【北京大學】《泛函分析》（精品課） P35 - 35. FA35

我整個安排,其實這一章的整個安排,我現在跟大家說一下,就是我們這一章的話,上次我們講的是第一點,簡創指的這個建議,然後我們把這個簡創的處理論語,其中的一個內容,其他第三節的其他內容我們就不講,因爲待會理由我待會會簡單解釋。 然後我們會講歷史發展方理論,歷史發展方理論講完之後,我們講切副的生態定律,切副的生態定律講完之後,我們就講軌道創造的理由,最後我們會講軌道創造,這學期整個內容的話大概也就這麼多。 但是這個管異函數大部分看情況,我可能會錄幾次關於管異函數的課放在網上,大家可能可以自己去看。但是這個現在還沒定,因爲取決於很多其他的一些事情。 我們先把上次講的簡創值這個定義再簡單回顧一下。 在y中它要有一個生理值,那麼所有從x到y的簡創值的結合,我們叫它Cxy。 那麼我們上次講的Cxy,它其實是從x到y的所有有的新創值,這其實是一個發動空間。 我們假設x和y是發動空間,那麼這個反正就是發動空間。 那麼其實這個結合是這裏頭的一個B的一個新的空間,其實我們上次沒有這麼提,上次講了,因爲它A和B都在這裏頭,那麼A乘以A加上B乘以B,這是一個新空間。 然後我們還講了它其實是一個B,就是簡創值的按創值算出一項的這個極限,它N是一個簡創值,這是這樣的一個世界。 然後在其他有一個特殊情況,有一個特殊情況就是x如果說等於y,那麼我們就把所有x等於y嘛,那麼在兩個中間的時候我們就叫它Cx。 也就是從x到x的這樣一些簡創值的結合,簡創值的結合我們叫它Cx,那麼當然它是x到x的有間新型創值的這樣一個B的新的空間,這是第一條。 我們從概述上來看就是說,我們上次講過這樣的一個事情,就是說兩個創值,一個有間創值乘上一個簡創值,不管你說乘在前面還是乘在後面,它都是一個簡創值,這是第一點。 第二點,其實在這個Nx裏面,Nx是從x到x的所有有間新型創值,兩個創值可以相乘,相乘其實就是符合意義上的。 這個矩陣的意義上是這樣的,也就是所謂的N乘N矩陣,它其實是什麼?其實它不但是一個新型空間,而且它其實有乘法,所以它其實是一個代數。 當然這個代數不是交換的,如果爲數大一點的話,這個不交換,但是這是一個代數。 那麼這一條性質,就是說左乘和右乘全在這裏頭的話,那其實你從代數上來說,比如代數語言來說,這其實就是說所有簡創值上所組成的這個機能,它其實是Nx中的一個理想。 這個理想是雙邊的,就是你不管乘左邊乘右邊乘,全都在這裏,這是一個理想。這是從代數上來說,其實就是地圖,是Nx的一個理想,這是我們代數上可以這樣來說。 然後我們講這個簡創值裏頭,其實有一類非常重要的簡創值。其實在很多空間裏頭,你這個簡創值其實就是這樣創造的一個機械。 有窮之算值,你要創造一個簡創值,其實這是一個非常殘忍的辦法。你如果說你能找一遍有窮之算值來理解它們這個算值,那麼什麼叫有窮之算值?就是它的直語。Nx的直語,它是任何一個新算的直語,它總是一個新空間。 如果說這個新空間是有限的,那麼這個算我們就叫有窮之算值。有限的算值,但是你要加這個算值本身是一個有限的,再加它的有限值,那麼這個算值就是有窮之算值。 這是一個簡創值。我剛纔其實已經提了這個事情,在很多空間裏頭,其實任何一個簡創值的話,它都存在着一個有窮之算值的時代。這個算值是有窮之算值,按算值創成一下的。 這個要有一個條件,這個條件是什麼?這個條件就是說這個空間外的八大空間,它具有效率機制。如果說有效率機制的話,那其實它簡直就是這樣子的簡創值的話,它一定是一個有窮之算值的簡創值。 什麼樣的空間具有效率機制?這其實是我們原來講的八大空間給大家提過的。