【北京大學】《光學》（國家級精品課） P34 - 34. 34-5-43. 二維光柵和三維光柵衍射

上一堂我們講了處理多元演射的一個梳理方法 就是相依位移定理 今天喉嚨不大好 當然位移相依定理是很普遍的 上一堂我們重點來討論了 一下那個N個全統單元 一維週期結構 就是所謂一維的光纖 我們得到了這個 他的弗拉克菲演射場的兩個因子 一個是單元演射因子 一個是結構因子 或者叫元件干涉因子 很多特點是由那個 元件干涉因子決定 他的演射場 那我們今天呢 再來討論 二維的一個週期結構 他的演射 就像這裡顯示的 一種網格 週期性的一個網格 像這個呢 單元呢就是一個鋸孔了 我們是特別熟悉的 那你可以單元呢 也可以是別的形狀 像這裡畫的是 棱形的孔 那甚至這個單元呢 就是一個點 一個點 其實這個點 最具有這個代表性 因為我們考慮這些 元件干涉的時候 實際上都也是找對應點 來考慮他們之間的 這個 發射的這個赤波 或者是散射波 之間的一個干涉 一個干涉 那這個就是一個 二維的一個週期結構 一個典型的一個情況 上次給大家展示的 我們說 這是一維週期結構 因為在一個方向上 都有周期性 在Y方向上沒有周期性 儘管他的每一個單元 每一個單元 他的演射是二維的 請注意 每一個單元的演射 是二維的 那顯然嘛 一個小孔 一個圓孔 一個方孔什麼的點 他的演射上 當然是二維的 我們說他是一維的 是從週期結構來說的 從結構因子來說的 好 那現在我們來處理二維的 二維的演射呢 就是 二維的週期結構 我們用一個變種的思想 四部群 群體呢 變種的思想 譬如說 那麼XY 二維的一個週期結構 我們可以把它變成 一排 一共有N排 移到Y方向 他的空間週期呢 是DR 你每一排裡頭呢 又是一些單元的 一個週期性的一個排列 沿著X方向的 那麼這個單元呢 就是有N一個 他的空間週期呢 是DE 所以我們呢 可以這樣來考慮 先選任意一個單元 沿著X方向 週期的一個 性的一個重複 這樣就得到了一個 結構因子 得到了一個 三NE BETA1 OR3 BETA1的 一個結構因子 這個BETA1呢 是PI D3 CETA1 RAM的 然後呢 我們 再把這一個排 算一個單元 沿著Y方向 週期性的位移 所以把二維的週期結構 看成是 逐次的 逐維的 兩維的 一次兩次 一個週期性的一個 一個操作 來實現 這樣子呢 就導致了 第二個結構因子 三N2 BETA2 OR3 BETA2 那麼這個BETA2呢 是和D2相聯繫 PI D2 CETA2 RAM的 所以 所以總的來說 總的來說 就剛才的 是 一個孔位一個單元 沿著X方向 一維 週期排列 出來這麼一個結構因子 SX 意味著是 X週期性 排列 所出來的 然後再 按PI為大 單元 沿Y方向 就SY 其他 所以這樣一個 週期結構 它產生的 富蘭赫培演示層 它的結構因子 是X X S Y 兩個相乘 那 它的 強度分佈 一個是單元的 一個強度因子 再加上圓間的 多元的一個 二維週期的 一個結構因子 就應該是它 所以呢 那麼單元是什麼 單元隨便 像剛才第一個圖 那三個圖裡頭 第一個圖 最左面那個圖 單元是方孔 那我們最熟悉了 所以方孔呢 單元的一個形狀因子 就三二發一 二二二發一 三二發二 二二二發二 如果是強度的話 它會平方起來 也可以是單元是圓孔 也可以是菱形孔 也可以甚至是一個點緣 點緣就是一個delta函數 就是一個常數 常數 所以 兩個結構因子相乘 Sx乘上Sy 給出了一個 一個空間的一個點陣 空間的一個點陣 它的顏色斑 顏色的一個譜斑 這都是結構因子給出來的 當然這些譜斑 強度不一定一樣 因為前面還有一個 單元的一個顏色因子 在調子 那 這個圖的 是一個顏色角落 一個顏色長點的位置 SxSx 或者三SxSx 那麼在這些地方 那麼 Sx那個結構因子 都出現了阻擊了 阻擊牆 同樣的在這些地方 Sy 這些地方出現阻擊牆 所以兩個相乘以後 交的那些點 最終是保留下來的 那些阻擊牆 顯然我們是熟悉的 當第一三四大一等於 兩等大整數倍的時候 那Sx結構因子 是取極大值 出來一個N1平方 當第二三四大二等於 兩等大的整數倍的時候 那Sy那個結構因子 這個 出現阻擊大 得到一個N2平方 所以我們很容易從這裡 得到一個半角寬度公式 這些阻擊大 如果N1很大很大的情況下 N2很大 這個很銳 半角寬度很小 很小 這就是這樣 那再聯繫我們上一次 上一堂課 開始的 那個圖 所以剛才我們討論的 二維的一個週期結構 這樣一個演示屏 實際上在這個三個圖裡頭 相當於這個圖 群同單元 有序排列 而且是規則 取向有序排列是規則 會出現一系列的一個阻擊牆 你看點陣 出現一些點陣 那這些點陣 不像我剛才描畫的 那麼 好像 是一個方塊裡頭的一些點陣 那是因為 那個圖裡頭沒有考慮一個 單元顏色因子的調製中 現在單元顏色因子是它 單元是它 那麼 它的顏色因子怎麼樣呢 你可以從這裡來看 你也可以用一個單元的屏 做一個富蘭合併顏色實驗 把那個圖案拍出來 也可以 用這麼大量的 你看 它們取向都是有序的 但是呢 位置不規則 這樣子以後我們會論證 你也可以體會 這種橫向位置的不規則 這種相幹疊加 會退化成非相幹疊加 相當於 一個單元的顏色圖樣的 一個整數背景 整數背景 所以 這個圖 這個單元顏色的圖 再乘上這個圖 乘上這個圖 就是這樣的圖 所以這些很弱 很弱 很弱沒有顯示出來 是因為單元顏色的作用 那天 我告訴你們 有一個辦法 你瞇著眼睛看這張圖 你會就看起來一些亮斑 這些亮斑 這個所處的位置 就是這樣的位置 就這個亮斑 有沒有這個感覺 沒有啊 你看這些地方亮的 這些地方都是亮的 你看看書吧 可能書裡還好一點 好 下面討論這麼個問題 我要把它歸結為 二維的一個 顏色 但是不像我們 前面介紹的那個 XY平面上頭的 二維的結構 那個地方呢 是考慮了Z方向的 原產的一個弗拉格比顏色 現在我們考慮這麼個問題 考慮這麼個結構 就是在這個XZ平面裡頭 有這樣一個 二維的週期結構 沿著Z方向 一個週期性 然後呢 沿著X方向 也有周期性 現在光呢 是從這裡 左面 攝入 我要考慮這個 在XZ面上頭 這樣一個 出現主機牆的方向 把這樣一種構圖 把這樣一種結構 我們把它歸結於 二維的共面結構 二維的晶片的一個 共面的顏色 那我們怎麼分析呢 也是 相當於 就是說 這個結構呢 相當於在這個 Z方向有層次了 有層次了 一層一層 我們也是 周圍的一個東西 先考慮每一排 排內的點間干涉 那這個相當於 一個一維觀沙嗎 根據第三個系統 等於K人那麼大 排出來有一系列的主機牆 那這些主機牆的方向 也正是這一排 點內 排內 點間干涉的主機牆方向 也是第三排 排內 點間干涉的 主機牆方向 然後 我選某一個方向 主機牆方向 那麼這一排也有這個主機牆方向 這一排也有這個主機牆方向 這個直接在干涉 滿足主機牆 條件 這樣纔是最終保留下來的 這樣一個 二維晶片的一個 共面顏色的 一個主機牆方向 首先 我在這裡 先解決一個疑問 我們會有這麼個疑問的 光從左面來 那好像激發了 這個第一排 好理解 那麼第二排 怎麼被激發出來的 這是師伯 師伯好像他已經擋了他了 這個過去過來 他擋了他了 其實 是這樣子的 這些 單元 可以說純粹的是一個點 就是個點 他刻畫了這樣一種週期結構 用每個單元裡頭的 一個對應的點 做代表 刻畫了這樣一個週期結構 所以在這個意義上說 這個點 並不佔有空間的 什麼 體積 所以這個光 這個波 從左邊來 先激發它 這個 成為這些閃射源 接著又波及到第二排 又激發它 成為一個閃射源 又波及第三排 激發它 成為一些閃射源 因此 這一排的閃射源 比起這一排來 是有光正差的 相位又是遲後的 第三排再繼續遲後 所以 你考慮 相鄰排之間的 排間干涉的時候 我們既要考慮 後場傳播的時候 這個短一點 這個長一點 這個做一個垂線 這裡有個光正差 還有考慮這個 排本身 比它 又落後了 那麼多 所以從後面來看 這個是超前它的 從這個圓來看 它是落後它的 所以要考慮兩項 當然我們 這幅畫也要搞對 對 這裡就是這樣考慮的 考慮到 考慮到沿平行X軸方向的每排 排內 點間干涉 那和光上一樣 所以有一個類似於光上方程 第一三四大 等於K1那麼大 這個 這個整數 K1可以從零開始 正負一都可以 正負二也行 再考慮到 沿Z軸方向 相鄰兩排之間的光正差 這個是指圓了 為第二 而沿著C的 顏色方向 又有一個光正差 是負第二 所以面內點間 面內排間干涉的足跡向方向 應該是 這個 第二 減去第二 等於K2 那麼大 那顯然 這個式子的話 總是大於等於零的 所以這個第一 第一次印刷裡頭 這個K2 這個等於 正負一 正負二 這個是不對的 零 正一 正二 正三 不應該起負 這個印刷 應該改過來 好 現在我們看一個 具體的實例 就是說 這樣兩次 干涉 一次是 排內的點間干涉 第二次是 面內的排間干涉 要同時滿足這兩個 足跡向條件 所以保留下來的是 為數很少的 很少的 說不定的一個都沒有 所以我們先來看一個 具體的例子 第一等於第二 等於十個波長 整數個波長 那我滿足這個 方程的第一個方程 那麼K1就收線了 K1就收線 只能夠去 小於等於十 好 那 小於等於十 保留下來了 排內點間干涉 有二十來個足跡向 正負嘛 有二十來個足跡向 但是這些足跡向 在排 排間干涉的時候 能不能被保留下來 就是要 能不能保證 K2為整數 那好 我們把K2算出來 K2應該是 dA歐爾南達 減去dA歐爾南達 cosθ cosθ是一減去 3θ平方 那麼3θ呢 根據第一個足跡向條件呢 是十分之K1 K1呢你可以取 二十一個數字 0正負1正負2 正負3 好 K1可以取0 正負1正負2 一直到正負10 一個個帶進去算吧 開方 再減去10 能不能保證K2是正的 整數 結果 就是 0當然可以了 0 K1等於0的時候 K2等於0 就意味到是零度 還有K1等於正負6的時候 66346 64 8 開方開出來是8 10減8等於2 2 等於這個正負6的時候 這是36度52方 那個顏色角 這樣子呢8也可以 8864減去36 開6 水層是4 53度8方 當然直上直下 就是 正負90度也可以 因為這個是正負10的時候 這個更換率是零 那當然這個10 是那個整數 你看 排內點間幹涉 在我們這個具體的條件下 出現了21個足跡象方向 在第二次幹涉的時候 被篩選了 能夠 被保證 被保留下來的 只有7個 我把這個數小 成為一個小的二維晶片 在這 出來以後 這樣一個二維晶片的 共鳴顏色 只有一個足跡象 直接透射的 這個方向總是有的 然後呢 可以做指標的話 一個62 一個負62 一個84 一個負80 一個是10時 一個是負10時 所以只有 1 2 3 4 5 6 加上直接透射的 只有7個方向 所以可見 就是說 多維顏色 最終能夠出現足跡象的 是非常有限的 要滿足的條件是 非常苛刻 一次是篩選 弄不好 我這裡還好 出現了7個 原來排內點線 剛纔出現了21個 保留下7個 那是因為 我 設定了 一個比較好的數 設定了這個 那當然這個 第一第二這兩個週期量 和補轉的關係 可以是任意的 所以弄不好一個都沒有 所以今天挑一個CT 給你們做做看看 有幾個 最終出現幾個足跡象 有沒有 好 那如果是 三維呢 週期結構呢 可以預料 最終出現的 這樣一個 顏色的一個足跡象 是 要滿足的條件 是很苛刻的 所以現在講下一節內容 5.5節 三維週期結構 和晶體對X射線的演示 一說到X射線 我們就會聯繫到一個 晶體 因為確實在當時 是由X射線 經過一個晶體的演示 出現一些老矮圖和得敗圖 確認了這個X射線呢 是一種波 是一種電磁波 而且同時確認了 晶體呢 是一種週期結構 這是一個 非常有說服力的一個實驗 因為當時人們對 X射線的本質 和晶體的一個 一個瞭解 都不是很充分 那在這裡呢 我想先交代一個概念 一個波 波動空間有週期 波長 一個物質結構 有空間週期 我們叫D 那麼現在 X射線的一個波長的範圍呢 定得比較寬 通常認定為 是 10的平方I 到10負2的一個I 波長越短的話 X射線呢 傳透力越強 相對它的頻率越高 所以一般估算的話 就是以居中的這個數 I的 來估算一些 和X射線有關的事情 I嘛就是 0.1個納米 那麼EI呢 按照這個 光子的概念的話呢 這EI呢 等於相當於 EI的一個光啊 X光啊 它的光子呢 相當於有一萬個電子波 一萬個電子波 這是EI的一個波長的光 有一萬個電子波 我們在這裡 不是講這個 X射線怎麼產生 這個 XG的結構 它的產生的原理 我們是要講顏色 由此要引出一個 有效顏色的一個術語 就拿那個 一維光散來看吧 我們說 出現主機牆的 那些角方位 要滿足這個條件 就是所謂光散公式 而且當時 也就是上一堂吧 我們強調了 在選用光散的時候 你那個光散週期 D 一定要大於波長 你不能選 小於波長 如果你選 D小於波長 就是無效的顏色 不可能有 不可能有原產顏色 以後我們會看到 這就是會 顏色產生隱私波 不是傳導波 不是行波 不能在原產來接收 所以必須 D呢 大於一個 波長 D要大於波長 就會出現有效的顏色 但是你D大於波長 那你大很多很多倍呢 也不好 你說一千倍一萬倍 這D又太大 太大了以後呢 就出現不了 這個顏色圖樣 幾乎是幾何光學的近似了 這個情況 我們也不喜歡 所以我們喜歡的是 這個區間 要大於那麼大 是接收原產顏色的 必要條件 要看到充分的 顏色圖樣 不能大得太多 在一百倍以下 就是到邊緣了 最好是十倍二十倍 三五倍最好 所以這個叫做有效顏色 出現了顏色圖樣 敏感地反映了物質結構 所以這樣一個 有效顏色的一個術語 或者是一個概念 就是做演繹這個顏色圖樣 我試圖顏色圖樣 不是來看熱鬧的 是用顏色圖樣 來應用於這個V結構的分析 對經體結構的分析 對週期結構的分析 對其他結構的一個分析 V結構的分析 