【麻省理工】公開課《微分方程》 P8 - 8. 二階常係數線性方程

我們要開始了…… 我們今天開始學習 而且會持續一陣子 關於常係數的二階線性微分方程式 因此 在標準形式中 看起來這個變數有各種可能的選擇 不幸的是 所以我希望如果我使用其中一個而不是另一個 不會讓您太煩惱 我將以標準形式這樣寫 我將使用y作為因變數 你的書中使用了小寫的 p 和小寫的 q 我可能下一次會改用這個 但今天 我想使用盡可能中性的字母 以免影響其他任何東西 因此 我將分別稱這些常數係數為 A、大寫 A 和大寫 B 我今天將假設右邊為零 這表示它就是我們所稱的齊次方程 左邊必須以這種形式呈現才能成為線性 這是因為它涉及二階導數 但是這些係數 A 和 B 被認為是常數 因為我說它具有常數係數 當然 這並不是最一般的線性方程式 一般來說 將其視為自變數 x 或 t 的函數會更為一般化 不管它被稱為什麼 同樣地 這也可以是自變數的函數 而且最重要的是 右邊可以是變數的函數 而不僅僅是零 在這種情況下 這個方程式稱為非齊次的 但它有著不同的物理意義 因此 通常在這之後會學習這部 分我們從這裡開始 這是一個我們將從這裡開始的案例 到了下週中旬 我們將研究更一般的案例 但從這裡開始是一個好主意 你的書通常會從一些二階甚至更高階的線性方程的理論開始 我現在請你先跳過這部分 我們下週三會在兩節課中再回來討論這部分 我想 對你的問題集來說 讓你接觸一種簡單的方程式類型會更好也更為必要 然後你會更清楚地理解這個理論的整體概念以及它如何應用 我想 那麼讓我們來實際操作一下 那樣做的缺點是 我必須對這個方程的解是什麼樣子做幾個假設 我認為這不會讓你太惱怒 因此我將假設這一點 並在幾節課後加以證明 這就是通解 也就是包含任意常數的解 其形式如下 為什麼任意常數會以某種特殊方式出現 C1Y1 加上 C2Y2 因此這兩個是任意常數 這對應於我們正在解一個二階方程式的事實 一般來說 解中的任意常數數量與方程的階數相同 因為如果是二階方程 這意味著以某種方式被隱藏了 但你必須將某樣東西整合兩次才能得到答案 因此應該會有兩個任意常數 這只是大概 但大概能讓你明白這個概念 現在 Y1 和 Y2 是什麼 好吧 如你所見 如果這些是任意常數 如果我讓 C2 為 0 C1 為 1 這表示 Y1 必須是方程的解 同樣 Y2 也是 其中 Y1 和 Y2 都是解 現在 這顯示了在某種意義上 解決這個方 程的任務被簡化為以某種方式找到它的兩個解 無論用什麼方法 我們只需要找到兩個解 這樣我們就解出這個方程式了 因為通解就是這樣構造的 透過將這兩個解分別乘以任意常數後相加 所以問題在於 我們從哪裡得到這些解呢 但首先 或者更準確地說 其次或第三 初始條件會影響這些 我這裡並未給出任何初始條件 但如果你有這些條件 而且我在解題時會說明這些條件 初始條件 嗯 是透過 選擇C1和C2來滿足的 透 過適當選擇C1和C2來滿足 因此 換句話說 如果你有一個初始值問題需要解 決那將由這些C常數如何進入解法的方式來處理 好的 話不多說 這裡有一個標準範例 我 真希望我當初有查過第一學期的物理課程大綱 你有在8 801課程中研究過彈簧-質量-阻尼系統嗎 我覺得不好意思還要 問你你有嗎 如果你有的話 請舉手 好的 我的意思是 你們都這樣做了 好吧 讓我立刻畫一幅畫來提醒你們 所以這是一次兩秒鐘的回顧 我不知道他們是如何畫出這幅畫的 說不定他們根本不需要畫圖 這裡有一套複雜的系統讓事情來來回回地運作 好吧 在數學中 我們幾乎都是虛擬地這麼做 所以這是我的系統 這是一種固定的事物 這是春天的一小部分 這裡有一輛小車在軌道上 我想是這樣 所以這裡有質量 一些質量在小車裡 而運動則被稱為阻尼器的裝置所阻尼 一種阻尼器就像是你在日常生活中看到的門閉合器那樣 它們是位於上方你從來不會注意到的裝置 用來防止門砰地關上 所以如果你拆開它 看起來大概是這樣 這是減震器 它是一個有活塞的腔室 這是活塞進出的動作 當空氣被壓縮再釋放時 會減緩物體的運動 這就是人們所說的阻尼器 我們在那輛小卡車裡舉行彌撒 這裡就是春天 接下來描述它的方程式 我們稱之為x 我已經準備將因變數從y改為x 但這只是為了舉例說明 由於這條軌道是水平的 因此稱之為 x 會更自然 somewhere 有一個平衡位置 假設就在這裡 那是物體在彈簧沒有拉它或推它 而阻尼器正在作用時所處的位置 我想我們這裡需要一個更長的減震器 所以這就是平衡的位置 什麼事都沒有發生 當你離開那個位置時 如果往那個方向走 泉水會試圖將物體拉回來 如果它朝這邊移動 彈簧會試圖將質量推開 油壓緩衝器則在發揮它的作用 因此 作用在mx雙Prime上的力 根據牛頓定律 來自哪裡 哦 那是彈簧對它施加的推力和拉力 那股力量遭到反對 如果x超過零 彈簧會試圖將其拉回 如果它位於零的左邊 如果x變為負數 那麼彈簧的力會把它往這邊推 它想要將其去除 去除這個質量 因此應該是減去 kx 這是來自彈簧的 它與x變化的幅度成正比 這稱為胡克定律 不必考慮那個 這是一條定律 那是牛頓定律 好的 牛頓 胡克 拼寫是帶有 e 的 而阻尼器的阻尼與速度成正比 當質量靜止不動時 即使它被拉離平衡位置很遠 也不會有任何動作 所以它會抵抗速度 那樣東西試圖往那個方向移動 阻尼器卻抵禦它 它試圖往這個方向移動 阻尼器也同樣抵禦它 這總是與速度相反 因此這是一種阻尼器阻尼 我不知道這是誰的定律 所以這是來自減震器的力 當你將其寫出來時 最終的結果就是它等於 m 乘以 x 的二階導數加上 c 乘以 x 的一階導數 了解各項術語的位置 以及kx等於零 而且現在這還不是標準形式 要使其成為標準形式 你必須除以質量 這樣它現在就會顯示為這樣 x 加上 k 除以 m 乘以 x 等於零 這就是支配彈簧運動的方程式 我這樣做是因為你的問題集第三和第四題要求你觀察一個小電腦視覺圖形 這說明了很多事情 而我當時不知道該如何做到 你可以不用這種對彈簧質量阻尼器的解釋來做到 但我想將這些常數視為阻尼常數和彈簧常數 代表彈簧施加力的常數 彈簧常數 正如它所稱的 讓它更加生動 因此你會注意到那些問題被標記為星期五或星期一 請標記為星期五 如果你現在對我在說什麼有個大概的了解 可以今天之後再做 否則 返回並重複 8.01 這只是一個例子 一個典型的範例 但卻是最重要的簡單模型 好的 現在我想談的是解決方案 我必須做什麼才能解這個方程式呢 因此 為了解決我在黑板上用橙色標出的那個方程式 也就是常微分方程 我們的任務是找到兩個解 現在 別把它想得太簡單 有一個條件 解決方案應該是獨立的 所謂的意義就是 y2 不應該是 y1 的常數倍 我的意思是 如果你有 y1 那麼 2 倍的 y1 就不是這個的可接受值 因為如你所見 你實際上只有一個 你無法構造出一個雙參數族 因此 解必須是獨立的 這意味著 如我所說的 重複一下 兩者不應為對方的常數倍 它們看起來應該不同 這已經是足夠的解釋 好的 現在 找出這些解的基本方法是什麼 好吧 這就是我們整個學期將會使用的內容 基本上是研究這種類型的方程式 甚至是這種類型的方程組 係數為常數 基本方法是嘗試令 y 等於指數函數 現在 你能夠對指數函數進行調整的唯一方式 就是在指數上的常數 因此我們將嘗試 y 等於 e 的 rt 次方 所以我會用 t 作為 d 注意你無法從這一點看出 我目前使用的是自變數 但這告訴你我使用的是t 然後我改回使用y作為因變數 所以t是自變數 為什麼我要那樣做 答案是因為有人想到要那樣做 可能是歐拉 這是一項已經傳承了最後300或400年的傳統 我們只是知道這件事 好吧 那麼 如果我這麼做 正如你從考試中學到的 要區分指數函數是非常容易的 