比如說C01,聯誼商的空間,當然這是我們的聯誼商空間,其實任何必需間,有借必修這個都可以,然後AP空間,LP01這些世界,這三個其實它是具有效率機制的。 所以這三個簡創值,其實它都是有窮之算值的簡創值。這是簡創值的建議的一些基本建設。 然後我們上次,因爲你牽涉到這個算子是簡算子,怎麼樣判斷這個世界的導彎?其實你應該知道,這個空間裏面,因爲它印過去,這是一個簡集的。什麼樣的集團,它是一個簡集的。這其實是我們上次給大家提過的。 就是說,在簡制東南空間裏面,在聯誼商空間裏面,這三個是一律集合的。那怎麼樣判斷,這是充分必要的條件。 充分必要的條件,它要求的是等度延續,一致有間,再加等度延續,一個集合。 然後我們還講P,裏頭什麼樣的一個集合,集合是一個簡集。 這所謂的定理叫Kolmogorov定理,裏頭要求P要大一點,E要小一點。 這是一個集合,什麼樣子是簡則的,其實就是律式的,或者是有Kolmogorov這個定理來判斷的。 現在還要再給大家講一個事實。這個事實其實證明了,其實並不了,但是我們不想證明。 但是這是判斷有用的一個事實,通常這個叫利弊引領,我們作爲一個例子來講。 這個通常叫利弊引領,利弊引領其實是一個做不準事的一個高手。 這個其實是在LQ裏頭,LQ裏頭判斷這個東西什麼是強勢力的,這個是一個測試空間。 那麼你說UN,因爲我們在可見好處,我們這是可測,這是可測,然後呢P,這其實P規定是要大一點。 你假設啊,假設第一個,UN,它是一家商店的郵輪,比如金屋出口啊,金屋出口第二個。 你再關注一下UN的這個LQ,那這事情的話,你拿來算這個事件,這個東西這一下要怎麼樣呢? 這個東西,這個區別,如果說這個區別,那麼其實UN要升到,比如P到2.1,對吧? 那麼這個要怎麼樣做?這是一個非常有用的,有用的。 另外一個就是這個東西啊,這個東西其實是什麼呢? 你這個LQ,把它升到2.1,這樣這個事兒,那這裏面有一個推論,一個推論就是如果說UN,它是金屋出口的郵輪, 然後他這個LP-FUNC,UN的LP-FUNC他要升到U點的話,那麼其實這個是他的強勢力,UN他要強勢力到U點,因爲我們現在講一個算法是簡單,你牽扯到在LP-FUNC裏面的話,其實你就牽扯到這個UN,什麼時候他會強勢力到U點,這樣一個問題,對吧? 這是一個非常有用的例子,非常有用的例子。這個事件怎麼證呢?這個證法大家可以在網上搜索,這其實就是孫平航空裏的那些一般地理人物提的證法,這是這樣的一個事件。 那下面我們再來講一個例子,這個例子其實跟我們前面講過的一些事情其實是有關係的,都是常用空間裏頭的。 我們來看LP和FUNC,現在我們解決一下單邊好了,單邊上面其實是一樣的。 這是我們的P和FUNC,那我們現在來看看,從這兩個空間,一個是X,一個是Y,那麼這兩個空間之間的這樣的算法有些什麼樣的建議? 那麼這個事情是這樣,我說T,現在我們就P要大於Q,都是這樣。 我說我現在講了,P要小於Q,如果說P要小於Q,那麼我們來看這個算法吧,我說T如果從LQ到LP,這是一個新鮮的,有建議。 這是一個新鮮有建議的,這個建議非常有趣,但是這個證明也不難,大家回去搜一下,或者你自己弄成證據,好吧。 從這個空間到這個空間的有建議,反正是不對的,你如果說LP到LQ,你如果說把這玩意倒過來,這是不對的。 這很簡單,你要把X變成X,在LP裏頭,這個肯定有建議。 所以其實從這個到這個,從這個到這個,你還能這樣算,看看從這個到,就把X打X,好吧,這個行不行,你算一下,應該是可以。 但是你如果從這個到這個,那肯定不行,這裏頭其實有一個推論是什麼,有一個推論就是上次跟大家說過的,這裏頭的推論是什麼呢? 就算LP與LQ,這個東西其實它不是心理統計,它不可能是心理統計,我們什麼叫心理統計? 叫做心理統計,X到Y的Y,如果是T,這個心理統計假如是什麼?假如T和T不一樣,它也不是一個有建議。 兩個半個空間之間,這個我們叫心理統計,如果說有一個有建議的心理算法,它要從X到Y,它有有建議,它是當事人,又是馬事人,又有建議,這樣的東西,我們就叫心理統計。 爲什麼?兩個無窮無窮的空間,如果說這個算子有有建議的話,這個算子其實不可能是一個有建議的算子。 無窮無窮的空間,如果說這個算子的話,X到Y,這個算子,其實只要一個是無窮無窮就行了,這樣子的算子,它不可能是一個有建議的算子,這是從解方子的建議就行了。 這個事情大家可以回憶做做,這個事情其實並不難,或者你到網上可以搜一下。 好,這是我們講的簡算子的事實。 那下來我們來講簡算子的圖調,關於簡算的圖調,所謂簡算的圖調。 那這個實際上是怎樣?首先,X是半空間的Y,那我說A,A還是T,A是一個簡算,那麼我們就看這個sigma A,我們來研究這個集合。 我們回顧一下這個算子的組成怎麼樣,假如說I-A,你要考慮這個事情,你要考慮組織的時候,你先考慮這個預解,因爲預解就比較好說了。 這個集合,這是一個什麼?這是從X到X,它是一個單算,又是一個反算,這樣子制的集合,這個叫預解集合,正在制的這個集合。 然後普及,其實就是這樣一個簡取的。 格拉藩的定理告訴你什麼?這個東西它不是個空間,這是格拉藩的定理。 但是對一般的一個有界線的算子的話,這個集合,這個普及分成三種,它可以是頂普,它也可以是連續普,也可以是剩一普。 在有求於空間裏面,XY是有求於空間的,其實大家都知道,其實這兩個沒有。 那下面我們來看這個簡算子,如果說這是一個簡算子的話,那這個普及應該是什麼樣子? 這其實就是下頭我們要講的這個定理,這個叫零效的定理。 這個定理怎麼說? 我們先寫下這個地方。 這是八種空間。 A是一個簡算。 假設X是無求於空間,我說這個零肯定在這個空間裏。 這是第一點。 第二點,所以你把這個零不扣掉的話,你如果說把零扣掉,這個其實全是點普。 也就是說你如果說它被零的話,被零它又在這個普及裏面,那它只能點普。 然後這個點普的話,它只能以零爲幾。 就是說這個集合,這個集合啊,它可能是有限,也可能是無限,也可能也可以是個空。 但是這個是點什麼?這個東西的話,它只能以零爲幾。 這是什麼意思? 如果說不等於,那麼你的這個藍的零,讓這個藍的減去這個藍的零。 這個東西的話,小於等於這個一不小。 這個東西的話,大至能。 一不小就小。 除了零以外,其它的至能也有限度的。 這個的話,這個之多可少。 就是說,你要把零扣掉,對吧? 這還不能那麼寫。 它也可能是個點普。 所以呢,你再這個東西的話,σPA,σA,它是至多可少。 至多可少,至多可少也就是你可以把它排一下。 這個解釋,它只能以,如果說這是無窮多個, 無窮多個,我們又知道這個肯定是有限,因爲它小於A的算法,對吧? 所以它這肯定要有區別,如果說無窮多個,這個藍的A,它只能是至多可少。 這個是普及。 簡算這個普的話,它具有這樣一個特殊的體系。 那下來我們怎麼樣來證明? 我們一步一步來證明。 其實第一步,我剛纔已經用了。 第一步其實已經用了,如果說X的Y,如果說X的Y它都是一個無窮爲的話, 那麼它不可能,如果說它當這個算法, 如果說有E,它的E算法是不可能的,對吧? 那我們剛纔其實已經用了。 這是第一個。 你如果說,假如只用它的話,它有階級,有階級F1,對吧? 那麼你知道很多算法,很多算法都講是F1A, 這個是什麼? 這個其實從X到X,這是一個簡算子。 我們知道對吧,我剛纔說了,A和B,如果說有一個是簡算子的話, 那麼A和B這兩個乘幾其實就是一個簡算子。 所以這個很多算子,很多算子是個簡算子,很多算子是個簡算子, 其實創造必要條件是這個X是一個有效的。 