【Numberphile】令人震驚的數學等式 ASTOUNDING 1+2+3+4+5+...=-1:12

我將告訴你一個令人驚嘆的結果。 令人驚嘆嗎？ 驚人的結果。 那我就隨便寫個小算式， 我們 juste 要看看它會給出什麼答案。 1 加 2 加 3 加 4 加 哒哒哒哒哒哒。 我還包括所有自然數。 一直延伸到無窮大。 布雷迪，你覺得這題的答案是什麼？ 嗯，我想說它會趨向於無限大。 是的，這有道理，對吧？ 這個算式的答案，令人驚訝地是負的十二分之一。 這真是太棒了。我的意思是，我一開始看到這個結果時 當我開始學習一點弦理論的時候。 更荒謬的是，這個結果 被廣泛應用於物理學的許多領域。 這是一本非常精闢的弦理論教科書 喬·波奇尼斯基著。 如你所見，早在第22頁就已經出現了， 這裡有這樣一個陳述， 哪一個是總和？ 這基本上是在說所有整數的總和， 所有自然數，一直延伸到無限大。 負十二分之一。 好的，現在我們將證明， 不要慌張得亂了陣腳 與黎曼ζ函數相關 我們將以一種非常簡單的方式來證明 為什麼所有自然數的和 確實是減去十二分之一。 因此，我們將分幾個步驟來完成這項工作。 我們將來看看幾個不同的總和。 我想研究的第一筆金額是， 我叫它 S1。 而且是 1 減去 1， 加一，減一， 加一、減一，以此類推。 這是我原則上想要考察的第一筆金額。 我將要考慮的第二個總和 1 減去 2 加 3而減 4， 等等。 繼續按照這個過程，一直進行下去。 第三個當然就是我們的 我們非常感興趣的那一個， 就是 1 加 2 加 3 加 4 等等。 因此，我們將評估這三個不同的總和。 現在第一個其實非常容易評估。 我們需要附加一個數字。 現在，這個問題的答案顯而易見。 現在你拿著，隨時都可以停止。 好的，如果你在一個奇數點上停止的話， 你會得到答案 1。 如果你在一個偶數點上停止它， 你會得到答案 0。 顯而易見，這不是很清楚嗎？ 那麼，我們要給這個無限級數附上哪個數字呢？ 我們會停在奇數點還是偶數點？ 我們不知道。 因此我們取兩者的平均值。 所以答案是二分之一。 還有其他方法可以證明這個總和等於二分之一。 順便一提，如果你願意的話我們可以這麼做，不過—— 不，不會，會有一個連結。 那裡會有一個連結，因為我們以前做過。 好的，很好。 所以你會看到那裡的連結。 好的，這是一半，但我覺得直覺上 那是最簡單的說法。 你要麼得到 0，要麼得到 1，因此 你只需要取平均值。 因此，這就是與該總和相對應的自然數。 但一旦我們知道了這件事，我們就笑了。 好嗎？ 因為從這一點出發，我們就能實現一切 我們想要達成的。 下一步是找出這個總和是多少。 所以我接下來要做的就是， 我要拿兩份這個 S2。 好嗎？ 所以我會把它加到自己身上。 所以 2 乘以 S2 等於 - 好吧，讓我直接寫出來。 所以我會把它寫兩遍。 1 減 2 加 3 減 4 嗒嗒嗒，以此類推。 然後我會把它本身也加上去， 但我會把它稍微移動一下。 所以是加1，減2，加3， 負4，依此類推。 好嗎？ 我剛才拿了兩份副本，把它們加在一起了。 但我以一種特別優雅的方式完成了它， 因為我只是稍微把這一部分往底部推了一下。 所以現在你看到你得到的是什麼了。 你拿這個，還有這個、這個和這個， 我得到 1。 所以 1 加上什麼都沒有等於 1。 負2加1等於負1。 3 減 2 等於 1。 負4加3等於負1。 達-達-達-達，以此類推。 