這就是人們喜歡它的原因 這也讓指數函數的整合變得非常容易 並 可以選擇整合後的視圖 而不是進行微分 那麼我們試試看 看看是否能選出r使其成為解 好的 那我來代入看看 替代 換句話說 那麼我們得到什麼好吧 對於 y 的二階導數 我得到 r 平方乘以 e 的 rt 次方 那是 y 的二階導數 因為每次對它進行微分時 你 都會在前面多乘上一個 r 的次方 其他部分則不變 下一個項是 r 對不起 我忘了常數 大寫 A 乘以 r 乘以 e 的 rt 次方 然後是最後一項 B乘以y本身 也就是B乘以e的rt次方 而這應該等於零 因此我必須選擇 r 使得這個等於零 現在 你看到 e 的 rt 次方成為每一項的一個因子 而且 e 的 rt 次方永遠不會等於零 因此你可以 將其約掉 因為不管 t 的值為何 它始終是一個正數 所以我可以從每個項中取消它 剩下的就是方程式 r 平方加上 A r 加上 B 等於零 我們正在尋找滿足這個方程的 r 值 而且 親愛的 這就是為什麼你在高中要學習解二次方程式 為了讓你在此刻能夠了解彈簧和 彈簧質量系統在阻尼情況下的行為 這稱為特徵方程式 特徵方程 式是微分方程或彈簧-質量 系統的特徵方程式 這是在進行模型建立時的系統特徵方程式 好的 現在我們解決了問題 但從高中開始 你知道的 有幾個案例 每個案例都對應不同的行為 而且這些情況取決於根的形狀 可能的情況是根為實數且互不相同 這是最容易處理的情況 根可能是一對共軛複數 但這較難處理 不過我們已經準備好來處理它 第三種情況 也就是你問題集中最常見的 是當根為實數且相等時最令人困惑的情況 而且我將按照這個順序來談論這三個案例 所以第一個案例是根為實數且不相等 如果我告訴你它們不相等 我會用實際的來明確說明 嗯 這是最簡單的情況 因為立刻就能看出我們有兩個根 它們不同 因此我們立即得到兩個解 所以方程的一般解是 我直接寫下 y 等於 c1 乘以 e 的 r1t 次方加上 c2 乘以 e 的 r2t 次方 這是我們的解決方案 現在 因為那樣做這麼簡單 我們不需要做任何工作 我想稍微擴展這個案例 用它作為一個例子 說明如何輸入初始條件 如何輸入 c 所以讓我來做一個具體的數值範例 因為我們不會在下週三之前嘗試從理論上來做這件事 我們就做一個數值範例吧 因此假設阻尼係數為 4 質量為 1 彈簧係數為 3 這裡有更多阻尼 這裡的阻尼力 你不能這樣說 因為單位不同 但這個數字比那個大 那至少看起來很明確 好吧 現在 特徵方程式是什麼 聽著 現在注意看 請照我做的做 即使在過去 即使在學期中段 仍有一些學 生認為他們必須將 y 等於 c 代入右邊 而且要經過那整個小推導過程才能找到它 別那樣做 這浪費時間 我這樣做是為了讓你以後永遠不需要再做一次 明白嗎 立刻寫下特徵方程式 這並不難 r平方加4r加3等於0 如果你能立刻寫下它的根 太好了 但我們不要假設有那麼高的信心 所以是 r 加 3 倍的 r 加 1 等於 0 好吧 你把它因式分解 在這個情況下 根通常是整數 如果不是的話 那就只能使用二次公式了 好的 但這裡的根是整數 毕竟這只是第一個例子 所以解 通解是 y 等於 c1 乘以 e 的負次方 請注意根為 -3 和 -1 -3t 加上 c2 乘以 e 的負 t 次方 現在 假設這是一個初始值問題 所以我給了你初始條件 假設初始條件是 y(0) 等於 1 因此 一開始質量已經移動到這裡的位置1 好吧 我們預期它會開始這樣做 但這的阻尼相當大 這段阻尼非常大 我將假設質量從靜止開始 所以它處於拉伸狀態 彈簧處於拉伸狀態 質量在這裡 但是在此時刻0 沒有任何方向的運動 換句話說 我並沒有推它 我只是釋放它 之後讓它自己進行 好的 我假設 y'（0）等於 0 所以它從靜止開始 但處於延伸位置 位於平衡位置右邊 1 單位 現在 你只需要使用這兩個條件即可 