那四十三道物理學 發展到今天 在很多波段 很多設限 都用來分析結構 結構分析 那你再看 剛才說了 在做一般古算的時候呢 我們就選波長 X的波長為一個I 譬如說 我應該找一個週期結構 讓X設限能夠有效的演示 譬如說我取一百 取邊緣一點 取大一點 大了也並不好 一百 那這個地方之一 一毫米 十萬 十萬條 每毫米十萬條 可見這樣一個科學密度 是超乎我們 人工的一個機械的一個能力的 現在人工機械的一個 精加工的一個能力 大概可以到一毫米兩千 而晶體結構 天然的一個晶體的 一個三維的週期結構 它的那個空間週期 就是幾個I 三五個I 一二十個I 正好和這個匹配 可以進行有效的一個 X設限的一個演示 那我在這裡再順便提一下這個 我們在近代物理實驗室裡頭 有這個V波的伯拉格演示 用V波來模擬 X設限 在晶體中的演示 它有一個木頭的一個框架 那框架上拉了一些尼龍絲 尼龍絲上頭吊裝一些鋁球 因為鋁球對V波的反射率很高 這個鋁球的直徑大概一個釐米 吊裝在那裡 你可以給它週期性的排列起來 排列起來 這個用的V波源 發射的V波的波長是釐米波 比如說三個釐米 那麼這個間隔 按照我們前面的一個討論 就是要大於三個釐米 那麼你實際上可以取四個釐米 五個釐米六個釐米 不可以 四個釐米到六個釐米 七個八個都可以 太大了嘛 就是這個主機箱捱得很密 探測的時候 分辨的時候不是很清楚 據我瞭解他們大概控制在這個釐米裡頭 所以可以 這就是V波的一個模擬的 一個布拉格實驗 各位我們講到 晶體的X色系的顏色 有一個很典型的布拉格公式 所以很形象的就叫做布拉格顏色 這樣你可以探測出 V波出現在主機箱的一個方向 現在呢 現在我們來討論 晶體對X色系的一個顏色 那麼有那麼一系列的圖 這個晶體 是一個三維的一個週期結構 那麼在外來的光的一個照射下 或者是在外來的X色系的一個照射下 那這些晶體裡頭的每個圓包 都可以是一個散射圓 那在這個場合 這些散射圓 不再是我們先前的 那種空間裡頭的次博圓了 它也可能實實在在地 落實到一個離子身上 一個原子身上 就是說一個單元嘛 當然你也可以抽象的 看成是一個點 都沒有關係 那麼按我們的電磁學的知識 光波是電磁波 那麼這個晶體這個物質 這個原子這個分子裡頭有電磁 在這樣一個電磁場中用電壓 做受波震動 相當於一個耳擊震質量 所以它就又向空間四周 輻射這個電磁場 形象化來說 這些圓波對外來的X射線 或者外來光波的一個散射 這就成為一個散射圓了 這些散射圓是相干的 因為它都是統一的 在一個外來光的一個極力下 每個散射圓所輻射的電磁波場 是全方位的 因此我們在這個晶體外面 所能觀測到的 是這些三維的一個散射圓的 它的散射波的一個相干點 幹射場 這點先要弄清楚 那這樣一個三維的一個相干點 我們也是逐維處理 逐維處理 把三維的一個晶體 看成是二維的一個晶面的一個集合 一個晶面 第二個晶面 第三個晶面 看成是二維晶面的集合 那麼每個二維的一個晶面 看成是一維的一個晶線的集合 晶線的集合 那麼每條晶線 一維的晶線 又看成是零維的一些點的集合 所以我們先考慮 一個線內的點間干涉 找到阻擊牆 然後第二遍考慮 面內的線間干涉 找到阻擊牆 再第三步考慮 面間的 體內的面間的一個干涉 這樣子呢 從零維到一維到二維到三維 那就考慮全了 那麼這樣最後保留下來的 是一個什麼情況 保留下來的一些阻擊牆 顏色阻擊牆 應該是要滿足什麼條件 下面就是要來討論這個問題 現在先休息一會