而且我會一直重複出現這種情況。 等等，我剛回來 總而言之，我一開始就是這麼說的。 這是我知道答案的。 我有一半。 好的？ 因此，我现在知道这个总和了。 所以我 juste 除以這個 2 然後我拿到一個quarter。 所以現在我知道這個總和了， 這個第二個總和， 交錯符號的總和 實際上等於四分之一。 所以這是我的第二個非凡成果。 現在我已具備一切所需證據來證明。 這瘋狂的減去12的事情，對吧？ 好的，那我們開始吧。 我要拿走這個 然後我會減去這個。 好的，我將從 S 中減去 S2。 讓我們再把它們寫一遍。 好的，那我先寫出 S， 也就是 1 加 2 加 3 加 4 加 5，依此類推。 好嗎？ 而且我要減去 S2。 所以那是負數。 好的，讓我現在就加個括號 因為我要把所有這些都減掉。 1 減 2 加 3 減 4，依此類推。 好嗎？ 好的，1 減 1。 那是什麼？ 零，沒錯，正是這樣。 所以我從那部分什麼也得不到。 2 減去負 2 等於 4。 好嗎？ 3 減 3，等於 0。 4 減去負 4 等於 8，依此類推。 接下來我要從5號那裡拿一個， 我什麼都得不到。 從6開始，我得到12，依此類推。 然後它就這樣繼續下去。 現在你應該可以看出來，我們幾乎到達了，對吧？ 因為看我這裡有什麼。 我有 4 加 8 加 12。 如果我提出一個4的因數， 4 乘以 1 加 2 加 3。 好嗎？ 這正是我想要的總數。 所以現在我有了一個我的公式—— 所以這只是 4 倍的 S， 這就是我的總和。 所以現在我剛才解出這個方程式，對吧？ 因為我知道S2是什麼。 所以我現在得到的表達式是 S 減去 因為我知道S2是什麼， S2 是一個四分之一。 等於 4S。 好的，我從任一邊取 S， 所以我得到負的四分之一等於 3S， 這意味著 S 等於負 12。 那麼現在你相信我了嗎？ 太棒了，我超愛的。 令人驚嘆。 誰能想到呢？ 托尼，如果我拿出一台計算機的話 寫下了 1 加 2 加 3 加 4 加 5 我坐在此處，直到一切結束 然後按下了等號， 我會得到負12嗎？ 我真正意思是所有一切的終結。 你不能把它做到一切的終點，對吧？ 所以，重點在於， 我知道這看起來有點像數學問題 一種故弄玄虛的東西， 但事實上並非如此。 而且我會告訴你為什麼我們知道它不是。 我知道你覺得我老是談論物理太多， 但我們知道這並非由於物理因素。 因為這類求和在物理學中經常出現， 在物理學中，我們不會得到無限的答案。 令人驚嘆，令人驚嘆， 而且 juste- 你知道嗎，我正試圖想出 一個直觀的理由是， 我就是做不到。 坦白說，其實只是—— 你必須進行數學上的花招 真的看到它了。 然後你只需要相信 你並未衡量的東西 自然中的物理無限性。 然後這兩個事實合起來，我想 讓你對這個結果有信心， 但它明顯違反直覺， 而且這與直覺相悖，因為 你知道，直覺上你只是想停止這個序列， 當你停止這個流程的瞬間 那麼，對於這個結果，你所有的直覺是什麼？ 不翼而飛。 所以如果我算 1 加 2 加 3 加 4 加 5， 然後我往上數到一 googolplex， 你會得到一個很大的數字。 是的，你不會得到像負12那樣的結果。 你必須前往無限，布雷迪。 這是負的。 我把所有這些正數加在一起了 無限大まで 而且我還有負12。 但它確實扮演著一個角色 在許多不同的事物中， 數字12，而且是— 例如，正如我所說的， 關鍵尺寸的計算 在弦理論中，26個維度， 來自於此計算。