請注意 我必須要有兩個條件 因為我需要找出兩個常數的值 好的 那我們來進行替換 我們得計算導數 那我們馬上開始吧 所以這是負3c1乘以e的負3t次方減去c2乘以e的負t次方 現在如果代入 t 等於 0 會得到什麼結果 呢好的 第一個方程式說明當 t 等於 0 時 y(0) 應該等於 1 而且右邊說這是1 那就是1 所以是c1加上c2 這是代入t等於0的結果 那代入呢 我應該在第二個方程式中代入 什麼好吧 y' 在 0 點的值是 0 因此 對於第二個方程式 當我代入 t 等於 0 時 根據初始值 左邊等於 0 而右邊是負3c1減去c2 你看到你最終得到的是一組聯立的一次方程式 這就是你為什麼在高中要學習聯立的一次方程式 這些是其中最重要的 解決這類問題是這種代數最重要的應用之一 好的 最後的答案是什麼 好吧 如果我把他們加起來 我得到負2c1等於1 因此 c1 等於負二分之一 如果 c1 是負二分之一 那麼 c2 是負3 倍的 c1 所以 c2 是正三分之二 最後的問題是 這會是什麼樣的解決方案 一般來說 這些兩個指數的組合很難自己繪製出來 好吧 這就是為何會給你這個小圖形 來為你顯示它們 你只需要如你所見 設定阻尼常數、設定常數、設定初始條件 然後神奇地 曲線就會出現在螢幕上 如果改變其中任一常數 曲線也會隨之漂亮地改變 所以解是 y 等於負 1/2 e 的負 3t 次方加上 3/2 e 的負 2t 次方 看起來如何 好吧 我並不要求你一個人就能畫出那張圖 但至少你可以開始動手 它確實必須符合初始條件 這表示它應該從1開始 且起始斜率為0 所以它就是這樣開始的 這兩者都是衰減指數 這下降得非常迅速 這稍微慢一些 它做類似的事情 如果這個詞語更加負面的話 我的意思是 那就是那個特定解決方案的樣子 其他解決方案會是什麼樣子呢 我來畫出幾個其他可能性 如果初始項 例如說初始斜率非常負的話 那它就必須從這樣開始 現在 僅憑你對物理或現實世界的經驗就可看出 如果我讓它從1開始 但給它一個強烈的負向推力 它會超過平衡點 然後再回來 但由於阻尼很大 它無法再次通過那個平衡點 它看起來會是這樣 或者如果我朝那個方向推 也就是正方向 那麼它一開始會有正的斜率 但由於彈簧在拉 它會失去動能 因此 換句話說 它可能會下降 它能穿越平衡位置 再回來並這樣做嗎 不 它無法這樣做 我原本想給你一個問題來證明這一點 但我想了想 覺得編製問題集太累了 所以決定認為你已經足夠了解了 正如你將看到的那樣 因此 這些是它可能呈現的不同可能性 這種最終只會回復原狀的情況稱為過阻尼情況 過阻尼 現在 當物體來回震動時 也會出現另一種情況 我們預期在阻尼非常小或完全沒有時會出現這種情況 那麼就幾乎沒有什麼能阻止質量這樣運動 雖然我們預期 如果確實有阻尼的話 最終會越來越接近平衡位置 從數學上來看 這對應的是什麼 那麼 這將對應到第二種情況 其中根是複數 這些根部結構相當複雜 因此我們稱之為根 在這種情況下 我們知道根的形式是 A 加上或減去 B I 有兩個根 它們是共軛複數 好的 我們來選一個吧 它在指數函數中對應什麼呢 好吧 記得當我們嘗試指數解時 r的函數是這樣的 因此 從正式的角度來看 這意味著我們將得到一個複雜的解決方案 這個複雜的解是 y 等於 e 的這個次方 我們來使用其中一個 假設是 A 加上 B i 乘以 t 問題是 我們該怎麼處理它呢 我們不太感興趣 我不知道那個問題的複雜解決方案是什麼意思 這一點也沒有意義 我想知道的是在那張圖中y是如何變動的 或者x是如何變動的 而且這必須是一個真正的函數 否則我不知道該怎麼處理它 因此我們尋找的是兩個實函數 y1 和 y2 但實際上我們得到的是一個複數函數 好的 現在有一個定理來幫我們 我不會留到星期三 因為這太簡單了 因此 定理是 如果你有一個複數解 u 加 