小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用六年級學生，全120集 P6 - 六年級春季06-計算綜合複習（一）下

那我們繼續了哈 那我們來來看 這個模塊2 排列組合 我們看一下模塊2排列組合 那前面我們已經講了加乘原理了 對不對 加法原理 就是分類 乘法原理 就是分佈 上面向加 底下向乘 OK 但我們今天講這個排列組合 那排列組合其實是分成兩塊 一塊叫排列 一塊叫組合 對吧 那什麼樣叫排列 什麼樣叫組合呢 這還挺有意思的 我們來看一下 先說排列 那排列的話 我們看它的名字就知道了 就是把好幾個人 站成一排 對吧 那我們來找一找其中的規律 首先如果是三個人站成一排 三個人站成一排 對不對 那它就會是什麼 三乘二乘一 是不是六種 可以嗎 那如果是四個人站成一排呢 那就是四乘三乘二乘一 就二十四種 我們發現 好像發現了一些了不得的東西 對不對 你就從左往右去設定 那如果是五個人呢 第三個種情況五個人呢 五乘四乘三乘二乘一 對吧 一百二十種 所以我們好像有點感覺了 如果你是n個人 正好就是全排列 就是說他們正好全排了 站成一排 那麼這時候就是從n開始 一直乘到一 對不對 好 那接下來我們變一下 還是五個人 但是他們不打算全部都排 五個人要選三個人來排 大家看看應該是幾乘幾乘幾 那我們發現這時候 這五個人沒有什麼特殊的要求 也沒有什麼特殊的元素 都沒有對吧 所以這時候我們就從左往右來 第一個位置 我們從五個人裏面選一個人來站這 是不是有五種 那第二個人的話就剩四種了 不是 第一個位置有五種選擇 從五個人裏面選一個人 站在第一個位置 那到第二個位置的時候 就剩四種選擇了 因爲已經有一個人去第一個位置了 對吧 再到這兒是三個 所以你看 五人選三人 是五乘四乘三 對不對 那這邊相當於是 三個人選三個人 就三乘二乘一 四個人選四個人 就四乘三乘二乘一 那這樣就是排列 所以我們就得到 n個人裏面 來選m個人 對吧 那你看 如果有三個人讓你選 那你就從三開始乘 有四個人就從四開始 有五個人就五開始 對不對 然後你選出幾個人 你最後就乘幾個數 所以它肯定就是從 n開始 n乘n-1 乘n-2 一直乘了幾個 乘了m個 所以就n-m加1 一直乘到這 對不對 好 這就是排列 好 那排列我們用一個符號 叫做a a-n-m 這麼寫 在很早的時候 我們用的是p 現在統一都用a呢 對吧 好 那我問大家 大家準備想一下 準備想一下 來 如果是a-6-3 應該是哪 怎麼乘 從六個 選出三個 排成一排 那就是從六開始 然後幾個相乘 三個是吧 所以六乘五乘四 懂了吧 好 再來a-7-3 來 非常好 七乘六乘五 爲什麼是一直減一 你就想我們剛剛說的這個事 一直減一就是因爲 你每個位置選了一個 在那之後 下一個位置就少一種選擇 就每次選一個人出去之後 剩下的人就越來越少 對不對 好 那a-13呢 再來 就從十開始 十 九 八 對不對 a-100-4呢 那就從第一個位置就100個人在選 然後99 然後98 然後97 看懂了嗎 好 OK 所以我們的排列就出來了 排列 從n個不同元素裏面選出m個有序元素的方法 從n開始 然後n-1 n-2 一直稱到n-m加1 但是老師這n-m加1我記不住啊 所以你不用記它 它就是什麼 就是這個 排列 排列數 對不對 你就記住 上面是m 那麼你就一共是m個相乘 這一共是m個的 一共是m個的 OK 好 那再算一個來 a 不能再6了 a幾啊 a-72等於多少 大家算一下 從7開始 連續兩個 7×6 42 好 非常棒 可以了 好 那a-52等於多少 20 能夠算了 對 a-63呢 120 對吧 6×5×4 120 OK 這就叫排列 那排列有什麼用啊 排列那肯定用來在排隊的時候用 對吧 或者在其他的時候用 好 那組合是什麼 你看剛剛的話我們是排成一排 排成一排 對吧 有順序的 那組合就是沒有順序的 比如說 你a-52代表什麼 我代表從五個人裏面選兩個人 他們站這 站左邊跟站右邊肯定是不同的 對吧 就比如說甲乙和乙甲 這是兩種不同排列吧 對不對 甲乙和乙甲肯定是不同的排列 好 那組合就是 我從五個裏面選出兩個 那我這時候就不管誰站了 對吧 就不用讓他們站哪裏 好 那組合我們用c表示 比如說c-52 那就選出甲乙這一組就行 五個選兩個出來 就可以 對不對 那這時候c爲什麼可以用a來相除呢 那我們這時候來這麼想 我們來這麼想 你看 a-52 a-52可以這麼理解 a-52我們可以把它分步驟相乘一下 可以這麼理解 我先從五個人裏面選出兩個人 這個是c-52 然後選出來的這兩個人 在什麼 在自己隨便排一排 對不對 所以你發現a-52就等於c-52 來乘a-22 那麼反過來 c-52 就等於a-52 除以a-22 對不對 就有點像把它的順序給除掉 把順序給除掉 同樣道理你再來一個a-63 你要從六個選三個 而且要讓他們排一排 就可以理解成c-63 先六個選三個出來 然後這三個在隨便 你們在隨便站 對不對 所以我們的c-63 就會等於a-63 除以a-33 ok 所以你看這個c-nm 爲什麼等於a-nm除以a-nm 因爲a-nm相當於是n個裏面選m個 隨便 然後排成一列 那麼你可以先n個裏面選m個 然後呢 然後再排 對不對 好 那你覺得哪個會多一點 是不是肯定是a的多一點 有順序肯定多一點 是不是 比如說a-52 我們算出來是20 那大家算一下c-52 來 c-52就是看誰算的快 a-52除以a-22 20除以2 10 對吧 所以c-52就等於10 c-52就等於10 對不對 好 這是排列和組合的定義 好 那在排隊問題裏面 我們經常用到要相鄰的 只要相鄰 我們一會就通過題目說一下 就用捆綁法 對吧 那隻要不相鄰 我們就用插控法 對 那當然可能很多同學對這個排列組合 這個還不熟 所以大家一定要選幾個 算一下 你這數字不要選太大 比如說你就選什麼 a-52 a-63 a-12 等等等等 就是上面儘量是2或者3的 否則這數字會變很大 然後再把a換成c再算一下 好吧 那這個儘量不要去背 你要理解的去記住它 然後算一算 好 比如說我們來看這個 具體的應用 說圍棋興趣小組 一共有八個同學 八個人 如果從中選三個同學 在第二天的早上 中午 晚上 分別做值日 好 我問大家有順序嗎 那肯定有啊 你早上的中午的晚上的嘛 對吧 比如小強在早上 跟他在中午 跟他在晚上 肯定不一樣 好 所以首先 首先用a還是c 所以得用a 其次你再去想 他是幾個選幾個 八個選三個 所以a83 快不快 剩下就是計算了 所以你先把a83寫出來 整個題目就已經完成60% 70%了 剩下就是計算了 那a83的我們來理解一下 八個選三個站一排 第一個位置應該八種選擇 對吧 把第二個位置剩七種 然後再六種 能看懂嗎 336種 然後就可以做答案了 對吧 OK 所以你就先想一想 怎麼去判斷它有沒有順序呢 我教大家一招 就你把兩個人在這裏面換一下位置 看是同一種 還是不同種 那如果兩個人在早上和中午 再換一下 這應該是不同的職位的選法 是吧 對不對 小強和大強 一個在早上 一個在中午 換一下順序 這是不同的安排 所以我們就用a 對吧 就用a 不同的 所以我們是有順序的 那就用a 用排列 好 第二個大家算一下 還是這八個人 如果我們只是選出三個人 去參加一次全市的比賽 那應該有多少種不同的選擇 那這時候你想想 你只是從八個人選三個 這三個人順序有關 有用嗎 不影響 對吧 你只要選出來甲乙丙 就可以 至於說這三個人 你是先選了甲 再選了乙 再選了丙 還是先選了丙 再選了乙 再選了甲 無所謂 反正你最後選出來 都是這三個幹嘛 對不對 所以這就是很明顯的組合 c 8 3 好 那大家還記得那個式子嗎 來 我寫在這 你從n個裏面選m個 它就是 a n m來除以 a m 就你選出來的那m個 正常本來它是要什麼 他們是要 認真排好的 m m嘛 a m m 現在我們把它這個除掉就沒了 所以它就等於來 先把它寫成a a83 然後除以什麼 這三個人是a33 好 那再算一下來 a83就是 8乘7乘6 a33就是 3乘2乘1 然後一定記住 小心一點 這個口號別丟了 對不對 這個口號一定要留着 好 那得多少呢 能口算嗎 不好口算嗎 好口算 你用底消的 不要傻算 7856完成了 爲什麼呢 6呢 6跟後面的底消掉了 321乘起來是等於6的 那6跟前面那個6 就底消掉了 能理解嗎 啊 所以大家找到了 排列和組合的區別了嗎 所以這道例題 三是爲了讓大家 認識一下 排列組合的區別的啊 什麼是排列 什麼是組合 好吧 那這個式子 你要理解的去記 n個裏面選m個 就是n個裏面選m個 站成一排 然後再讓他們解散 不用站了 除以am OK 好 這是我們的例題三 讓我們看一下例題四 那例題四 大家看到站一起 看到不相鄰 就能想到什麼 捆綁和什麼 和插縫 OK 好 我們看看 說學校的乒乓球隊 一共有四個男生 三個女生 然後某次比賽之後 他們站成一排照相 他們獲得了冠軍 太牛了 大家思考一下 快點 暫停 然後算一下 快 兩分鐘 第一個問題 我們現在要求三個女生 全部站一起 照相的時候 三個女生 她們就要站一起 也不知道爲啥 是不是 就要站一起 她們三個感情比較好 感情比較好 好 那麼這時候 有多少種不同的站法 那這時候 你腦海裏面想象一下 在換順序的時候 你可以想象 這三個女生 是不是有點 一直是站一起的 把她們三個看成一個 再跟人換位置 對不對 對吧 所以這時候你可以這麼理解 三個女生 女一 女二 女三 對吧 可以把她們綁一起 看成是一個人 對吧 然後再跟四個男生 來隨便排 那這時候 相當於是幾個人 在隨便排啊 五個人 五個人隨便排呢 你想想是不是 你就想象成 五個人隨便排呢 對吧 比如說這就是 其中的一種排法 也可以把男一 放到這邊來 隨便換 那五個人隨便排 就是A5 好 完事了嗎 完事了嗎 沒完事 你想想你把她 三個女生綁一起 她們會不舒服啊 所以她們會掙扎一下 她們會動啊 你看看 比如說這樣排的時候呢 其實不是一種 其實有三種 不是 有六種 爲什麼 因爲這三個女生 是不是還可以換位置 雖然說她們相鄰 但誰佔C位 誰佔左邊 誰佔右邊 其實還是不一樣的 對不對 還是不一樣的 所以你還得再乘個什麼 再乘個A33 所以大家記住哈 只要是相鄰 就用捆綁 捆綁就要掙扎 一定分兩步 第一步先排好 第二步被綁着再掙扎一下 好 大家算一下 我看誰算得快 A55得多少 5×4×3×2×1 120 A33 6 所以算完是 720種 可以嗎 這是不是挺有意思的 對不對 好 那如果這道題目 我把它變一下 我變成不是三個女生 站一起 而是四個男生站一起 如果是四個男生 必須站一起 不站一起 我不拍了 四男必相鄰 那這時候應該答案 應該怎麼算 我們這時候把四個男生 綁一起 然後再跟三個女生來看 是不是相當於四個人 A44× 四個男生再掙扎一下 A44 對吧 24×24 576 能看到嗎 就出來了 所以四個男生相鄰是不一樣的 是不一樣的 OK 第二個 相鄰的話 我們是把它綁起來 這很好理解 你們要相鄰行啊 我實現你們的願望 我把你們綁一起 對不對 那不相鄰怎麼辦呢 