di partenza è che si possa scrivere la soluzione la soluzione ad esempio dell'equazione di Schrodinger Dove si trova lo schermo essenzialmente Ebbene come la somma di tre contributi Quindi come una sovrapposizione famoso principio di sovra posizione quantistico Quindi questa soluzione potesse essere scritta come PS1 + PS2 + PS3 e questo PS1 PS2 PS3 sono come delle ampiezze sapete che in fisica quantistica si parla di ampiezze di probabilità e non di probabilità le probabilità si ottengono facendo il modulo al quadrato di queste ampiezze Ebbene l'ipotesi di partenza è che si potesse Scrivere una relazione di questo tipo cioè descrivere la soluzione generale come somma di tre contributi PS1 PS2 PS3 dove l'ampiezza PS1 descrive tutti quei il processo che attraversa solo la fenditura 1 PS2 il processo che attraversa solo la fenditura 2 e PS3 diciamo così i processi i cammini si potrebbe dire che permettono di arrivare sempre al famoso punto x ma passando attraverso la terza fenditura quindi applicazione per così dire Insomma del principio di sovrapposizione poi a partire da questa partenza si calcola la probabilità facendo il modulo al quadrato cioè il modulo al quadrato di questa sovrapposizione Ed è quando si fa questo calcolo che poi alla fine si arriva a questa relazione bene Il problema è che se c'è un problema all'inizio del calcolo Ovviamente questo problema poi si ripresenterà a Valle no se c'è a Monte poi lo ritroviamo a Valle qual è il problema e beh Il problema è che si parte dal presupposto che sia possibile scrivere questa ampiezza diciamo del problema complessivo No Di un'entità che parte dalla sorgente e arriva al punto x come somma univoca non ambigua di questi tre contributi e che quindi tutto il calcolo susseguente permette poi di attribuire le diverse probabilità Cioè a scrivere queste diverse probabilità per questi diversi processi a una a due o a tre fenditure associarle ai diversi termini che si ottengono quando si sviluppa questo modulo al quadrato ma ma ma ma non è però in realtà possibile scrivere una somma di questo tipo dove si separa in modo chiaro e univoco ciò che ha a che fare con la prima fenditura ciò che ha a che fare con la seconda e ciò che ha a che fare con la terza Adesso vi spiego un po' meglio in realtà ci sono tanti modi per spiegare questa cosa ma forse il più chiaro è quello che utilizza la famosa descrizione delle ampiezze e probabilità quantistiche tramite integrale sui cammini Voi sapete che Richard fean ha descritto la teoria standard quantistica utilizzando un approccio detto la grangi di tipo variazionale adesso una cosa di cui magari parlerò un giorno in un video e sostanzialmente luii ha mostrato che per diciamo calcolare Qual è la probabilità ad esempio che un'entità arrivi al punto x e Beh bisogna fare una strana somma su tutti i cammini virtuali potenziali possibili e quando si sommano tutti i cammini alla fine si arriva il contributo finale e questo contributo finale è l'ampiezza finale il cui modulo al quadrato poi dà la bene se approcciamo le cose utilizzando questa visione della somma su tutti i cammini possibili allora guardate che cosa succede immaginiamo adesso dei cammini che attraversano la prima fenditura no quindi dalla sorgente possiamo immaginare un cammino così ad esempio no E dice vabbè Questo è un possibile cammino che sarà legato associato che andrà a contribuire a questo termine PS1 poi posso avere ovviamente dei cammini che passano attraverso la seconda fenditura e questi cammini andranno a a contribuire a questo termine qua no E poi posso guardare dei cammini che attraversano la terza fenditura e questi andranno a contribuire a questa a questa ampiezza no che sarà una somma le di tutte le fasi associate a questi cammini No adesso ne disegno qualcuno in più ne posso avere uno un po' diverso qua voilà e qui ne posso avere un altro facciamone un altro diverso Voilà ora vedete finché descrivo le cose in questo modo funziona No faccio la somma su tutti i contributi di questi cammini blu e Costruisco PS1 tutti i cammini Rossi Costruisco PS2 tutti i cammini gialli Costruisco PS3 e già però questi cammini che io ho appena disegnato sono molto particolari in realtà perché adesso vi voglio disegnare un cammino e vi chiedo se questo cammino lo possiamo associare a quale delle tre fenditure ed ecco ad esempio un cammino di questo tipo Guardate questo cammino faccio così passo di qua poi torno indietro poi vado qua poi vado qua poi torno indietro e poi vado qua ora questo cammino che ho appena descritto è un cammino valido cioè bisogna tenere conto anche di questi cammini quando si costruisce l'ampiezza totale No per il processo che dalla sorgente arriva al punto x E allora come vedete ci sono dei cammini potremmo definirli esotici che fanno degli strane andate e ritorno dei loop e questi cammini possono attraversare più di una sola fenditura ne possono attraversare due o addirittura tre come quello che ho appena disegnato posso disegnarne un altro che fa così torna indietro qua ad esempio questi cammini ovviamente chiamiamoli esotici in realtà contribuiscono meno di quei cammini che sono più vicini a dei cammini di tipo classico perché sono molto strani Quindi quando si usa il formalismo di feinman Si vede che questi cammini hanno diciamo un peso minore ma non di meno esistono e hanno con contribuiscono alla probabilità all'ampiezza di probabilità totale e questi cammini ovviamente non si possono attribuire a nessuna di queste tre componenti Quindi vedete che Il fatto stesso di scrivere PSI come sovrapposizione di questi tre contributi in realtà è scorretto Cioè non è qualche cosa di preciso lo si può fare entro una certa approssimazione o lo si può fare solo in quei setting sperimentali dove si è creata una situazione tale dove si impediscono a tali cammini che interessano diverse possibilità nello stesso tempo di contribuire no come se ad esempio mettessi delle barriere o qualche cosa che impedisce appunto questi percorsi così strani ma in generale questi percorsi così strani ci sono percorsi potenziali virtuali Ma che contribuiscono Ovviamente non stiamo parlando di traiettorie classiche e quindi questa decomposizione non è possibile farla in termini univoci Ma se non è possibile farla in termini univoci Allora tutta l'interpretazione di questa questo parametro di sorkin viene in un certo senso a decadere Perché quando si calcolerà queste probabilità sperimentali e il collegamento tra queste probabilità e la teoria diventa come dire molto più vacillante Ora c'è un altro modo ancora per spiegare le cose e questo modo è semplice di ricordarsi che la funzione d'onda quando evolve nel tempo tende a diffondersi spazialmente parlando e questa diffusione questo spreading in inglese del pacchetto d'onda avviene a velocità incredibili e quindi un'onda che si propaga si propagherà una tale velocità che alla fine è impossibile che non vada in un certo senso a toccare anche le altre fenditure prima di arrivare in un certo senso nella regione dello SCH fermo altro modo ancora per spiegare il fatto che questa decomposizione non la si può fare in modo univoco è di ricordarsi una cosa che quando si calcolano queste probabilità sperimentali per poterle determinare ogni volta bisogna chiudere certe fenditure ma quando si chiudono fisicamente certe fenditure Beh si introducono dei campi di forza nuovi che sono legati a quelle maschere che vengono introdotte che sono come un contributo aggiuntivo nella mtoni del sistema Ciò vuol dire che quando che PS1 e PS2 e PS3 corrispondono a delle situazioni sperimentali differenti cioè delle situazioni dove due fenditure di volta in volta vengono chiuse mentre la soluzione totale descrive o descriverebbe il problema con tre fenditure aperte quindi non possiamo per però pensare di descrivere qua una soluzione dove che ha una certa hamiltoniana associata alle tre fenditure aperte come somma di tre soluzioni che hanno a che fare con problemi completamente diversi dove due delle fenditure sono state chiuse fisicamente e quindi qui già vediamo anche in questo caso ragionando in questo modo che c'è un problema nel riuscire a dare senso a una sovrapposizione di questo tipo in modo univoco ora in realtà le cose funzionano più o meno così se ad esempio la lunghezza d'onda delle di queste ampiezze di probabilità di queste onde quasi monocromatiche se questa lunghezza d'onda è molto piccola in realtà si riesce a fare in modo che questi cammini esotici contribuiscano sempre meno ed Questa è anche la ragione per cui nei primi esperimenti in realtà questo parametro di soring Eh beh si è visto che è esattamente uguale a zero nei limiti diciamo delle approssimazioni sperimentali e che quindi si pensava che l'interpretazione i dati sperimentali tutto combaci dasse però appunto alcuni sperimentatori e teorici hanno detto No no Attenzione qui ci sono degli assunti ingiustificati e quindi bisogna stare più attenti