iv 那麼這兩個都是時間的函數 u 加上 i v 是一個具有常係數的實數微分方程的複數解 嗯 它不一定要有常係數 它必須是線性的 我來寫出來 微分方程 y'' + Ay' + By = 0假設你找到了這個方程的一個複數解 這些都被認為是實數 它們是常數 阻尼常數和彈簧常數 結論是u和v是實數解 換句話說 找到這個複雜的解之後 你只需要分別取出它的實部和虛部即可 而且 你已經得到了原來方程式所需的兩個解 看起來可能像魔法 但實際上非常簡單 這簡直太容易了 這是一種我現在可以花一分鐘為你證明的定理 為什麼會這樣呢 好吧 我希望大家從這個論證中明白 這完全取決於這些係數必須是實數 你必須擁有真正的微分方程 這才會成立 否則 這絕對不會成立 所以證明是 什麼是解的意義 這意味著當你代入Au加上Iv加上prime加上B乘以U加上Iv時 我應該得到什麼 零 現在 將它們分為實部和虛部 什麼意思它表示 U 二階導數加上 A 乘以 U 一階導數再加上 B 這就是當我展開這個表達式後的實部 我也有虛部 而所有項的係數都是I 所以從這裡我得到V的二階導數加上I乘以Av的一階導數加上I乘以Bv 這就是虛部 現在我有一個實部加上虛部的數 虛部乘以 i 等於零 當然 這只會發生在實部為零且虛部也分別為零的情況下 因此 這部分必須為零 這部分也必須為零 因為這兩部分合起來就是零加零的虛數 現在 實部為零是什麼意思呢 這表示U是一個解 這虛數部分為零表示 B 是一個解 因此正如我所說的 U 和 B 都是實數方程的解 我在哪裡用了A和B是實數而非複數的事實 知道這是真的部分 我必須知道A是一個實數 如果A是像一加I這樣的东西 我就完了 那麼我便不能說這是真的部分了 所以說那是真的部分 而這是虛幻的部分 我利用了這兩個數字都是實數常數的事實 非常重要 那麼 我該如何解決我的…… 那麼 第二種解決方案是什麼 A 加上 BIT 的實部和虛部分別是什麼 等等 Y 等於 E 的 A 加上 AT 加上 IBT 次方 好的 你已經有經驗了 你知道現在該怎麼做了 那是E乘以AT 好的 實際部分是…… 我們這樣寫 實際部分是 e 的 AT 次方乘以 cos BT 注意 A 和 B 是如何進入這個表達式的 那是真正的一部分 而虛部是 E 的 AT 次方乘以 BT 的正弦值 因此 解是…… 因此 這兩個都必須是方程的解 因此 微分方程的通解是 Y 等於…… 現在 你必須加入一個任意的常數 把 E 的 AT 次方提出來是一個不錯的作法 這樣看起來會好一些 因此 常數分別為 C1 乘以 cos BT 和 C2 乘以 sin BT 那看起來是什麼樣子呢 你當然也知道 這是控制振幅的指數函數 但是這個訊號是由兩個不同振幅但相同頻率的 正弦波組合而成……這 些B值在兩者中是相同的 因此 這本身是一種純正弦波的震盪 換句話說 我沒有空間寫下來 但它等於U0 這是一個使用該三角恆等式的良好範例 我在考試前花了不少時間在這上面 好的 我們來做一個簡單的例子 看看這樣操作會是什麼樣子 好吧 我們把它去掉吧 好的 讓我們現在來調整阻尼…… 由於這顯示出震盪 它必須對應於阻尼較弱的情況…… ……與彈簧常數相比 一個僵硬的彈簧 一個需要用強大力量拉動的彈 簧……會讓那個東西來回 移動……特別是當阻尼很弱的時候 因此 我們就使用我剛才隱藏的幾乎相同的方程式 但是 你記得我這裡用了4嗎 好的 這裡我們之前用了3 得到了這樣的解法 現在 我們會在彈簧中加入一些活力 讓它更有能量 …所以現在是 5春天的拉力稍微大了一些 更大的力量 更堅硬的彈簧 好的 特徵方程式現在會 是………r平方加4r加 5等於0……因此 如果我解r的話 我得到…… 我就不費心去計算這 個了……因為我 為這場演講做了準備 我知道……你知道…… 二次方程式 負4加減根號…… ……b平方16減4乘5…… ……16減20是負4…… 