不相鄰就要換一種 就是你把剩下的人站好 你把要不相鄰的這些人插空 你想象一下是不是 有一些人站好了 你要求不相鄰 那我就插空 插空 所以用插空法 用插空法 那如果我們要求男生不相鄰 那就女生先站好 女生站好是A33 對不對 那女生我們假定是三角形 三個人 那她們站完之後呢 有幾個位置啊 是不是出現了四個空 三個女生 會產生四個空 那麼你要求男生不相鄰 已經這四個男生 就在這四個空裏面 所以繼續A44 等於6×24 等於144種 能理解嗎 OK 這就出來了 記得做大 這還挺有意思的 那同樣道理的話 如果我們要求的是 女生不相鄰 那這時候怎麼辦 那這時候就比較有意思了 這個比較有意思 那我們這時候就先把男生排好 A44 好那大家告訴我 四個男生 會有幾個空啊 1 2 3 4 5 五個空了 對不對 所以在這五個空裏面 我再選三個空 讓這三個女生插空 懂了吧 所以就是24×60 1440 你看看 差別還是挺大的 對不對 差別還是挺大的 那所以 所以你要理解的去做 然後頭腦一定要清醒 那滾板插空 其實我們還是有很多花樣 可以玩的 那時間關係 我們就不再多說 大家還是要理解的 去學會做啊 那就先 如果說以前沒有學過的 你就先掌握到這一步 就大概知道是怎麼回事 好吧 然後後面遇上題目 你再去琢磨 再鑽研 一定要有信心 OK 好 那立體舞的話 就是相對綜合一點的 比較有意思 叫做多面手問題 大家可以給他標記一下 什麼叫多面手 就是有一個人既會這樣 又會那樣 所以王老師家 要裝修新房 要兩個木匠和兩個電工 現在有三個木匠 三個電工 還有一個 能做木匠也能電工的 現在我們要從 七個人裏面選四個 讓大家算一算 怎麼辦 你們覺得 這七個人裏面 誰最特別 那肯定這個多面手最特別啊 對吧 這哥們兒 這啥都能做呢 對不對 能做木匠也能做電工啊 好 那第一種情況 我們考慮 對吧 多面手怎麼樣 不選他 他太煩了 我們嫌他太煩了 不選他 好吧 那不選他 我們現在就是在 三個木匠 三個電工裏面選 對不對 好 所以就是 三個木匠裏面選兩個 三個電工裏面選兩個 注意啊 你從三個木匠裏面選兩個 這個事兒還沒結束呢 你想想對不對 對不對 這個事兒還沒結束 你還得在三個電工裏面 再選兩個 整個事兒才結束 對吧 所以是懲罰原理 好 三三和九 這種情況還有九種 所以如果多面手沒有入選 是九種 好 第二種情況 多面手入選 那入選呢 也有個問題 他到底是做木匠 還是做電工 好 那我們考慮 多面手 當 木匠的情況 先考慮他當木匠 他如果當木匠 那麼這時候 三個木匠 是不是隻要再選一個 出來就夠了 他已經當木匠了 那電工呢 還是從三個裏面選兩個 九種 問一下老師 怎麼又是九種呢 你看 C31是 A31除以 A11等於三 C32是 A32除以 A22 也等於三 對不對 你可以這麼理解 三個選一個 這不就是三種嗎 那三個選兩個 跟三個選一個 是一個意思 你要從三個裏面選兩個 那你就從三個裏面選一個 然後不要他 對不對 好 那第三種的話就是 多面手 他去什麼 他去當電工的 對吧 那這時候就C32乘C31 能看懂嗎 也是九種 憑什麼是多面手 不用算他嗎 多面手要麼不入選 要麼入選 那最後我們就 9加9加9就完事了 加起來是27種不同的 選法 當然這樣的話還比較簡單 就一個多面手 如果兩個多面手的 那就賊腐 就比較頭疼 兩個多面手的 比如說 第一種情況他們都沒入選 第二種情況 他們入選了一個 那你還從兩個裏面選一個 那這個的話 到底是做木匠 還是做電工 再分類 第三種 多面手兩個都入選 那兩個都入選 還得再分類 兩個都當木匠 還是兩個都當電工 還是一個當木匠 一個當電工 是不是 有興趣的大家可以試一下 如果把這另有一人 改成另有兩人 然後這七人改成八人 你自己去算一下 那個你要是算明白了 那說明你這個多面手 已經是賊6了 好吧 所以挑戰一下 你可以去挑戰一下 八個選四個 OK 然後兩個多面手 好 那我們來大挑戰一下 在1乘5的格子裏面填 12345678中的五個 要求填入的這五個數 是不相同的 而且填在黑格的數 比邊上的兩個數都要大 然後黑格的就要大 對吧 有幾種不同的填法 咋辦呢 有時候老師我知道 那我先八個數里面選五個數 對不對 大家思考一下 沒錯 非常棒 我們第一步 我們就八個數里面 選五個數 八選五 那我的問題來了 這個八個數里面 選五個數 這個八選五 是排列 還是組合 你選完之後 要先考慮順序嗎 先不考慮對吧 所以是組合 對吧 那C85我們算一下 C85就是 好 那第二步我們想想 你選出的這五個數 是不是一定是 大小不一樣的 比如說我們舉個例子 你選出這五個數 就是12345 可以吧 OK 好 那現在我們就相當於是 把12345往裏面排 我們看有幾種不同的填法 然後再去乘上面的56 是不是就可以了 對吧 好 就你選出五個數 它就有這麼多種填法 那比如說我們要把12345填進去 那這時候小心 黑格跟白格還是比較特別的 12345裏面 誰一定不能在黑格里面 一嘛 是吧 一肯定不能在黑格里面 二也不能在黑格里面 因爲這個黑格 它要大於兩邊的數 對吧 它總不能一和二吧 一和二兩邊就不夠了 是吧 所以黑格里面就在 345裏面選 而且哪個數一定得錄取 5一定得錄取 5一定在黑格 是不是 5不能在白格 5在白格的話 那黑格就分歸了 那5在黑格 我們比如說假定5在左邊的黑格 那另外一個黑格的話 有兩種選擇 54或者53 對吧 所以你就假設 我們選的是12345 那麼這時候你再分兩種情況 第一種 54在黑格的 懂了嗎 那54在黑格的時候 這時候是最幸福的 爲什麼 你的321隨便放 你隨便放肯定都比54小啊 對不對 所以5和4 他們自己把位置換一下 有兩種 321是三乘二乘一 是這樣26 12種 第二種情況是 53在黑格里面 對不對 那這個就有點意思了 有點意思在哪裏啊 有點意思在3這一邊 爲什麼 3這邊人比4小啊 對不對 所以3邊上就不能有4 對不對 所以4一定要緊挨着5的那一邊 靠邊的那一邊 所以53如果在裏面的話 4就要跟着他 好那2跟1的話 在這兩個位置是不是數1啊 所以2跟1有兩種 然後你再把53換一下 又換 那4就跟過去 又是兩種啊 22的4 4 對吧 所以最後的話 一共就多少 56乘16 完事了 對不對 你每選一種 你每選五個數出來 這五個數就有16種偏方 那56乘16 大家算一下 大家算一下算一下 6636 563 56896 最後就很happy的就算出來了 所以把這項題目列入 同桌必做精選題題裏面 好好算一下 OK 咱們總結一下哈 首先第一個 加乘原理 加乘原理的話 加法的話就是分類 所以就是類類相加 乘法的話就是分佈 那就是步步相乘 其中的話乘法的考的會更多一點 你要加個心 對不對 那第二個排列組合就比較難了 很多很多同學都沒學過的 是吧 第一個基本的定義 是吧 我們的ANM是等於什麼 n乘n-1乘n-2乘一直乘到什麼 n-m-1的 而我們的CNM就是 ANM除以什麼 ANM 你可以再去看一下 仔細看一下定義 對不對 那第二個的話 就是我們實際的應用了 對吧 實際應用你一定要去判斷 先判斷他這個順序 到底有沒有 然後呢 再去做 那第三個就是我們的相鄰 或者是不相鄰 相鄰就用捆綁 然後不相鄰呢 就用什麼 就用插控 對吧 那當然像技術這個的話 它就是那種技巧性很強 要考察大家分析能力的 實際上技術這一塊的話 大家一定要什麼 多去琢磨 纔行 好吧 好 那這塊我們就說到這裏 拜拜