Как поворот решает задачу за секунду. ЕГЭ 2025 Математика. Задача 17. Планиметрия

Приветствую всех одиннадцатиклассников и особенно любителей и не любителей геометрии Почему я разделил вас на две группы потому что есть те кто хочет сена задачу на ЕГЭ решить и это здорово Это похвально есть те кто боится за неё даже браться Ну бояться этого не нужно Почему Потому что всё что нужно на самом деле вы уже изучили в седьмом восьмом девятом классе вы скажете Это было давно я уже всё забыл я ничего не помню значит берём в руки учебник и восстанавливаем материал помимо этого материала полезно будет ещё наработать допол конструкции разобрать Это может пригодиться на ЕГЭ Ну например те же самые резусы свойства р центра они уже на ЕГЭ были Поэтому если вы знаете как они доказываются Ну просто берёте за 3 минуты Готовое решение пишете То есть вам даже ничего выдающегося делать не надо и ещё один момент значит если вы знаете что такое счётная планиметрия я вам сейчас перечисляю пятёрку важнейших теорем это теорема Пифагора теорема косинусов теорема синусов Теорема Фалеса и теорема милая то вы уже очень сильно продвинулись вперёд те не так много теории А они позволяют вам большинство пунктов решать и вот В сегодняшней задаче мы как раз с вами эту пятёрку ещё раз вспомним и увидим как на простой конструкции три из них сработает и даже поймём Почему именно эти три Почему две другие не сработали если Кстати вы будете внимательно смотреть разбор то в комментариях Можете написать почему две из этих пяти теорем не сработали Но мы с вами не откладывая дело в долгие ящики но я Напоминаю что 3 балла за эту задачу можно получить переходим с к делу поехали Ну что же переходим с вами к практике и посмотрим сейчас задачу двадцатого года Вот её условия у вас выезжает на экране если меня спросите А что такая древняя задача таких наверное сейчас уже нет всё есть самое главное что формат у нас уже много лет не меняется Это пункт А задача на доказательства пункт Б задача на вычисления причём если мы используем в пункте б при решении пункта Б то что было в пункте А и мы это доказали Это очень хорошо если мы используем но не доказали с нас просто снимают баллы дополнительно Ну и максимум получим всего лишь один Маловато хотелось бы по максимуму и теперь давайте ключевой момент я беру ноутбук и читаю условие задачи Дан прямоугольный треугольник ABC на катете а отмечена точка А на продолжении катета BC за точку C точка N Так что выполняется какое-то соотношение и отрезки CH и CF высота треугольников ABC и nmc соответственно Докажите что CF и перпендикуляр и пусть L - это точка пересечения там дальше что-то Посчитайте считать пока не будем а вот теперь сейчас появится условие задачи дего года которая на год раньше была читаю её условия в прямоугольном треугольнике AB точка лежит на катете а точка лежит на продолжении катета за точку причём какие-то соотношения выполняется два соотношения как и задача двадцатого года отрезки CP и CQ биссектрисы треугольников ABC соответственно Докажите что инку меня и задача сама смотрите задача двадцатого года доказать что две высоты перпендикулярны в задача девятнадцатого года доказать что две биссектрисы перпендикулярны Ну давайте поймём что это на самом деле ровно одна и та же задача А значит делаем вывод Что вообще-то полезно задачи прорешивать заранее и мы на годовом курсе это делаем регулярно что значит регулярно в течение всего года Каждую неделю по средам 13 у нас занятия по сложной планиметрии Спросите можно к вам присоединиться конечно причём чем раньше вы это сделаете тем лучше тем больше у вас соответственно будет занятий по теории и по практике по ссылочки в описании можете посмотреть условия но я Вас с большим удовольствием жду на наших занятиях будет интересно но теперь давайте я сделаю чертёж Итак прямоугольный треугольник ABC Ну какой-то я пока нарисую я не знаю где там у нас что а катет А и катет BC Ну значит C получается у нас с вами вершина прямого угла значит ну катет А давайте пока Хотя Подождите в пункте б катет линее чем катет я конечно при решении пункта А ниде этим польва не буду я просто сразу сделаю правильный чертёж Значит на катете а отметили точку М а на продолжени катета B за точку точку то есть вот так ещё продлеваем причём C и CB одинаковые CB нас будет двоечка Да ам Ну значит соответственно Вот здесь Да поста поза вот Так что Ca и CN одинаковые вот Ca А вот соответственно будет CN вот эти два отрезка одинаковые вот так вот покажем их да то есть весь катет Ну и теперь соответственно у нас Два треугольника ABC исходный Мы в нём провели что мы провели в нём высоту проверили высоту CF показали Вот она высота CF и треугольник nmc nmc вот он и в нём провели высоту CH да а нет а вот здесь здесь H А вот здесь F Ну сути дела Это не меняет всё пока то что мне нужно я показал ну и Теперь смотрите Что произошло то есть вот эта задача решается ровно в одно слова поворот теперь чуть подробнее Да мы взяли треугольник ABC и повернули его на 90° ещё раз на 90° вопрос На сколько же градусов повернулся катет любой На 90 На сколько градусов повернулась гипотенуза На 90 На сколько градусов повернулась высота ответ на 90 что я требовало заказать скажете Неужели такое возможно возможно А теперь на секундочку возвращаемся в девятнадцатый год и мы говорим А на сколько же градусов бисектриса повернётся если мы весь треугольник пом на 90 ответ на 90 и тут ещё раз вопрос возникает Подождите это что получается это одну и туже задачу просто в кото применили ровно одно слово да 2 года подряд получается так я вас ещё раз призываю практикуйте практикуйте практикуйте и тогда вы будете обогащаться идеями и может быть вы Придя на экзамен скажете так эту задачу Я уже решал Ну я знаю как она решается так я сейчас решение напишу за Ну даже не за 3 минуты а может быть там за 30 секунд Здорово же здорово но мы с вами помимо вот этого решения первого Да повернём треугольник ABC на 90° против часовой стрелки Да против часовой стрелки тогда треугольник а давайте вот так acb перейдёт в треугольник а переходит в N соответственно C остаётся на месте B переходит в Ну а значит тогда наша высота переходит в высоту C Ну раз всё по значит угол между вот этими дм отрезками ра 9 значит отсюда допуская вы скажете Ну я про движение ничего не знаю я в школе этот параграф не изучал И вообще может быть мы его так пролили так далее вы Дайте мне какой-нибудь конкретное доказательства чтобы я вообще всё понял Ну хорошо давайте конкретно доказательства скажем уголки мы с вами посчитаем здесь да какие-нибудь Ну пускай угол при вершине А это будет а угол при вершине это будет Прим понятно что а ПД острых угла одного прямоугольного треугольника Понятно Ну хорошо тогда мы понимаем что вот этот уголок hcb в треугольнике конечно ра Аль треугольник прямоугольный один из Ост значит Аль тогда в треугольнике а один из остро уголков Альфа треугольник прямоугольный значи сае Вот это Аль Вот это Альфа Вот это бе Вот это ну теперь угол который нас интересует угол H это бе п Альф Ну п Аль или Аль п бета Как говорится От перестановки слагаемых сумма не меняется Это мы СМИ знаем ещ с начальной школы ответ 90 Ну и мы пишем что ИТ пере не перегружать Лич информацию то что в пункте А мы использовали в пункте б использовать не будем Пусть L - это точка пересечения BM прямую М сейчас проведём и А ну ато Вообще легко провести Да А Вот соответственно им пошла и получаем вот здесь точку L причём нам известно что BC - это 2 нам известно что А - это 5 и требуется найти отрезок длину отрезка поехали значит прежде всего когда вот я слышу фразу я все теоремы знаю ни одну задачу решать не умею Это означает что ни одну теорему не знаешь два вопроса ключевых мы себе задаём это где работает эта теорема и для чего нужна Вот например что мы здесь видим треугольник ABC прямоугольный значит какую теорему мы легко можем вспомнить теорему Пифагора Тем более что например известно два катета легко найдём гипотенузу ещё раз у нас есть катеты мы ищем гипотенузу значит теорема Пифагора работает в прямоугольном треугольнике для того чтобы по двум сторонам находить третью и вот если вы так каждую теорему проговорите у вас всё получится и теория которую вы прочитали в любом учебнике Когда вы меня спрашивает А какой учебник рекомендуете берите любой они все примерно одинаковые тогда вы поймёте что делать дальше Итак мы хотим найти длину отрезка ML вот этот отрезок где он присутствует Ну первый момент это Например сторона треугольника м второй момент - это сторона треугольника mln третий момент - это какой-то отрезок внутри треугольника N ма чевиана Да если вы знаете как находить чев замечательно пожалуйста Пользуйтесь ещё один момент это часть отрезка LB где LB - это Например сторона треугольника B или треугольника bln смотрите как много здесь всего есть и наша с вами задача не растеряться а сообразить что и где мы с вами можем использовать ну Давайте вспомним что вообще-то у нас с вами Построение было таково что отрезки MC и BC одинаковы я их выделю цветом Да и отрезки AC и NC тоже одинаковые значит в принципе можно заметить что треугольник а прямоугольный равнобедренные значит в НМ вообще все стороны известны Почему известны все стороны потому что AC известно По условию NC по построению равно Ну А гипотенуза прямоугольно треугольника если две стороны два катета известны потере Пифагора легко находится замечательно Теперь давайте подумаем вот мы хотим этот речек найти вс-таки нам нужно выбрать что-то одно и двигаться впер Ну кае теоремы нужны Да пять теорем самых важных Да вот сейчас такой небольшой ликбез пять теорем самых важных счётных это теорема Пифагора теорема косинусов теорема синусов Теорема Фалеса и теорема менелая вот если вы их знаете Отлично Вы можете изучать другие теоремы Если вы эти теоремы не знаете это плохо потому что скорее всего у вас будет пробуксовка сказать Ну я что-то не могу посчитать не удивительно пото что вот эти теоремы используются чаще других если вы со всеми этими теорема знакомы отлично если Нет ну срочно надо брать учебник и соответственно смотреть Итак Ну много слов Да теперь давайте к практике Ну давайте для определённости возьмём вот тре угок ам это сторона ма мы знаем да мы можем легко найти вот из этих данных а мы знаем Нет пока не знаем Так а как будем искать Ну Пока непонятно а уголок мы знаем но уголок то мы Конечно знаем 45° Почему Потому что треугольник NC у нас вами прямоугольный равнобед значит эти два уголка просто по 45° отлично значит треугольники aml есть сторона и есть угол А неизвестна сторона А и неизвестны вот эти два уголка Хм Ну значит надо вроде бы как-то что-то там поискать то есть вот ещё раз ещё раз я не то чтобы хочу вам показать сразу решение за 3 секунды да как это было в пункте а потому что ну там очевидно повернули и всё сразу а подтолкнуть вас к идее задавайте себе вопрос что я знаю где я могу это найти А как мне это использовать потом и вот чем больше этих вопросов вы себе задаёте тем вам же будет соответственно легче да при решении реальной задачки Ну поехали Давайте всё-таки выпишем то что мы знаем мы знаем что BC и MC у нас одинаковые под мы знаем что AC и NC у нас одинаковые по 5 мы легко находим ам потому что это AC ми MC то есть троечка да давайте вот здесь покажем троечка двоечка двоечка пятёрка ну и соответственно углы na и cna по 45 в принципе при большом желании мы в треугольнике Мом Всё у нас есть два катета гипотенуз нашли углы нашли хотя бы любые тригонометрические функции и поехали Так ну Давайте ещё вспомнил я что-то там говорил про теорему менелая да А можем её здесь применить Ну конечно смотрите если мы будем знать в каком отношении точка L поделила сторону а Но поскольку по теореме это ре NC к + C К То бишь 5к п 5к это 5 коне изд то зная В каком отношении точки L поделила мы легко найдём длину отрезка L Ну а дальше две стороны угол между ними теорема косинусов то есть смотрите сейчас я теорем Пифагора воспользоваться Да теорем Мила Хочу воспользоваться да возможно есть другое решение я ни в коем случае не хочу сказать что я показываю единственное возможное решение наоборот Я хочу вас сразу порадовать У любой геометрической задачи есть несколько решений одно 2Т Ну одно это ладно одно есть всегда Да 2 3 4 5 6 решений Я видел в одной задаче которая встречалась на реальном иг и то не факт что это все