全部為2 因此這表示 負2 正負 這只是i 2i除以2 就是i 所以指數解是………e 的負2次方………你不需 要寫這個………從這裡你 可以直接得到這個……… 讓我們使用帶有加號的那一個 這將會得到真正的解 e的負2次方 乘以餘弦t 以及 e 的負 2t 次方 乘以正弦 t 因此解將是 y 等於 e 的負 2t 次方 次方 c1 乘以 cos t 加上 c2 乘以 sin t 如果你想要設定初始條件…… ……你可以用我之前設定 的方式這裡有一些初始…………假設我們使用相同的初始條件…… y的0次方等於1 y的導數在0時等於1 等於0 假設這樣 0 是的 好吧 我想花點時間…… ……實際進行計 算…………但這並沒有什麼新東西 我必須在這裡計算導數…… 然後我會 你知道 替換進去 解方程式 當你做完所有這些 就跟之前一樣 你得到的答案是 y 等於 e 的負 2t 次方 所以那個 選擇常數 c1 和 c2 透過解線性方程式 答案是 餘弦t 所以c1結果是1 而c2結果是2 我希望 好的 我想知道…… ……那看起來是什麼樣子 嗯 用那個…… 三角函數公式 什麼是 e的負2t次方 只是實數因子 會自我複製 問題是 cosine t 再加上2的平方根看起來像什麼 它的振幅是多少 作為純粹的震盪 它是1 加上2的平方 記得 這取決於…… ……觀察那個小三角形…… ……這是1、2…… ……這是一種不同的尺度…… 這裡是五的平方根 對吧 這裡是黃金比例 相位滯後 所以 它等於… …五的平方根… 所以是 e 五的平方根 乘以 e 的負 2t 次方 而裡面的內容是 餘弦 of 頻率是1 圓週頻率是1 所以是t 減去φ其 中φ是這個角度那有多大呢 1 和 2…… ……如果這是 3 的平方根…… ……那會稍微小於 2…… ……那會是 60 度…… 所以應該是70 度那麼 phi是…… ……70度…… ……加上或減去 10π……像這樣 所以 看起來 像是……一個稍 微延遲的餘弦曲線……但振幅正在下降 看起來像這樣…… 所以它必須從……開始 如果我在這裡畫一個 1…… 這裡是 假設…… 五的平方根…… 這裡 然後是根號5 乘以e的負2t次方 看起來可能 像這樣 所以就是 五的平方根 e的負2t次方 或者 考慮一下cos這是餘弦t 但是 被推過了 而不是完全的π/2 它從 1開始 並 斜率為0 因此 解的開始如下 它必須在振幅上被引導 透過那個透過那種功能 以及 在它之間 它是 餘弦曲線 但是它移動過了……所以 ……如果這是π除 以2……第一次它穿 越時……是72度…… 在那邊的右邊 所以如果這是π/2 就是π/2 加上70度 當它交叉之處 所以 它一定是這樣做的 現在在另一邊…… ……它必須保持相同的 振幅…………所以它一定是這樣做的 好的……這讓我們……如果這是……欠 阻尼的情況… …因為… …如果你試圖這樣做……用一個 擺動的門…… 這意味著 門將會來回擺動或者 我們的小質量 現在隱藏起來就像你看 到它在那塊 板子後面一樣 將會這樣做 但從不停止……永 遠不會停止…… 它……在現實生活中確實如此… …但卻不在… …理論生活中 ……所以…… …這是欠阻尼的情況 好的……… 這樣說來…… 金髮姑娘與三隻熊 你知道那是 太熱了 而這個太冷了 呃 那是什麼東西 這剛好是對 的嗯… …這就是你要研究的問題……在作業題目上… …這就是… …所以… …剛好對的是… 嚴重潮濕 這被稱為嚴重潮濕 這正是人們所追求的 在試圖減緩運動 他們不想要的 現在什麼是 臨界阻尼…………它…… ……一定是這樣…… ……只是…… ……在這兩者之間…………既不是複數…… ……也不是根…… 不同的 這是 的情況 兩個相等的根 所以 R 平方 加上 AR 加上 B 等於零 有兩個相等的根 現在這是一個 非常特別的方程 