HSG 12 - Bình Định - Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

Một bài bất thi học sinh giỏi lớp 12 Bình Định Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x cộng y cộng z lớn hơn hoặc bằng 1 phần 4 nhân với 1 phần x cộng 1 phần y cộng 1 phần z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 1 phần 2x cộng y cộng z tất cả bình cộng 1 phần x cộng 2y cộng z tất cả bình cộng 1 phần x cộng y cộng 2z tất cả bình Tính ra là AD đã nhận được rất nhiều các bài toán Và ta hãy đi vào giải quyết vấn đề này nhé Ta cần đi tìm giá trị lớn nhất của P Tức là ta đi tìm giá trị lớn nhất của các số hạng này Mà các số hạng này lớn nhất khi mẫu của chúng nhỏ nhất Đầu tiên ta hãy phân tích từng số hạng trong P 1 phần 2x cộng y cộng z tất cả bình sẽ bằng 1 phần x cộng y cộng x cộng z tất cả bình Hãy áp dụng bất đẳng thức COSY cho mẫu số này và ta sẽ có được x cộng y bình cộng x cộng z bình lớn hơn hoặc bằng 2 lần x cộng y nhân x cộng z Nên suy ra được x cộng y cộng với x cộng z tất cả bình lớn hơn hoặc bằng 4 lần x cộng y nhân x cộng z Từ đó ta suy ra được Biểu thức này sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 4 nhân với 1 trên x cộng y nhân x cộng z Chứng minh tương tự ta sẽ được Và Từ đây ta có thể suy ra được B sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 4 nhân với 1 phần x cộng y nhân x cộng z cộng 1 phần x cộng y nhân y cộng z cộng 1 phần x cộng z nhân y cộng z Ta hãy quy đồng biểu thức này và sẽ có được Nó sẽ bằng 1 phần 4 nhân với y cộng z cộng x cộng z cộng x cộng y tất cả trên x cộng y nhân x cộng z nhân y cộng z Và rút gọn ta sẽ được Vì x cộng y cộng z lớn hoặc bằng 1 phần 4 nhân 1 phần x cộng 1 phần y cộng 1 phần z theo đầu bài Nên ta suy ra được x nhân y nhân z nhân x cộng y cộng z sẽ lớn hoặc bằng 1 phần 4 nhân với xy cộng yz cộng xz Từ hàng đẳng thức A chữ B chữ C tất cả bình phương lớn hơn hoặc bằng 0 Nên ta suy ra được A bình cộng B bình cộng C bình sẽ lớn hoặc bằng AB cộng BC cộng AC Nên suy ra được xy bình cộng iz bình cộng xz bình sẽ lớn hoặc bằng xy nhân iz cộng iz nhân xz cộng xy nhân xz Từ đây có thể suy ra được xy cộng iz cộng xz tất cả bình phương sẽ lớn hoặc bằng 3 lần xyz nhân với x cộng y cộng z Và nó sẽ lớn hơn 3 lần xyz nhân với 1 phần 4 nhân 1 phần x cộng 1 phần y cộng 1 phần z Khai chuyển ra và ta sẽ được 3 phần 4 nhân với xy cộng iz cộng zx Triệt tiêu xy cộng iz cộng zx Ta sẽ có được xy cộng iz cộng zx sẽ lớn hoặc bằng 3 phần 4 Ta tiếp tục biến đổi biểu thức này Vế phải của chúng ta sẽ bằng 1 phần 2 nhân với 4 phần 3 nhân x cộng y cộng z nhân 3 phần 4 Trên x cộng y nhân x cộng z nhân y cộng z Thay thế biểu thức ở trên vào ta sẽ có được P sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 2 phần 3 nhân với x cộng y cộng z nhân xy cộng iz cộng zx Tất cả trên x cộng y x cộng z nhân y cộng z Ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức mới này Và cụ thể là ta sẽ chứng minh nó nhỏ hơn hoặc bằng 9 phần 8 Ta có 8 lần x cộng y cộng z nhân xy cộng iz cộng zx Sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 9 lần nhân x cộng z nhân y cộng x nhân y cộng z Hay 8 lần x cộng y cộng z nhân xy cộng iz cộng zx Sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 9 lần nhân với xy cộng iz cộng zx nhân x cộng y cộng z chữ đi xyz Trên tiêu biểu thức này đi ta sẽ còn lại được xy cộng iz cộng với xz nhân x cộng y cộng z sẽ lớn hơn hoặc bằng 9 lần xyz Tiếp tục theo cosy ta sẽ có được x cộng y cộng z sẽ lớn hoặc bằng 3 lần nhân căn bực 3 của xyz Và xy cộng iz cộng xz sẽ lớn hoặc bằng 3 lần nhân căn bực 3 của x' y' z' Từ đó có thể suy ra được xy cộng iz cộng zx nhân x cộng y cộng z sẽ lớn hơn hoặc bằng 9 lần xyz Vậy là ta đã chứng minh được biểu thức 1 Từ đó ta có thể suy ra được P sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 2 phần 3 nhân với 9 phần 8 Và điều này bằng 3 phần 4 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 phần 4 Cảm ơn các bạn đã theo dõi Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn