ЕГЭ2024. Профильная математика. Разбираю самые обидные ошибки / Математик МГУ

друзья мои рад вас всех приветствовать знаете ли вы что в первой части профильно иг нет ни одного задания которое выпускники решили бы на 100% правильно Даже самый элементарный вот в комментариях Прошу вас поделиться вашим мнением почему такое происходит А я пока вам напомню что у меня есть Telegram канал где я регулярно выкладываю решения с ошибками для чего для того чтобы ребята учились находить Эти ошибки чужие ошибки найти как правило легче чтобы не допускать свои ссылочку на телегу оставлю в описании Так что сразу подписаться чтобы не теряться на просторах интернета Какие же ошибки я чаще всего Вижу у выпускников это плохие вычисления потому что привыкли пользоваться калькулятором это плохие преобразования выражений это вот просто страшный бич это неумение прочитать условия задачи отсюда куча ошибок ищут совершенно не то что нужно и это к сожалению придуманы своих собственных формул и рецептов которые якобы Работают но по факту это не так А теперь давайте посмотрим как же все эти ошибки встречаются на практике поехали Ну что же Давайте перейдём теперь к ошибкам я их буду допускать Ну не то чтобы сознательно просто знаю какие ошибки допускают выпускники А вам рекомендую сделать следующее ставьте видео на паузу мы будем специально выводить плашечный с тем что я буду вам показывать Итак начнём с округления здесь возможно две принципиальные ошибки первая ошибка заключается в тем что ребята просто не умеют округлять Ну давайте я вам напомню правила округления значит если цифра в разряде которой мы отбрасывая маленькая 0 1 2 3 4 то мы просто смело отбрасывать Если же цифра большая это 5 6 7 8 или 9 мы её отбрасывать А предыдущий соответственно разряд увеличим на единичку Ну два примера возьмём число скажем 0 44 и округли его до десяты до десятых Значит надо цифры выкинуть но она маленькая раз маленькая значит взяли смело выкинули и написали ответ 0,4 число 0,45 округляем до десятых здесь цифра разряде сотых большая пятёрка Значит мы её брас и предыдущий разряд увеличим на один предыдущий соответственно цифру четыре мы увеличиваем на один получаем примерно 0,5 Ну Казалось бы Какие проблемы а теперь проблемы в следующем взяли мы число 0445 и хотим округлить его до десятых показываю как это делается Итак давайте не будем торопиться округли сначала до сох то есть будем цифры отбывать постепенно значит видим что здесь цифра большая Пятёрочка значит я должен её отбросить и предыдущей увеличить на О получается что это примерно 045 Ну а 045 мы уже округляем получаем 0,5 всё вот такое замечательное решение за него на ЕГ выставляет ноль баллов вопрос почему ищите ошибку ошибка простая ЕС Поли оть нуж никакие промежуточные округления мы сразу должны сразу должны округлять до нужного разряда Итак 0440 5000 Вот это наша главная А вот это первая цифра которая идёт в разряде который мы отбрасывать раз сотых Ну так это же цифра маленькая а раз эта цифра маленькая то всё что идёт после неё игнорируется от слова совсем а значит правильный ответ 0,4 ошибки - Это конечно неприятно скажете вы а как же научиться не делать этой ошибки ну здесь совет очень простой мы с вами должны математику изучать серьёзно теория потом практика ни в коем случае не ставим телегу впереди лошади не практикуем се а потом изучаем теорию именно теория потом практика причём много ошибки Разумеется будут но нужно анализировать причины возникновения этих ошибок Ну а к ЕГ Разумеется лучше готовиться заранее идеальный момент - это лето я вас приглашаю на летнюю школу где мы в спокойном режиме познакомимся со всеми заданиями профильного игэ будут но они короткие будут домашки но они лёгкие и будут пробники обязательно Куда же без них подробности по ссылочки в описании Ну а дальше-то что Спросите А дальше в течение всего учебного года мы будем планомерно серьёзно готовиться уже по всем заданиям по-настоящему не только знакомство Да И вот те кто прямо сейчас запис най курс тех ждёт приятный бонус Летняя школа для вас в подарок как я уже сказал подробности по ссылке в описании Ну что же следующая задача про биатлониста кото раза вероятность удачно выстрел 0,6 мы знаем что биатлонист первый два раза попал а последний два раза промахнулся Давайте найдём вероятность этого события Итак вероятность попадания то есть успеха 0,6 вероятность неуспеха То есть промаха это 1 0,6 то есть 4 Ну и теперь мы хотим найти Вероятность вот этого нашего сложного события но поскольку все выстрел дется независи друг от друга знат Мы просто ножа эти вероятности 0 6 0,4 0,4 Ну и Давайте всё это аккуратненько посчитаем значит 6 у 6 36 4 4 16 и 36 надо умножить на 16 Можно конечно в уме но на ЕГЭ нежелательно это делать лучше Напишите Это будет легко проверить 36 у 16 столбик значит три в уме 21 6 и 3 сложили получили 6 7 и 5 Сколько цифр должно быть после запятой аккуратненько посчитали здесь две здесь две значит в ответе должно быть цифры после тепер Давайте вспомним В задачах на вероятность нас прот ответ округлить до сох значит что мы с ми поскольку мы округлять уже научились Да ошибку больше делать не будем мы запоминаем вот эти цифры они для нас очень важны а цифра разряде тысячных она Какая она большая значит мы её отбрасывая увеличиваем на единичку получаем ответ примерно 0 нуть ошибку а теперь давайте поймём в чём же ошибка состояла в нашей невнимательности ещё раз Внимательно прочитайте условия задачи и попробуйте найти вот эту фразу ключевую Ответ округлите до сотах так этой же фразы нет Поэтому если этой фразы нет На каком основании мы округляем этого делать ни в коем случае нельзя просто категорически вы получаете сразу неправильный ответ А вот теперь выезжает условие следующая задача и теперь Сравните два условия в одной задаче ничего про округление не сказано в другой сказано Ответ округлите до так вот в первой задаче где округлять не надо ответ правильный 0 576 десятитысячных а во второй где нужно округлить до сотк 0,6 поэтому ещё раз бдительность при прочтении условия задач Ну что же вернёмся к любимой многими теории вероятности халявный балл И здесь у нас электрический чайник который может сломаться через год может сломаться через 2 года может быть через 5 лет и мы с вами знаем что вероятность с которой он прослужит больше оного года 0,9 а вероятность то что он прослужит больше 2 лет 0,7 С какой же вероятностью он прослужит от 1но до 2 лет ну здесь некоторые ЖТ так так смотрите у нас О де есть се два каких-то события Давайте Просто перемножить давайте просто перемножить эти две вероятности и получим ответ Ну самое главное критерий правильности ответа да прод подобности давайте так пока аккуратненько скажем что ответ от нуля до единички Так мы такое получили всё хорошо задача решена Ну хорошо на самом деле не всё да потому что решение-то принципиально неправильно когда работает такая формула при умножени вероятности Когда у нас есть независимые события Ну а здесь то что чайник прослужит больше 2 лет вообще-то он должен сначала прослужить хотя бы год потом хотя бы второй год а потом уже можно говорить и о большем сроке значит здесь события зависимые и легче всего задачку решить на прямой на прямой кам образом вот дава см жизнь чайника Да вот она началась потом год прошёл потом 2 года прошло ну и так далее и так далее мы с вами знаем что вероятность попасть вот в этот промежуток 0,9 а верность попасть вот в этот промежуток 0,7 А нам-то куда нужно попасть а нам нужно попасть вот в этот промежуток Ну так заметим что теперь-то у нас с вами идеальная картинка А в чём её идеальность вот эти два события белым цветом и оранжевым цветом обозначены Они несовместные что значит несовместные значит чайник не может сломаться и вот здесь и вот здесь он сломается в какой-то один момент но не в два разных Да поэтому мы либо попадаем сюда либо попадаем сюда и мы знаем что попав сюда или сюда мы попали вот это событие которое с ве 0,9 случается значит если мы весть обозначим скажем буков то тогда x П 0,7 это есть 0,9 чем я пользуюсь теоремой о несовместных событиях Ну отс овино умноже задание номер для кого-то кажется простым что там картинку дали посмотреть на картинку дать правильный ответ А для кого-то очень сложном для кого сложным для тех кто путает что же на этой картинке надо искать Итак задание Дан график производный соответственно задан на промежутке требуется ответить на вопрос В какой точке отрезка от нуля до ТХ наша функция принимает самое большое значение Но что мы видим Мы видим что у нас функция сначала раст Потом бывает понятно что мы видели точку максимума что эта точка имеет абсциссу равны двойке а значит ответ два Ну я в квадратик ОЖ Это значит что мы бланк ответа его и запишем ошибка А в чём же ошибка в том что как раз здесь Путаница произошла график функции и график производа если бы нам дали график функции ответ был бы безупречным действительно мы пришли в точку максимум значит значение X Рав двойке Нас устраивает но нам-то дали график производный поэтому первое что мы с вами делаем когда задача номер восем получаем читаем внимательно график Чего нам дали функции или производной или может быть даже первообразной А дальше если нам дали график производной то что нам производная даёт говорит следующее что если у нас штрих положительно значит функция F растёт если производная отрицательно значит наша функция убывает но положительно это значит мы с вами должны взять Вот на системы координат и скать Положи находимся вот зде вот а вот здесь то есть снизу F штрих меньше нуля но теперь смотрим на то что нас с вами дали да от единички до троечки ой от нуля до троечки вот у нас функция график точнее который мы видим вела себя так но это график производной Значит мы попали Куда в область где производная положительная а это значит что функция всюду в этой области растёт но раз функция всё время растёт то ведёт она себя Примерно вот так тогда вопрос В какой же точке самое большое значение принимается Вот в этой разумеется является чем правым концом отрезка то есть правильный ответ - Это 3 Ну что ж Давайте посмотрим что-нибудь попроще уравнение с логарифмами Ну и здесь всё хорошо Это же первая часть основание логарифма одинаковое это во второй части Скорее всего будет какие-нибудь разные Ну значит что напра сразу убрать эти логарифмы чтобы не Мешались тогда 2 + X = 1 + X + 1 мы получили элементарное линейное уравнение здесь 2 + x ой И здесь тоже 2 + x А чему же x равен наверно нулю тогда X ра Ну ВС задача решена Поздравляю Давайте разбираться в ЧМ же ошибка ошибок здесь на самом деле две А когда мы получили такое уравнение его реше является любой это уже должно насторожить уже должно насторожить Ну один из корней конечно X ра это верно но их же Здесь гораздо больше а ошибка была допущена в самом начале то есть вот некоторые ребята сами привы реп каком основании если бы единички не было всё согласен можно этим пользоваться на самом деле мы пользуемся Чем монотонность функции логарифмом да А если единичка есть Так она мешает но а если она мешает то её вот так просто выкинуть Нельзя значит нужно из неё сделать логарифм тогда мы получаем что у нас СМИ в левой части изме нет а в правой соответственно единичка превращается в логарифм пят по основанию 5 да потому что 5 в первой степени это И теперь когда сумма двух логарифмов сейчас попрежнему нельзя убирать логарифмы Да почему нельзя потому что здесь сумма сят вот если один логарифм равен другому логарифму и основание одинаковое значит аргументы равны но если у нас вами в правой части сумма логарифмов то сначала нужно сделать из этого логарифм произведения так и как только сделаю теперь мы видим что логарифм слева равен логарифм справа Ура Победа можно значки логарифм убрать и мы действительно получаем какое-то элементарное линейное уравнение Давайте его решим 2 П x - это 5 + 5X все иксы соберём А давайте соберём их соответственно справа а числа соберём слева да Получается что -3 - это 4x Ну тогда X - это -34 сможем благ ответа записать Конечно если перейдём в десятичную дробь -0,75 ну здесь полезно себя спросить такой ответ вообще имеет смысл подставляем вот сюда видим позна Лори чис положительно по знакам Лори число положительно читра Победа теперь действительно вс хорошо Давайте посмотрим ещё одну очень простенькую задачку но здесь вы будете смеяться А я иногда плачу когда вижу подобное Итак считаем 2К x 5 в Степе 4 ну Давайте вспомним как это делается при перемножении степеней показатели складываются но основно надо перемножить да 2х 5 в степени 2 + 4 получается 10 в степени 6 но это легко Да единичка нужно просто приписать шесть ноликов ответ миллион Ну а теперь давайте вместе вз груст потому что вот это то что из серии взял и придумал новый рецепт какие у нас вами формулы для степени есть а в степени x А в степени Y это а Степе X + Y То есть когда степени с одинаковым основанием перемножаются мы основание без Измени а показатели складываем Если же у нас с вами два разных основания возводятся в одну и ту же степень и перемножаются то мы перемножаемых и показатели разные значит не работает ни первая формула из-за того что основание разные ни вторая из-за того что показатели разные А как тогда считать если формулы Нет ну Давайте попробуем 2К у 5 в Степе 4 Давайте просто вспомним Что такое 2К это 2 x 2 ну 2 x 2 - Это 4 А что такое 5 в четв степени это 5 у 5 Ещё раз на 5 Ещё раз на 5 так это 625 Ну вроде не так сложно Да как оказалось теперь перемножают 2.500 Это конечно не миллион но зато ответ правильный Давайте посмотрим теперь задачи на движени регулярно г они встречаются задание номер 10 не всеми любимые Итак два велосипедиста по 72 км надо проехать скорость первого на 4 км в час больше чем у второго и время тратит на 3 часа меньше Ну давайте заполним табличку Это самый надёжный путь скорость время и расстояние у обоих по 72 км значит что мы знаем про скорость мы знаем что скорость первого больше скорости второго поэтому логично скорость второго обозначить за X скорость перво x + 4 теперь время значит 72 км мы делим на x + 4 А здесь 72 / на X Так теперь мы знаем что первый первый потратил на 3 часа меньше Ну раз на 3 часа меньше Значит надо 3 часа вычесть всё замечательно табличка заполнена ищите ошибку нуно ошибка банальная Давайте просто вспомним формулу которая связывает между собой скорость время и расстояние скорость ноно время - это есть наш пройденный путь то теперь давайте просто для первого это проделаем если мы умножим x + 4 на Вот это выражение то 72 мы уже никак не получим А раз 72 мы никак не получим значит что мы делаем мы вот это -3 уничтожаем нету вот здесь таблички нету Вот теперь если x + 4 у дробь то x + 4 сократится и 72 получится Всё хорошо значит первую ошибку мы с вами отловили Ну ладно ну тройку куда-то нужно деть Ну конечно нужно раз не в табличку значит 72 + 4 это и е 72 / X О теперь всё хорошо а теперь решаем уравнение значит как мы здесь его будем решать очевидно надо тройку перекинуть в правую часть А вот эту дробь в левую и привести к общему знаменателю это будет мне кажется самый простой путь 72 / x + 4 - 72 / X - это 3 Ну можно конечно заметить что ещё и натри сокращается это вообще идеально если у вас такое идеальное зрение Поздравляю у вас коэффициент будет меньше а значит вам будет труднее совершать ошибки арифметики 24 по X + 4 - 24 по X - это 1 Ну и теперь приводим к общему знаменателю что мы получим 24x - 24 x x + 4 поде x + 4 у x = раскрываем скобки 24x - 24x - это просто 0 и ещё здесь будет -24 x 4 -96 -96 А в знаменатель X + 4x ра 1 доно знаменатель получили - 6 ра X + 4x А значит X к + 4x переносим + 96 = 0 Ну считаем дискриминант Да кто потеряем вето корня нашёл тот Красавчик У меня так быстро не получается 4К -4 X 1 и у на 96 это будет 16 минус значит здесь 360 24 384 а это а это даже считать не хочется это меньше нуля Ну раз меньше нуля значит что у квадратного уравнения корней нет значит что значит явно где-то ошибка Ищите где же ошибка а ошибка была При составлении уравнения Давайте просто проанализируем что было значит скорость первого большей скорости второго значит времени он тратит меньше чем второй Ну мы это в условии видели да на 3 часа меньше Именно поэтому мы 3 часа и вычли но Давайте ещё раз подумаем у первого время у первого время меньше чем у второго Поэтому если я от времени Первого ещё что-то Отниму то это будет уже меньше чем время которое он потратил который конечно же меньше чем время второго но поэтому ошибка была При составлении уравнения А как же нужно было составить уравнение То есть если я хочу эти 3 часа к первому пришить Что называется да то я должен к времени Первого прибавить 3 часа чтобы получить время второго Ну такая форма записи мне не очень нравится лучше как раз показывать разницу Да разница если из большего времени вычесть меньшее время то как раз эта разница 3 часа и получится и вот я вам рекомендую составить уравнение вот оно собственно составлено и решить его и найти правильный ответ Кто найдёт в комментариях делитесь что же у вас получилось Напоминаю что нужно найти скорость первого Ну что же продолжаем И теперь у нас текстовая Задача два велосипедиста им предстоит проехать 240 км Скорость первого на 1 км в Ча меньше скорости второго и к финишу понятно он приезжает на о час позже надо скорость велосипедиста пришедшего к финишу вторым Ну поехали что можно обозначить скорость перво за тогда скорость второго это будет п Так ну и поскольку я знаю путь который им надо преодолеть 24 я легко могу найти время время перво это будет 240 время второго 240 по п времени время Т2 то соответственно получу вот эту разницу единичка ну здесь стандартное путь решения привели к общему знаменателю в левой части потом соответственно правила пропорции или до умножения знаменателя кому что больше нравится это одно и то же и соответственно находим отсюда X Итак 240 У X + 1 - 240x сейчас я буду достаточно быстро это рассказывать но здесь элементарное преобразование никаких подвохов также не переживайте 240x - 240x пропало осталось просто 240 в числителе знали X к + X мы с вами получаем единичку и тогда 240 - это X к + X Ну а кто смотрел мой ролик про лайфхаки тот конечно ответ уже здесь должен был подобрать Да вот в точности это попадает задача под тот лайфхак X к + x - 240 = 0 Ну и здесь посчитали дискриминант чему будет Ре 1 + 960 то есть 961 поскольку X по смыслу задачи скорость положить Значит мы находим 1 единст x x первы это -1 + 31 / 2 получаем соответственно сколько получаем 15 а Итак нам нужно найти скорость второго скорость второго - это X + 1 получаем что X + 1 это 15 + 1 16 всё задача решена ищите ошибку Давайте ещё раз внимательно прочитаем у слове задачи что нас попросили найти Найдите скорость велосипедиста пришедшего к финишу вторым а кто прил к финишу вторым тот кто более медленный это не второй потому что у него скорость выше Это первый значит вот это наше действие последнее было ошибочным а правильный ответ был уже вот здесь и снова вас призываю к тому что перед тем как написать бланк ответа ответ ещё раз Прочитайте вопрос и тогда вы соответственно очень большое количество ошибок исключите это но сложная задача соглашусь с ними а кто-то считает что всё-таки слож вероятность может быть сложнее и с этими ребятами Я тоже соглашусь то есть для каждого задача своя самая сложная что здесь здесь Дана функция надо найти точку максимума поехали значит что мы видим у нас вами два множителя скобочка и экспонента напомню на всякий случай а правило нахождения производной произведения F у G и прои где F и G какие-то функции очень важно Да это не число а именно функции это будет f g п F Если вдруг кто-то забыл пожалуйста Берите на вооружение поехали считать значит нашу производную производная многочлена 2x + 6 Умно на экспоненту так отлично дальше первая скобка без изменений Ну а производный экспонента это экспонент есть да а вот здесь Давайте Напомни самая замечательная функция производна совпадает самой функци Так значит здесь можно вынести обно за скобку и в скобках будет 2x + 6 п к п 6 + 9 Давайте приведём подобны чтобы было по приятнее работать значит X ква значит здесь 8x и вот здесь 15 дальше мы должны принять производную к нулю и Давайте проанализируем Вот