【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）下 P33 - 133. 133-教學錄像-多縫干涉

假如說我們現在討論的不是雙鳳 如果這裏面有無數個鳳 很多鳳 比如說三個鳳 四個鳳 五個鳳 實際上我們說的光山 其實不是這個概念 實際上是有一千個鳳 明白這個意思嗎 是這麼一個概念 那這個雙鳳 這樣的光山是非常非常有用的 是非常非常有用 我們現在我們可以看一看 這些光山有什麼樣的光山 比如說這是我們最簡單的一種 就是剛纔我們說的 你搞了很多鳳 或者它這裏面這是一個透光的介質 然後給它每一個地方都挖一個坑 挖坑以後光這麼照過來 從這照過來 這時候因爲這個地方 你看光照過來以後 各個方向都可能走 對不對 透光 透射光從各個方向都可能走 對不對 所以相對某一個方向來說光是比較弱的 而這個地方光是明顯就是要這個方向走 對不對 所以相對這個地方出的光 相對這個光來說要弱很多 所以等於這個地方不透光 這個地方透光 這不跟這個是一樣的嗎 你也可以有反射光山 實際上是光這麼過來看反射 你這個地方反射 明白這個意思嗎 反射也跟透射是一樣的 對不對 效果都是一樣的 所以有很多這類的光山 光山實際上對於光譜分析是非常非常重要的 好 這裏邊非常重要的一個常識叫光山常數 說起來光山常數其實是一個很簡單的一個東西 就是縫和縫之間的間距 這個是光山常數 假如說你縫款是A 那縫款是A 不透光的部分是B 那A加B當然就是它們之間縫與縫之間的間距了 那這就是叫做光山常數 爲什麼這個這麼重要呢 因爲實際上光山哪個地方會出現亮紋或者暗紋 是和這個東西密切相關的 密切相關 我們後面馬上就知道 你比如說現在我們考慮N個縫 N個縫的情況 都光束感射了 所以這裏面有N個縫 N個縫有平行光過來 然後這有一個 這有一個透鏡對不對 透鏡這是焦平面對吧 現在很多這些縫上的光都要在這聚焦 剛纔我們討論的是 前面我們討論的兩個縫的情況 現在是N個縫的情況 可是結果是一樣的 就是我們討論的思路是一樣的 什麼思路一樣呢 假如說現在縫和縫之間的 縫和縫之間產生的光 不還是縫和縫之間 所有這些縫產生的光在這相干疊加嗎 假如說縫和縫之間的光層差D3C的 如果是拉姆達的整數倍的話 那實際上就是說 每個縫發出來的光的相位差是一樣的 或者說實際上相位差 二派的整數倍是跟相位差是一樣是一回事 對不對 這個時候在這裏邊縫和縫之間 縫產生的光強 實際上是直接把它加起來 對不對 它的正負直接加起來 這時候正負加起來是最大的 對吧 所以那是量紋對吧 所以明紋阻擊大的條件就是 D3C的等於拉姆達整數倍的時候 這個實際上就是告訴你 所謂這種光柵的情況 光柵在那上面 你在這看到的干涉圖案或者衍射圖案 干涉和衍射現在我們說實際上是一回事 對不對 干涉當時我們說干涉的時候是相干疊加 可是這發出光的部分是分離的 是不是 縫和縫你看兩個縫三個縫四個縫分離的 衍射是什麼 衍射也是相干疊加 只不過是同一個縫裏邊窄條窄條之間 這些發出來光之間是連起來的連續分佈的 對不對 本質是不是一回事 也是一回事 現在我們說這些多光束通過這個縫以後 在這產生的衍射圖案 衍射量紋的條件就是這個 量紋條件這個 所以我們把這個東西叫光柵方程 這是最重要的方程在這裏面 可是最簡單的方程 這個時候我們說它產生明紋的意思 其實它產生明紋 然後這些明紋在這裏邊產生的振幅多少 或者光強等於多少 假如說每一個縫在這裏邊產生的振幅是一批的話 每個縫當個縫 當個縫是一批的話 你這個D3等於Kλ的時候 實際上這個時候它們相位都一樣對不對 所以政府就簡單地講 所以你有多少個縫 你這裏邊光強就是這個振幅的n倍 比如有n個縫那就n倍 所以這個時候我們說 你這種情況下 P點的光強就是n倍的平方 那當然這個光強是非常非常強的對不對 單個縫的時候是這個平方 可是n個縫的時候是平方 如果你這個n是100的話 它就是1萬倍的單縫 所以那光強是非常非常集中的 