【電子科技大學】《通信原理》精品課 P32 - 32. 4.1.4 基帶傳輸信號帶寬計算

現在我們來看一下 數字 PAM信號的帶寬 具體該怎麼計算 我們現在的問題是 我們有一個數字序列 AN 我們採用這樣一個形式的信號 這就是 PAM信號的 一般公式形式 我們採用一個 集體的脈衝 然後我們看看 這個信號的 功率譜是多少 說到功率譜 功率譜是 一個信號的 功率 在頻域上的狀況 功率譜與頻譜 稍微有一點差別 但它的 主要 內容是相似的 都是觀察信號在 頻域上的情況 因為對於隨機信號 我們去分析它的頻譜 往往很難得到有意義的結果 但分析功率譜 就容易得多 所以我們凡是對於隨機信號 我們都會 以功率譜來加以分析 功率譜給出它 頻域的狀況 同時 也可以由它 計算它的帶寬 我們這裡 數字序列 就是隨機的 所以這個傳輸信號 也是隨機的 要計算這個功率譜 首先我們必須要了解這個數字序列的 特性 我們講 數字序列 各式各樣的 數字消息 它的特性可能是 千差萬別的 但是 在導論中我們說 我們可以 用 信源模型 來加以描述 也就是說 各種各樣的 數字消息 它們的基本特性 是大致相同的 可以用 信源模型來描述 在這個模型中 它的主要 要點是 它是多少元的 速率是多少 它的符號級 以及它每個符號的 概率 其實除了這幾個基本因素之外 還有一點 就是 一個一個的符號 它們的特性是相同的 它們彼此是 無關的 或者獨立的 我們知道 在 概率論的知識裡面 獨立是更強的一個條件 一般來講 我們考慮這種 特性相同的 數字序列 在隨機信號或者是 概率論的 術語中 我們稱它為 平穩的 就是說它的特性 保持不變 另外 我們就考慮 一般的無關的 所以說我們講 我們的 信源 我們的序列 是平穩無關序列 對於這樣的序列 我們 考慮它的統計特性的時候 除了討論它的概率 常常我們還討論它的 另外兩個 均值 方差 以及它的相關函數 最基本的均值 均值就是用 符號的取值和概率來算 方差 可以由它的 均方值減去均值的平方 很容易計算 因此用這個公式就能算到 有了 數字序列的這些基本特性 我們就能夠去 得出 這個信號的功率譜 可以證明 這個信號的功率譜 是這樣一個公式 這個公式的 詳細推導過程 在教材的 4.2.3 和 各個參考書上 都有詳細的說明 所以我們這裡不展開來討論 我們重點說說 這個公式 是怎麼涵義 和怎麼來應用 看起來這個式子還是比較複雜 不過我們稍微整理一下 就會發現 這裡 TS的導數 就是 馬律RS 這個地方GT 是 脈衝的負雷變換 脈衝是缺點信號 所以做負雷變換 得到 大極T 它的魔方 實際上是 脈衝信號的能量譜 然後 TS 我們也 改寫為 馬律的平方 當然這裡有 我們剛才才提到的 數字序列的 方叉 和均值 然後這一個部分 實際上 是一個衝擊串 這個衝擊串 位置在 RS的整倍數 然後前面有一個係數 其實這個係數 是由這個給定的 它就是這個 頻譜在 K倍RS處的取值 所以總體來講 功率譜有兩個部分來決定 最主要的部分 就是脈衝的能量譜 另外就是一組 斜波 或者說譜切 我們下面用這個公式 來具體看一下 我們經常碰到的 簡單的矩形NRZ信號 矩形NRZ信號 是一個 門函數 我們在 信號的公式裡面 常常用一個 大牌的符號來書寫它 大牌 表示一個 寬度為1高度為1的門函數 像我們的高度是A 我們的寬度是TS 所以說我們 除以TS 就變成一個寬度是TS的 它的負列變換 我們熟知 這是最基本的一個 結論 就是 sinc函數 是sinπx 除以πx 而且sinc函數的形狀 我們也很熟悉 這是sinc函數的 平方 把這個結果 帶到這個公式裡面去 所以說第一個部分 是sinc函數的平方 第二個部分 一個衝擊算 但這個位置 正好在 kBIS處 而sinc函數在kBIS處是0 所以這個衝擊算 大部分被清掉了 只有 k等於0的地方 留下一個 這就是 矩形NRZ信號的 公立譜的公式 我們再 具體的看一下 我們常見的兩種情況 雙極性和單極性 雙極性相當於是 數字序列曲正負1 我們可以算到它的 基本的 均值 和方差 正負1 如果我們考慮等蓋的 它的均值就是0 均值是0 這項就沒有了 所以它是沒有直流 也沒有齊波 單極性 我們會發現 如果它取值0 1 那麼它的均值就是1 2 所以說它會有這個譜現 所以它有直流 但是沒有齊波 實際上我們也可以想象得到 單極性的信號 它當然 會有一個直流 所以總體來講 矩形NRZ信號的公立譜 它的帶寬 是無窮的 公立譜 是一個sinc函數的平方 我們 取它的主要部分 作為它的帶寬 這樣 既方便 又很合理 所以我們取到這個地方 這個地方我們稱為第0點 所以第0點帶寬 它的值 就是rs 我們知道各種不同的 脈衝信號 我們就可以按照這種方法來具體的求解 我們還可以考慮一個 比如說 歸零脈衝 我們來看看歸零脈衝的情況 歸零脈衝 它的寬度 只有 非歸零脈衝的一半寬度 1 2TS 那我們也按照剛才講的過程 這個時候 我們如果要去計算 會發現 結論是這樣的 它的sinc函數 歸零的 比非歸零的要寬一倍 它的0點發生在 2rs的 整倍數上 這樣我們得到的結果 它有的地方 就會有斜波了 所以對於不同的脈衝 我們要具體的 去分析 我們最 常使用的 是矩形NRZ 至於 我們剛才講 最小的 理論帶寬 如何得到的 它是0.5倍rs 我們後面會專門講述 瞭解信號的功率譜 與帶寬 是非常必要的 有了這些知識 我們才能 判斷 它是否適合於在某個信道上傳輸 有的時候 我們希望傳輸信號的時域 或者頻域 具有某些特性 我們就需要選擇以設計它的 脈衝形式 這稱為線路碼設計 我們在後面 會專門安排時間來討論 接下來 我們先來關注這樣一個問題 基帶傳輸信號該如何來接收呢 尤其是經過信道傳輸 混入了噪聲 怎麼接收它纔好呢 接收的性能又到底如何