式……這是 一個非常特 別的方程式……假設我們稱之為……根……因為……所有這些…… 注意這些根 在這個物理案例中 這些根總是顯示出為負數 會有負的實部 我將會呼叫根 A 因此 R 等於 負的 A 根 A 被理解為 一個正數 我想 讓這個根真的為負數 那這個方程式看起來就會像 特徵方程式 會是 R 加上 A 對吧 如果根是負數A 平方 因為這是重根 這意味著 方程式是 這樣的格式R的平方 加上兩倍的A R 加上A的平方 等於零 也就是 這微分方程式看起來是這樣 這微分方程式看起來是 Y的二階導數 加上兩個A乘以Y的一階導數 加上 也就是 阻尼 以及彈簧常數 是以這種特殊方式相關聯的 對於一個給定的值 彈簧常數 存在恰好 一個阻尼值 產生這個 介於之間的情況 現在問題出在哪裡 與它有關 嗯 問題是不幸的是 它正盯著我們看 當我們想要解決它時 問題在於 那就是 我們有 一個解決方案 但是 它是 Y 等於 E 的負 A T 次方 我沒有其他根 我必須找到另一種解決方案 問題是 我該從哪裡得到那個 其他的解決方案 現在有三種方法可以得到它 嗯 有四種方法可以得到它 你可以在歐拉中查閱 那是第四種方法 這才是正確的做法 但已經給了你 一種方法 作為作業中的第一個問題 我已經給了你另一種方法 問題集中的第二個問題 問題 第三種方法 需要等大約一個禮拜半 我也會給你第三波 到那時 時間到了 你將不再想看到更多的波浪 但我希望向你介紹這條路徑 問題集 而這就是 如果你知道一個解法 它就被稱為 如果你知道 一個看起來像線性方程的方程式的一種解 實際上 p 的值可以是 p 的功能 它不一定要是常數 所以我會使用書中的符號 p 用 p 來表示 而且 q 的導數加上 qy 等於零 如果你知道一個解 就有一個絕對的 鐵證如山 你會知道這是真的 因為我要求你來證明 自己解決吧 還有另一種形式 以這個作為因子 一個解是 y1 y 等於 y1u 是另一種解法 我向你保證 你會找到 u 現在 讓我們 在接下來的幾分鐘內完成這件事 就當做是這個情況的特例 因為我想要 你去做的 我想讓你看怎麼把工作安排得漂亮一點 我想讓你去安排 你做習題時的工作方式也是一樣的 所以 正確的做法是 解題的過程 我們知道的是 e 的負 at 次方 所以我們將尋找 這個微分方程的解 這就是微分方程 我們將尋找的解是 形式為 e 的負 at 次方乘以 u 現在 你必須進行一個計算 像這樣在學期中多次進行 這樣做 y 的導數等於 對負的 a 指數乘以 u 加上負的 a 指數乘以 u' 進行微分 然後再進行微分 再次 答案將是 a 平方 將其微分 a 平方乘以 e 的負 at 次方 我會 減去 所以這時乘以u的導數 從這你會得到另一個負號 所以合併起來 你從這裡得到的 將是減去 2a e 的負 at u 的導數 然後 一個最終的項目 它來自於 e 的負 a t u 双 prime 次方 二 其中一部分這裡 另一部分那裡 合起來就是這樣 現在 插上這一部分 將其乘以一 換句話說 你對它什麼都沒有做 你將這一行乘以 2a 將那一行乘以 a 平方 然後將它們相加 左邊我什麼也沒有 右邊我得到什麼呢 注意我是如何安排的 這項工作做得很好 這是這個的平方加上2a乘以那個 再加上一乘以 這使得零 2a倍的這個加上一次的這個 等於零 所有這些都消失了 e 的 at u 双撇次方 因此 e 的負 at u 双撇次方等於 到零 請告訴我 u 双撇是什麼 它是零 什麼是 u 這是c1加上c2 現在 這給了我一整個解的家族 只要t就是 夠了 因為我所做的只是尋找一個與 e 不同的解決方案 y 等於 e 的負 at 次方乘以 t 而這就是解 我的第二個解法 所以這是臨界阻尼情況的解 你會 在作業中的三到四個不同問題中使用它 但我認為你 現在可以完成幾乎全部的問題 除了最後一題