HSG9: Tìm các số nguyên tố a,b,c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a²+b²+16c²=9k²+1

Tiếp tục là bài thứ 2 trong đề học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh cách đây gần 8 năm mà bạn Đức Huy đã chia sẻ. Bài đầu này các bạn có thể xem ở link video phía dưới. Tìm các số nguyên tố A, B, C và số nguyên dương K thỏa mãn phương trình A'B'B'16C' bằng 9K'1. Một phương trình mà có tới 4 ẩn. Có vẻ hay đây. Chúng ta hãy cùng đi vào giải quyết vấn đề này. Ta hãy xét phương trình Ta hãy gọi đây là phương trình sau. Từ đó có thể suy ra được Hãy xét các số hàng ở vế bên phải. 9K' Nó sẽ chia hết cho 3. 15C' Cũng chia hết cho 3. Lên từ đây có thể suy ra được vế phải của chúng ta chia cho 3 sẽ dư 1. Và suy ra được vế trái của chúng ta A'B'B'C' sẽ đồng dư với 1 theo mô đun 3. Hãy gọi đây là 1. Đến đây chúng ta hãy nhớ lại các kiến thức về số chính phương. Một số chính phương khi chia cho 3 luôn có số dư là 0 hoặc 1. Tức là nó chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1. Ta hãy gọi điều này là 2. Từ đây ta có thể xác định được các trường hợp của bài toán này. Trường hợp 1 là A'B'B' chia hết cho 3. Điều này sẽ suy ra được A'B' chia hết cho 3. Má A và B là các số nguyên tố. Lên suy ra A sẽ bằng B và bằng 3. Thay vào phương trình sau ta sẽ được 3B'3B'16C' sẽ bằng 9K'1. Tương đương với 9K'16C' bằng 17. Đây là hạng đáng thức. Và ta có được 3K'4C'3K'4C sẽ bằng 17. Do 3K'4C lớn hơn 3K'4C và 3K'4C lớn hơn 0 do tất cả các số của chúng ta là số nguyên tố và số nguyên. Mà 17 cũng là số nguyên tố nên ta suy ra được 3K'4C'17 và 3K'4C'1. Từ đây ta tính được K sẽ bằng 3 và C bằng 2. Trường hợp 2 A'C' chia hết cho 3 ta suy ra được A và C chia hết cho 3 hay A'C'3. Khi đó phương trình sau ban đầu của chúng ta sẽ tương đương với 3P'B'16x3P sẽ bằng 9K'1 hay 9K'B' sẽ bằng 152. Điều này sẽ tương đương với 3K'B'3K'B sẽ bằng 152. Mặt khác ta lại có được 3K'B'3K'B sẽ bằng 6K. Chia hết cho 6. Mà không có 2 số nguyên dương nào có tích bằng 152. Mà lại có tổng chia hết cho 6. Nên ta loại trường hợp này. Trường hợp 3 B'C' chia hết cho 3 tương tự như trường hợp 2 và ta cũng loại đi trường hợp này. Vậy các số cần tìm của chúng ta sẽ là ABCK sẽ bằng 3323. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.