那麼主極大之間的間距 角間距怎麼計算 比如說你罩上去了 一個剛纔我們說 如果我們在這裏邊 這是雙縫的情況 對不對 雙縫 如果我把它調到三縫的情況 今天我沒帶來n縫的情況 這是三縫的情況 三縫的話是另外一種情況 可是也是跟雙縫的情況很接近 對不對 你看那邊對吧 你們要是這麼看的話 你實際上並不能分清楚 這到底是雙縫的還是三縫的 因爲它雙縫和三縫之間差別太小了 可是如果你縫很多的時候 我下單給我帶來光杉的顏色 你會看到光強亮度就會有明顯的集中 比縫少的時候有明顯的集中 就不一樣 那麼這些亮度非常集中的 我們說的明紋和明紋之間 角間距等於多少呢 你比如說我現在從這個地方算起 看那個地方 明紋和明紋之間角間距怎麼算 明白這個意思嗎 這個角間距 因爲明紋的位置是用這個來決定的 對不對 所以說明紋的角度是由這個來決定的 那麼它們之間的角間距 其實你在這裏面做一個差分就行了 差分實際上意思是做減法就行 你比如說某一個明紋 Dsinθ等於kλ 和它相鄰的另一個亮紋是什麼呢 Dsin另一個θ等於k加1λ 它倆的差 那不就是D乘上兩個sin的差 等於λ嗎 可是sin的兩個差 你可以把它等效寫成什麼呢 馬姆胡用一個微分公式 cosθ乘上一個θ 就這個意思 所以你用的是差分 所以這樣的話兩個明紋的角間距就變成了 Dcosλ 聽懂了嗎 就非常簡單看起來 所以你就知道了 它們角間距是這樣的 暗紋呢 暗紋實際上是 這是n個 你不能再說 跟雙縫不一樣 雙縫的時候我們說 兩個亮紋之間不就是暗紋嗎 這n個縫的時候不再是這樣 爲什麼呢 n個縫的時候 亮紋和亮紋之間有很多個暗紋 你問這個是吧 它有很多暗紋 我怎麼知道的呢 實際上是這樣 暗紋是要這樣做 我們現在n個矢量疊加對不對 n個縫發出來的光在P點的疊加 實際上是n個矢量疊加 因爲振動都是 政府剛纔說 政府距離都差不多 所以政府都一樣 當然頻率也是一樣 振動方向也都一樣 唯一的差別就是它們之間的相位差不一樣 對不對 假如說縫和縫發出來的相位差是Δφ的話 那麼n個縫在那裏邊 矢量疊加的時候 我們不是把這矢量首尾相接 按照Δφ的角度這樣偏轉不是連起來嗎 連的時候 如果你這個矢量連連連連連 變成一個閉合的線 首尾相連的時候 這個矢量加起來不就等於零了嗎 這個時候不就是那一點的光強 光矢量不就等於零嗎 也就是那是阿爾文對不對 所以實際上它的條件就是nΔφ等於 閉合起來了 明白這事嗎 閉合起來了 阿爾派的k倍就閉合起來了就行了 可是這裏邊有一個問題 假如說你這個k是n大n的整數倍的話 假如說這是大n的整數倍的話 那它就變成什麼呢 如果它是大n的整數倍的話 那這個Δφ就又變成了阿爾派的整數倍 可是Δφ變成阿爾派的整數倍的時候 實際上我們說了那是明穩對不對 因爲每一個光源發出來的光 像爲啥是阿爾派整數倍 那麼它們不是相長干涉嗎 那是明穩對不對 所以你這個裏邊要把這種東西 刨出去 把這個刨掉 就是不等於k是不等於n的整數倍的那些整數的情況下 那矢量是閉合的 是等於零的 明白這個事嗎 就是你這個矢量 你可以這樣閉合 轉一圈閉合對不對 可是如果是這種情況的話 你閉合不了 因爲它是零 它是亮起來的 明白這個事嗎 是阿爾派的很多倍 所以它是閉合不起來 只有這種情況不能閉起來 其他情況都閉起來了 清楚了嗎 所以我們要把這個東西刨掉 所以這個時候就變成了暗紋 這種暗紋有多少呢 我們可以慢慢看 好先看看這個 當然我們知道這個Δφ和φ之間的相位差就是這個對不對 所以你這個條件把這個帶進去 就等效於光乘差是這個對吧 你把這個帶到這裏邊光乘差就變成這個了 當然在這裏邊我們說要把這個刨掉 如果你不刨掉這個的話 這個東西擱到這裏邊你就會發現N和E約掉 D3似的就變成λ整數倍了 那不是明紋嗎 就剛纔那我們說的明紋是吧 還是呢 所以你得把這個刨掉 所以刨掉以後剩下的那個部分就是暗紋 現在我們來看一看暗紋有多少 我們就考察 如果K剛好是N的整數倍的地方 實際上是明紋對不對 同意嗎 就是如果這是不等於的時候我們說是暗紋 可是它等於的時候正好是明紋對吧 所以我們來看兩個相鄰的明紋 什麼呢 NM和N的M加1倍 這兩個K等於這兩個的時候 K等於這個的時候是某一個Mλ 是M級亮紋 K等於這個的時候是M加1的亮紋 是兩個相鄰的亮紋 同意嗎 那這兩個相鄰的亮紋之間有多少個暗紋呢 這裏邊相鄰的這個之間 K可以取的整數是有這麼多的 這些整數都滿足這個條件 有沒有這些什麼 都不是N的整數倍 看到沒有 是N整數倍加1加1 一直到N減1 所以它們之間有這麼多個整數 也就是說兩個亮紋之間有N減一個暗紋 就是它要數出來 聽懂了嗎 這個是暗紋 暗紋就這麼多 N減一個暗紋 因爲這個是D30的N分之K 你把這個帶進去是一個暗紋 把這個帶進去是一個暗紋 它們之間差別是什麼呢 差別都是一樣的 所以暗紋和暗紋之間的間距都是一樣的 對不對 一共有N減一個暗紋 這間距是一樣的 這些間距等於多少呢 是明紋和明紋之間間距的 中間有N減一個暗紋 所以實際上是有N個間隔 對不對 所以除以N 所以這是暗紋之間距 剛纔我們不是算出來 明紋之間間距不是Dcosλ嗎 那N分之一不就是這個嗎 或者是你對這個搞 你對這個做一下差分 也直接出來這個東西 因爲你對這個差分的結果是什麼呢 是Dcosθ得θ 然後這是N分之一λ 明白這是什麼 因爲它們之間差別是N分之一 所以你出來暗紋和暗紋間距是這個 所以我們說兩個明紋之間有N減一個暗紋 當然暗紋和暗紋之間一定會有一個明紋 對不對 如果暗紋和暗紋之間全是暗紋的話 那中間不是全是暗的連成一片了嗎 不是這樣對不對 只有在這樣的地方纔是暗紋 中間不是暗紋 不是暗紋就有一個明紋 反正暗紋之間總有一個 總是要變大 然後大到一定程度總是要變小對不對 所以中間有個明紋 可是這個明紋不是很明 我們把它叫做次明紋 次級大 這是主級大 就是剛纔這個量紋是主級大 主級大之間有N減二個次級大 N減二個次級大是那麼數出來的 暗紋是N減一個 那它們之間不是明紋嗎 就N減二 很簡單 下面我們來看一個例子 比如說N等於四的時候 如果你剛纔這個聽懂了的話 這個都是廢話 可是如果你剛纔那個東西感覺不太踏實的話 你再聽一下這個 你就覺得這就更清楚了 是這個意思 N等於四的時候 比如說N等於四的時候 零級明紋和一級明紋之間有幾個暗紋呢 因爲你這個整數K必須是什麼呢 必須是N分之某一個整數 可是這個整數不能是四的整數倍 也不是零 所以只能是什麼呢 只能是四分之一 這個必須是四分之一 四分之二 四分之三 所以零和一之間有三個暗紋 三個暗紋 四分之一 這個是四分之一 四分之二 四分之三暗紋 這個東西對應的相位差是等於多少呢 你把這個東西都帶到這裏邊 你會發現這個實際上是對應的是角度等於多少呢 二分之π π 二分之三π 你再加一個的話它就變成二π了 對不對 然後又變成明紋了 那現在這個相位二分之π這個意味着什麼呢 你這不是四個縫嗎 四個縫每一個縫的 你數量疊加的時候它們這些相位差是二分之π 那加法是這麼加的 你仔細看一眼 第一個縫 第二個縫 它們之間不是有一個二分之π嗎 第三個縫 第四個縫回來了 明白這個意思嗎 它們之間它光強度是一樣大小 所以你這二分之π 這四個一回了 閉合了 這數量疊加等於零 那它是暗紋了 π是什麼情況呢 就是來回 明白這個意思嗎 去一個回來一個 這也是等於零 這也是閉合對不對 只是我沒畫在裏頭 它實際上是這樣的 明白這個意思嗎 所以畫在那裏邊你看不見 所以就這麼畫在這個 二分之三π呢 二分之三π跟二分之π一樣 只不過是換了一個方向 一這樣 往這個方向 對不對 明白這個意思嗎 你繳到二分之三π 實際上是負到二分之π 就換一個方向 然後你再搞一個 再回來 又回來了 這又等於零 這三個情況不是二分之π 就這樣 所以這樣的話 如果你把這個四個縫的情況畫在一起的話 它就變成了明紋 明紋之間有三個暗紋 就是一二三 三個暗紋之間有兩個刺激的 就是n-2個刺激的 然後就這麼下去 對不對