所以你真是簡算子的話,創造必要條件是這個X是一個有效的。 這個事件相當於就是說這個單位球, 上次小學的一個單位球是接起來的, 創造必要條件就是這個X是一個有效的。 所以這其實就是這個問題,好吧? 第二條是什麼? 第二條應該是你假設男的不能贏,好吧? 然後男的挨減A。 如果說男的,他又要在普及裏頭,對吧? 如果說又要在普及裏頭,那其實你就說你要證明這個不是單數。 你要證明什麼? 就在普及裏頭,如果說他不能贏,那麼他肯定是減普,減普其實就是證明他不能贏。 那你反過來,你就怎麼說? 那也就是說假如說這是一個單位, 假如說這是一個單位,你就說我要肯定他的真正實力。 這兩個其實是一模一樣的。 那下來我們來證明什麼? 下來,也就是說你只要證明是這樣,對吧? 那下來我們要來做,如果說這是一個單數的話, 其實我要推着他就直接馬上贏了。 單數就贏他馬上贏了。 這個時間在有求於空間裏頭總是對的。 如果單數馬上贏了就一定會贏。 但是在無求於空間裏頭,這個時間不對。 無求於空間的一般清算,這個時間不對。 但是對於我們這個算,它是對的,好吧? 好了,那你要證明這個時間的話, 你要證明這是一個單數,對不對? 因爲難的不等於,你把難的給它除掉。 所以其實你可以假設, 可以假設, 你把這個單數先衝到第二條, i減去難的分之a, a是一個簡單數,所以難的分之a也是一個簡單數。 爲了不放簡單一點,我們就假設難的等於1,好吧? 那下面我們要來證明這是一個碼,這是一個碼順,好吧? 如果說它是一個單順,其實它就一定是一個碼順。 那這都是用我們的量子來做的。 你假設它不是一個碼,好吧? 你要證明這個時間, 這是我們要證明的時間。 要證明這個時間,我們分成兩步。 也就是說,我首先證明它是i減a,好吧? 這個值1,如果我現在假設它是n等於1, 我說這個值1它是d的, 我先證明它是d的。 第二個,我再證明它是一個碼順,好吧? 先證明它是一個b,好吧? 那你怎麼樣來證明這是一個b值1? 通常這個叫b值1算子。 那麼你如果說n等於i減a, 你如果說這個算子大數, 它要大於等於Δx, 假如說要乘以Δ大於0,好吧? 使用這個,那麼你就能證明這個值1是什麼。 對,有些人算子都對, 如果說這個tx要大於這個算子, 要大於這個Δ, 那麼這個t的值1肯定是d。 爲什麼? 那也就是要證明這個x是x,要等於y,如果說ym就要收到y,要等於這個i-a,要存在的x是x,對吧 那你這四件都不夠,那有這四件的,你馬上就能聽到這個yn-yn,它是要大於這個n,這是一個基本的,所以這個xn也是一個基本的, 那麼如果說ny-ny-n,要收到xn,你要xn, xn一到xn收上xn,那麼這個y-y-y要y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y-y 假設這樣子的delta不存在 delta不存在了 所以這時候我也要承認 這個方式你可以拿ns的方式來等 然後使用什麼呢 使用i-a 對吧 這個玩意 這個delta不存在 也就是那個delta 那我都可以壓下來 你可以使用這個delta 要區別的吧 這是這個方法嗎 懂嗎 所以你看這個i-a xn對吧 xn的話 那這個去 這個要等yn 我這是xn xn-a xn對吧 我把這個給挪過去 xn的話 yn加上xn 現在我們因爲 因爲a是一個減算子 a是一個減算子 因爲xn這個半數又要等於1 所以你可以找個指定人 找個指定人 因爲你指定人我就假設他 沒關係對吧 所以你可以假設 假設 xn 比如說 應該設計成 設計成y 然後 你 在這裏設計成xn 啊 xn也要設計呢 甚至你 xs也要設計 那你把它帶走 i-a xn對吧 所以你這xn的話 其實你是 要設計成x 然後你這個x這個半數其實也要等於1 也要等於1對吧 所以呢 這個它就要設計成 i-a 但是 這個東西要升到0 這就矛盾了 這其實就是i-a 但是我們 前面這個假設 這就矛盾了 也就是說這個事情對 好了那現在 第一個我們已經假定 已經證明了 這是一個什麼 這是一個地質域 那也就是說 那我們先 本來是x對吧 x是我們這個本身 那這個當然就是 i-a對吧 x對吧 但是 這兩個顯然不相等啊 對吧 假設 假設它不是碼子了 如果它不是碼子 然後 再可以做下去對吧 我把這個 這個我把它寫成x1好吧 x1其實 這個跟這個 還是不一樣 第一個不要 所以說你現在 也就是說你是有個x 有個x1 這是不相等啊 每個x1 它都是地質 好了那現在我們 你可以 在這無形空間裏 判斷一個虛點 是不是簡單 一定是成了這個y y-a對吧 它是要守x-a 但是這個 y-a這個方式是 它是要等於 然後後頭這個距離 y-a到這個 x-a 不不不 這 這個 到這個 x-a 這個距離是什麼 其實這個 律師嚴律師說什麼 我都要承認 這個y-a y-a到這個空間 這個距離是大於等於 一漸一漸 你就去一步一步地 讓它大於等於 這其實是 好吧 那你 y-a -a y-a 雙雙看 雙雙看這個 其實就是 y-a-t-a 你把後頭的 y-a-t-a t t的話 t等於i-a 然後你再給它 加上t y-a-t 但是你這裏頭的話 這個地方其實是 它是要 這個 其實 其實是x-a-t -a 因爲你 這個 加一個 所以然後你 這個代表什麼 這個是y-a-t 這個比它大 所以這個總是要大一點 這個總是要大一點 這個總是大一點 也就是y-a這個中間 它是沒有受論值的 不可能有受論值 所以這就跟 s-a是矛盾 跟s-a是矛盾 所以說 這個肯定是個碼子 好吧 這就是個碼子 所以我們第二條就這麼玩了 如果是s-a它肯定是個碼子 所以這裏頭要用 n-a 所以這是s-a就是一個碼子 也就是說這個 如果它不是顛覆的話 它肯定是一個真的 這是第二點 好吧 下來我們 還有 第三點 其實真憑真憑 都是一樣的 第三點也就是說 n-a你是在這裏頭 如果是n-a 它要 受論到n n如果不等於 n不等於 你要 我們要再出一個矛盾 在這個情況之下 你要再出一個矛盾 我們第二條我們已經知道 這個肯定 這個肯定是一個顛覆 因爲這樣子 所以你就承認了 它是x-a 讓它發出要等於 n-a 這個是n 這要等於n 因爲它肯定是個顛覆 在我們第二條 已經證明了 然後 這個證法其實跟 剛纔這個做法幾乎一模一樣 這是一個事情 我假設 n-a要不等於n 因爲你看這個句點 句點的話 句點是要不同的東西 它要受論到它 不同的東西它要受論到它 因爲n-a不等於 我們知道a x-a 要等於n-a n-a它是 要不等於n-a x-a 這個方式 要等於 你馬上就能 x-a 這個 這個它是先用關 在裏頭的任何有限度的原理 它都是一樣的 這個做法 跟尤丘威是一樣的 這什麼意思 在尤丘威對舉證的時候 舉證就是什麼 就是不同特徵值 它說對應的特徵下它先用關 對吧 所以這事情 是很容易做的 我不做了 你要做你先做 兩個開始做 兩個對了 你就可以做三個對 三個對 這是這樣的 好 有了這個實際設計 我可以定義 這個是e-x-a 那麼你可以 再看這個e 它是發放在 n-a 它不相等的 就先用關吧 你算它的回數 就一樣 這是n-a 這兩個不能不一樣 現在你再用這個歷史原理 再用下這個歷史原理 你 你是在這樣 在一個特徵的時候 你要乘這個y-a 要乘這個e 要乘這個y-a 要等於 然後你問的距離 1-a 加上e 到那個e 這個是 要大於等於m-z 大於等於m-z 有了這個實際設計 