Corrigé Bac Centres étrangers 2024 spé maths ♦ Suite Un+1=f(Un) Récurrence Limite Point fixe Python

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Corrigé Bac Centres étrangers 2024 spé maths ♦ Suite Un+1=f(Un) ♦ raisonnement par récurrence ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe Python
Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f(x) = 2xe−x. On admet que f est dérivable sur [0; 1].
1.a. Résoudre sur [0; 1], l’équation f(x) = x.
b. Montrer que pour tout x∈[0; 1], f'(x) = 2(1 − x)e−x.
c. Donner le tableau de variations de f sur [0; 1].
Soit la suite (un) définie par u0 = 0,1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f(un).
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ⩽ un〈 un+1 ⩽1.
b. En déduire que la suite (un) est convergente.
3. Démontrer que la limite de la suite (un) est ln(2).
4. a. Justifier que pour tout entier naturel n, ln(2) − un est positif.
b. Compléter le script Python ci-contre afin qu’il renvoie une valeur approchée de ln(2) par défaut à 10−4 près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir. On rappelle qu’en Python, log(2) désigne ln(2).
c. Donner la valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil().