【Numberphile】神奇的根號2 Root 2

我現在想談論的數字是根號2。 我最喜歡的關於根號2的知識。 好吧，如果你拿A系列的紙張來說，這就是A4紙，這在世界上大部分地區都非常標準。 如果你拿一張紙像這樣，仔細觀察長邊與短邊之間的比率， 這意味著，如果你量出長邊並除以短邊，結果會是根號2。 而且他們是故意這麼做的。 根號2約為1.41多一點。 而且這個數字正是你運用畢氏定理計算所得的結果。 這表示如果你在那裡有一個單位長度，而在那裡也有一個單位長度， 因此，這個長度的平方加上那個長度的平方等於這個，這個長度是根號2。 它是根號2。 如果我將這張紙對折，我們來試試看。 這現在被稱為A5紙張。 我們從A4開始，現在是A5紙張。 如果你再次做同樣的事，也就是將這條長邊除以短邊， 它又會是根號2。 比例相同。 他們這麼做是為了讓你能隨意放大或縮小事物，而不會造成比例失衡。 √2 等於這個數值，即 1.41。 它會永遠運行下去。 它不會停在某個特定的點上。 而且這類情況還有很多。 這只是其中的第一個而已。 另一個是圓周率π。 事實上，他們一開始就是從 A0 開始的。 而A0被定義為一張長寬比為根號2的紙張。 面積為1平方公尺。 事實上，根號2是唯一符合這種情況的比例。 而且我將證明這是最適合的比率。 在這裡，這是我們的長方形紙張。 這是你的長邊，我將稱之為 A。 而這就是你的短邊，我會稱之為 B。 現在，如果我取長邊 A，並除以短邊 B，就會得到一個比例。 實際上結果是根號2，但我們先假設還不知道這一點。 但這正是我想要的。 如果我將它對半切開，我希望現在這邊成為長邊。 因此，B 現在是長邊。 短邊實際上是 A 的一半。 是這邊。A 的一半。 現在，我希望它的比例和我之前的一樣。 換句話說，我希望這兩樣東西相等。 所以現在你所需要做的就是重新排列一下這個，稍微調整一下，看看會得到什麼結果。 好的，我們把B組放在這邊，A組放在這邊。 如果你操作它，左邊會得到 A 的平方，右邊會得到 2 倍的 B 的平方。 換句話說，A 的平方除以 B 的平方等於 2。 或者對兩邊開平方根，你會得到左邊為 A 除以 B。 而在右邊，你得到的是根號 2。 這實際上正是我們想要找出的比例。 唯一能適用這個情況的比率是根號2。 這是畢氏定理。 畢達哥拉斯學派是一個非常古老的教派。 而且可能有一位名叫畢達哥拉斯的人物與此有關。 但他們是一群非常奇怪的人。 他們相信這個定理。 他們相信自然數的和諧。 所以如果你想演奏音樂，就得拿一段繩子，並施加一定的張力。 如果你取其一半長度，就會得到一個和諧的音調。 他們認為自然界的一切均由數字構成。 他們認為，一切事物都可以用純整數或整數之比來表示。 那是他們根本的核心信念。 他們知道什麼？ 他們有數字 1、2、3、4、5。 他們已經算出了分數，知道可以將兩個數相除。 五分之三、二分之一之類的東西。 他們也有其他的信仰。 例如，你不應娶佩戴金飾的女人。 否則你就應該成為一名素食者。 而且你不應該吃蠶豆。 而且你不應該朝太陽方向小便。 這個奇怪教派有一名弟子，名叫希帕索斯。 而且他推算出，如果你相信這個定理，畢氏定理， 那麼你就可以從數學上提供一個證明，顯示這個數字不是兩個整數的比值。 但一個無法寫成分數的數字，卻是件新事物。 那似乎永遠也結束不了。 那就是無理數的定義。 他們非常不喜歡這件事，我簡直無法向你形容他們有多討厭。 據傳說，他們把他帶到海上，而他再也没有回來。 不知怎的，他們要麼把他淹死了，要麼把他留在了一個荒島上。 他再沒被人見過。 他們確實這麼做了，他們隱瞞了這項資訊。 他們不確定這是否真的存在。 我們現在稱它們為無理數，因為它們不符合畢達哥拉斯的觀點。 這正是今天人們面臨的同樣問題。 有人會對我說：哦，我聽說過複數。 我聽說過那件事。 我不相信它們存在。 我不明白。 同樣的問題。 它們確實存在。 只是你得慢慢習慣而已。 因此，他是最早因證明他人先前觀點錯誤而遭到迫害的人之一。 這已經持續了整個歷史。 我的意思是，我可以告訴你一些遭受苦難的物理學家，比如布魯諾·吉烏達諾。 因聲稱宇宙是無限的而被燒死在火刑柱上的人是喬爾丹諾·布魯諾。 天主教會說：這樣一來，上帝就沒有立足之處了。 我們將證明√2是無理數。 它不能寫成分數形式。 我們證明這一點的方法是一種非常強大且有用的數學證明方法，稱為反證法。 我們將假設相反的情況。 我假設你能把它寫成分數形式。 讓我們假設可以將其寫成 A 除以 B。 而且這A和B很特別。 它們是整數。 它們是整數。 它們是1、2、3、4、5，或是類似這樣。 而且是以最簡化的形式呈現。 因此我們不包含像 2 除以 4 這樣的算式，因為那等於二分之一。 這不是最簡形式。 好吧，讓我們看看能做些什麼。 如果你想到一個正確卻違背常識的想法， 你可以被送往荒島，或被綁在火刑柱上燒死，或被處決。 因為人們不喜歡自己的世界應有樣貌被打亂， 即使你能駁斥「朝太陽小便不是個好主意」這說法。 我將對兩邊同時平方。 所以在左邊，我得到一個 2。 在右側，我得到 A 平方除以 B 平方。 這次，A 和 B 是整數，記住。 讓我們來玩玩看。 現在我所展示的是，A 的平方是偶數。 因為它是2的倍數，所以是偶數。 而且你可以證明，因為 A 的平方是偶數，所以 A 本身也是偶數。 好吧，如果是兩個奇數的平方，結果就會是奇數。 所以，是的，如果 A 的平方是偶數，那麼原來的數字 A 也是偶數。 因此，A 是偶數。 好的，A 是偶數。 我們換個名字吧。 我們稱其為 A 等於 2 倍的 C。 那現在我們有什麼呢？ 左邊的 2B 平方等於 2 倍的 C，因為它是偶數的平方。 這等於 4C 的平方。 換句話說，我是在說 B 的平方等於 2 倍的 C 的平方。 你看到那樣東西了嗎？ B 的平方是偶數。 如果 B 的平方是偶數，和之前一樣，那麼 B 也是偶數。 我所展示的是A為偶數，B為偶數。 這是個問題。 它們不可能都是偶數。 就像我舉的2除以4的例子。 如果它們都是偶數，那就不是最簡形式。 所以這是一個不可能的分數。 它不存在。 你不能將根號2寫成這種分數形式。