это экспонент всегда положите прекрасно Значит на знак прония не влияет А вот это можеть лу тно уравнение и пока в комментариях Напишите его корни Да произведение 15 а сумма Чему равна не 8 а -8 поэтому корни отрицатель -3 и -5 теперь нам нужно выяснить какой же из них является точкой максимума а для этого что нужно исследовать поведение нашей функции в зависимости от знака производной сюда возвращаемся Вот это число всегда положительное А вот здесь у нас вами квадратичная функция старший коэффициент положительный значит вет парабол направле вверх значит ки плюс минус плюс а там где производная положительная функция растёт там где производная отрицательная функция убывает там где производная положительная функция растёт где наша точка максимума Когда мы поднимаемся на горку Вот мы поднимаемся а потом начинаем спускаться значит вот здесь у нас с вами максимум Вот здесь мы спускаемся потом поднимаемся значит здесь у нас с вами точка меню всё ответ -5 задача решена Ну решена то она решена но неправильно Где же ошибка Вот это написано верно Вот это написано верно но у меня у меня Обратите внимание не е в степени x а е в степени 5 - x а э функция сложная Напоминаю Вам производную сложной функции производная сложной функции когда нас вами f от G от x считается производной то мы берём f' от G и умножаем на g' от x вот так а я этого не сделал Поэтому правильно правильно производная функции е 5-x это что производная экспонента Но это понятные экспоненты есть умножить на производную вот этого многочлена а производная этого многочлена - это конечно же минус единичка поэтом получается что это есть мину e в степени 5 - x и теперь соответственно я должен исправить своё решение но как исправлять То есть получается что вот здесь вот здесь я забыл до множить на минус единичку Поэтому правильно производная будет выглядеть так а первая скобка без изменения второй умножитель без изменения дальше э следующая скобка без изменений и дальше есте 5 у -1 к чему это ВС приводит когда мы выносим с вами экспоненту за скобки у нас скобочка останется 2 + 6 из первой скобки а вторая скобка вся пойдёт со множителем ми1 Разно ми - 6 - 9 и когда мы с ми пром подобное СБО то получится немножко другое выражение Какое Ми к 2 [музыка] производ к нулю получить вот такое уравнение Ну по-прежнему экспонента у нас не Рав нулю поэтому всё хорошо тогда соответственно Мих ква - 4x - 3 = 0 снова рекомендую Найти корни потерята быстрее меня Я же домново всё вот так вот это просто сделаю минусы на плюс исправлю и корни мои поскольку их произведение равно трое А сумма равна мину чет это ми1 -3 кстати минутка случайно нашлась ещё раз Ну давайте посмотрим что теперь как у нас с вами всё будет выглядеть значит экспонента положительно А теперь у нас вами квадратичная функция со старшим коэффициентом отрицательным значит ДТ параболы направлены вниз то есть знаки производной минус плюс минус поведение функции Ну по-прежнему когда у нас вами производная отрицательная функция убывает когда производная положительная функция растёт где у нас с вами точка максимум там где мы поднимались на горку это минус едини вот так неправильное решение и правильное решение Так что пожалуйста будьте аккуратны Есть правила нахождения производной произведения А есть Правила нахождения производной сложной функции Ну что же мы с вами рассмотрели несколько достаточно типичных ошибок и я Рекомендую вам учиться на чужих ошибках чтобы не допускать свои на всякий случай напомню что калькулятор - это ваш враг внимательно пожалуйста читайте условия задачи не округляйте там где округлять не нужно не Придумайте формул которых нет И какие-то там условные рецепты которые никогда не работают потому что К чему они приводят к неправильным ответам на всякий случай Напоминаю что у меня есть Telegram канал где куча полезностей по теме ЕГЭ по ссылочки в описании можете на неё подписаться чтобы быть в курсе всей моей математической движухи Но мы с вами обязательно увидимся и вот здесь на канале и на занятиях А с вами был Андрей Павликов