【可汗學院】公開課：畫圖 P12 - 12. 斜率與變化率

在這個影片中 我將示範一些斜率的範例問題 作 為一點複習 斜率只是衡 量直線傾斜程度的一種方式 而且我們希望在這段影 片中能對它有基本的了解 它的定義是 y 的變化量除以 x 的變化量 這或許現在對你來說有道理 或許沒有 但隨著我們做越來越多的例子 我想這會變得有道理 讓我們先正確地完成這一行 這一行是 a 讓我們算出它的斜率 而他們實際上已經畫了兩個點 我們可以將其作為 參考點 首先 讓我們看看這些點的座標 這個點就在這裡 它的座標是多少 它的x座標是3 y座標是6 這裡這個點的x座標是 負1 y座標是負6 因此 我們可以從幾個角度來思考斜率 一種方式是直接使用公式來觀察 我們可以說y的變化 因此 斜率是y的變化量除以x的變化量 我會先以數值方式計算出來 然後我會在一下下用圖形來展示 那麼 y 的變化是多少呢y 的變化實際上是我們的 y 值從這一點到那一點變了多少 那麼我們的 y 值變了多少呢 我們的y值從這裡開始 y值 為負6 然後一直上升到正6 那麼這裡的距離是多少呢 好的 這將是你的終點y值 這將是6減去你的起點y值 再減去 負6 或者6加6 等於12 你可以直接數這一下 你說一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二 所以當我們把 y 值改變了 12 我們必須把 x 值改變多少才能使 x 的變化除以 y 的同樣變化 好吧 我們從 x 等於負 1 變到 x等於3 對吧 x 從負 1 變到 3 因此我們用終點3減去 起點-1 結果等於4 因此 y 對 x 的變 化率等於 12 對 4 或者如果我們想以最簡形式來寫 這就等同於 3 現在 這個解釋意味著每向右移 Celt1 個單位 我們可以這樣看待 讓我這樣寫 y 隨 x 變化的變化率等於 3 除以 1 這表示每當 x 增加 1 時 y 會增加 3 正x方向 我們將向上移動3個單位 因為這 是在y方向上的正3個單位 你可以看到這一點 當我們在 x 方向移動 1 單位時 我們在 y 方向移動了 3 單位 如果你在x方向移動2個單位 那麼在y 方向就會移動6個單位 6除以2等同於3 所以這個3告訴我們當x 增加時 我們上升得多快 讓我們對這個圖表上的 第二條線做同樣的事情 圖表B 同樣的概念 我將使用他們給我們的這些點 但你確實可以使用那條線上的任何點 那我們來看看 我們這裡有一個點 也就是點 0 1 你們有 0 1 然後起點 我們可以稱之為終點 這裡的起點 我們可 以把它看作 例如x是負 6 y 是負 2 同樣的道理 y 的變化是多少 當 x 有 OLD 變化時 那麼 我們先來看看 x 的變化 那麼 我們itis x 的變化是多少 所以在這種情況下 我們的x變化了多少 我們甚至可以計算出Δx 一、二、三、四、五、六 將會是六 但如果你沒有圖表可以參考 你可以直接取最 終的x座標 也就是0 然後減去起始的x座標 0 減去負6 所以當x的變化量等於 這將是 6y的變化量是多少 記得 我們將 此視為最終位置 這是我們的最終位置 這就是我們的起點 所以我們計算 0 減去負 6 接下來在 y 軸上 我們需要計算 1 減去負 2 1 減去負 2 那麼1減去負2是多少 這等同於1加2 等於3 所以是三分之二 或者二分之一 請注意 當我們在x方向移動了6個單位時 我們在y方向上移動了正3個單位 因此 當x的變化為6時 y的變化為3 現在 讓很多人感到困惑的一點是 我怎麼知道該按什麼順序來做 我怎麼知 道應該先做0 再做負6 然後再做1呢 那負的2秒呢答案是 你可以以任何順序進行 只要你記得清楚 因此 你也可以用y的變化量除以x的變化量 我們可以說 它等於負2減1 所以是負2減1 因此我們先使用這個座標 y 軸為負2減1 除以負6減0 請注意 這是那個值的負數 那是那個的負數 但因為我們有負數除以負數 它們會相互抵消所以這將等於負3除以負6 負數會互相抵消 這也等於二分之一 所以重點是 如果你先使用這個y座標 那麼你就必須先使用這個x座標 Edwards 說 如果你先使用這個 y 座標 就像我們這裡所 做的那樣 那麼你就必須先使用這個x 座標 就像你那裡所做的那樣 你只需要確保x的變化和y 的變化使用相同的起點和終點 這只是表示 對於每一個 我們在 x 方向減少 6 所以如果 x 減少6 那就是向後移動 我們在 y 方向將減少 3 但是他們本質上是在說同樣的事情 這條線的斜率是二分之一 這表示我們在x 方向前進2個單位時 y方向會上升1個單位 如果我們在 x 方向上回退 2 個單位 那麼在 y 方向上就會下降 1 個 單位這就是 1/2 斜率所告訴我們的 而且要注意 斜率為1 的線比斜率為3的線平緩 再做幾個這樣的題目 那麼讓我們來畫這條C線吧 我會用粉紅色來畫 而且我們假設起點 我只是隨意選的 好的 我正在使用他們這裡畫出的這些點 起點位於座標負1 6 而且我的終點是在點5 負6 所以我們的斜率等於y的變化量 除以x的變化量 有時候也說是上 升量除以水平移 phó 水平移 動量是指你在水平方向移動的距離 上升是指你在垂直方向上移動的距離 接下來我們可以說 我們在 y 方向上的變 化量是我們最終的 y 點減去起始的 y 點 這是我們最終的 y 點 那是我們的起點 等於我們的終點x座標減去我們的起點x座標 如果這讓你感到困惑 我只是想說它會是 等於我們結束點的 y 值減去我們 起始點的 y 值 也就是負 6減去6 等於我們結束點的 x 值 5 減去我們起始點的 x 值 x 點 也就是負1 所以這等於負6減6 是負12 5減負1 就是6 負12除以6 等同於負2 請注意 這裡的斜率是負數 那是因為每次我們將 x增加 1 時 我們就會沿著y 方向下降 因此這是一條向下傾斜的直線 它從左上角往右下角延伸 當x增加時 y會減少 這就是我們得到負斜率的原因 這條線應該有正斜率 讓我們驗證一下 所以我會使用他們那裡使用的相同點 所以這是直線D 斜率等於上升高度除以水平距離 現在 我們從 那個點到那個點 會上升多少呢 好吧 我們來看看 我們可以這樣做 我 們正在上升 我 可以直接數出來 我們正在上升 1、2、3、4、5、6 我們正在上升 6 那我們跑了多少呢 我們在跑 我會用不同的顏色 來做我們正在進行1、2、3、4、5、6 我們正在進行6 因此我們的斜率是6比6 也就是1 這表示每次 我們在x方向上移動1個單位時 就會增加1個單位 在 x 方向 我們向正方向移動 1 單位 在 y 方向則如此 所以 對於每一個 x 值 如果我們在 x 方向向負方向移動 2 單位 我們將在 y 方向減少 2 所以無論我們在 x 方向上做什麼 我 們在斜率的 y 方向上也會做相同的事 但請注意 這其實相當簡單如果我們想用數學方式來做 我們可以算出那個坐標 我們可以把它當作 我們的起點 disappointing 我們的起點是負2 負4 我們的最終排名是第四名 因此 我們的斜率是 y 的變化量除以 x 的變化量 我取這個點 2 減去負 4 除以 4 減去 負 2 2 減去負4 等於6 記住 那只是那裡的距離 然後4 減去負2 那也是6 那裡就是那個距離 我們得到一個斜率為1 我們再來一個再來一對 這些很有趣 讓我們在這裡計算斜率 所以是 y 的變化量除以 x 的變化量 所以我們從嘉點到這一點的 y 變化量 是 我就不計算了 一、二、三、四、五、六、七、八 是八 或者你甚至可以將這個 y 座標 2 減去負 6 這樣會給出那個距離 8那麼 x 的變化是多少呢 這裡的 x 值是 4 那裡的 x 值是 4 x 沒有改變 所以是 8 除以 0 嗯 我們不知道 8除以0是未定義的 所以在這種情況下 斜率是未定義的 當你有一條垂直線時 你會說 你的斜率是未定義的 因為你是在除以0 但這告訴你 你可能正在處 理一條垂直線 現在 最後我們來做這個 這看起來像 是一個相當直接的斜率問題 你說的那個點就在那裡 也就是點3 1 所以這是線F 你有點3 1 接下來這裡 你會 看到點(-6 -2) 所以我們的斜率等於 y 的變化量 我會把這當作我們的終點 這 樣你就可以往不同的方向去了 所以我們在y方向上有了改變所以現在我們要往那個方向下去 所以是負2減1 這就是這裡的距離 負2減1 等於負3 注意我們下降了3 那麼我們x的變化會是多少呢 好吧 我們將回退那個數量 那個數量是多少呢 那將是負6 那是我們的終點負3 負6減3 這給我們那個距離 也就是負9 所以每次我 們往回走9 我們就會往下走 3 這與我們向前走9的情況是一樣 的我們將向上走3 都是等同的 我們看到它們相互抵消 結果得到一個斜率為三分之一的直線 正的三分之一 這是一條向上傾斜的直線 每次我們運行 3 我們就上升 1 不管怎樣 希望這對你來說是一次很好的斜率回顧