которые там есть может быть ещё и больше поехали Значит мы с вами смотрим на треугольник na и напрямую LB которая пересекает две стороны в точках L соответственно и в точке б продолжение тре ны давайте я картинку сделаю отдельно вот наш треугольник Вы можете меня конечно сейчас поругать что неравнобедренный но мне гораздо важнее сейчас вам показать содержание Да содержание то что вот у нас появилась прямая которая две стороны и продолжение треть и поехали напишем теорему лая Нила для треугольника NC и сей ий веши и пое отно к Умно как отно кно Как Если эту теорему знаете в комментариях напишите я знаю тере а также все остальные счётные теоремы которы перечислили Если нет то давайте соответственно запишу ролик про эту теорему и приду вам несколько доказательств теоремы опять же Зачем несколько доказа что пока разные методы и эти методы могут вам пригодиться на Вот это соотношение как раз меня очень сильно интересует я его не знаю вот это соотношение но я легко знаю это 3Д мы это просто посчитали с вами По условию 2n 2 П 5 это 7 здесь получается двоечки сокращается Ну и чтобы мы произведе получили единичку нам нужно чтобы к было необходимо что это 3 если есть вопрос откуда взялась десятка то элементарный ответ 3 + 7 от соответственно А да мы разделили на 7 ИТ всего на 10 частей три части относятся к отрезку Но поскольку мы Свами Уже нашли то получается что это есть 3 у 5 на 5 сократили 3 попола Ну и последний шаб Прим ре косинусов зде пони если какую-то теорему применяете то пишите что это за теорема и где она применяется Давайте в треугольнике А тогда здесь соответственно тере Пифагора да а здесь можно всё треугольник написать Ну ладно тере Пифагора в треугольнике Какой это был Да чтобы к Вам не придирались на е в части оформления Итак теорема косинусов к равняется Al к п АМК - 2 а на am умножить на косинус угла А благо мы с вами всё это знаем и подставляем смело значит Al вот оно в квадрате это получается 9 x 2 по 4 на два сразу сократили получили 9/2 ам ам - это у нас троечка значит просто дев -2х Al вот оно то есть на 32 пола и Умно на троечку ещ на косинус угла 45 давайте считать значит 92 так оставлю пока девятку так оставлю пока значит здесь смотрите ко2 это 2 и с одной двоко сокращается вот э ДКА с этой дко сокращается зна получается 3 3 это 92 это ТТ сама получаем сразу отвечаю на вопрос а нужно ли избавляться от иррационально знаменателя если вам так хочется пожалуйста если не хочется оставляете в таком виде у Вас решение прит человек Эксперт Да соответственно он всё поймёт мы с вами то что требовалось найти нашли в пункте А мы всё доказали в пункте б кстати Обратите внимание мы не пользовались вообще тем что было в пункте А такое редко-редко но бывает чаще приходится использовать но мы пишем просто конкретный число ответ после того как мы его написали можем уверенно сказа полною решена три балла мы забираем себе Да один за пункт А и два за пункт Б Было ли это сложно делитесь в комментариях по традиции в конце ролика подводим итоги Как видите задача решаемая бывает чуточку проще бывает чуточку сложнее но в конечном итоге всё что вам нужно было изучено в седьмом восьмом девятом классе берёте просто учебник оттуда забираете всю теорию и дальше куча куча практики Если вы помимо этого добавите дополнительные какие-то факты дополни ре дополнительные формулы это вам Только в плюс Но помните что то что в учебнике можно использовать без доказательстве то что вне учебника использо только с доказательством Ну и два наших аскону примера это лезу и свойст Арто центра они на иг уже встречались Если вы напишете это лезу это свойст Ар центра что я требо доказать ноль баллов пожалуйста если вы знаете что это такое Ну Напишите туда Просто это доказать м бо что замт буквально пару минут Напоминаю что у меня есть кана где регулярно публикую кучу полезных материалов по теме ЕГЭ плюс информация об интенсива плюс о всей моей математической движухи поэтому Рекомендую вам подписаться по ссылочки в описании и тогда вы будете в курсе всех этих событий Ну а с вами был Андрей Павликов как обычно увидимся Вот здесь на канале