E allora sulla base di queste critiche poi sono stati fatti degli esperimenti aggiuntivi molto più precisi ad esempio utilizzando dei fenomeni di lunghezza d'onda molto più ampia ad esempio nel dominio delle microonde e allora lì sì che sono state messe in evidenza delle violazioni del parametro di sorkin però Queste violazioni erano attese quindi si potrebbe dire che in un certo senso in fisica quantistica esiste l'equivalente di termini di interferenza del Terzo Ordine ma bisogna analizzarli un po' in un modo differente ma sostanzialmente questo parametro di sorkin che in un certo senso significherebbe l'esistenza di queste interferenze del Terzo Ordine è in generale effettivamente diverso da zero e certi esperimenti lo hanno mostrato molto bene ma qui parliamo di esperimenti abbastanza recenti parliamo del 2016 2018 ed è per questo che nella mia prima analisi un po' approssimativa diciamo così incompleta non mi ero reso conto che esistevano anche tutte questi risvolti successivi nella questione dell'esperimento Della Tripla fenditura bene quindi il parametro di soring è in generale violato Ma questo non ha niente a che fare con la violazione della regola di Born quanto meccanica che predice Quali sono le probità quantistiche ha semplicemente ha semplicemente a che fare con il fatto che non possiamo applicare in modo Naif il principio di sovrapposizione nel modo in cui era stato fatto storicamente nell'analisi di questo problema bene mi fermo qua oppure molto rapidamente cancello la lavagna e rifaccio la derivazione di questa relazione per chi è interessato per chi non ha voglia di andarsi a vedere l'altro video cancello e comunque grazie per l'ascolto ok deriviamo questa relazione mostriamo che se applichiamo in modo Naif il principio di sovrapposizione scrivendo PS = P1 + PS2 + PS3 e riteniamo che questi PS1 PS2 PS3 siano alle tre fenditure in modo univoco allora otteniamo che questa quantità deve essere identicamente uguale a Zer È molto facile si parte appunto da questa espressione e si dice Ah la probabilità pi1 2 3 è semplicemente il modulo al quadrato di questa funzione d'onda il modulo al quadrato quindi PS1 + PS2 + P3 moltiplicato il complesso coniugato + P3 complesso coniugato Allora qui otteniamo i termini P1 P1 P1 P1 Stella quindi i termini PS1 P1 stella che ovviamente è il modulo al quadrato di P1 e il modulo al quadrato di PS1 secondo l'interpretazione che abbiamo fatto è la probabilità quando solo la prima fenditura è aperta poi avremo i termini PS2 2 Stella PS3 P3 Stella quindi + PS1 + PS2 + PS3 poi avremo Ovviamente i termini incrociati tipo PS1 PS2 Stella quindi avrò PS1 PS2 stella più PS1 Stella PS2 che è questo termine qua con questo e questo qua è il termine di interferenza i12 poi ho ovviamente i termini di sempre facendo questi questa distribuendo questo prodotto ottengo Ovviamente i termini di interferenza i1 3 più il termini di interferenza i23 bene quindi che cos'è che ho scritto che P1 2 3 è uguale a P1 + P2 + P3 più i questi termini di interferenza + i 1 3 + i 2 3 e qui non ho scritto l'ultimo più + P 1 3 2 3 1 2 1 2 bene adesso quello che voglio fare è aggiungere e togliere P1 P2 P3 quindi scrivo ancora + P1 + P2 + P3 e poi siccome li ho aggiunti Li voglio anche togliere - P1 - p2 - p3 Ok allora qui adesso raggruppo i termini e scrivo pi1 + P2 e li Barro via così non mi sbaglio + i12 primo termine + i12 lo Barro via poi voglio prendere p13 P1 Pardon + P3 quindi P3 + 1 + i13 e poi prendo ancora P2 3 p2 + p3 + i2 3 e poi faccio - P1 - P2 - P3 e questi tre termini sono i termini a due fenditure qui ha la probabilità di passare D prima dalla seconda più il corrispondente termine differenza quindi è P1 2 questo è P 1 3 e questo è P2 3 Voilà Allora vedete che se faccio passare questi termini dall'altra parte ottengo P1 2 3 - pi1 2 - pi 1 3 - p23 questi sono negativi diventano positivi più più 1+ p2 + p3 = a 0 e vedete che questa relazione qua è esattamente questa e questo è il famoso parametro di sorkin che se interpreto questa sovrapposizione come ho interpretato deve essere uguale a 0 Ma siccome non si può interpretare in questo modo In realtà in generale non è uguale a 0 Salvo che i cammini diciamo di alla fean che attraversano più di una sola fenditura o toccano più di una sola fonditura la situazione sperimentale deve essere tale che questi diventano veramente trascurabili Allora sì effettivamente questo S tende a zero bene Ci fermiamo qua grazie per l'ascolto