然後你看怎麼樣 這倒有矛盾 矛盾是 你把這個 剛纔你把這個 這個是剛纔幾乎一模一樣 我減去一個 然後它a y-a 2 這個其實就是 y-a-b 減去一個 我後頭 我就發到形成這樣 y-a-b 減去一個 我這一行寫一下 y-a-b 減去一個 y-a-b 減去一個a 減去一個 y-a-b e-a-y-a-b 減去 加上一個 y-a-b y-a 然後你可以看到 這樣一減的話 在 在這裏 n加p這個其實是抵消掉的 n加p 所以這個地方是怎麼呢 這個其實是 n加p減一個 所以這個也是要 因爲這兩個一減的話 其實把x-a-b 把那一項給抵消掉 所以那一 那我們知道是什麼 y-a 這是要大於l-a-b 然後我們知道a-y-a-b a-y-a 這個它是要有受論值的 因爲現在這個y-a 這個放速是要等於1 有受論值的 a是一個減數 然後l-a 然後我們知道 l-a它是要受論值 l-a又不能 所以這個l-a加它一分之一 這個受論的話 這個受論 l-a分之一 這個也受論 所以整個這個也要受論 找一個直列的這個也要受論 但是這個要大一點 好吧 所以這個做法跟第二步幾乎一模一樣 好了有了這個事情之後 所以也就是說我們這個歷史效率解讀完了 就是說 它如果說 也不如果它有無窮度 它只能以廉價值爲極限 只能以廉價值爲極限 所以你有了這些結論 馬上就能確認它肯定可讀 肯定可讀 好了 這是歷史效率的這個定理 講完這個之後呢 下來我們再提一個事情 提一個所謂不變質空間的東西 不變質空間的話 這是我們這個第三節課 的一個定理 那個定理的話 跟我們這個後面 跟我們整個課程的話 其實關係並不大 那是一個 那個定理本身當然是有趣 而且比較重要的一個事情 爲什麼 就是說 這個定理其實用起來 其實並沒有太大的用處 至少我個人認爲並沒有太大的用處 爲什麼我給大家講個理由 我們先把這個定理給講了 那麼x的話 這是發生空間 t是一個也就是線雙子 那麼我說這個 x0啊 x0x的應該 信息啊 質空間 我們稱爲不變的話 不變什麼意思呢 不變假如 這個t x0它是 啊 有些人他覺得這些事情多成 這些事情多有 對吧 其實你還可以講x0不是一個b的話 那麼我們就叫 b的不變 其實你 其實這也不是 如果是x0不變的話 x0去個密碼的話 它其實還不變 所以你要講不變質空間 你總可以講這個是一個b的不變 b的不變 那麼我說如果是x0 b的啊 x0又不等於0 對吧 x0又不等於x 好吧 那麼我們就在x裏頭 那麼下一個這個定理 其實是這樣子的 如果說a a是一個解放式的話 b變成了 非平行的 你當然要求 爲數一加大一等 其實你要證明 你只需要證明 爲數一除以大一等 好吧 成了非平行的b的不變 質空間 這個定理 其實就是這樣 這個定理 爲什麼你說 不是太好用呢 其實你要講算 跟星系變化或者星系算 有關的不變質空間的話 其實你找一個是不夠 找一個其實是不夠 你要找的話 比如說t 你把x0變成x1 但是其實你還 還要需要的t的話 其實你是要把x1變成x1 找x4的話 要等x0加上x1 你如果說有這個事情 那麼 你這個不變質空間就非常有用了 因爲你可以限制 現在這個小空間 它從這兒到這兒 從這兒到這兒 兩個圈都不變 那一對圈都不變 你這個東西纔有用 你這算法 其實你也可以 又換到x0和x1了 你如果說以前講矩陣來說的話 那其實你相當於把矩陣給它分塊 你本來是矩陣是它 矩陣你如果說是這樣子 其實你是 這兩個圈 就這樣子 這個矩陣就有用了 這矩陣就簡單了 但是在無窮空間裏的話 無窮空間裏面有一個x0 然後你要找一個另外一個x1 使得這個是這樣子兩個的之合 這其實是很大的一個問題 在無窮空間裏面 一般這樣的做法 好吧 我們歇一會兒 接着來講 拜拜